2009年全國1高考理科數學試題及答案第Ⅰ卷考生注意： 1．答題前，考生在答題卡上務必用0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號、填寫清楚，并貼好條形碼．請認真核準條形碼上的準考證號、姓名和科目． 2．每小題選出答案后，用2Ｂ鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．在試題卷上作答無效． 3．本卷共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．參考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面積公式 如果事件相互獨立，那么 其中表示球的半徑 球的體積公式 如果事件在一次試驗中發生的概率是，那么 次獨立重復試驗中恰好發生次的概率 其中表示球的半徑一、選擇題(1)設集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，則集合中的元素共有（A）（A）3個（B）4個（C）5個（D）6個解：，故選A。也可用摩根律：（2）已知=2+i,則復數z=（B）（A）-1+3i(B)1-3i(C)3+i(D)3-i解：故選B。(3)不等式＜1的解集為（D）（A）｛x(B)（C）(D)解：驗x=-1即可。(4)設雙曲線（a＞0,b＞0）的漸近線與拋物線y=x2+1相切，則該雙曲線的離心率等于(C)（A）（B）2（C）（D）解：設切點，則切線的斜率為.由題意有又解得:.(5)甲組有5名男同學，3名女同學；乙組有6名男同學、2名女同學。若從甲、乙兩組中各選出2名同學，則選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有(D)（A）150種（B）180種（C）300種(D)345種解:分兩類(1)甲組中選出一名女生有種選法(2)乙組中選出一名女生有種選法.故共有345種選法.選D（6）設、、是單位向量，且·＝0，則的最小值為(D)（A）（B）（C）(D)解:是單位向量故選D.（7）已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，在底面上的射影為的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為（D）（A）（B）（C）(D)解：設的中點為D，連結D，AD，易知即為異面直線與所成的角,由三角余弦定理，易知.故選D（8）如果函數的圖像關于點中心對稱，那么的最小值為（A）（B）（C）(D)解:函數的圖像關于點中心對稱由此易得.故選A(9)已知直線y=x+1與曲線相切，則α的值為(B)(A)1(B)2(C)-1(D)-2解:設切點，則,又.故答案選B（10）已知二面角為，動點P、Q分別在面α、β內，P到β的距離為，Q到α的距離為，則P、Q兩點之間距離的最小值為（C）(A)(B)2(C)(D)4解:如圖分別作，連，又當且僅當，即重合時取最小值。故答案選C。（11）函數的定義域為R，若與都是奇函數，則(D)(A)是偶函數(B)是奇函數(C)(D)是奇函數解:與都是奇函數，，函數關于點，及點對稱，函數是周期的周期函數.，，即是奇函數。故選D12.已知橢圓的右焦點為,右準線為，點，線段交于點，若,則=(A)(a).(b).2(C).(D).3解:過點B作于M,并設右準線與x軸的交點為N，易知FN=1.由題意,故.又由橢圓的第二定義,得.故選A第II卷二、填空題：13.的展開式中，的系數與的系數之和等于。解:14.設等差數列的前項和為，若,則=。解:是等差數列,由,得.15.直三棱柱的各頂點都在同一球面上，若,，則此球的表面積等于。解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圓半徑r=2,設此圓圓心為，球心為，在中，易得球半徑，故此球的表面積為.16.若，則函數的最大值為。解:令,三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17（本小題滿分10分）（注意：在試題卷上作答無效）在中，內角A、B、C的對邊長分別為、、，已知，且求b分析:此題事實上比較簡單,但考生反應不知從何入手.對已知條件(1),左側是二次的右側是一次的,學生總感覺用余弦定理不好處理,而對已知條件(2)過多的關注兩角和與差的正弦公式,甚至有的學生還想用現在已經不再考的積化和差,導致找不到突破口而失分.解法一：在中則由正弦定理及余弦定理有:化簡并整理得：.又由已知.解得.解法二:由余弦定理得:.又,。所以…………………①又，，即由正弦定理得，故………②由①，②解得。評析:從08年高考考綱中就明確提出要加強對正余弦定理的考查.在備考中應注意總結、提高自己對問題的分析和解決能力及對知識的靈活運用能力.另外提醒：兩綱中明確不再考的知識和方法了解就行，不必強化訓練。18．（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，,，點M在側棱上，=60°（I）證明：M在側棱的中點（II）求二面角的大小。解法一：（I）作∥交于點E，則∥，平面SAD連接AE，則四邊形ABME為直角梯形作，垂足為F，則AFME為矩形設，則，由解得即，從而所以為側棱的中點（Ⅱ），又,所以為等邊三角形，又由（Ⅰ）知M為SC中點，故取AM中點G，連結BG，取SA中點H，連結GH，則,由此知為二面角的平面角連接，在中，所以二面角的大小為解法二:以D為坐標原點，射線DA為x軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標系D-xyz設，則（Ⅰ）設,則又故即解得，即所以M為側棱SC的中點（II）由，得AM的中點又所以因此等于二面角的平面角所以二面角的大小為總之在目前，立體幾何中的兩種主要的處理方法：傳統方法與向量的方法仍處于各自半壁江山的狀況。命題人在這里一定會照顧雙方的利益。19．（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結束，假設在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結果相互獨立，已知前2局中，甲、乙各勝1局。（I）求甲獲得這次比賽勝利的概率；（II）設表示從第3局開始到比賽結束所進行的局數，求得分布列及數學期望。分析：本題較常規，比08年的概率統計題要容易。需提醒的是：認真審題是前提，部分考生由于考慮了前兩局的概率而導致失分，這是很可惜的，主要原因在于沒讀懂題。另外，還要注意表述，這也是考生較薄弱的環節。解：記表示事件：第i局甲獲勝，i=3,4,5表示事件：第j局乙獲勝，j=3,4（Ⅰ）記B表示事件：甲獲得這次比賽的勝利因前兩局中，甲、乙各勝一局，故甲獲得這次比賽的勝利當且僅當在后面的比賽中，甲先勝2局，從而由于各局比賽結果相互獨立，故==0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648（II）的可能取值為2，3由于各局比賽結果相互獨立，所以===0.6×0.6+0.4×0.4=0.52=1.0.52=0.48的分布列為23P0.520.48=2×0.52+3×0.48=2.4820．（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）在數列中，（I）設，求數列的通項公式（II）求數列的前項和解：（I）由已知得，且即從而……于是=又故所求的通項公式（II）由（I）知,=而,又是一個典型的錯位相減法模型，易得=評析：09年高考理科數學全國(一)試題將數列題前置,考查構造新數列和利用錯位相減法求前n項和，一改往年的將數列結合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎知識、基本方法基本技能,重視兩綱的導向作用。也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心。21（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）如圖，已知拋物線與圓相交于、、、四個點。（I）求得取值范圍；（II）當四邊形的面積最大時，求對角線、的交點坐標分析：（I）這一問學生易下手。將拋物線與圓的方程聯立，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．（＊）拋物線與圓相交于、、、四個點的充要條件是：方程（＊）有兩個不相等的正根即可.由此得解得又所以考生利用數形結合及函數和方程的思想來處理也可以．（II）考綱中明確提出不考查求兩個圓錐曲線的交點的坐標。因此利用設而不求、整體代入的方法處理本小題是一個較好的切入點。設與的四個交點的坐標分別為：、、、。則直線的方程分別為解得點P的坐標為設，由及（I）知由于四邊形為等腰梯形，因而其面積則將代入上式，并令，得求導數令，解得（舍去）當時，；時，；時，故當且僅當時，有最大值，即四邊形的面積最大，故所求的點P的坐標為22.本小題滿分12分。（注意：在試題卷上作答無效）設函數在兩個極值點，且（I）求滿足的約束條件，并在下面的