《人教版九年級上冊全書教案》2.二次根式的乘法、除法的條件限制.

第二十一章二次根式3.利用最簡二次根式的概念把一個二次根式化成最簡二次根式.

教材內(nèi)容教學(xué)關(guān)鍵

1.本單元教學(xué)的主要內(nèi)容：1.潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生從具體到一般的推理能力，突出重點，突

二次根式的概念；二次根式的加減；：次根式的乘除；最簡：次破難點.

根式.2.培養(yǎng)學(xué)生利用二次根式的規(guī)定和重要結(jié)論進(jìn)行準(zhǔn)確計算的能

2.本單元在教材中的地位和作用：力，培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍的科學(xué)精神.

二次根式是在學(xué)完了八年級下冊第十七章《反比例正函數(shù)》、第單元課時劃分

十八章《勾股定理及其應(yīng)用》等內(nèi)容的基礎(chǔ)之上繼續(xù)學(xué)習(xí)的，它也是本單元教學(xué)時間約需11課時，具體分配如下:

今后學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ).21.1二次根式3課時

教學(xué)目標(biāo)21.2二次根式的乘法3課時

1.知識與技能21.3二次根式的加減3課時

(1)理解二次根式的概念.教學(xué)活動、習(xí)題課、小結(jié)2課時

(2)理解JZ(a20)是一個非負(fù)數(shù)，(JZ)2=a(a>0),后=a

(a》0).

(3)掌握五'4b=y[ab(a>0,b>0),s[ab=y/a-y/b：

s/a[a[a4a

——=A一(a20,b>0),/一=尸(a20,b>0).

4b\b\b4b

(4)了解最簡二次根式的概念并靈活運用它們對二次根式進(jìn)行加

減.

2.過程與方法

(1)先提出問題，讓學(xué)生探討、分析問題，師生共同歸納，得出

概念.再對概念的內(nèi)涵進(jìn)行分析，得出幾個重要結(jié)論，并運用這些重

要結(jié)論進(jìn)行二次根式的計算和化簡.

(2)用具體數(shù)據(jù)探究規(guī)律，用不完全歸納法得出二次根式的乘

(除)法規(guī)定，并運用規(guī)定進(jìn)行計算.

(3)利用逆向思維，得出二次根式的乘(除)法規(guī)定的逆向等

式并運用它進(jìn)行化簡.

(4)通過分析前面的計算和化簡結(jié)果，抓住它們的共同特點，

給出最簡二次根式的概念.利用最簡二次根式的概念，來對相同的二

次根式進(jìn)行合并，達(dá)到對二次根式進(jìn)行計算和化簡的目的.

3.情感、態(tài)度與價值觀

通過本單元的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計算和化簡的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?/p>

科學(xué)精神，經(jīng)過探索二次根式的重要結(jié)論，二次根式的乘除規(guī)定，發(fā)

展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

教學(xué)重點

1.二次根式JZ(a>0)的內(nèi)涵.4a(a>0)是一個非負(fù)數(shù)；

()2=a(a>0)；J^=a(a>0)及其運用.

2.二次根式乘除法的規(guī)定及其運用.

3.最簡二次根式的概念.

4.二次根式的加減運算.

教學(xué)難點

1.對JZ(a>0)是?個非負(fù)數(shù)的理解；對等式(JZ)2=a

(a&O)及J/=a(a>0)的理解及應(yīng)用.

21.1二次根式老師點評：(略)

第一課時例1.下列式子，哪些是二次根式,哪些不是二次根式：6、霏、

教學(xué)內(nèi)容

二次根式的概念及其運用

一、Vx(x>0)、Vo,痣、-6、------、Jx+y(x》o,

教學(xué)目標(biāo)

xx+y

理解二次根式的概念，并利用(a20)的意義解答具體題目.

y>0).

提出問題，根據(jù)問題給出概念，應(yīng)用概念解決實際問題.

分析：二次根式應(yīng)滿足兩個條件：第一，有二次根號“7廠”；

教學(xué)重難點關(guān)鍵

1.重點：形如JZ(a>0)的式子叫做二次根式的概念；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0.

解：二次根式有：J5、\[x(X>O)、J6、-J5、y/x+y

2.難點與關(guān)鍵：利用“4a(a/0)”解決具體問題.

(x>0,y^O)；不是二次根式的有：0蚯、」一

教學(xué)過程

xx+y

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動)請同學(xué)們獨立完成下列三個問題：

例2.當(dāng)x是多少時，J3X-1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?

3

問題1：已知反比例函數(shù)丫=一，那么它的圖象在第一象限橫、

x分析：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0,

縱坐標(biāo)相等的點的坐標(biāo)是.

所以3x-l/0,,3x-l才能有意義.

問題2：如圖，在直角三角形ABC中，AC=3,BC=1,ZC=90

°,那么AB邊的長是.

解：由3x-120,得：x2一

3

當(dāng)X》!時，J3x—1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.

3

三、鞏固練習(xí)

教材P練習(xí)1、2、3.

四、應(yīng)用拓展

問題3：甲射擊6次，各次擊中的環(huán)數(shù)如下：8,7、9,9、7,8,例3.當(dāng)X是多少時，,2x+3+」一在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?

那么甲這次射擊的方差是S2,那么S=.X+1

老師點評：分析：要使J2x+3+」一在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,必須同時滿

問題1：橫、縱坐標(biāo)相等，即x=y,所以x?=3.因為點在第象X+1

限，所以x=J3,所以所求點的坐標(biāo)(6,5.足j2x+3中的20和」一中的x+lHO.

X+1

問題2：由勾股定理得AB=jm2x+3>0

解:依題意，得<

x+1

問題3：由方差的概念得5=.-3

V6由①得：x2?一

2

二、探索新知由②得：xW-1

3]

|,都是一些正數(shù)的算術(shù)平方根.像這當(dāng)X》--且xH-l時，V2X+3+——在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.

很明顯G、回、2x+1

例4(1)已知y=J2-X+JX-2+5,求土的值.(答案:2)

樣一些正數(shù)的算術(shù)平方根的式子，我們就把它稱二次根式.因此，■

y

般地，我們把形如&(a》0)的式子叫做二次根式，“、廠”稱

(2)若力+1+"-1=0,求azom+b?004的值.(答案：2)

為二次根號.

(學(xué)生活動)議一議：五、歸納小結(jié)(學(xué)生活動，老師點評)

1.-1有算術(shù)平方根嗎？本節(jié)課要掌握：

2.0的算術(shù)平方根是多少？1.形如J)(a>0)的式子叫做二次根式，稱為二次

3.當(dāng)a<0,&有意義嗎？

根號.

2.要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負(fù)1

3.-

數(shù).3

六、布置作業(yè)4.B

1.教材P.復(fù)習(xí)鞏固1、綜合應(yīng)用5.5.a=5,b=-4

2.選用課時作業(yè)設(shè)計.

3.課后作業(yè)：《同步訓(xùn)練》

21.1二次根式(2)

第一課時作業(yè)設(shè)計第二課時

一、選擇題教學(xué)內(nèi)容

1.下列式子中，是二次根式的是()1.4a(a20)是一個非負(fù)數(shù)；

A.-V?B.近C.\[xD.x

2.(\[a)2=a(a^O).

2.下列式子中，不是二次根式的是()

A.A/4B.V16C.VsD.—教學(xué)目標(biāo)

X理解及(a>0)是一個非負(fù)數(shù)和(y[a)2=a(a>0),并利用

3.已知一個正方形的面積是5,那么它的邊長是()

A.5B.J5C.|D.以上皆不對它們進(jìn)行計算和化簡.

通過復(fù)習(xí)二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出(a20)

二、填空題

1.形如的式子叫做二次根式.是一個非負(fù)數(shù)，用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義導(dǎo)出(五)2=2

2.面積為a的正方形的邊長為.

3.負(fù)數(shù)平方根.(a>0)；最后運用結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)解題.

三、綜合提高題教學(xué)重難點關(guān)鍵

1.某工廠要制作一批體積為In?的產(chǎn)品包裝盒，其高為0.2m,1.重點：4a(a^O)是一個非負(fù)數(shù)；(JZ)2=a(ae0)及

按設(shè)計需要，底面應(yīng)做成正方形，試問底面邊長應(yīng)是多少？

其運用.

J2x+3

2.當(dāng)x是多少時，----+x?在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？2.難點、關(guān)鍵：用分類思想的方法導(dǎo)出JZ(a>0)是一個非

X

3.若j3-x+Jx—3有意義,貝.負(fù)數(shù);用探究的方法導(dǎo)出(JZ)2=a(a>0).

4.使式子」一(％—5)2有意義的未知數(shù)x有()個.教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

A.0B.1C.2D.無數(shù)(學(xué)生活動)口答

1.什么叫二次根式？

5.已知a、b為實數(shù)，且yJci—5+2yJlO—2a=b+4,求a、b的

2.當(dāng)a>0時，JZ叫什么？當(dāng)a<0時，后有意義嗎？

值.

老師點評(略).

第一課時作業(yè)設(shè)計答案：二、探究新知

-、1.A2.D3.B議一議：(學(xué)生分組討論，提問解答)

二、1.>Ja(a>0)2.4a3.沒有4a(a>0)是??個什么數(shù)呢？

老師點評：根據(jù)學(xué)生討論和上面的練習(xí)，我們可以得出

三、1.設(shè)底面邊長為x,則02x2=1,解答：X=A/5.

y[a(a》0)是一個非負(fù)數(shù).

7

2x+3>0做一做：根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：

2.依題意得：〈2

xw0

xw0(V4)2=；(V2)2=；(亞)2=;

()2；

3j2x+3,G=

/.當(dāng)x>-—且x*o時，--------+x?在實數(shù)范圍內(nèi)沒有意義.

2x

(卜=——；?2=———C)2=----------------

22

老師點評：衣是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，V?(3)Va+2a+I=(a+1)

又?:(a+1)2^0,Aa^a+l>O,二J。？+24+1=a?+2a+1

是一個平方等于4的非負(fù)數(shù)，因此有(〉2=4.

(4)V4X2-12X+9=(2X)2-2?2x-3+32=(2x-3)2

又」(2x-3)2>0

同理可得：()2=2,(J5)2=9,

.,.4X2-12X+9^0,/.(A/4X2-12x+9)2=4X2-12X+9

?pj7例3在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

一,(.—)2=—,(-\/0)=(J,所以

(1)X2-3(2)X4-4(3)2X2-3

3V22

分析：(略)

五、歸納小結(jié)

()2=a(a,0)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

例1計算1.\[a(a>0)是一個非負(fù)數(shù)；

2.(右)\a(a'0);反之:a=(后)z(a,0).

六、布置作業(yè)

1.教材Px復(fù)習(xí)鞏固2.(1),(2)P,7.

分析：我們可以直接利用()2=a<a>0)的結(jié)論解題.

2.選用課時作業(yè)設(shè)計.

633.課后作業(yè)：《同步訓(xùn)練》

2222

解：(J—)2=—,(3V5)=3?(V5)=37=45,第二課時作業(yè)設(shè)計

V22

一、選擇題

[55V7卜?列各式中J15、Y3a、y/b~—1、+h~、

2「噂_71.

V662224

V/n2+20、J-144,二次根式的個數(shù)是().

三、鞏固練習(xí)

計算卜.列各式的值：A.4B.3C.2D.1

數(shù)沒有算術(shù)平方根，則的取值范圍是().

M22.aa

222(Vo)(4./-)

(V18)(J-)(—)2A.a>0B.a>0C.a<0D.a=0

\34\8

二、填空題

2

1.(-)2=.

(3⑹2—(5揚2

2.已知Jx+1有意義,那么是一個數(shù).

四、應(yīng)用拓展

例2計算三、綜合提高題

21.計算

1.(y/x+l)2(x>0)2.(-Jo^)3.(Vfl2+2a+l)

(1)(V9)2(2)-(JJ)2(3)(-V6)2(4)

2

4.(J4x2—12x+9)3

分析：(1)因為x》0,所以x+l>0；(2)a2>0；(3)a2+2a+l=

(a+1)20；⑸(26+30)(2^-3&)

(4)4X2-I2X+9=(2X)2-2?2x?3+32=(2x-3)2>0.

所以上面的4題都可以運用(Va)2=a(a>0)的重要結(jié)論解2.把下列非負(fù)數(shù)寫成一個數(shù)的平方的形式：

1

(1)5(2)3.4(3)-(4)x(x>0)

題.6

解：(I)因為x》0,所以x+l>03.已知yjx-y+i+y/x-3=0,求xy的值.

(y/x+1)2=x+l

4.在實數(shù)范圍內(nèi)分解卜列因式：

(1)X2-2(2)X4-93X2-5

(2)Va2>0,2=a2

第二課時作業(yè)設(shè)計答案:3.(Vfl)2=a(a>0).

一、1.B2.C

二、1.32.非負(fù)數(shù)那么，我們猜想當(dāng)a00時，必=2是否也成立呢？下面我們就

來探究這個問題.

二、探究新知

(學(xué)生活動)填空:

萬.；Vo.oi2

2.⑴5=(6)2(2)3.4=(>/34)2

：=________

1，)2(4)x=(4)2(x>0)

(3)-(老師點評)：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，我們可以得到:

6

V?=2；Vo.oi2=0.01；12

x-y+1=0x=3

3.5vxy=34=81103

x-3=o[y=4

4.(1)X2-2=(x+V2)(x--\/2)

(2)X4-9=(X2+3)(X2-3)=(X2+3)(x+)(x-\[?>)因此，一般地：y[cT=a(a,0)

⑶略例1化簡

(1)V9(2)7(-4)2(3)V25(4)J(-3)2

分析：因為(析9=-32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,

(4)(-3)2=32,所以都可運用J/=a(a>0)去化簡.

21.1二次根式(3)

第三課時

解：⑴A/9==3(2)4)-==4

教學(xué)內(nèi)容

(3)J25=V^'=5(4)J(-3)2=V^'=3

=a(a>0)

教學(xué)目標(biāo)三、鞏固練習(xí)

理解J/=a(a>0)并利用它進(jìn)行計算和化簡.教材P,練習(xí)2.

四、應(yīng)用拓展

通過具體數(shù)據(jù)的解答，探究J/=a(a》0),并利用這個結(jié)論

例2填空:當(dāng)a>0時，=_____:當(dāng)a<0時，=

解決具體問題.并根據(jù)這一性質(zhì)回答下列問題.

教學(xué)重難點關(guān)鍵(1)若選=a,則a可以是什么數(shù)？

1.重點：=a(a>0).

(2)若J7=-a,則a可以是什么數(shù)？

2.難點：探究結(jié)論.

3.關(guān)鍵：講清a>0時，]/=2才成立.(3)J/>a,則a可以是什么數(shù)？

教學(xué)過程分析：???J/=a(a>0),.?.要填第一個空格可以根據(jù)這個結(jié)

一、復(fù)習(xí)引入

老師口述并板收上兩節(jié)課的重要內(nèi)容；論，第二空格就不行，應(yīng)變形，使“()2”中的數(shù)是正數(shù)，因為，

1.形如JZ(a/0)的式子叫做二次根式；當(dāng)aWO時，,6(2=,那么-a/0.

2.4a(a&0)是一個非負(fù)數(shù)；(1)根據(jù)結(jié)論求條件；(2)根據(jù)第二個填空的分析，逆向思想;

(3)根據(jù)(1)、(2)可知J/=|aI，而IaI要大于a,只有什

么時候才能保證呢？a<0.兩種解答中，的解答是錯誤的，錯誤的原因是

解：(1)因為J/=a,所以a20：

2.若|1995-a|+J"2000=a,求aT9952的值.

(2)因為J7=-a,所以aWO；

(提示：先由a-2000N0,判斷1995-a的值是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，

(3)因為當(dāng)a20時J7=a,要使J7>a,即使a>a所以a去掉絕對值)

3.若-3WxW2時，試化簡|x-2|

不存在；當(dāng)a<0時，V?=-a,要使J/>a,即使-a〉a,a<0綜上,+J(X+3>+JX2-1()X+25。

a<0

答案：

例3當(dāng)x〉2,化簡J(x-2)2-J(1-2x)~.

一、1.C2.A

分析：(略)二、1.-0.022.5

五、歸納小結(jié)三、1.甲甲沒有先判定ba是正數(shù)還是負(fù)數(shù)

本節(jié)課應(yīng)掌握：J/=a(a00)及其運用，同時理解當(dāng)a<0時,2.由已知得a-2000&0,a>2000

所以a-1995+y/d—2000=a,y/ci—2000=1995,

必=-a的應(yīng)用拓展.

a-2000=19952,

六、布置作業(yè)所以a-19952=2000.

1.教材Pg習(xí)題21.13、4、6、8.3.10-x

2.選作課時作業(yè)設(shè)計.

3.課后作業(yè):《同步訓(xùn)練》

第三課時作業(yè)設(shè)計

一、選擇題

21.2二次根式的乘除

第一課時

教學(xué)內(nèi)容

4a-Jb=4ab(a》o,b》0),反之-f而=4a?yjb(a

20,b20)及其運用.

2.a》0時，后、J(-a)2、-Vo7,比較它們的結(jié)果，下

教學(xué)目標(biāo)

面四個選項中正確的是().理解G?4b=\[ab(a20,b20),y[ab=y/a?y[b(a

A.y[a^=y](-a)2B.y/a^(-a)2

20,b20),并利用它們進(jìn)行計算和化簡

C.<J(-a)2<-由具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出-y[b=yfab(a20,b20)

D.-\[a^>\[a^=y](-a)2并運用它進(jìn)行計算；利用逆向思維，得出疝=6?y/h(a20,

二、填空題b20)并運用它進(jìn)行解題和化簡.

教學(xué)重難點關(guān)鍵

i.-Jo.0004=.

重點：,yjb=NClb(a20,b20),y]db=y[ci>\[h

2.若J痂是?個正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是.

(a^O,b20)及它們的運用.

三、綜合提高題難點:發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出,y[b=\^Clb(a^0,b20).

1.先化簡再求值：當(dāng)a=9時，求a+Jl-Za+a，的值,甲乙

關(guān)鍵：要講清\[ab(a<0,b<0)=yfa4b,如

兩人的解答如F：

甲的解答為：原式=a+J(l-a)2=a+(1-a)=1；7(-2)X(-3)=7-(-2)X-(-3)或

乙的解答為：原式=a+J(1—a)?=a+(a-1)=2a~l=17.7(-2)x(-3)=VM=V2xV3.

教學(xué)過程例2化簡

一、復(fù)習(xí)引入

(1)V9X16(2)716x81(3)781x100

(學(xué)生活動)請同學(xué)們完成下列各題.

1.填空⑷y)9x2y2(5)V54

(1)V?xV9=,J4x9=；

分析：利用J拓-4b(a》o,b》o)直接化簡即可.

(2)J16xJ25=,J16x25=.

解：⑴J9xl6=j^XJI^=3X4=12

(3)VlOOxJ36=,y]\00x36=.

(2)716x81=V16XA/81=4X9=36

參考上面的結(jié)果，用“＞、＜或=”填空.

V?xV9___74^9,V16xV25____,16x25,(3)781x100=V81xV100=9x10=90

7100x736V100x36(4)yl9x2y2=5/3^x-Jx2y2=7?X7?X=3xy

2.利用計算器計算填空

(5)V54=V9^6=V?x76=376

(1)V2x>/3_____y/6,(2)V2xx/5__Vio,

三、鞏固練習(xí)

(i)計算(學(xué)生練習(xí)，老師點評)

(3)x5/6____國,(4)"xV5__V20

①V16xV8②3指X2VIU③?

(5)xVTo____V70

老師點評(糾正學(xué)生練習(xí)中的錯誤)

(2)化簡：<20；VTs；J24；J54；JT2(rIM

二、探索新知

(學(xué)生活動)讓3、4個同學(xué)上臺總結(jié)規(guī)律.教材P”練習(xí)全部

老師點評：(1)被開方數(shù)都是正數(shù)；四、應(yīng)用拓展

(2)兩個二次根式的乘除等于一個二次根式，