PAGE1-課后限時集訓(二十四)(建議用時：60分鐘)A組基礎達標一、選擇題1．①有向線段就是向量，向量就是有向線段；②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；③向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則A，B，C，D四點共線；④假如a∥b，b∥c，那么a∥c.以上命題中正確的個數為()A．1B．2C．3D．0D[對于①，向量可用有向線段表示，但向量不是有向線段，故①錯．對于②，當a與b中有一個是0時，a與b的方向不肯定相同或相反，故②錯．對于③，直線AB與CD也可能平行，故③錯．對于④，當b＝0時，a與c不肯定平行，故④錯．]2．在△ABC中，已知M是BC中點，設eq\o(CB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)a－b B．eq\f(1,2)a＋bC．a－eq\f(1,2)b D．a＋eq\f(1,2)bA[eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－b＋eq\f(1,2)a，故選A．]3．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，則下列肯定共線的三點是()A．A，B，C B．A，B，DC．B，C，D D．A，C，DB[因為eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3eq\o(AB,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))有公共點A，所以A，B，D三點共線．]4．在△ABC中，已知D是AB邊上的一點，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，則λ等于()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(2,3)A[∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，即eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝2(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(2,3).]5．設a，b都是非零向量，下列四個條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的一個充分條件是()A．a＝－b B．a∥bC．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|C[eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)?a＝eq\f(|a|b,|b|)?a與b共線且同向?a＝λb且λ>0.B，D選項中a和b可能反向．A選項中λ<0，不符合λ>0.]二、填空題6．給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；②若A、B、C、D是不共線的四點，則“eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；③若λa＝0(λ為實數)，則λ＝0；④若兩個向量共線，則其方向必定相同或相反，其中真命題的序號是________．②[對于①，向量a與b的方向可以是隨意的，故①錯；對于②，由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，可得|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→)).又A，B，C，D是不共線的四點，因此四邊形ABCD為平行四邊形，反之也成立，故②正確；對于③，當a＝0，λ＝1時，λa＝0，故③錯；對于④，當兩個向量有一個零向量時，兩個向量的方向不肯定相同或相反，故④錯．]7．已知O為四邊形ABCD所在平面內一點，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))滿意等式eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，則四邊形ABCD的形態為________．平行四邊形[由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))得eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，所以四邊形ABCD為平行四邊形．]8．(2024·鄭州模擬)在△ABC中，eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(x,y)＝________.3[由eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(MB,\s\up6(→))得eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(CB,\s\up6(→))，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)，因此eq\f(x,y)＝3.]三、解答題9．在△ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點，G為BE上一點，且GB＝2GE，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→)).[解]eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.10．設兩個非零向量e1和e2不共線．(1)假如eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8e1－2e2，求證：A，C，D三點共線；(2)假如eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－ke2，且A，C，D三點共線，求k的值．[解](1)證明：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8e1－2e2，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝4e1＋e2＝－eq\f(1,2)(－8e1－2e2)＝－eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線．又∵eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))有公共點C，∴A，C，D三點共線．(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2.∵A，C，D三點共線，∴eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，從而存在實數λ使得eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))，即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝2λ，,－2＝－λk，))解得λ＝eq\f(3,2)，k＝eq\f(4,3).B組實力提升1．已知a，b是不共線的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋μb，λ，μ∈R，則A，B，C三點共線的充要條件為()A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1 D．λμ＝1D[因為A，B，C三點共線，所以eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AC,\s\up6(→))(m≠0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝m，,1＝mμ，))所以λμ＝1，故選D.]2．如圖所示，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，P是BN上的一點，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))，則實數m的值為()A．eq\f(9,11) B．eq\f(5,11)C．eq\f(3,11) D．eq\f(2,11)B[留意到N，P，B三點共線，因此eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(6,11)eq\o(AN,\s\up6(→))，從而m＋eq\f(6,11)＝1?m＝eq\f(5,11).故選B.]3．如圖，點E是平行四邊形ABCD的對角線BD的n(n∈N且n≥2)等分點中最靠近點D的點，線段AE的延長線交CD于點F，若eq\o(AF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，則x＝________(用含有n的代數式表示)．eq\f(1,n－1)[依題意與圖形得eq\f(DF,AB)＝eq\f(DE,EB)＝eq\f(1,n－1)(n∈N且n≥2)，所以eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,n－1)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,n－1)eq\o(AB,\s\up6(→))，又因為eq\o(AF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(1,n－1).]4．已知O，A，B是不共線的三點，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點共線；(2)若A，P，B三點共線，求證：m＋n＝1.[證明](1)若m＋n＝1，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋m(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝m(eq\o(OA,\s\up6(