第06講有理數的乘方、科學記數法

1.掌握有理數的乘方運算；

2.掌握科學計數法.

知識點01有理數的乘方

一般地，個相同的因數相乘，即，記作n，讀作的次方求個相同因數的積的

naaaaaaan.n

n個

運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪.

在an中，a叫做底數，n叫做指數.an讀作a的n次方，也可以讀作a的n次冪.

知識點02有理數的乘方運算

（1）正數的任何次冪都是正數；

（2）負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；

（3）0的任何正整數次冪都是0；

（4）有理數的乘方運算與有理數的加減乘除運算一樣，首先應確定冪的符號，然后再計算冪的絕對值.

知識點03科學記數法

把一個大于10的數記成a×10n的形式，其中a是整數數位只有一位的數，n是正整數，這種記數法叫做

科學記數法．科學記數法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數．

題型01有理數冪的概念理解

n個2

【典例1】（2023·浙江·七年級假期作業）代數式可以表示為（）

2222

A．2nB．2nC．2nD．n2

【答案】C

【分析】根據有理數乘方的意義解答即可得.

n個2

【詳解】解：代數式可以表示為2n；

2222

故選：C.

【點睛】本題考查了有理數的乘方，理解乘方的意義是關鍵.

4

【變式1】（2022秋·湖南長沙·七年級統考期末）3表示的意義是()

A．3與4相乘B．3與4相加C．4個3相乘D．4個3相加

【答案】C

【分析】根據冪的意義分析即可求解．

4

【詳解】解：3表示的意義是4個3相乘，

故選：C．

【點睛】本題考查了冪的意義，掌握冪的意義是解題的關鍵．

4

2

【變式2】（2023秋·廣東茂名·七年級統考期末）在中，底數是，指數是；

5

2

【答案】4

5

【分析】根據冪的相關概念解答即可．

4

22

【詳解】解：在中，底數是，指數是4，

55

2

故答案為：，4．

5

【點睛】本題考查了冪的概念，,一般地ana0中a叫做底數，n叫做指數，正確理解定義是解題的關鍵．

題型02有理數的乘方運算

【典例1】（2023·全國·九年級專題練習）計算：

2

33

(1)(2)；(2)24；(3)

4

【答案】(1)8

(2)16

9

(3)

4

【分析】（1）根據乘方計算法則計算即可；

（2）根據乘方法則計算；

（3）根據乘方法則計算．

【詳解】（1）解：(2)3[(2)(2)(2)](8)8；

（2）24(2222)16；

32339

（3）．

444

【點睛】此題考查了有理數乘方計算法則：n個相同因數的乘法等于這個數的n次冪，同時可以逆用．

【變式1】（2023·浙江·七年級假期作業）計算：

23

(1)(5)4；(2)；(3)(0.3)3．

5

【答案】(1)625

8

(2)

5

(3)0.027

【分析】（1）(5)4表示4個5相乘，即可得出答案；

（2）先計算2的立方，即可得出答案；

（3）根據在一個數的前面加上負號就是這個數的相反數，乘方是幾個相同因數的簡便運算，可得答案．

【詳解】（1）(5)4(5)(5)(5)(5)625；

232228

（2）；

555

（3）(0.3)3(0.3)(0.3)(0.3)(0.027)0.027．

【點睛】本題考查了乘方的定義，理解乘方的意義是解題的關鍵．

【變式2】（2023·浙江·七年級假期作業）計算：

2

32123

(1)(3)；(2)(1.5)；(3)；(4)(3)；(5)(2)．

7

【答案】(1)27

(2)2.25

1

(3)

49

(4)9

(5)8

【分析】根據有理數乘方運算法則逐個計算即可．

【詳解】（1）(3)3(3)(3)(3)27；

（2）(1.5)2(1.5)(1.5)2.25；

2

1111

（3）；

77749

（4）(3)2(3)(3)9

（5）(2)3(2)(2)(2)8．

【點睛】本題考查了有理數的乘方，熟練運用運算法則是解本題的關鍵．

題型03乘方運算的符號規律

【典例1】（2023春·上海·六年級專題練習）任何一個有理數的偶次冪必是（）

A．負數B．正數C．非正數D．非負數

【答案】D

【分析】根據乘方的性質：正數的任何次冪都是正數；負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數，0的任

何次冪都是0，從而可判斷．

【詳解】解：正數的任何次冪都是正數；負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；0的任何次冪都是0，

故任何一個有理數的偶數次冪必是非負數．

故選：D．

【點睛】本題主要考查有理數的乘方，正數與負數，有理數，解答的關鍵是對有理數的乘方的性質的掌握．

2n2n1

【變式1】（2023·浙江·七年級假期作業）已知n為正整數，計算11的結果是（）

A．1B．-1C．0D．2

【答案】D

【分析】根據有理數乘方運算法則進行計算即可．

2n2n1

【詳解】解：11112，

故選：D．

【點睛】本題考查了有理數的乘方，熟練掌握有理數的乘方運算法則以及乘方的符號規律是解本題的關鍵．

【變式2】（2022秋·江蘇揚州·七年級?？茧A段練習）下列各組的兩個數中，運算后結果相等的是（）

33

22353333

A．3與3B．5與3C．7與7D．與

44

【答案】C

【分析】根據有理數的乘方的定義對各選項分析判斷利用排除法求解．

2

【詳解】A、329，39，不相等，故A選項錯誤；

B、53125，35243，不相等，故B選項錯誤；

3

C、73353，7353，相等，故C選項正確；

3

3273327

D、，，不相等，故D選項錯誤．

46444

故選：C．

【點睛】此題考查有理數的乘方，解題的關鍵在于掌握運算法則．

題型04乘方的應用

【典例1】（2023·全國·七年級假期作業）你喜歡吃拉面嗎？拉面館的師傅，用一根很粗的面條，把兩頭捏合

在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反復幾次，就把這根很粗的面條拉成了許多細的面條．如圖所示：這樣捏

合到第6次后可拉出幾根面條？

【答案】第6次后可拉出64根面條．

【分析】根據題意列出算式，計算即可得到結果．

【詳解】解：根據題意得：2664，

答：這樣捏合到第6次后可拉出64根面條．

【點睛】此題考查了有理數的乘方，解題的關鍵是熟練掌握乘方的意義．

【變式1】（2023·全國·七年級假期作業）如圖是某種細胞分裂示意圖，這種細胞每過30分鐘便由1個分裂

成2個．根據此規律可得：

(1)這樣的一個細胞經過2小時后可分裂成多少個細胞？

(2)這樣的一個細胞經過多少小時后可分裂成64個細胞？

【答案】(1)16

(2)3

【分析】（1）根據題意，2小時是4個30分鐘，從而得到答案；

（2）根據題意，得到規律，設經過n個30分鐘得到64個細胞，列方程求解即可得到答案．

【詳解】（1）解：經過2小時，即第4個30分鐘后，可分裂成2416個細胞，

經過2小時后，可分裂成16個細胞；

（2）解：根據題意，一個細胞第1個30分鐘分裂成2個，即21個細胞；

第2個30分鐘分裂成4個，即22個；

…

依此類推，第n個30分鐘分裂為2n個細胞；

\2n=64，解得n6，

經過6個30分鐘，即3小時后可分裂成64個細胞．

【點睛】本題考查冪的應用，熟記冪的相關定義及計算是解決問題的關鍵．

題型05用科學記數法表示絕對值大于1的數

【典例1】（2023春·江西南昌·九年級?？茧A段練習）我國神舟十三號載人飛船的起飛推力為5923000牛．將

5923000用科學記數法表示應為．

【答案】5.923106

【分析】科學記數法的表示形式為a10n的形式，其中1a10，n為整數．確定n的值時，要看把原

數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值10時，n是正整

數；當原數的絕對值1時，n是負整數．

【詳解】解：59230005.923106．

故答案為：5.923106．

【點睛】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a10n的形式，其中1a10，n

為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．

【變式1】（2023秋·山西太原·七年級?？计谀?016年5月下旬，中國大數據博覽會在貴陽舉行，參加此

次大會的約有89000人，將89000用科學記數法表示為．

【答案】8.9′104

【分析】科學記數法的表現形式為a10n的形式，其中1a10，n為整數，確定n的值時，要看把原

數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值大于等于10時，n

是正數，當原數絕對值小于1時n是負數；由此進行求解即可得到答案．

【詳解】解：890008.9104,

故答案為：8.9′104．

【點睛】本題主要考查了科學記數法，解題的關鍵在于能夠熟練掌握科學記數法的定義．

【變式2】（2022秋·山西忻州·七年級?？茧A段練習）第二屆“一帶一路”國際合作高峰論壇于2019年4月25

日至27日在北京召開，“一帶一路”建設進行5年多來，中資金融機構為“一帶一路”相關國家累計發放貸款

約2500億元，重點支持了基礎設施、社會民生等項目．數據2500億用科學記數法表示為．

【答案】2.51011

【分析】科學記數法的表現形式為a10n的形式，其中1a10，n為整數，確定n的值時，要看把原

數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值大于等于10時，n

是正數，當原數絕對值小于1時n是負數；由此進行求解即可得到答案．

【詳解】解：2500億2500000000002.51011，

故答案為：2.51011．

【點睛】本題主要考查了科學記數法，解題的關鍵在于能夠熟練掌握科學記數法的定義．

一、單選題

2

1．（2020秋·廣東汕頭·七年級汕頭市龍湖實驗中學?？计谥校?（）

A．16B．16C．8D．8

【答案】B

【分析】根據乘方法則計算即可．

2

【詳解】解：416，

故選B．

【點睛】本題考查了乘方運算，解題的關鍵是掌握乘方的運算法則，注意符號．

2

2．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·七年級校聯考期中）已知a1與b3互為相反數，則ab的值為（）

A．1B．0C．1D．3

【答案】C

22

【分析】根據a1與b3互為相反數可得a1b30，由非負數的性質可得a10，b30，

求出a、b的值，進行計算即可．

2

【詳解】解：a1與b3互為相反數，

2

a1b30，

2

a10，b30，

a10，b30，

解得：a1，b3，

ab131，

故選：C．

【點睛】本題考查了相反數的意義、非負數的性質、有理數的乘方，根據相反數的意義和非負數的性質求

出a、b的值是解題的關鍵．

3．（2023春·黑龍江哈爾濱·六年級哈爾濱德強學校校考期中）下列各組數中，數值相等的是（）

322

A．23和32B．23和2C．23和232D．5和52

【答案】B

【分析】根據乘方的定義以及乘法法則解決此題．

【詳解】解：A、因為238，329，所以23和32不相等，故A不符合題意；

33

B、因為-23=-8，28，所以23和2相等，故B符合題意．

22

C、因為2336，23218，所以23和232不相等，故C不符合題意．

22

D、因為525，5225，所以5和52不相等，故D不符合題意．

故選：B．

【點睛】本題主要考查乘方以及乘法，熟練掌握乘方的定義以及有理數的乘法法則是解決本題的關鍵．

4．（2023秋·山西太原·七年級?？计谀倚l健委6月20日通報，截至2021年6月19日，31個?。ㄗ?/p>

治區、直轄市）和新疆生產建設兵團累計報告接種新冠病毒疫苗101萬劑次．其中，101萬用科學記數法表

示為（）

A．1.01104B．1.01′106

C．101104D．0.101107

【答案】B

【分析】用科學記數法表示較大的數時，一般形式為a10n，其中1|a|10，n為整數．

【詳解】解：101萬10100001.01106．

故選：B．

【點睛】本題考查了科學記數法，科學記數法的表示形式為a10n的形式，其中1|a|10，n為整數．確

定n的值時，要看把原來的數，變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當

原數絕對值10時，n是正數；當原數的絕對值1時，n是負數，確定a與n的值是解題的關鍵．

5

122

5．（2023秋·河北石家莊·七年級校考期末）下列數或式子：23，，5，0，m1在數軸上所對應的

2

點一定在原點右邊的有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】B

【分析】在原點右邊的數即正數，所以先根據有理數乘方的定義化簡各數，繼而可得答案．

5

31122

【詳解】解：280，0，5250，0，m110，

232

∴在數軸上所對應的點一定在原點右邊的個數為2，

故選：B．

【點睛】本題主要考查有理數的乘方，正確理解題意，依據數軸上原點右邊的數表示正數，左邊的數表示

負數及有理數的乘方運算法則即可解決．

6．（2023·全國·七年級假期作業）如圖，某種細胞經過30分鐘由一個分裂成2個，若要這種細胞由一個分

裂成16個，那么這個過程要經過（）

A．1.5小時B．2小時C．3小時D．4小時

【答案】B

【分析】根據題意30分鐘由一個分裂成2個，依次計算即可．

【詳解】解：第一次：30分鐘變成2個；

第二次：1小時變成224個；

第三次：1.5小時變成238個；

第四次：2小時變成2416個；

故選：B．

【點睛】本題考查了有理數的乘方，解題的關鍵是熟練的掌握有理數的乘方的相關知識點．

二、填空題

2

222

7．（2022秋·七年級單元測試）計算：，．

33

44

【答案】

93

【分析】直接根據乘方運算法則求解即可．

2

222224

【詳解】解：；

333339

22224

；

333

44

故答案為：；．

93

【點睛】本題考查有理數的乘方運算，掌握基本的運算法則是解題關鍵．

8．（2023春·福建福州·八年級統考期末）數據877000用科學記數法表示為．

【答案】8.77105

【分析】科學記數法的表示形式為a10n的形式，其中1a10，n為整數確定n的值時，要看把原數變成

a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值10時，n是正整數，當

原數的絕對值1時，n是負整數．

【詳解】解：8770008.77105，

故答案為：8.77105．

【點睛】此題考查了科學記數法的表示方法，科學記數法的表示形式為a10n的形式，其中1a10，n為

整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．

9．（2023春·湖南衡陽·七年級?？计谀┮阎猘，b滿足|a3|(b2)20，則式子(ab)2022的值是．

【答案】1

【分析】根據絕對值和平方式的非負性求出a、b，再代值求解即可．

2

【詳解】解：∵|a3|(b2)20，a30，b20，

∴a30，b20，

解得：a3，b2

20222022

∴ab321，

故答案為：1．

【點睛】本題考查絕對值和平方式的非負性、有理數的混合運算和代數式求值，理解非負數的性質并正確

求解是解答的關鍵．

11

10．（2023·浙江·七年級假期作業）一根1米長的木棒，小明第一次截去全長的，第二次截去余下的，依

33

1

次截去每一次余下的，則第五次截去后剩下的木棒長為米．

3

32

【答案】

243

2

1212

【分析】根據題意可求出第一次截去全長的，剩下1米，第二次截去余下的，剩下1，從而即

3333

5

1232

可得出第五次截去余下的，剩下1米．

33243

112

【詳解】解：第一次截去全長的，剩下111米，

333

2

11124

第二次截去余下的，剩下1111米，

33339

…

5

1232

第五次截去余下的，剩下1米．

33243

32

故答案為：．

243

【點睛】本題考查有理數乘方的應用，數字類規律探索．理解乘方的定義是解題關鍵．

11．（2023春·黑龍江哈爾濱·六年級統考期末）現規定一種新的運算“”：abab，如32329，則

1

2．

2

1

【答案】

4

【分析】根據題中所給的運算方法列出乘方的式子，再根據乘方的運算法則進行計算即可．

【詳解】解：abab，如32329，

2

111

2，

224

1

故答案為：．

4

【點睛】本題考查的是有理數的混合運算，熟知數的乘方法則是解答此題的關鍵．

12．（2023秋·廣東深圳·七年級統考期末）字母a表示一個有理數，下列關于a的運算：

232

①a2a②a3a③a2a④a3a3

其中一定成立的有（把你認為正確的序號都填上）．

【答案】/

【分析】根①據②冪②的①意義，絕對值的意義分別判斷即可．

2

【詳解】解：①aaaa2，故正確；

3

②aaaaa3，故正確；

2

③aaaa2a2，故錯誤；

333

④當a0時，aa3；當a<0時，aaa3，故錯誤；

故答案為：①②．

【點睛】本題考查了有理數的乘方，絕對值，體現了分類討論的思想，掌握正數的絕對值等于它本身，負

數的絕對值等于它的相反數，0的絕對值等于0是解題的關鍵．

三、解答題

13．（2023·全國·七年級假期作業）計算：

3

(1)()2；

2

3

(2)()2；

2

(3)53；

42

(4)．

3

9

【答案】(1)

4

9

(2)

4

(3)125

16

(4)

3

【分析】根據有理數乘方運算法則計算即可．

3339

【詳解】（1）()2()；

2224

3339

（2）()2()()；

2224

（3）53(555)125；

424416

（4）．

333

【點睛】本題考查了有理數的乘方，熟練運用乘方的運算法則是解本題的關鍵．

3

14．（2022秋·江蘇泰州·七年級校考期中）把下列各數在數軸上表示出來，并用“＜”號連接起來：1.5，1，

1

--2)，2，2

(22

13

【答案】數軸見解析，22211.52

2

【分析】首先在數軸上確定表示各數的點的位置，再用小于號連接即可．

311

【詳解】解：11，2=2，2，22，

2422

如圖所示：

13

∴22211.52．

2

【點睛】此題主要考查了有理數的比較大小以及絕對值化簡和乘方運算，關鍵是掌握在數軸上表示的兩個

有理數，右邊的數總比左邊的數大．

a

15．（2023·浙江·七年級假期作業）規定:ab13b.

(1)求73的值；

(2)若2x9，求x的值.

【答案】(1)27

(2)x2

【分析】（1）根據原式將a7、b3代入即可求解；

（2）將a2，bx代入等式，即可求解x的值．

7

【詳解】（1）原式13327；

（2）2x9，

2

13x9，

3x9，

x2．

【點睛】本題考查新型定義下的數學運算，熟練掌握有理數的乘方運算法則是解題的關鍵．

16．（2023·浙江·七年級假期作業）已知a與-3互為相反數，b與2互為倒數．

(1)a；b．

2

(2)當mabn0時，求nm的值

1

【答案】(1)3；

2

1

(2)

8

【分析】（1）根據相反數、倒數的定義求解即可，只有符號不同的兩個數互為相反數，相乘等于1的兩個

數互為倒數；

（2）根據絕對值以及平方的非負性，求得m,n的值，進而根據有理數的乘方進行計算即可求解．

【詳解】（1）解：∵a與-3互為相反數，b與2互為倒數．

1

∴a3,b

2

1

故答案為：3；．

2

2

1

（2）由題（1）可知，m3n0

2

1

由絕對值的非負性、平方數的非負性得：m30,n0

2

1

解得：m3,n

2

3

m11

將m和n的值代入得：n，

28

【點睛】本題考查了相反數、倒數的定義，非負性以及有理數的乘方運算．熟練掌握非負數的和為