PAGEPAGE1其次章2.4第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．在等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么a4＋a5＝(B)A．27 B．27或－27C．81 D．81或－81[解析]∵q2＝eq\f(a3＋a4,a2＋a1)＝9，∴q＝±3，因此a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27或－27.故選B．2．假如數(shù)列{an}是等比數(shù)列，那么(A)A．?dāng)?shù)列{aeq\o\al(2,n)}是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列{2an}是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列{lgan}是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列{nan}是等比數(shù)列[解析]設(shè)bn＝aeq\o\al(2,n)，則eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(a\o\al(2,n＋1),a\o\al(2,n))＝(eq\f(an＋1,an))2＝q2，∴{bn}成等比數(shù)列；eq\f(2an＋1,2an)＝2an＋1－an≠常數(shù)；當(dāng)an<0時(shí)lgan無(wú)意義；設(shè)cn＝nan，則eq\f(cn＋1,cn)＝eq\f(n＋1an＋1,nan)＝eq\f(n＋1q,n)≠常數(shù)．3．(2024－2024學(xué)年度山東莒縣二中高二月考)在等比數(shù)列{an}中，a4·a8＝2，a2＋a10＝3，則eq\f(a12,a4)＝(C)A．2 B．eq\f(1,2)C．2或eq\f(1,2) D．－2或－eq\f(1,2)[解析]由等比數(shù)列的性質(zhì)得a4a8＝a2a10＝2，又∵a2＋a10＝3，∴a2＝1，a10＝2或a2＝2，a10＝1.當(dāng)a2＝1，a10＝2時(shí)，eq\f(a12,a4)＝eq\f(a10,a2)＝2，當(dāng)a2＝2，a10＝1時(shí)，eq\f(a12,a4)＝eq\f(a10,a2)＝eq\f(1,2).4．(2024－2024學(xué)年度福建莆田一中高二月考)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)且a1a11＝16，則log2a6＝(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]∵{an}是各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列，∴a1a11＝aeq\o\al(2,6)＝16，∴a6＝4，∴l(xiāng)og2a6＝log24＝2.5．設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于(B)A．210 B．220C．216 D．215[解析]設(shè)A＝a1a4a7…a28，B＝a2a5a8…a29，C＝a3a6a9…a30，則A、B、C成等比數(shù)列，公比為q10＝210，由條件得A·B·C＝230，∴B＝210，∴C＝B·210＝220.6．在等比數(shù)列{an}中，a3a11＝4a7.若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b7＝a7，則b5＋b9等于(C)A．2 B．4C．8 D．16[解析]在等比數(shù)列{an}中，a3a11＝aeq\o\al(2,7)＝4a7，解得a7＝4.在等差數(shù)列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.二、填空題7．在等比數(shù)列{an}中，若公比q>1，且a2a8＝6，a4＋a6＝5，則eq\f(a5,a7)＝__eq\f(2,3)__.[解析]∵a4a6＝a2a8＝6，a4＋a6＝5，∴a4，a6是方程x2－5x＋6＝0的兩個(gè)根，解得x1＝2，x2＝3，又q>1，∴a4＝2，a6＝3.∴eq\f(a5,a7)＝eq\f(a4,a6)＝eq\f(2,3).8．(2024·北京理，10)若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿意a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，則eq\f(a2,b2)＝__1__.[解析]設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，則由a4＝a1＋3d，得d＝eq\f(a4－a1,3)＝eq\f(8－－1,3)＝3，由b4＝b1q3得q3＝eq\f(b4,b1)＝eq\f(8,－1)＝－8，∴q＝－2.∴eq\f(a2,b2)＝eq\f(a1＋d,b1q)＝eq\f(－1＋3,－1×－2)＝1.三、解答題9．(2024·全國(guó)卷Ⅲ文，17)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿意a1＝1，aeq\o\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通項(xiàng)公式．[解析](1)由題意可得a2＝eq\f(1,2)，a3＝eq\f(1,4).(2)由aeq\o\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．因?yàn)閧an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,2).故{an}是首項(xiàng)為1，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，因此an＝eq\f(1,2n－1).10．等差數(shù)列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}前20項(xiàng)的和S20.[解析]設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，a10＝a4＋6d＝10＋6d.由a3，a6，a10成等比數(shù)列得，a3a10＝aeq\o\al(2,6)，即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，整理得10d2－10d＝0，解得d＝0，或d＝1.當(dāng)d＝0時(shí)，S20＝20a4＝200；當(dāng)d＝1時(shí)，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7，因此，S20＝20a1＋eq\f(20×19,2)d＝20×7＋190＝330.B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題1．已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，則a，b，c(A)A．成等差數(shù)列不成等比數(shù)列 B．成等比數(shù)列不成等差數(shù)列C．成等差數(shù)列又成等比數(shù)列 D．既不成等差數(shù)列又不成等比數(shù)列[解析]解法一：a＝log23，b＝log26＝log23＋1，c＝log212＝log23＋2.∴b－a＝c－b.解法二：∵2a·2c＝36＝(2b)2，∴a＋c＝2b，∴選A．2．(2024－2024學(xué)年度山東日照青山中學(xué)高二月考)已知等比數(shù)列{an}中，Tn表示前n項(xiàng)的積，若T5＝1，則(B)A．a(chǎn)1＝1 B．a(chǎn)3＝1C．a(chǎn)4＝1 D．a(chǎn)5＝1[解析]∵{an}是等比數(shù)列，∴a1a5＝a2·a4＝aeq\o\al(2,3)，∴T5＝a1a2a3a4a5＝aeq\o\al(5,3)＝1，∴a3＝1.3．若方程x2－5x＋m＝0與x2－10x＋n＝0的四個(gè)根適當(dāng)排列后，恰好組成一個(gè)首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，則eq\f(m,n)的值是(D)A．4 B．2C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)[解析]由題意可知1是方程之一根，若1是方程x2－5x＋m＝0的根則m＝4，另一根為4，設(shè)x3，x4是方程x2－10x＋n＝0的根，則x3＋x4＝10，這四個(gè)數(shù)的排列依次只能為1、x3、4、x4，公比為2、x3＝2、x4＝8、n＝16、eq\f(m,n)＝eq\f(1,4)；若1是方程x2－10x＋n＝0的根，另一根為9，則n＝9，設(shè)x2－5x＋m＝0之兩根為x1、x2則x1＋x2＝5，無(wú)論什么依次均不合題意．4．已知等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1，eq\f(1,2)a3,2a2成等差數(shù)列，則eq\f(a9＋a10,a7＋a8)等于(C)A．1＋eq\r(2) B．1－eq\r(2)C．3＋2eq\r(2) D．3－2eq\r(2)[解析]設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a1，eq\f(1,2)a3,2a2成等差數(shù)列，∴a3＝a1＋2a2，∴a1q2＝a1＋2a1q，∴q2－2q－1＝0，∴q＝1±eq\r(2).∵an>0，∴q>0，q＝1＋eq\r(2).∴eq\f(a9＋a10,a7＋a8)＝q2＝(1＋eq\r(2))2＝3＋2eq\r(2).二、填空題5．在3和一個(gè)未知數(shù)間填上一個(gè)數(shù)，使三數(shù)成等差數(shù)列，若中間項(xiàng)減去6則成等比數(shù)列，則此未知數(shù)是__3或27__.[解析]設(shè)此三數(shù)為3、a、b，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝3＋b,a－62＝3b))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝15,b＝27)).∴這個(gè)未知數(shù)為3或27.6．(2015·浙江文，10)已知{an}是等差數(shù)列，公差d不為零，若a2，a3，a7成等比數(shù)列，且2a1＋a2＝1，則a1＝__eq\f(2,3)__，d＝__－1__.[解析]由題可得，(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，故有3a1＋2d＝0，又因?yàn)?a1＋a2＝1，即3a1＋d＝1，所以d＝－1，a1＝eq\f(2,3).三、解答題7．{an}為等比數(shù)列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11.[解析]∵{an}為等比數(shù)列，∴a1·a9＝a3·a7＝64，又a3＋a7＝20，∴a3、a7是方程t2－20t＋64＝0的兩個(gè)根．∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4，當(dāng)a3＝4時(shí)，a3＋a7＝a3＋a3q4＝20，∴1＋q4＝5，∴q4＝4.當(dāng)a3＝16時(shí)，a3＋a7＝a3(1＋q4)＝20，∴1＋q4＝eq\f(5,4)，∴q4＝eq\f(1,4).∴a11＝a1q10＝a3q8＝64或1.C級(jí)實(shí)力拔高1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2an－2.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an，求使(n－8)bn≥nk對(duì)隨意n∈N*恒成立的實(shí)數(shù)k的取值范圍．[解析](1)由Sn＝2an－2可得a1＝2，因?yàn)镾n＝2an－2，所以，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1,即：eq\f(an,an－1)＝2.數(shù)列{an}是以a1＝2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，所以，an＝2n(n∈N*)．(2)bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).(n－8)bn≥nk對(duì)隨意n∈N*恒成立，等價(jià)于eq\f(n－8n＋1,2)≥k對(duì)n∈N*恒成立；設(shè)cn＝eq\f(1,2)(n－8)(n＋1)，則當(dāng)n＝3或4時(shí)，cn取得最小值為－10，所以k≤－10.2．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常數(shù)．(1)求a1及