小專題之球的截面及外接、內切球問題

立體幾何中，有關球的截面及外接、內切球的問題，在高考中常在選填題的最后一題出現.這類題目要求學生有較強的空間想象能力和準確的運算能力，很多同學在研究空間幾何體的外接球問題時，常常因缺乏空間想象力而感到束手無策，因此這部分知識是學生掌握較為薄弱、

認識較為模糊，

看到就頭疼的題目．分析原因，除了這類題目的入手確實不易之外，主要是學生沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產生畏懼心理．

事實上，有時無需畫出整個球體，只需要找出球心和半徑即可，或者畫出球的大圓轉化為平面幾何問題.這一小節我們主要研究常見的截面問題及常見幾何體的外接、內切球問題，給出解決此類問題的一個思路，引導學生學會思考，以后即使遇到難題，也有一個思考方向.多邊形的外接圓

如果把幾何體放在球體中，幾何體的底面或側面多邊形會內接于圓，在我們解決外接球問題之前，我們需要先處理一下多邊形的外接圓問題，下面我們給出幾種常見多邊形的外接圓半徑.1.正三角形的外接圓若正三角形的邊長為a，則其外接圓半徑

，如圖1.2.矩形的外接圓長和寬分別為a，b的矩形，外接圓半徑

，如圖2.圖1圖23.正六邊形的外接圓

邊長為a的正六邊形外接圓半徑

，如圖3.4.一般三角形的外接圓

若三角形的一邊長為a，其所對角為α，則其外接圓半徑

，如圖4.圖3圖4球的截面球的截面形狀

(1)當截面過球心時，截面的半徑即為球的半徑，此時球的截面就是球的大圓；(2)當截面不過球心時，截面的半徑小于球的半徑，此時球的截面就是球的小圓.球的截面的性質(1)球心和截面圓心的連線垂直于截面，如圖5；圖5(2)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿足關系式：

，如圖6；(3)過兩截面的圓心作垂直于截面的直線，兩直線交于一點，交點即為球心(兩面定球心)，如圖7，圖8.圖5圖6圖7圖8例1.在半徑為5的球內有一個截面，球心到該截面的距離為3，則該截面的面積為_________.1.一平面截一球得到直徑為

的圓面，球心到這個平面的距離是2，則該球的體積是()A.B.C.D.2.球面上有三點

A

，B，C

，其中BC=3，∠BAC=30°

，過A，B，C

三點作球的截面，球心到截面的距離為4，則該球的體積為_________.3.已知球的表面積是676π，球內有兩個平行截面的面積分別是25π，144π，求兩截面的距離.外接球類型一：長方體模型在長方體模型中，如圖1，因為長方體的體對角線就是球的直徑，所以我們不用找球心的位置，直接求體對角線即可. 公式如下：

，即.圖1

當然，在實際做題中，出題人很少直接給出長方體這樣比較友好的幾何體，多數情況下給出的是錐體，比如像墻角(如圖2)這樣的錐體，它可以看成是長方體切割而成的，所以在求外接球時，可以補形成長方體，再求體對角線即可.可以補形成長方體的錐體有很多，我們再給出兩個例子如圖3、圖4，以供參考.圖2圖3圖4例2.已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個球的表面積是()A.B.C.D.4.若三棱錐的三個側棱兩兩垂直，且側棱長均為

，則其外接球的表面積是_______.5.已知三棱錐ABCD的四個頂點A，B，C，D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且，，，則球O的表面積為()A.B.C.D.6.如果三棱錐的三個側面兩兩垂直，它們的面積分別為6，4，3，那么它外接球的表面積是______.

在所有可補形為長方體的錐體里面有一類較為特殊——對棱相等模型，即三棱錐(四面體)中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑，如圖5，若已知

AB=CD=x，AC=BD=y，AD=BC=z，求外接球半徑.解法：第一步：設出長方體的長寬高分別為：a，b，c，列出方程組：第二步：根據長方體模型，.圖5例3.正四面體的各條棱長都為

，則該正四面體外接球的體積為_______.7.在三棱錐ABCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，則三棱錐ABCD外接球的表面積為_______.8.表面積為

的正四面體的外接球的表面積為()A.B.C.D.9.已知三棱錐ABCD，三組對棱兩兩相等，且AB=CD=1，，若三棱錐ABCD的外接球表面積為，則AC=_______.類型二：漢堡模型

如果圓柱體內接于球，這樣的模型我們稱之為漢堡模型，在漢堡模型中，圓柱體的上下兩底面圓的圓心連線的中點是外接球的球心，圓柱體軸截面矩形的外接圓是大圓，該矩形的對角線(外接圓直徑)是球的直徑.解法：第一步：確定球心O的位置，上下底面的圓心分別為O1，O2，則O為

O1O2的中點；第二步：確定底面小圓O1

的半徑r，圓柱的高h(也即AA1或O1O2的長)，則

；

第三步：在Rt△AOO1中使用勾股定理，

圖6

當然了，出題人對我們總是不太友好的，直勾勾的給出圓柱求外接球太過于簡單，更常見的是棱柱或棱錐.在這里我們必須要指出：直棱柱的外接球與該棱柱外接圓柱體有相同的外接球，基于此，對于一些直棱柱，我們可以將其補形成圓柱體，這樣只需求出底面多邊形外接小圓的半徑和圓柱的高，再利用公式即可求外接球半徑.下面我們給出幾個示例，如圖7、圖8、圖9，我們可以發現，即使直棱柱再丑，也能補形再計算.圖7圖8圖9

對于錐體而言，如果有一條側棱垂直于底面，那么這樣的錐體是可以補形為直棱柱的，也就可以補形為圓柱體再求外接球半徑即可.我們也給出幾個例子，如圖10、圖11、圖12.圖10圖11圖12

從這幾個例子我們可以看出，不論是三棱錐、四棱錐、....，只要有一條側棱垂直于底面，那么它就可以補形成對應的直三棱柱、直四棱柱、...，然后再補形成圓柱計算即可.和長方體模型對比，我們可以看出，當直四棱柱是長方體時，漢堡模型就是長方體模型，因此漢堡模型更加一般.*學有余力的同學其實已經發現了，即使沒有側棱垂直于底面，但只要頂點在底面上的投影點落在底面多邊形外接圓上的時候，就可以補形成直棱柱了，如圖13.圖13例4.設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱長都為a，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為()A.B.C.D.10.已知圓柱的高為2，底面半徑為

，

若該圓柱的兩個底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的表面積等于()A.B.C.D.11.已知直三棱柱ABCA1B1C1的6個頂點都在球O的球面上.若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，則球O的半徑為()A.B.C.D.12.一個正六棱柱的側棱垂直于底面，且該六棱柱的頂點都在同一個球面上，

已知該棱柱的體積為

，底面周長為3，則這個球的體積為_______.13.直三棱柱ABCA1B1C1的各頂點都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，則此球的表面積等于_________.

如果圓錐內接于球，這樣的模型我們稱之為圓錐模型，在圓錐模型中，外接球球心在圓錐的高所在直線上；圓錐軸截面(等腰三角形)的外接圓是大圓，該三角形的外接圓直徑是球的直徑.類型三：錐體模型解法：第一步：確定球心O的位置，底面圓心為O1，頂點為P，則P，O，O1三點共線；

第二步：確定底面小圓O1

的半徑r，棱錐的高h(也即PO1

的長)；

第三步：在

Rt△AOO1

中使用勾股定理：

圖14

到這里如果大家還對出題人抱有希望那可能就要讓你失望了，首先這個圓錐的位置就可能不太友好，如圖15，這里我們的公式就要換一換了，此時有但結果卻是一樣的.圖15

如果出題人想為難大家，給出的不是圓錐而是棱錐，當然這里是正棱錐，如圖16，我們可以把正棱錐補形成圓錐來進行計算.那有的同學就要問了：是不是只有正棱錐才能補形成圓錐呢？答案并不是，其實只要頂點在底面的投影是底面多邊形所在小圓的圓心（或者側棱相等）的棱錐即可補形為圓錐，如圖17.圖16圖17例5.底面半徑為

，母線長為2的圓錐的外接球的表面積為()A.B.C.D.14.正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為1，底面邊長為

，則該球的表面積為________.15.已知正三棱錐SABC的側棱長為，底面邊長為6，則該正三棱錐外接球的表面積為________.16.已知正四棱錐PABCD的側棱和底面邊長都等于，則它的外接球的表面積為()A.B.C.D.類型四：臺體模型

如果圓臺內接于球，那么球心一定在上下底面圓心的連線上，此時外接球問題可以簡化為球的截面問題，根據臺體的上下底面在球心的同側或異側可以分為兩類，設上底面圓的半徑為r1，球心到上底面圓心的距離為

h1，下底面圓的半徑為r2，球心到下底面圓心的距離為h2，圓臺的高為h.第一類：當臺體的上下底面都在球心的一側時，如圖19，圖20，此時我們有第二類：當臺體的上下底面都在球心的兩側時，如圖21，圖22，此時我們有

當然了，出題人給出的是棱臺可怎么辦呢？沒關系，棱臺可以補形成圓臺，它們的外接球是一樣的求法，轉化為截面問題.圖18圖19圖20圖21例6.某圓臺的母線長為2，母線與軸所在直線的夾角是60°，且上、下底面的面積之比為1:4，則該圓臺外接球的