第=page11頁，共=sectionpages11頁福建省福州市聯盟2024-2025學年高一（下）期中數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.化簡：AB?(DC?A.2AD B.AD C.0 D.2.已知復數z=4m2+4m?3?(2m?1)i(m∈R)為純虛數，則實數m的值為A.?32 B.?12 C.12或?3.以邊長為6的正方形的一邊所在直線為旋轉軸，將該正方形旋轉一周所得幾何體的側面積為(

)A.18π B.36π C.54π D.72π4.在△ABC中，內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若A：B：C=1：1：4，則a：b：c=(

)A.1：1：2 B.1：1：2 C.1：1：5 D.1：15.如圖，在復平面內每個小方格的邊長均為1，向量OA，BC對應的復數分別為z1，z2，則|z1A.9

B.35

C.5

6.已知一條河的兩岸平行，一艘船從河的岸邊A處出發，向對岸航行，若船的速度v1=(m,3m)(m>0)，水流速度v2=(?3,0)，且船實際航行的速度的大小為9，則A.3 B.53 C.125 7.已知在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且sin2A?sin2B=sinA.34 B.43 C.328.已知某圓臺的體積為1423π，其軸截面為梯形ABCD，AB=4，CD=2，則在該圓臺的側距上，從點A到CA.32 B.33 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列關于空間幾何體的敘述錯誤的是(

)A.底面是正五邊形的棱錐是正五棱錐

B.任何一個幾何體都必須有頂點、棱和面

C.有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺

D.一個棱柱至少有5個面10.下列關于復數的結論正確的是(

)A.1+2i的虛部是2i

B.z1z2?=z1?z11.如圖，某旅游部門計劃在湖中心Q處建一游覽亭，打造一條三角形DEQ游覽路線.已知AB，BC是湖岸上的兩條雨路，∠ABC=120°，BD=0.3km，BE=0.5km，∠DQE=60°(觀光亭Q視為一點，游覽路線、雨路的寬度忽略不計)，則(

)A.DE=0.7km B.當∠DEQ=45°時，DQ=7620km

C.△DEQ面積的最大值為49三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.用斜二測畫法作出水平放置的正方形ABCD的直觀圖A′B′C′D′如圖所示，則正方形ABCD與直觀圖A′B′C′D′的周長之比為______．13.已知|a|=3，向量b在a上的投影向量為?23a，則14.在△ABC中，D是BC的中點，點E滿足EB=2AE，AD與CE交于點O，則EOCO的值為______；若AB?AC四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a=(?2,3)，b=(k,2?k)．

(1)若a/?/b，求實數k的值；

(2)若a+2b16.(本小題15分)

已知m∈R，復數z=2m+3+(m?1)i．

(1)若z在復平面內對應的點位于第四象限，求m的取值范圍；

(2)若z滿足z+3z?=n+4i，n∈R，求17.(本小題15分)

如圖，在△ABC中，AB=3，AC=4，∠A=60°，點D，E滿足AD=2DB，AC=2CE，AC邊上的中線BM與DE交于點O.設BD=a，CE=b．

(1)用向量a，b表示BM，18.(本小題17分)

如圖，一個圓錐挖掉一個內接正三棱柱ABC?A1B1C1(棱柱各頂點均在圓錐側面或底面上)，若棱柱側面BCC1B1落在圓錐底面上.已知正三棱柱底面邊長為219.(本小題17分)

在△ABC中，D是AB邊上靠近B的三等分點．

(1)若CD=DB，證明：BC+2ACcos∠ACB=0；

(2)若∠ACD=π3，AD=3．

(i)求△ABC面積的最大值；

(ii)求BC的最小值．

答案解析1.【答案】C

【解析】解：由向量的線性運算，AB?(DC?BC)+DA=AB?2.【答案】A

【解析】解：因為復數z是純虛數，

所以4m2+4m?3=0,2m?1≠0,解得m=?32．

故選：3.【答案】D

【解析】解：以邊長為6的正方形的一邊所在直線為旋轉軸，將該正方形旋轉一周得到的旋轉體為圓柱，

圓柱的底面半徑r和圓柱體的高均為正方形的邊長，即r=6，高?=6，

故側面積S=2πr??=2π×6×6=72π，

故選：D．

由題意可得圓柱的底面半徑r=6，高?=6，從而可求出其側面積．4.【答案】D

【解析】解：由A+B+C=π且A：B：C=1：1：4，則A=B=π6，C=2π3，

因為a：b：c=sinA：sinB：sinC=12：12：32=1：1：3．

故選：D5.【答案】B

【解析】解：由圖可知z1=?1+2i，z2=2+2i，

所以|z1+2z2|=|3+6i|=326.【答案】A

【解析】解：設船實際航行的速度為v，

則v=v1+v2=(m?3,3m)，

又|v|=9，所以(m?3)2+9m27.【答案】A

【解析】解：根據sin2A?sin2B=12sin2C，由正弦定理得a2?b2=12c2，

結合余弦定理得28.【答案】B

【解析】解：由AB=4，CD=2，得圓臺的下底面的半徑為2，上底面的半徑為1，

設圓臺的高為?，由圓臺的體積為1423π，得13(12+22+1×2)π?=1423π，所以?=22，

在梯形ABCD中，則BC=12+(22)2=3，如圖，延長AD，BC，OO1交于點P，

由△PDC∽△PAB，得PCPC+3=12，所以PC=3，

設該圓臺的側面展開圖的圓心角為α，則3α=2π，所以α=2π3，

連接AC，PC，則從點A到C的最短路徑為線段AC，

又PC=3，PA=6，∠CPA=π3，所以AC=62+32?2×6×3×129.【答案】ABC

【解析】解：底面是正五邊形，且頂點在底面上的射影為底面正五邊形的中心的五棱錐才是正五棱錐，A錯誤；

球沒有頂點和棱，B錯誤；

將兩個相同的棱臺的底面重合得到的多面體滿足有兩個面互相平行，其余各面都是梯形，但是這樣的多面體不是棱臺，C錯誤；

棱柱的底面至少有3條邊，所以一個棱柱至少有5個面，D正確．

故選：ABC．

根據空間幾何體的定義和特點逐個選項判斷即可．

本題考查幾何體的結構特征，屬于基礎題．10.【答案】BD

【解析】解：1+2i的虛部為2，故A錯誤；

設z1=a+bi(a,b∈R)，z2=c+di(c,d∈R)，

則z1z2=(a+bi)(c+di)=ac?bd+(ad+bc)i，

故z1z2?=ac?bd?(ad+bc)i，z1??z2?=(a?bi)(c?di)=ac?bd?(ad+bc)i，故B正確；

令z=i，

則z2=?1，11.【答案】AC

【解析】解：在△DBE中，由余弦定理得DE2=BD2+BE2?2BD?BE?cos120°=0.49，所以DE=0.7km，故A項正確；

在△DEQ中，由正弦定理得DQsin∠DEQ=DEsin∠DQE，

則DQ=DEsin∠DEQsin∠DQE=0.7×2232=7630(km)，故B項錯誤；

在△DEQ中，由余弦定理，得0.72=DQ12.【答案】43【解析】解：根據題意，設正方形ABCD的邊長為2a，則其周長為8a，

在直觀圖中，A′B′=AB=2a，A′D′=12AD=a，則直觀圖A′B′C′D′的周長為6a，

則正方形ABCD與直觀圖A′B′C′D′的周長之比為8a6a=43．

故答案為：43．13.【答案】?6

【解析】解：設向量a,b的夾角為θ，

∵向量b在a方向上的投影向量為?23a，

則|b|?cosθ?a|a|=?23a，即|b14.【答案】13

【解析】解：在△ABC中，由EB=2AE，

得CB?CE=2(CE?CA)，則CE=23CA+13CB，

令CO=λCE，又D是BC的中點，

則CO=λ(23CA+13CB)=2λ3CA+2λ3CD，

而A，O，D共線，因此2λ3+2λ3=1，15.【答案】?4；

k=?4或k=94【解析】解：向量a=(?2,3)，b=(k,2?k)．

(1)a//b，可得?2(2?k)?3k=0，解得k=?4；

(2)a+2b與2a?b垂直，

可得(a+2b)?(2a?b)=016.【答案】{m|?32<m<1}；

【解析】解：(1)復數z=2m+3+(m?1)i，

由z在復平面內對應的點(2m+3,m?1)位于第四象限，得2m+3>0m?1<0，解得?32<m<1，

所以m的取值范圍是{m|?32<m<1}.

(2)z滿足z+3z?=n+4i，n∈R，

則z+3z?=2m+3+(m?1)i+3[2m+3?(m?1)i]=4(2m+3)?2(m?1)i=n+4i，

又m，n∈R，則4(2m+3)=n?2(m?1)=4，解得m=?1，n=4，

n+mi3+4i=4?i3+4i=17.【答案】解：(1)由AD=2DB，AC=2CE可知，AD=?2a，AC=2b，

則AB=?3a，AE=3b，所以DE=AE?AD=3b+2a；

又BM為AC邊上的中線，

所以BM=AM?AB=12AC?AB=b+3a．

(2)由AB=3，AC=4得|a|=1，|b|=2，又∠A=60°，

所以a與b的夾角為120°，則a?b=?1．

【解析】(1)利用平面向量的線性運算即可；

(2)利用平面向量的數量積即可；

本題考查了平面向量的線性運算，平面向量的數量積，屬于中檔題．18.【答案】解：(1)∵正三棱柱ABC?A1B1C1的底面邊長為23，高為2，

∴S△ABC=12BC2?sinπ3=12×(23)2×32=33，

∴正三棱柱ABC?A1B1C1的體積V=S△ABC?AA1=33×2=63；

(2)在正三棱柱ABC?A1B1C1中，由(1)知，S△ABC=33，

S矩形BCC1【解析】(1)由三棱柱的體積公式計算即可；

(2)根據幾何圖形性質解得圓錐底面圓半徑和圓錐高，利用圓錐表面積、矩形的面積公式計算即可．

本題考查多面體的體積與表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運算求解能力，是中檔題．19.【答案】證明見解析；

(i)938【解析】(1)證明：因為D是AB邊上靠近B的三等分點，

所以BD=13BA，即CD?CB=13(CA?CB)，化簡得CD=13CA+23CB．

設△ABC內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，則|CD|=|DB|=13c，

因為CD2=(13CA+23CB)2，所以19c2=19b2+49a2+49abcos∠ACB，即c2=b2+4a2+4abcos∠ACB…①，

在△ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2