整數的問題

整數是最基本的數，它產生了許多有趣的數學問題.在中、小學生的數學競賽中，有關整數的問題占有重要的地位.

我們除了從課本上學習整數知識以外，還必須通過課外活動來補充一些整數的知識，以及解決問題的思路和方法。

對于兩位、三位或者更多位的整數，有時要用下面的方法來表示：

49=4X10+9,

235=2X100+3X10+5,

7064=7X1000+6X10+4,

有時我們用字母a,b,…表示數字,例如，詼屋是一個五位數，也

就是

abcde=aX10000+bX1000+cX100+dX10+e.

一、整除

整除是整數問題中一個重要的基本概念.如果整數a除以自然數b,商是整數且余數為0,我們就說a能被b

整除，或b能整除a,或b整除a,記作bIa.此時，b是a的一個因數(約數)，a是b的倍數.

1.整除的性質

性質1如果a和b都能被m整除，那么a+b,a-b也都能被m整除(這里設a2b).

例如：3I18,3I12,那么3I(18+12),3I(18-12).

性質2如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。

例如：3I6,6|24,那么3I24.

性質3如果a能同時被m、n整除，那么a也一定

能被m和n的最小公倍數整除.

例如：6I36,9|26,6和9的最小公倍數是18,18I36.

如果兩個整數的最大公約數是1,那么它們稱為互質的.

例如：7與50是互質的，18與91是互質的.

性質4整數a,能分別被b和c整除，如果b與c互質，那么a能被bXc整除.

例如：72能分別被3和4整除，由3與4互質，72

能被3與4的乘積12整除.

性質4中，“兩數互質”這?條件是必不可少的.72分別能被6和8整除，但不能被乘積48整除，這就是因

為6與8不互質，6與8的最大公約數是2.

性質4可以說是性質3的特殊情形.因為b與c互

質，它們的最小公倍數是bXc.事實上，根據性質4,我們常常運用如下解題思路：

要使a被bXc整除，如果b與c互質，就可以分別考慮，a被b整除與a被?整除.

能被2,3,4,5,8,9,11整除的數都是有特征的，我們可以通過下面講到的一些特征來判斷許多數的整除

問題.

2.數的整除特征

（1）能被2整除的數的特征：

如果一個整數的個位數是偶數，那么它必能被2整除.

（2）能被5整除的數的特征：

如果一個整數的個位數字是0或5,那么它必能被5整除.

（3）能被3（或9）整除的數的特征：

如果一個整數的各位數字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.

（4）能被4（或25）整除的數的特征：

如果一個整數的末兩位數能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.

（5）能被8（或125）整除的數的特征:

如果個整數的末三位數能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除.

（6）能被11整除的數的特征：

如果一個整數的奇數位數字之和與偶數位數字之和的差（大減小）能被11整除，那么它必能被11整除.

例1四位數五而能被18整除，要使這個四位數盡可能的小，麻叱

是什么數字？

解：18=2X9,并且2與9互質，根據前面的性質4,可以分別考慮被2和9整除.

要被2整除，b只能是0,2,4,6,8.

再考慮被9整除，四個數字的和就要被9整除，已有7+4=11.

如果b=0,只有a=7,此數是7740；

如果b=2,只有a=5,此數是7542；

如果b=4,只有a=3,此數是7344；

如果b=6,只有a=l,此數是7146；

如果b=8,只有a=8,此數是7848.

因此其中最小數是7146.

根據不同的取值，分情況進行討論，是解決整數問題常用辦法，例1就是一個典型.

例2?本老賬本上記著：72只桶，共口67.9□元，其中□處是被蟲蛀掉的數字，請把這筆賬補上.

解：把口67.9口寫成整數679,它應被72整除.72=9X8,9與8又互質.按照前面的性質4,只要分別考慮

679被8和被9整除.從被8整除的特征，79要被8整除，因此b=2.從6792能被9整除，按照被9整除特征，各位數

字之和+24能被9整除,因此a=3.

這筆帳是367.92元.

例3在1,2,3,4,5,6六個數字中選出盡可能多的不同數字組成一個數（有些數字可以重復出現），使得

能被組成它的每一個數字整除，并且組成的數要盡可能小.

解：如果選數字5,組成數的最后一位數字就必須是5,這樣就不能被偶數2,4,6整除，也就是不能選2,4,

6.為了要選的不同數字盡可能多，我們只能不選5,而選其他五個數字1,2,3,4,6.1+2+3+4+6=16,為了能整除3

和6,所用的數字之和要能被3整除，只能再添上一個2,16+2=18能被3整除.為了盡可能小，又要考慮到最后兩位

數能被4整除.組成的數是

122364.

例4四位數7口4口能被55整除，求出所有這樣的四位數.

解：55=5X11,5與11互質，可以分別考慮被5與11整除.

要被5整除，個位數只能是0或5.

再考慮被11整除.

(7+4)-(百位數字+0)要能被11整除，百位數字只能是0,所得四位數是7040.

(7+4)-(百位數字+5)要能被11整除，百位數字只能是6(零能被所有不等于零的整數整除)，所得四位

數是7645.

滿足條件的四位數只有兩個：7040,7645.

例5一個七位數的各位數字互不相同，并且它能被11整除，這樣的數中，最大的是哪一個？

解：為了使這個數最大，先讓前五位是98765,設這個七位數是礪而

,要使它被11整除，要滿足

(9+7+5+b)-(8+6+a)=(21+b)-(14+a)

能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a與b只能是0,1,2,3,4中的兩個數，只有b=4,a

=0,滿足條件的最大七位數是9876504.

再介紹另一種解法.

先用各位數字均不相同的最大的七位數除以11(參見下頁除式).

要滿足題目的條件，這個數是9876543減6,或者再減去11的倍數中的一個數，使最后兩位數字是0,1,2,

3,4中的兩個數字.

897867

11/9876543

/88

107

99

86

77

74

66

43-6=37,37-11=26,26-11=15,15-11=4,因此這個數是9876504.

思考題：如果要求滿足條件的數最小，應如何去求，是哪一個數呢？

（答：1023495）

例6某個七位數1993口口口能被2,3,4,5,6,7,8,9都整除，那么它的最后三個數字組成的三位數是

多少？

與上例題一樣，有兩種解法.

解一：從整除特征考慮.

這個七位數的最后一?位數字顯然是0.

另外，只要再分別考慮它能被9,8,7整除.

1+9+9+3=22,要被9整除，十位與百位的數字和是5或14,要被8整除，最后三位組成的三位數要能被

8整除,因此只可能是下面三個數：

1993500,1993320,1993680,

其中只有199320能被7整除，因此所求的三位數是320.

解二：直接用除式來考慮.

2,3,4,5,6,7,8,9的最小公倍數是2520,這個七位數要被2520整除.

現在用1993000被2520來除,具體的除式如下:

79

2520/1993000

/17640

22900

22680

-2200

因為2520-2200=320,所以1993000+320=1993320能被2520整除.

例7下面這個41位數

20個520個9

能被7整除，中間方格代表的數字是幾?

解：因為111111=3X7X11X13X37,所以

555555=5X111111和999999=9X111111

都能被7整除.這樣，18個5和18個9分別組成的18位數，也都能被7整除.

原數=干..靴.”+55O99

18個523個0

右邊的三個加數中，前、后兩個數都能被7整除，那么只要中間的55口99能被7整除，原數就能被7整除.

把55口99拆成兩個數的和:

55A00+B99,

其中口=A+B.

因為7I55300,7I399,所以口=3+3=6.

注意，記住111111能被7整除是很有用的.

例8甲、乙兩人進行下面的游戲.

兩人先約定一個整數N.然后，由甲開始，輪流把0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十個數字之一填入下面任一

個方格中

每一方格只填一個數字，六個方格都填上數字（數字可重復）后，就形成一個六位數.如果這個六位數能被N

整除，就算乙勝；如果這個六位數不能被N整除，就算甲勝.

如果N小于15,當N取哪幾個數時，乙能取勝?

解：N取偶數，甲可以在最右邊方格里填一個奇數（六位數的個位），就使六位數不能被N整除，乙不能獲勝.N

=5,甲可以在六位數的個位，填一個不是。或5的數，甲就獲勝.

上面已經列出乙不能獲勝的N的取值.

如果N=l,很明顯乙必獲勝.

如果N=3或9,那么乙在填最后一個數時，總是能把六個數字之和，湊成3的整數倍或9的整數倍.因此，乙

必能獲勝.

考慮N=7,11,13是本題最困難的情況.注意到1001=7X11X13,乙就有一種必勝的辦法.我們從左往右數

這六個格子，把第一與第四，第二與第五，第三與第六配對，甲在一對格子的一格上填某一個數字后，乙就在這一對

格子的另一格上填同樣的數字，這就保證所填成的六位數能被1001整除.根據前面講到的性質2,這個六位數，能被7,

11或13整除，乙就能獲勝.

綜合起來，使乙能獲勝的N是1,3,7,9,11,13.

記住，1001=7X11X13,在數學競賽或者做智力測驗題時，常常是有用的.

二、分解質因數

一個整數，它的約數只有1和它本身，就稱為質數（也叫素數）.例如，2,5,7,101,….一個整數除1和

它本身外，還有其他約數，就稱為合數.例如，4,12,99,501,….1不是質數，也不是合數.也可以換一種說法，恰

好只有兩個約數的整數是質數，至少有3個約數的整數是合數，1只有一個約數，也就是它本身.

質數中只有一個偶數，就是2,其他質數都是奇數.但是奇數不一定是質數，例如，15,33,

例9O+（□+△）=209.

在。、□、△中各填一個質數，使上面算式成立.

解：209可以寫成兩個質數的乘積，即

209=11X19.

不論。中填11或19,□+△一定是奇數，那么□與△是一個奇數一個偶數，偶質數只有2,不妨假定△內填

2.當。填19,口要填9,9不是質數，因此。填11,而□填17.

這個算式是11X(17+2)=209,

11X(2+17)=209.

解例9的首要一步是把209分解成兩個質數的乘積.把一個整數分解成若干個整數的乘積，特別是一些質數的

乘積，是解決整數問題的一種常用方法，這也是這一節所講述的主要內容.

一個整數的因數中，為質數的因數叫做這個整數的質因數，例如，2,3,7,都是42的質因數，6,14也是

42的因數，但不是質因數.

任何一個合數，如果不考慮因數的順序，都可以唯一地表示成質因數乘積的形式，例如

360=2X2X2X3X3X5.

還可以寫成360=23X32X5.

這里2。表示3個2相乘，3?表示2個3相乘.在2^中，3稱為2的指數，讀作2的3次方，在中，2稱為3

的指數，讀作3的2次方.

例10有四個學生，他們的年齡恰好是一個比一個大1歲，而他們的年齡的乘積是5040,那么，他們的年齡

各是多少？

解：我們先把5040分解質因數

5040=2'X32X5X7.

再把這些質因數湊成四個連續自然數的乘積：

2'X32X5X7=7X8X9X10.

所以，這四名學生的年齡分別是7歲、8歲、9歲和10歲.

利用合數的質因數分解式，不難求出該數的約數個數（包括1和它本身）.為尋求一般方法，先看一個簡單的

例子.

我們知道24的約數有8個：1,2,3,4,6,8,12,24.對于較大的數，如果一個個地去找它的約數，將

是很麻煩的事.

因為24=2、X3,所以24的約數是2,的約數（1,2,2%23）與3的約數（1,3）之間的兩兩乘積.

1X1,1X3,2X1,2X3,22X1,22X3,23X1,23X3.

這里有4X2=8個，即(3+1)X(1+1)個，即對于24=2，X3中的2、有(3+1)種選擇：1,2,22,

23,對于3有(1+1)種選擇.因此共有(3+1)X(1+1)種選擇.

這個方法，可以運用到一般情形，例如，

144=2'X3：

因此144的約數個數是(4+1)X(2+1)=15(個).

例11在100至150之間，找出約數個數是8的所有整數.

解：有8=7+1；8=(3+1)X(1+1)兩種情況.

(1)27=128,符合要求，

37>150,所以不再有其他7次方的數符合要求.

(2)23=8,

8X13=104,8X17=136,符合要求.

3?27；

只有27X5=135符合要求.

5，=135,它乘以任何質數都大于150,因此共有4個數合要求：128,104,135,136.

利用質因數的分解可以求出若干個整數的最大公約數和最小公倍數.先把它們各自進行質因數分解，例如

720=24X32X5,168=2：'X3X7.

那么每個公共質因數的最低指數次方的乘積就是最大公約數，上面兩個整數都含有質因數2,較低指數次方是

23,類似地都含有3,因此720與168的最大公約數是

2嘆3=24.

在求最小公倍數時，很明顯每個質因數的最高指數次方的乘積是最小公倍數.請注意720中有5,而168中無

5,可以認為較高指數次方是51=5.720與168的最小公倍數是

2'X32X5X7=5040.

例12兩個數的最小公倍數是180,最大公約數是30,已知其中一個數是90,另一個數是多少？

解：180=22X32X5,

30=2X3X5.

對同一質因數來說，最小公倍數是在兩數中取次數較高的，而最大公約數是在兩數中取次數較低的，從乎與

2就知道，一數中含22,另一數中含2；從3?與3就知道，一數中含另一數中含3,從-數是

90=2X32X5.

就知道另一數是

22X3X5=60.

還有一種解法：

另一數一定是最大公約數30的整數倍，也就是在下面這些數中去找

30,60,90,120,….

這就需要逐一檢驗，與90的最小公倍數是否是180,最大公約數是否是30.現在碰巧第二個數60就是.逐一

去檢驗，有時會較費力.

例13有一種最簡真分數，它們的分子與分母的乘積都是420.如果把所有這樣的分數從小到大排列，那么第

三個分數是多少？

解：把420分解質因數

420=2X2X3X5X7.

為了保證分子、分母不能約分（否則約分后，分子與分母的乘積不再是420了），相同質因數（上面分解中

的2）,要么都在分子，要么都在分母，并且分子應小于分母.分子從小到大排列是

1,3,4,5,7,12,15,20.

分子再大就要超過分母了，它們相應的分數是

420*140*105（84s60,35,詆’21'

從小到大排列中第三個是條.

兩個整數，如果它們的最大公約數是1.就稱這兩個數是互質的.

例13實質上是把420分解成兩個互質的整數.

利用質因數分解，把一個整數分解成若干個整數的乘積，是非常基本又是很有用的方法，再舉三個例題.

例14將8個數6,24,45,65,77,78,105,110分成兩組，每組4個數，并且每組4個數的乘積相等，請

寫出一種分組.

解：要想每組4個數的乘積相等，就要讓每組的質因數一樣，并且相同質因數的個數也一樣才行.把8個數分

解質因數.

6=2X3,24=2詠3,

45=32X5,65=5X13,

77=7X11,78=2X3X13,

105=3X5X7,110=2X5X11.

先放指數最高的質因數，把24放在第一組，為了使第二組里也有三個2的因子，必須把6,78,110放在第

二組中，為了平衡質因數11和13,必須把77和65放在第一組中.看質因數7,105應放在第二組中，45放在第一組

中，得到

第一組：24,65,77,45.

第二組：6,78,110,105.

在講述下一例題之前，先介紹一個數學名詞一完全平方數.

一個整數，可以分解成相同的兩個整數的乘積，就稱為完全平方數.

例如：4=2X2,9=3X3,144=12X12,625=25X25.4,9,144,625都是完全平方數.

一個完全平方數寫出質因數分解后，每一個質因數的次數，一定是偶數.

例如：144=32*4:100=22X5\…

例15甲數有9個約數，乙數有10個約數，甲、乙兩數最小公倍數是2800,那么甲數和乙數分別是多少？

解：一個整數被它的約數除后，所得的商也是它的約數，這樣的兩個約數可以配成一對..只有配成對的兩個約

數相同時，也就是這個數是完全平方數時，它的約數的個數才會是奇數.因此，甲數是一個完全平方數.

2800=2'X52X7.

在它含有的約數中是完全平方數，只有

1,22,24,52,22X52,2'X52.

在這6個數中只有22義52=100,它的約數是（2+1）X（2+1）=9（個）.

2800是甲、乙兩數的最小公倍數，上面已算出甲數是100=22義52,因此乙數至少要含有2,和7,而2嘆7=

112恰好有（4+1）X（1+1）=10（個）約數，從而乙數就是112.

綜合起來，甲數是100,乙數是112.

例16小明買紅藍兩種筆各1支共用了17元.兩種筆的單價都是整元，并且紅筆比藍筆貴.小強打算用35元來

買這兩種筆（也允許只買其中一種），可是他無論怎么買都不能把35元恰好用完，問紅筆、藍筆每支各多少元？

解：35=5X7.紅、藍的單價不能是5元或7元（否則能把35元恰好用完）,也不能是17-5=12（元）和17-7

=10（元），否則另一種筆1支是5元或7元.

記住：對筆價來說，已排除了5,7,10,12這四個數.

筆價不能是35-17=18（元）的約數.如果筆價是18的約數，就能把18元恰好都買成筆，再把17元買兩種筆

各一支，這樣就把35元恰好用完了.因此筆價不能是18的約數：1,2,3,6,9.

當然也不能是17-1=16,17-2=15,17-3=14,17-6=11,17-9=8.現在筆價又排除了：

1,2,3,6,8,9,11,14,15,16.

綜合兩次排除，只有4與13未被排除，而4+13=17,就知道紅筆每支13元，藍筆每支4元.

三、余數

在整數除法運算中，除了前面說過的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如95+3,48+5.不

能整除就產生了余數.通常的表示是:

65+3=212,38+5=73.

上面兩個算式中2和3就是余數，寫成文字是

被除數+除數=商……余數.

上面兩個算式可以寫成

65=3X21+2,38=5X7+3.

也就是

被除數=除數X商+余數.

通常把這一算式稱為帶余除式，它使我們容易從“余數”出發去考慮問題，這正是某些整數問題所需要的.

特別要提請注意：在帶余除式中，余數總是比除數小，這一事實，解題時常作為依據.

例175397被?個質數除，所得余數是15.求這個質數.

解：這個質數能整除

5397T5=5382,

而5382=2X3^X13X23.

因為除數要比余數15大，除數又是質數，所以它只能是23.

當被除數較大時，求余數的一個簡便方法是從被除數中逐次去掉除數的整數倍，從而得到余數.

例18求645763除以7的余數.

解：可以先去掉7的倍數630000余15763,再去掉14000還余下1763,再去掉1400余下363,再去掉350

余13,最后得出余數是6.這個過程可簡單地記成

645763-15763fl763f363f13f6.

如果你演算能力強，上面過程可以更簡單地寫成：

645763—15000-1000-6.

帶余除法可以得出卜面很有用的結論:

如果兩個數被同一個除數除余數相同，那么這兩個數之差就能被那個除數整除.

例19有一個大于1的整數，它除967,1000,2001得到相同的余數，那么這個整數是多少？

解：由上面的結論,所求整數應能整除967,1000,2001的兩兩之差,即

1000-967=33=3X11,

2001-1000=1001=7X11X13,

2001-967=1034=2X11X47.

這個整數是這三個差的公約數11.

請注意，我們不必求出三個差，只要求出其中兩個就夠了.因為另一個差總可以由這兩個差得到.

例如，求出差1000-967與2001-1000,

那么差

2001-967=(2001-1000)+(1000-967)

=1001+33

=1034.

從帶余除式，還可以得出下面結論：

甲、乙兩數，如果被同一除數來除，得到兩個余數，那么甲、乙兩數之和被這個除數除，它的余數就是兩個

余數之和被這個除數除所得的余數.

例如，57被13除余5,152被13除余9,那么57+152=209被13除，余數是5+9=14被13除的余數1.

例20有一串數排成一行，其中第一個數是15,第二個數是40,從第三個數起，每個數恰好是前面兩個數的

和，問這串數中，第1998個數被3除的余數是多少？

解：我們可以按照題目的條件把這串數寫出來，再看每一個數被3除的余數有什么規律，但這樣做太麻煩.根

據上面說到的結論，可以采取下面的做法，從第三個數起，把前兩個數被3除所得的余數相加，然后除以3,就得到這

個數被3除的余數，這樣就很容易算出前十個數被3除的余數，列表如下:

數的序號—二三四五六七A九十

被3除余數0112022101

從表中可以看出，第九、第十兩數被3除的余數與第一、第二兩個數被3除的余數相同.因此這一串數被3除

的余數，每八個循環一次，因為

1998=8X249+6,

所以，第1998個數被3除的余數，應與第六個數被3除的余數一樣，也就是2.

一些有規律的數，常常會循環地出現.我們的計算方法，就是循環制.計算鐘點是

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.

這十二個數構成一個循環.

按照七天一輪計算天數是

日，一，二，三，四，五，六.

這也是--個循環，相當于一些連續自然數被7除的余數

0,1,2,3,4,5,6

的循環.用循環制計算時間：鐘表、星期、月、四季，說明人們很早就發現循環現象.用數來反映循環現象也

是很自然的事.

循環現象，我們還稱作具有“周期性”，12個數的循環，就說周期是12,7個數的循環，就說周期是7.例20

中余數的周期是8.研究數的循環，發現周期性和確定周期，是很有趣的事.

下面我們再舉出兩個余數出現循環現象的例子.在講述例題之前，再講一個從帶余除式得出的結論：

甲、乙兩數被同一除數來除，得到兩個余數.那么甲、乙兩數的積被這個除數除，它的余數就是兩個余數的積，

被這個除數除所得的余數.

例如，37被11除余4,27被11除余5,37X27=999被11除的余數是4義5=20被11除后的余數9.

1997=7X285+2,就知道1997X1997被7除的余數是2X2=4.

例2119-被7除余幾?

解：從上面的結論知道，19眄被7除的余數與2,被7除的余數相同.我們只要考慮一些2的連乘，被7除的

余數.

先寫出一列數

2,2X2=4,2X2X2=8,

2X2X2X2=16,—.

然后逐個用7去除，列一張表，看看有什么規律.列表如下：

數的序號—二三四五六七A

數248163264128256

被7除的余數24124124

事實上，只要用前一個數被7除的余數，乘以2,再被7除，就可以得到后一個數被7除的余數.（為什么？

請想一想.）

從表中可以看出，第四個數與第一個數的余數相同，都是2.根據上面對余數的計算，就知道，第五個數與第

二個數余數相同，……因此，余數是每隔3個數循環一輪.循環的周期是3.

1997=3X665+2.

就知道2'所被7除的余數，與2'即被7除的余數相同，這個余數是4.

再看一個稍復雜的例子.

例2270個數排成一行，除了兩頭的兩個數以外，每個數的三倍都恰好等于它兩邊兩個數的和.這一行最左邊

的兒個數是這樣的：

0,1,3,8,21,55,

問：最右邊一個數（第70個數）被6除余幾?

解：首先要注意到，從第三個數起，每一個數都恰好等于前一個數的3倍減去再前一個數:

3=1X3-O,

8=3X3T,

21=8X3-3,

55=21X3-8,

不過，真的要一個一個地算下去，然后逐個被6去除，那就太麻煩了.能否從前面的余數，算出后面的余數呢？

能！同算出這一行數的辦法一樣（為什么？），從第三個數起，余數的計算辦法如下：

將前一個數的余數乘3,減去再前一個數的余數，然后被6除，所得余數即是.

用這個辦法，可以逐個算出余數，列表如下：

數的序號一二三四五六七八九十十一十二十三十四

數01382155144377-

被6除的余數01323105343501

注意，在算第八個數的余數時，要出現0X37這在小學數學范圍不允許，因為我們求被6除的余數，所以我

們可以0X3加6再來減1.

從表中可以看出，第十三、第十四個數的余數，與第一、第二個數的余數對應相同，就知道余數的循環周期

是12.

70=12X5+10.

因此，第七十個數被6除的余數，與第十個數的余數相同，也就是4.

在一?千多年前的《孫子算經》中，有這樣一道算術題：

“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”按照今天的話來說：

一個數除以3余2,除以5余3,除以7余2,求這個數.

這樣的問題，也有人稱為“韓信點兵”.它形成了?類問題，也就是初等數論中解同余式.這類問題的有解條

件和解的方法被稱為“中國剩余定理”，這是由中國人首先提出的.目前許多小學數學的課外讀物都喜歡講這類問題，

但是它的一般解法決不是小學生能弄明白的.這里，我們通過兩個例題，對較小的數，介紹一種通俗解法.

例23有一個數，除以3余2,除以4余1,問這個數除以12余幾？

解：除以3余2的數有：

2,5,8,11,14,17,20,23-.

它們除以12的余數是：

2,5,8,11,2,5,8,11,—.

除以4余1的數有：

1,5,9,13,17,21,25,29,….

它們除以12的余數是：

1,5,9,1,5,9,

一個數除以12的余數是唯一的.上面兩行余數中，只有一5是共同的，因此這個數除以12的余數是5.

上面解法中，我們逐個列出被3除余2的整數，又逐個列出被4除余1的整數，然后逐個考慮被12除的余數,

找出兩者共同的余數，就是被12除的余數.這樣的列舉的辦法，在考慮的數不大時，是很有用的，也是同學們最容易

接受的.

如果我們把例23的問題改變一下，不求被12除的余數，而是求這個數.很明顯，滿足條件的數是很多的，它

是

5+12X整數，

整數可以取0,1,2,無窮無盡.事實上，我們首先找出5后，注意到12是3與4的最小公倍數，再加上

12的整數倍，就都是滿足條件的數.這樣就是把“除以3余2,除以4余1”兩個條件合并成“除以12余5”一個條件.

《孫子算經》提出的問題有三個條件，我們可以先把兩個條件合并成一個.然后再與第三個條件合并，就可找到答案.

例24一個數除以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合條件的最小數.

解：先列出除以3余2的數:

2,5,8,11,14,17,20,23,26,?

再列出除以5余3的數：

3,8,13,18,23,28,—.

這兩列數中，首先出現的公共數是8.3與5的最小公倍數是15.兩個條件合并成一個就是

8+15X整數，

列出這一串數是

8,23,38,…，

再列出除以7余2的數

2,9,16,23,30,…，

就得出符合題目條件的最小數是23.

事實上，我們已把題目中三個條件合并成一個：被105除余23.

最后再看一個例子.

例25在100至200之間，有三個連續的自然數，其中最小的能被3整除，中間的能被5整除，最大的能被7

整除，寫出這樣的三個連續自然數.

解：先找出兩個連續自然數，第一個能被3整除，第二個能被5整除（又是被3除余1）.例如，找出9和10,

下一個連續的自然數是11.

3和5的最小公倍數是15,考慮11加15的整數倍，使加得的數能被7整除.11+15X3=56能被7整除，那

么54,55,56這三個連續自然數，依次分別能被3,5,7整除.

為了滿足“在100至200之間”將54,55,56分別加上3,5,7的最小公倍數105.所求三數是

159,160,161.

注意，本題實際上是：求一個數（100?200之間），它被3整除，被5除余4,被7除余5.請考慮，本題解

法與例24解法有哪些相同之處？

推理原理

解數學題，從已知條件到未知的結論，除了計算外，更重要的一個方面就是推理。通常，我們把主要依靠

推理來解的數學題稱為推理問題。

【例1】有一座四層樓(圖25T),每層樓有3個窗戶，每個窗戶有4塊玻璃，分別是白色和藍色，

每個窗戶代表一個數字，從左到右表示一個三位數，四個樓層所表示的三位數分別是791,275,362,612。那

么，第二層樓代表哪個三位數？

圖25-1

【分析】仔細觀察圖25-1和組成四個三位數的12個數字，“2”出現3次，兩次在個位，次在百

位。容易看出圖2(a)代表“2”，再從“6”、“7”都出現兩次,并根據它們所在的數位以及與“2”的關系,

可推知：圖25-2中(b)、(c)分別代表“6”和“7”。

(a)0>)

圖25-2

【解】第二層樓代表612。

【例2】有8個球編號是①至⑧，其中有6個球一樣重，另外兩個球都輕1克。為了找出這兩個輕球,

用天平稱了3次。結果如下：

第一次①+②比③+④重

第二次⑤+⑥比⑦+⑧輕

第三次①+③+⑤與②+④+⑧一樣重，那么，兩個輕球的編號是—和

【分析】從第一次稱的結果看，③、④兩球中有一個輕；從第二次稱的結果看，⑤、⑥兩球中有一個

輕；從第三次稱的結果看，①、③、⑤三球中有一個輕，②、④、⑧三個球中也有一個輕。綜合上面推出的結

果，可找出兩個輕球。

【解】兩個輕球的編號是④和⑤。

說明：在上面的推理中，我們省去了一步，也就是：排除了①、③、⑤與②、④、⑧中都沒有輕球的

那種可能。因為容易用反證法導出“⑥、⑦”都是輕球”這一結論與第二次稱的結果相矛盾。

【例3】如圖25-3,每個正方體的六個面上分別寫著1?6這六個數字，并且任意兩個相對的面上所

寫的兩個數字之和都等于7。把這樣的五個正方體一個挨著一個連接起來后，緊挨著的兩個面上兩個數字之和

都等于8。圖3中打“？”的這個面上所寫的數字是一。

圖25-3

【分析】根據題意，容易推知拐彎處的那個正方體的右側面上寫的數字可能是“2”，也可能是“5”。

但用反證法可把第1種情況排除。怎樣排除？（留給讀者完成）

【解】打"？”的這面上寫著“3”。

【例4】德國隊、意大利隊、荷蘭隊進行一次足球比賽，每隊與另兩支隊各賽一場。已知：（1）意大

利隊總進球數是0,并且有一場打了平局；（2）荷蘭隊總進球數是1,總失球數是2,并且該隊恰好勝了一