第=page11頁，共=sectionpages11頁河南省開封市2025屆高三下學期4月聯考數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.橢圓C:x24A.1 B.2 C.4 D.62.若a,3,b,1成等比數列，則a?b=(

)A.4 B.6 C.9 D.123.函數f(x)=sin2x3的最小正周期為A.3π B.2π C.3π4.已知集合A=x|3ax?2≤0，則使得“1∈A且A.13<a<23 B.a5.已知a=log0.30.07，b=20.7，A.a>b>c B.b>c6.已知函數f(x)滿足f(x+2)=f(x)+f(x+1)，f(1)=f(2)=1，函數g(x)=1,x為正奇數0,x為正偶數，若i=1ngA.149 B.151 C.199 D.3007.已知函數f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，T為f(x)的最小正周期，且f13T=fA.116,176 B.116,8.已知函數f(x)滿足對任意的x，y∈(1,+∞)且x<y都有f(x?y1?xy)=f(1x)?f(1y)A.f(253385) B.f(253380)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知z=4+2ai1?i，i為虛數單位，a∈R，z是z的共軛復數，則下列說法正確的是(

)A.若z為純虛數，則a=2

B.若z在復平面內所對應的點位于第一象限，則a∈(?3,3)

C.|z|的最小值為22

D.10.已知O為坐標原點，點P(cosα,sinα)，Q(cosβ,sinβ)，A(1,1)，則下列說法正確的是(

)A.OP→?OQ→=cos(α?β)

B.若OP=QA,則∣PQ∣=∣OA∣

11.雙曲線的光學性質：從雙曲線的一個焦點發出的光線，經雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.已知雙曲線C:x26?y2λ=1λ>0的離心率為233，左、右焦點分別為F1,F2，點Ax0,A.F1F2=22

B.y0t=?2

C.作F1H⊥AB于點H，則OH=6三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知角α的終邊經過點(?3,4)，則sin(α+π4)的值為13.高二甲、乙兩位同學計劃端午假期從“韓陽十景”中挑4個旅游景點：廉村孤樹、龜湖夕照、南野桑、馬嶼香泉隨機選擇其中一個景點游玩，記事件A:甲和乙至少一人選擇廉村孤樹，事件B:甲和乙選擇的景點不同，則條件概率PBA14.2021年3月30日，小米正式開始啟用具備“超橢圓”數學之美的新logo(如圖所示)，設計師的靈感來源于曲線C：xan+ybn=1(n>0,n①曲線C關于x軸和y軸對稱②曲線C所圍成的封閉圖形的面積小于8③曲線C上的點到原點O的距離的最大值為17④設M(3,0)，直線x?y+3=0交曲線C于P、四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)在壓力日益增大的當下，越來越多的人每天的睡眠時長無法滿足緩解壓力的需要.某研究小組隨機調查了某地100名工作人員每天的睡眠時長，這100名工作人員平均每天睡眠時長如下表所示，實際數據處理及分析中，認為工作日與周末無差異．睡眠時長/小時5.75～6.256.25～6.756.75～7.257.25～7.757.75～8.258.25～8.75人數5122836172(1)估計該地所有工作人員平均每天的睡眠時長(同一組的數據用該組區間的中點值為代表)．(2)在被調查的100名工作人員中，有40名表示“近期壓力過大”，由頻率估計概率.在該地的所有工作人員中隨機調查3名，設“近期壓力過大”的人數為X．(ⅰ)求P(X≤1)的值;(ii)求X的分布列和期望．16.(本小題15分)已知數列an的前n項和為Sn，且(1)若S3=2，求(2)若a2=2a1，求S17.(本小題15分)已知函數f(x)=(1)求曲線y=f(x)在點1,f(1)處的切線方程；(2)當x∈(0,2)時，求證f(x)≤x?118.(本小題17分)已知拋物線C:x2=2py(1)證明：以點Q為圓心且過點0,p2的圓與(2)若動直線l:y=kx+2與C相交于M,N兩點，點Pt,?2滿足OP⊥l(O為坐標原點)，且直線PM,PN的斜率之和為2k(i)求C的方程；(ii)過點Q作C的切線l′，若l′//l，求?MPQ的面積的最小值．19.(本小題17分)已知上下頂點分別為A,B的橢圓E:x2m+y24=1經過點32,1,P為直線l:y=12上的動點，且P不在橢圓(1)求橢圓E的方程；(2)證明：直線CD過定點；(3)設(2)問中定點為Q，過點C,D分別作直線l:y=12的垂線，垂足分別為M,N，記?CMQ，?MNQ，?DNQ的面積分別為S1，S2，S3，試問：是否存在常數t，使得參考答案1.B

2.C

3.C

4.A

5.A

6.A

7.C

8.D

9.AC

10.ABD

11.BCD

12.213.6714.①②③

15.解:(1)記這100名工作人員平均每天的睡眠時長為x小時,

則x=1100×(6×5+6.5×12+7×28+7.5×36+8×17+8.5×2)=7.27(小時),

故估計該地所有工作人員平均每天的睡眠時長為7.27小時.

(2)(i)被調查的100名工作人員中有40名表示“近期壓力過大”,

則表示“近期壓力過大”的頻率為40100=25,

由頻率估計概率,在該地的所有工作人員中隨機調查1名工作人員,表示“近期壓力過大”的概率為25,故X~B(3,25),

故P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=C30×(25)0×(1?25)3+C31×(25)1×(1?25)2=81125.

(ii)由X~B(3,25),得P(X=0)=C30X0123P2754368其期望E(X)=3×25=616.解：(1)令n=1，可得S2S1又S3=a(2)由Sn+1Sn=an+2an，可得兩邊分別相乘得SnS1當n≥2時，a2Sn?1即a2Sn由題可知an≠0，所以所以an的奇數項、偶數項均成公差為a所以a2n?1=a所以an所以S=[=n(n+1)故Sn

17.解：(1)由題可知f′(x)=e又f(1)=0.故所求切線方程為y=1(x?1)=x?1．(2)當x∈(0,2)時，要證f(x)≤x?1，即證即證lnxeln令p(x)=xex故當x<1時，p′(x)>所以p(x)在(?∞,1)上單調遞增，在令t(x)=lnx?x+1，則故當0<x<1時，t′所以t(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+∞則t(x)max=t(1)=0當x∈(0,2)時，有lnx即lnxeln故當x∈(0,2)時

18.解：(1)由題可知點0,p2為C的焦點，設為點F，拋物線C的準線方程為∵Q為C上一點，∴由拋物線的定義得QF等于點Q到C的準線的距離，∴以Q為圓心且過點0,p2的圓與(2)設Mx(i)當k=0時，點M,N關于y軸對稱，點P0,?2直線PM,PN關于y軸對稱，kPM當k≠0時，由OP⊥l得kOP=?1k，直線將點P的坐標t,?2代入，可得t=2k，則P2k,?2聯立直線l與C的方程，可得x2∴x∵k∴y化簡可得2k2+2由k2+2≠0得，2pk?4k=0，由k≠0得故C的方程為x2(ii)設直線l′:y=kx+n，與C的方程聯立，可得x2由Δ=16k2+16n=0由x2?4kx+4k2=0得x設MN的中點為E，∵x∴x1+∵P2k,?2,?2+2k2+22∴?MPQ的面積為△MEP的面積的12由E為MN的中點得，△MEP的面積為?MNP的面積的12∴?MPQ的面積為?MNP的面積的14∵x∴MN∵點P2k,?2到直線MN:kx?y+2=0的距離d=∴S當且僅當k=0時等號成立，故?MPQ的面積的最小值為2

19.解：(1)因為橢圓E:x2m+y2所以橢圓E的方程為x2(2)由題意，直線CD的斜率一定存在，設Cx1,y1聯立橢圓和直線CD的方程得3k由韋達定理可得x1由點斜式可知直線AC的方程為y=y1?2x1兩式相比得y?2y+2=y1?2x1又點D在橢圓上，所以x223+y將直線CD方程代入得kx1+m?2