中考模擬卷（全國通用）（二）數學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答填空題時，請將每小題的答案直接填寫在答題卡中對應橫線上。寫在本試卷上無效。4．回答解答題時，每題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上。寫在本試卷上無效。5．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷（共40分）一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）.1．（2025·山西·一模）2025年元宵節這天，北京、深圳、哈爾濱、太原四地最低氣溫分別為，．這些氣溫中最低的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由題意得：，所以最低氣溫是．故選：C．2．（2024·山西·模擬預測）自山西省惠民惠農財政補貼資金“一卡通”管理平臺上線以來，已發放惠民惠農財政補貼資金61366.53萬元，惠及全省1695847人次．數據61366.53萬元用科學記數法表示為（

）A．元B．元C．元D．元【答案】B【詳解】解：萬，故選：B．3．（2024·廣東河源·一模）如圖是美術課上老師上課用的石膏幾何體，則該幾何體的主視圖是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：從正面看，可得出，故選：B．4．（2025·廣東廣州·一模）下列計算正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】解：A、，此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；B、，此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；C、，此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；D、，此選項的計算正確，故此選項符合題意；故選：D．5．（2024·湖北·模擬預測）小鄂在數學書中看到了斐波那契曲線，于是將曲線畫在了紙上小明看到后想計算陰影部分面積于是他們決定在紙上隨機戳點，并記錄數據于下表總點數102040100陰影部分點數4112347若正方形的邊長為4，則陰影部分面積約為（

）A．4.7 B．7.52 C．7.98 D．8【答案】B【詳解】解：由表格數據可知：點落在陰影部分的概率為，∵正方形的邊長為4，∴正方形的面積為，∴陰影部分的面積為：；故選：B．6．（2024·山西太原·模擬預測）化學方程式是用化學式來表示物質化學反應的式子．化學方程式不僅表明了反應物、生成物和反應條件，同時化學計量數代表了各反應物、生成物物質的量關系．例如就表示兩份（氫氣）與一份（氧氣）點燃生成兩份的（水）．依據化學反應過程中的質量守恒定律，在化學方程式等號左邊和等號右邊同一元素原子的個數一定相同．已知，由此可列出關于x，y的二元一次方程為（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】解：∵化學方程式等號左邊和等號右邊氧元素原子的個數一定相同，∴．故選∶D．7．（2024·湖南岳陽·模擬預測）如圖1所示，該幾何體為長方體，記作長方體，如圖2所示，以頂點為原點O，分別以棱，，所在的直線為x軸、y軸、z軸，建成的坐標系稱為立體坐標系（亦稱三維坐標系），立體空間中點的位置由三個有序的實數確定，記作，稱為該點的坐標．若長方體的長寬高分別為，，我們知道，在平面直角坐標系中，點的坐標為，由點豎直向上平移1個單位可得到點C，所以點C在立體坐標系中的坐標記為，由此可知點O和點B的坐標分別記為，．照此方法，請你確定點D在立體坐標系中的坐標為（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】解：依題意，∵在平面直角坐標系中，點的坐標為，由點豎直向上平移1個單位可得到點C，所以點C在立體坐標系中的坐標記為，且長方體的長寬高分別為，，∴，，∵點O和點B的坐標分別記為，，∴，∵，∴，故選：C．8．（2024·山東濟寧·一模）小穎用描點法畫二次函數的圖象時，列出了下面的表格，由于粗心，她算錯了其中一個值．則下列結論中，不正確的是（

）…0123……0…A．B．對于任意實數，總成立C．點在拋物線圖象上，若，則D．一元二次方程有兩個不相等的實數根【答案】C【分析】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數圖象與系數的關系，二次函數圖象上點的坐標特征以及拋物線與軸的交點．根據關于對稱軸對稱的自變量對應的函數值相等可判斷A；根據二次函數的最值可判斷B；根據二次函數的性質可判斷C；根據二次函數與一元二次方程的關系可判斷D．【詳解】解：A、由函數圖象關于對稱軸對稱，得，在函數圖象上，，，故選項A正確，不符合題意；B、頂點為，函數有最小值，對于任意實數，則，即總成立，故選項B正確，不符合題意；C、二次函數圖象以為對稱軸，拋物線開口向上；點，在拋物線圖象上，，，．故選項C錯誤，符合題意；D、拋物線過，，，，代入得，解得，，當時，，拋物線與軸的一個交點為，拋物線與軸的一個交點為，一元二次方程有兩個不相等的實數根，故選項D正確，不符合題意；故選：C．9．（2024·黑龍江大慶·一模）《幾何原本》中的幾何代數法（以幾何方法研究代數問題）成為了后世數學家處理問題的重要依據，通過這一原理，很多的代數的公理或定理都能夠通過圖形實現證明，也稱之為無字證明．如圖所示的圖形，在上取一點C，使得，，過點C作交圓周于D，連接．作交于E．則下列不等式可以表示的是（

）

A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：連接，∵是直徑，∴，∴．

∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴．故選A．10．（24-25九年級下·上?！るA段練習）由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形如圖所示．過點作的垂線交小正方形對角線的延長線于點，連結，延長交于點．若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖，設與交于點N，與交于點P，與交于點Q，∵由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴∴，，∵四邊形是正方形，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，在與中，，∴，∴，，∴，，∴，在中，，∴，∴．故選：B．第Ⅱ卷（共110分）二、填空題（本大題共8個小題，每題4分，滿分32分，將答案填在答題紙上）11．（2024·安徽·模擬預測）已知實數，，滿足，，則的值為．【答案】【詳解】解：∵，，∴原式，故答案為：．12．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，平行于主光軸的光線和經過凸透鏡的折射后，折射光線和折射光線交主光軸于點P，若，，則°．【答案】45【詳解】解：，，，又，，，，，．故答案為：45．13．（2025·四川綿陽·二模）我們平常用的數是十進制數，如，而計算機程序處理中，使用的是只有數碼0和1的二進制數，但這兩種進制數可以進行相互換算，如將二進制數1101換算成十進制數應為．按照這種方式，將十進制數30換算成二進制數應為．【答案】【詳解】解：，將十進制數30換算成二進制數應為，故答案為：．14．（2025·浙江杭州·一模）如圖．在平面直角坐標系中，與是位似圖形，位似中心為點，若點的對應點，則的面積與的面積之比為【答案】【詳解】解：∵點，，∴，，∵與位似，位似中心為點O，∴，∴，∴的面積與積之比．故答案為：．15．（2023·浙江寧波·模擬預測）已知實數，滿足，．且，則的值為．【答案】/【詳解】解：，，，，、可看作方程的兩根，，，，．故答案為：．16．（24-25九年級下·重慶·階段練習）如果關于x的不等式組有解且至多有4個整數解，且關于y的分式方程的解為整數，則所有滿足條件的整數a的值之和為．【答案】【詳解】解：由①得：，由②得：，∴，∵關于x的不等式組有解且至多有4個整數解，∴，解得：，，解得：，且，即，當，，，，時，解不是整數，舍；∴或，∴滿足條件的整數a的值之和為，故答案為：．17．（2025·陜西西安·一模）如圖，矩形頂點A、C分別在x、y軸上，雙曲線分別交、于點D、E，連接并延長交x軸于點F，連接，若點E為的中點，且，則．【答案】【詳解】解：設，則，，∵點D、E在雙曲線上，∴，，設直線為，∴，解得：，∴直線的解析式為；同理可得，直線的解析式為；∴，∵矩形，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵點E為的中點，∴，∵，∴，∴，，，∴，，∴，過作于，∴；故答案為：．18．（2025·陜西·模擬預測）如圖，在菱形中，，，點分別在邊和上，且．當的面積最大時，的面積為．【答案】【詳解】解：∵，，∴作的外接圓，設圓心為O，過O作于H，過A作于P，如圖，則，∴，當A、O、H共線時取等號，此時最大，點P、H重合，，∵，∴最大時，的面積最大；如圖1，設、相交于，∵四邊形是菱形，，∴，，，∴，又∵，，∴，，∴點A、O、P、、C共線，∴，∴，∴，∴，故答案為：．三、解答題（本題共8小題，共78分。其中：19-20題8分，21-24題每題10分，25-26題每題11分，答案寫在答題卡上）19．（2025·河南鄭州·一模）計算或解方程組：(1)；(2)【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：，，，；（2）解：，由①得，把③代入②可得，解得，把代入，可得，原方程組的解為．20．（2024·四川眉山·二模）先化簡，再求值：，其中的值是不等式組的整數解．【答案】，【詳解】解：；由分式的意義，可知，，，解不等式，得，解不等式，得，不等式組的解集為，不等式組的整數解是，0,1，2，其中，0,1不符合分式的意義，x只能取2.將代入得：原式．21．（2025·安徽蚌埠·模擬預測）“學科素養”展示活動中，某區教體局決定在甲、乙兩校舉行“學科素養”測試，為此甲、乙兩學校都選派相同人數的選手參加，比賽結束后，發現每名參賽選手的成績都是70分，80分，90分，100分這四種成績中的一種，并且甲、乙兩校的選手獲得100分的人數也相等，現根據甲、乙兩校選手的成績繪制如下兩幅不完整統計圖∶(1)甲校選手所得分數的中位數是，乙校選手所得分數的眾數是；(2)請直接在上圖中補全條形統計圖；(3)比賽后，教體局決定集中甲、乙兩校獲得100分的選手進行培訓，培訓后，從中隨機選取兩位選手參加市里的決賽，求所選兩位選手來自同一學校的概率．【答案】(1)90，80(2)見解析(3)【詳解】（1）解：設甲校100分有x人，則，解得：，經檢驗，是該方程的解，且符合題意，即甲校100分有2人，∴甲校派人，那么甲校選手所得分數的中位數為第6和第7人分數的平均數，從甲校統計圖可得第6和第7人得分90分，故甲校選手所得分數的中位數為90；從乙校選手扇形統計圖可得成績為80分的占比最高，則眾數為80，故答案為：90，80；（2）解：補全統計圖如圖：（3）解：畫樹狀圖為：（甲乙各有2名學生得100分）共有12種等可能的結果數，其中所選兩位選手來自同一學校的結果數為4，所以所選兩位選手來自同一學校的概率=．22．（2025·河南信陽·二模）粒子加速器是當今高能物理學中研究有關宇宙的基本問題的重要工具．圖1，圖2是某環形粒子加速器的實景圖和構造原理圖，圖3是粒子加速器的俯視示意圖，是粒子真空室，是兩個加速電極，高速飛行的粒子在點注入，在粒子真空室內做環形運動，每次經過時被加速，達到一定的速度在點引出，粒子注入和引出路徑都與相切．已知：，粒子注入路徑與夾角．(1)求的度數；(2)通過計算，求粒子在環形運動過程中，粒子到的最遠距離（相關數據：）．【答案】(1)53°(2)粒子到的最遠距離是【詳解】（1）解：延長交于，由題意得：是的切線，，；（2）解：如圖，過點作于點，延長交于點，連接，是的切線，，，，，，在中，，，，如圖，當粒子運動到點時，離的距離最遠，，即粒子到的最遠距離是23．（2025·河南周口·一模）“垃圾分一分，環境美十分”，某中學欲購買，兩種型號的垃圾桶，已知型垃圾桶的單價比B型垃圾桶的單價便宜20元，用1800元購買A型垃圾桶的數量與用2160元購買B型的垃圾桶的數量相同．（說明：A型垃圾桶存放不可回收垃圾；B型垃圾桶存放可回收垃圾）(1)分別求A，B兩種型號垃圾桶的單價．(2)根據學校需要，準備購買A，B兩種垃圾桶共60個，其中購買A型垃圾桶的數量不超過B型垃圾桶的倍，求購買這兩種垃圾桶所需的最少經費．【答案】(1)A型垃圾桶的單價為100元，B型垃圾桶的單價為120元；(2)所需的最少經費為6480元．【詳解】（1）解：設型垃圾桶的單價為元，則型垃圾桶的單價為元，根據題意，得，解得，經檢驗，是原方程的解，且符合題意，（元）．答：型垃圾桶的單價為100元，型垃圾桶的單價為120元．（2）解：設購買A型垃圾桶個，則購買B型垃圾桶個．型垃圾桶的數量不超過型垃圾桶的倍，，解得．設所需經費為元，則．，隨的增大而減小，當時，有最小值，最小值為（元）．答：所需的最少經費為6480元24．（24-25九年級上·四川成都·階段練習）如圖1，在平面直角坐標系中，直線與反比例函數交于，B兩點，與x軸交于點C．(1)求的值；(2)P為反比例函數圖象上任意一點（不與重合）①過P作交y軸于點Q，若，求P點坐標；②如圖2，直線與x軸、y軸分別交于點，直線分別與x軸y軸交于．試判斷是否為定值．若是，求出該值；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)①（2，3）或，②是，【詳解】（1）解：當時，，，即，將點代入反比例函數中，得，解得．（2）由（1）可知，反比例函數的表達式為，且直線的表達式為，當時，，即直線與軸交于點，聯立得，即，解得，點坐標為（2，3），由點的坐標可知，，直線與軸交點為，，①

過點作軸的平行線與點作軸的平行線交于點，與直線交于點，,，，，，，，即，若，則，，點的橫坐標為或，則點的坐標為（2，3）或．②為定值，定值為8，設點的坐標為，且，設直線的表達式為，則有，解得，直線的表達式為，當時，，當時，，，已知點的坐標為，，設直線的表達式為，則有，解得，直線的表達式為，當時，，當時，，，則，，25．（2025·重慶江津·一模）已知是等腰直角三角形，，為平面內一點．(1)如圖1，當點在的中點時，連接，將繞點逆時針旋轉，得到，若，求的長；(2)如圖2，當點在外部時，、分別是、的中點，連接、、，將繞點逆時針旋轉得到，連接、、，若，求證：；(3)如圖3，當在內部時，連接，將繞點逆時針旋轉，得到，若經過中點，連接、，為的中點，連接并延長交于點，當最大時，請直接寫出的值．【答案】(1)的長為；(2)見解析；(3)的值為．【詳解】（1）解：過點E作交的延長線于H，如圖1，∵點D是的中點，且，∴，在中，，∴，，由旋轉得：，即，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，在中，；（2）解：證明：如圖2，連接，過點F作交