第2講基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程1/27考情分析年份卷別題號考查內容命題規(guī)律Ⅰ11指數(shù)式及大小比較基本初等函數(shù)作為高考命題熱點,多單獨或與不等式綜合考查.常以選擇題、填空題形式出現(xiàn).有時難度較大,函數(shù)應用問題集中表示在函數(shù)零點個數(shù)判斷,零點所在區(qū)間等方面.近幾年全國卷考查較少,但也要引發(fā)重視.Ⅲ11函數(shù)零點Ⅰ8冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調性、大小比較Ⅲ6指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)單調性、大小比較2/27總綱目錄考點一

基本初等函數(shù)圖象與性質考點二函數(shù)零點（高頻考點）考點三函數(shù)實際應用3/27考點一

基本初等函數(shù)圖象與性質指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象與性質

指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)圖象

單調性0<a<1時,在R上單調遞減;a>1時,在R上單調遞增0<a<1時,在(0,+∞)上單調遞減;a>1時,在(0,+∞)上單調遞增函數(shù)值0<a<1,當x>0時,0<y<1;當x<0時,y>10<a<1,當x>1時,y<0;當0<x<1時,y>0a>1,當x>0時,y>1;當x<0時,0<y<1a>1,當x>1時,y>0;當0<x<1時,y<04/27經(jīng)典例題(1)(課標全國Ⅱ,8,5分)函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8)單調遞增區(qū)間是

()A.(-∞,-2)

B.(-∞,1)

C.(1,+∞)

D.(4,+∞)(2)(課標全國Ⅰ,11,5分)設x,y,z為正數(shù),且2x=3y=5z,則

()A.2x<3y<5z

B.5z<2x<3yC.3y<5z<2x

D.3y<2x<5z5/27解析(1)由x2-2x-8>0可得x>4或x<-2,所以x∈(-∞,-2)∪(4,+∞),令u=x2-2x-8,則其在x∈(-∞,-2)上單調遞減,在x∈(4,+∞)上單調遞增.又因為y=lnu在u∈(0,+∞)上單調遞增,所以y=ln(x2-2x-8)在x∈(4,+∞)上單調遞增.故選D.(2)由2x=3y=5z,可設(

)2x=(

)3y=(

)5z=t,因為x,y,z為正數(shù),所以t>1,因為

=

=

,

=

=

,所以

<

;答案(1)D(2)D6/27因為

=

=

,

=

,所以

>

,所以

<

<

.分別作出y=(

)x,y=(

)x,y=(

)x圖象,如圖.

則3y<2x<5z,故選D.7/27方法歸納基本初等函數(shù)圖象與性質應用技巧(1)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)單調性都取決于其底數(shù)取值,當?shù)讛?shù)a值

不確定時,要注意分a>1和0<a<1兩種情況討論.(2)研究由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與其它函數(shù)復合而成函數(shù)性質,首

先經(jīng)過換元法轉化為兩個或多個基本初等函數(shù),然后依據(jù)復合函數(shù)性

質與相關函數(shù)性質之間關系進行判斷.(3)對于冪函數(shù)y=xα性質要注意α>0和α<0兩種情況不一樣.8/27跟蹤集訓1.已知函數(shù)f(x)=3x-b(2≤x≤4,b為常數(shù))圖象經(jīng)過點(2,1),則f(x)值域為

()A.[1,81]

B.[1,3]C.[1,9]

D.[1,+∞)答案

C由f(x)圖象過點(2,1),可知b=2,∴f(x)=3x-2,其在區(qū)間[2,4]上

是增函數(shù),∴f(x)min=f(2)=30=1,f(x)max=f(4)=32=9.故C正確.9/272.(陜西高三教學質量檢測試題(一))已知a=

,b=(

,c=

,則實數(shù)a,b,c大小關系是

()A.a>c>b

B.b>a>cC.a>b>c

D.c>b>a答案

C∵a=

=

,b=(

=

=

,c=

?=

(-cosx)

=

,且0<

<

<2,∴a>b>c,故選C.10/27考點二

函數(shù)零點(高頻考點)命題點1.判斷函數(shù)零點所在區(qū)間.2.判斷函數(shù)零點個數(shù).3.由函數(shù)零點情況求參數(shù)值(范圍).函數(shù)零點與方程根、函數(shù)圖象關系函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)零點就是方程f(x)=g(x)根,即函數(shù)y=f(x)圖象與

函數(shù)y=g(x)圖象交點橫坐標.11/27經(jīng)典例題(1)函數(shù)f(x)=

零點個數(shù)是

()A.0

B.1

C.2

D.3(2)(課標全國Ⅲ,11,5分)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點,

則a=

()A.-

B.

C.

D.112/27解析(1)作出函數(shù)f(x)=

圖象,如圖所表示,

由圖象可知,所求函數(shù)零點個數(shù)是2.(2)由函數(shù)f(x)有零點得x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=0有解,即(x-1)2-1+a(ex-1+e-x+1)=0

有解,令t=x-1,則上式可化為t2-1+a(et+e-t)=0,即a=

.答案(1)C(2)C13/27令h(t)=

,易得h(t)為偶函數(shù),又由f(x)有唯一零點得函數(shù)h(t)圖象與直線y=a有唯一交點,則此交點

橫坐標為0,所以a=

=

,故選C.方法歸納判斷函數(shù)零點個數(shù)方法14/27跟蹤集訓1.函數(shù)f(x)=log3x-x+2必有一個零點區(qū)間是

()A.

B.

C.

D.

答案

A因為f(x)=log3x-x+2,所以f

=log3

-

+2=-2-

+2=-

<0,f

=log3

-

+2=-1-

+2=

>0,即f

·f

<0,所以函數(shù)f(x)=log3x-x+2在

上必有一個零點.15/272.(昆明教學質量檢測)已知函數(shù)f(x)=

若存在實數(shù)b,使函數(shù)g(x)=f(x)-b有兩個不一樣零點,則a取值范圍是

.答案(2,4)解析依題意,在同一平面直角坐標系內畫出函數(shù)y=x2與y=2x大致圖

象(圖略),要存在實數(shù)b,使得函數(shù)g(x)有兩個不一樣零點,即存在直線y=b

與函數(shù)y=f(x)圖象有兩個不一樣交點,結合圖象可知,實數(shù)a取值范

圍是(2,4).16/27考點三

函數(shù)實際應用應用函數(shù)模型處理實際問題普通程序

?

?

?

.17/27經(jīng)典例題(湖北七市(州)聯(lián)考)某工廠產(chǎn)生廢氣經(jīng)過過濾后排放,過濾過程

中廢氣污染物數(shù)量P(毫克/升)與時間t(小時)關系為P=P0e-kt.假如在

前5小時消除了10%污染物,那么污染物降低19%需要花費時間為

小時.答案10解析前5小時污染物消除了10%,此時污染物剩下90%,即t=5時,P=0.9

P0,代入,得(e-k)5=0.9,∴e-k=

=0.

,∴P=P0e-kt=P0(0.

)t.當污染物降低19%時,污染物剩下81%,此時P=0.81P0,代入得0.81=(0.

)t,解得t=10,即需要花費10小時.18/27方法歸納處理函數(shù)實際應用題兩個關鍵點(1)認真讀題,縝密審題,準確了解題意,明確問題實際背景,然后進行科

學概括,將實際問題歸納為對應數(shù)學問題.(2)要合理選取參數(shù)變量,設定變量之后,就要尋找它們之間內在聯(lián)絡,

選取恰當代數(shù)式表示問題中關系,建立對應函數(shù)模型,最終求解

函數(shù)模型使實際問題獲解.19/27跟蹤集訓1.國家要求某行業(yè)征稅方法以下:年收入在280萬元及以下稅率為p%,

超出280萬元部分按(p+2)%征稅,有一企業(yè)實際繳稅百分比為(p+0.2

5)%,則該企業(yè)年收入是

()A.560萬元

B.420萬元

C.350萬元

D.320萬元答案

D設該企業(yè)年收入為x(x>280)萬元,則有

=(p+0.25)%,解得x=320.故該企業(yè)年收入為320萬元.20/272.某電腦企業(yè)在甲、乙兩地各有一個分企業(yè),甲地分企業(yè)現(xiàn)有某型號電

腦6臺,乙地分企業(yè)現(xiàn)有同一型號電腦12臺.現(xiàn)A地某單位向該企業(yè)購

買該型號電腦10臺,B地某單位向該企業(yè)購置該型號電腦8臺.已知

從甲地運往A、B兩地每臺電腦運費分別是40元和30元.從乙地運

往A、B兩地每臺電腦運費分別是80元和50元.若總運費不超出1000

元,則調運方案種數(shù)為

()A.1

B.2

C.3

D.4答案

C設總運費為y元,甲地調運x臺電腦至B地,則剩下(6-x)臺電腦

調運至A地,乙地應調運(8-x)臺電腦至B地,調運12-(8-x)=(x+4)臺電腦至

A地(0≤x≤6,x∈N).則總運費y=30x+40(6-x)+50(8-x)+80(x+4)=20x+960(0≤x≤6,x∈N).若y≤1000,則20x+960≤1000,解得x≤2.又0≤x≤6,x∈N,∴0≤x≤2,x∈N.∴x=0,1,2,即有3種調運方案.21/271.以下函數(shù)中,在(-1,1)內有零點且單調遞增是

()A.y=log2x

B.y=2x-1C.y=x2-2

D.y=-x3隨堂檢測答案

B

y=log2x在(-1,0]上沒有意義,故A不滿足題意;y=x2-2在(-1,0)上單調遞減,故C不滿足題意;y=-x3在(-1,1)上單調遞減,故D不滿足題意;∵y=2x-1在(-1,1)上單調遞增,且f(-1)<0,f(1)>0,∴在(-1,1)內存在零點,故選B.22/272.若函數(shù)y=a|x|(a>0,且a≠1)值域為{y|0<y≤1},則函數(shù)y=loga|x|圖象

大致是

()

答案

A若函數(shù)y=a|x|(a>0,且a≠1)值域為{y|0<y≤1},則0<a<1,故函

數(shù)y=loga|x|大致圖象是A.23/273.某商場銷售A型商品,已知該商品進價是每件3元,且銷售單價與日

均銷售量關系如表所表示:請依據(jù)以上數(shù)據(jù)分析,若要使該商品日均銷售利潤最大,則此商品

定價(單位:元/件)應為

()A.4

B.5.5

C.8.5

D.10銷售單價(元)45678910日均銷售量

(件)400360320280240200160答案

C由題意可設定價為x元/件,利潤為y元,則y=(x-3)[400-40(x-4)]=

40(-x2+17x-42),故當x=8.5時,y有最大值,故選C.24/274.已知函數(shù)f(x)=

則函數(shù)g(x)=f(1-x)-1零點個數(shù)為

()A.1

B.2

C.3

D.4答案

C由題意得g(x)=f(1-x)-1=

即g(x)=

所以,當x≥1時,函數(shù)g(x)有一個零點,當x<1時,函數(shù)有兩個零點,所以函數(shù)g(x)=f(1-x)-1零點共有