湖南省岳陽市20232024學年高一上學期期末教學質量監測數學試題（Word版含解析）一、選擇題（每題5分，共30分）1.若函數$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$處取得極值，則$a,b,c$滿足的條件是（）A.$a=0,b=0$B.$a\neq0,b=0$C.$a\neq0,b\neq0$D.$a=0,b\neq0$2.已知等差數列$\{a_n\}$的公差為2，首項為3，則該數列的前10項和為（）A.110B.120C.130D.1403.在直角坐標系中，若點$A(2,3)$關于直線$y=x$的對稱點為$B$，則點$B$的坐標為（）A.(3,2)B.(3,2)C.(2,3)D.(2,3)4.已知函數$f(x)=\frac{1}{x}$在區間$(0,+\infty)$上單調遞減，下列結論正確的是（）A.當$x>1$時，$f(x)>0$B.當$x<0$時，$f(x)<0$C.當$x>1$時，$f(x)<0$D.當$x<0$時，$f(x)>0$5.在等比數列$\{b_n\}$中，若$b_1=2$且$b_3=8$，則該數列的公比為（）A.2B.4C.8D.166.已知函數$f(x)=\sqrt{x^24x+3}$，則該函數的定義域為（）A.$x\leq1$或$x\geq3$B.$1\leqx\leq3$C.$x<1$或$x>3$D.$x\geq1$且$x\leq3$二、填空題（每題5分，共20分）7.若$\log_23=x$，則$\log_32$的值為__________。8.已知等差數列$\{a_n\}$的公差為$d$，首項為$a_1$，則該數列的第$n$項公式為__________。9.已知函數$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，則該函數的值域為__________。10.已知直線$y=mx+b$與圓$x^2+y^2=1$相切，則$m^2+b^2$的值為__________。三、解答題（共50分）11.（10分）已知函數$f(x)=x^33x$，求該函數的極值。12.（10分）已知等差數列$\{a_n\}$的首項為2，公差為3，求該數列的前10項和。13.（10分）在直角坐標系中，已知點$A(1,2)$，$B(3,4)$，求線段$AB$的中點坐標。14.（10分）已知函數$f(x)=\frac{1}{x1}$，求該函數的定義域。15.（10分）已知等比數列$\{b_n\}$的首項為1，公比為2，求該數列的前5項。四、證明題（共20分）16.（10分）證明：對于任意實數$x$，都有$x^2+1\geq2x$。17.（10分）證明：若函數$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$處取得極值，則$a+b+c=0$。解析：1.選擇題答案：B解析：由于函數在$x=1$處取得極值，根據導數的性質，極值點處導數為0。計算導數$f'(x)=2ax+b$，代入$x=1$得$2a+b=0$，因此$b=2a$。由于$a$和$b$不能同時為0，所以選B。2.選擇題答案：B解析：等差數列的前$n$項和公式為$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$。已知$a_1=3$，$d=2$，$a_n=a_1+(n1)d=3+2(n1)$。代入公式得$S_{10}=\frac{10}{2}(3+3+2\times9)=120$。3.選擇題答案：A解析：點$A(2,3)$關于直線$y=x$的對稱點$B(x',y')$滿足$x'+y'=0$且$y'=x'$。代入$A$的坐標得$x'3=0$，$y'+2=0$，解得$B(3,2)$。4.選擇題答案：A解析：函數$f(x)=\frac{1}{x}$在$x>0$時單調遞減，且$f(x)>0$。當$x>1$時，$f(x)$的值依然大于0。5.選擇題答案：A解析：由等比數列的性質，$b_3=b_1\timesr^2$，代入$b_1=2$，$b_3=8$得$2\timesr^2=8$，解得$r=2$。6.選擇題答案：A解析：函數$f(x)=\sqrt{x^24x+3}$的定義域是使得根號內非負的$x$的集合。解不等式$x^24x+3\geq0$得$x\leq1$或$x\geq3$。7.填空題答案：$\frac{1}{x}$解析：由換底公式$\log_ba=\frac{\log_ca}{\log_cb}$，代入$b=2$，$c=10$得$\log_32=\frac{\log_{10}2}{\log_{10}3}=\frac{1}{x}$。8.填空題答案：$a_n=a_1+(n1)d$解析：等差數列的通項公式為$a_n=a_1+(n1)d$。9.填空題答案：$(0,1]$解析：函數$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$的值域是$(0,1]$，因為分母$x^2+1$永遠大于0且最小值為1。10.填空題答案：1解析：直線$y=mx+b$與圓$x^2+y^2=1$相切時，直線到圓心的距離等于圓的半徑。設直線方程為$y=mx+b$，則距離公式為$\frac{|b|}{\sqrt{m^2+1}}=1$，解得$m^2+b^2=1$。11.解答題答案：解析：計算導數$f'(x)=3x^23$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=1$。計算二階導數$f''(x)=6x$，代入$x=1$和$x=1$得$f''(1)=6>0$（極小值），$f''(1)=6<0$（極大值）。因此，$x=1$時取得極小值，$x=1$時取得極大值。12.解答題答案：120解析：使用等差數列的前$n$項和公式$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，代入$a_1=2$，$d=3$，$n=10$得$S_{10}=\frac{10}{2}(2+2+3\times9)=120$。13.解答題答案：$(2,3)$解析：線段$AB$的中點坐標為$\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$。代入$A(1,2)$，$B(3,4)$得中點坐標為$(2,3)$。14.解答題答案：$x\neq1$解析：函數$f(x)=\frac{1}{x1}$的定義域是使得分母不為0的$x$的集合，即$x\neq1$。15.解答題答案：1,2,4,8,16解析：等比數列的通項公式為$b_n=b_1\timesr^{n1}$。代入$b_1=1$，$r=2$得$b_2=2$，$b_3=4$，$b_4=8$，$b_5=16$。16.證明題答案：證明：由不等式$x^22x+1\geq0$（完全平方公式），得$(x1)^2\geq0$。因此$x^22x+1\geq0$，即$x^2+1\geq2x$。17.證明題答案：證明：由題設，$f'(1)=0$。計算$f'(x)=2ax+b$，代入$x=1$得$2a+b=0$。因此$a+b+c=a+(2a+b)+c=0$。一、選擇題答案1.B2.C3.B4.A5.A6.C7.D8.A9.B10.D二、填空題答案11.512.12013.(2,3)14.x≠115.1,2,4,8,16三、解答題答案16.答案見解析17.答案見解析四、證明題答案18.答案見解析19.答案見解析1.函數與極限選擇題：考察了函數的單調性、極值、定義域等概念。填空題：涉及函數的圖像及性質。解答題：通過求解函數的極值、最值問題，考察了導數的應用。2.數列選擇題：等差數列的通項公式和求和公式。填空題：等比數列的通項公式。解答題：數列的性質及求和問題。3.平面解析幾何選擇題：涉及直線與圓的位置關系。填空題：點的對稱性。解答題：解析幾何中的坐標變換與距離計算。4.不等式選擇題：不等式的性質。填空題：解不等式的基本技巧。證明題：不等式的證明。5.三角函數選擇題：三角函數的基本性質。填空題：三角函數的圖像與性質。解答題：三角恒等變換及化簡。各題型考察知識點詳解及示例1.選擇題知識點：函數的單調性、極值、定義域；數列的通項公式與求和公式；平面解析幾何的基本概念；不等式的性質；三角函數的基本性質。示例：選擇題1考察了函數在特定點的極值性質，需要理