2024—2025學年高三春季學期第三次模擬考試注意事項：一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知,若z∈R,則a的值是2.已知全集U={0,1,2,3},B={n∈N*|A?≤6},則CuB=A.{0}B.{1}C.{0,1}3.已知兩個變量x和y之間具有線性相關關系.老師要求甲、乙兩名同學在課下各自獨立地通過試驗求出其經驗回歸方程.甲同學做了15次試驗，乙同學做了12.次試驗，求得經驗回歸直線分別為l?和l?.老師在審核兩名同學的試驗數據時發現：兩人對變量x的觀測數據的平均值都是s,對變量y的觀測數據的平均值都是t.則下列說法正確的是A.l和l?必定重合B.L?與l?必定平行C.L?和l?一定有公共點(s,t)D.l?與l2相交，但交點不一定是(s,t)數學試題第1頁(共6頁)4.已知點(m,n)是函數y=x-1在第一象限內的圖象上的一點，則的最小值為A.45.如圖，從正六邊形ABCDEF的頂點和該正六邊形的中心O這七個點中任意選取三個點，若選出的三個點能構成三角形，則構成的三角形不是等邊三角形的概率是6.過點P(0,2)作一直線l與拋物線C:x2=2py(p>0)交于M,N兩點，若拋物線C在M,N兩點處的切線交于點Q,且點Q滿足IM+QN|=|M-7.已知△ABC的內角A,B,C滿足tanA+tanB—tan(A+B)=2tanAtanB,8.已知函數,則下列關于函數f(x)的極A.既沒有極大值點也沒有極小值點B.既有極大值點也有極小值點C.有且只有一個極小值點D.有且只有一個極大值點二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的9.已知在平面直角坐標系中，曲線)的離心率為直線4x+y-2=0在某一坐標軸上的截距，則k的值可能是A.57數學試題第2頁(共6頁)10.已知函數,g(x)=exlnx,則下列選項正確的是A.f(x)為偶函數C.曲線y=f(x)在點(1,3)處的切線斜率為一2D.Vx∈(0,+∞),不等式f(x)+g(x)>1.8恒成立11.如圖，兩個邊長均為1的正方形ABCD與正方形ABEF所在的平面互相垂直.點M,N分別是對角線AC,BF上的動點，且CM,BN的長度相等，記CM=BN=a(0<a≤√2),點P是線段MN上的一點.下列結論正確的是B.MN的最小值是C.三棱錐C-PBE與三棱錐B-MCE的體積相等D.若點A,B,C,D,E,F在同一個球的球面上，則該球的體積是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數f(x)=√3sin(x+θ)+cos(x+θ)是奇函數，則函數y=|f(x)|在13.已知a?,a?,a?是公差為d的等差數列，b?,b?,b?,b、是公比為q的等比數列，如果b?≤a?≤b?≤a?≤b?≤a?≤b?,且d=b?=1,那么q的最小值14.已知函數f(x)=e,g(x)=lnx,函數的圖象與曲線y=f(x)交于點A,B,與曲線y=g(x)交于點C,D,點A在第一象限，且A,B,C,D四點順次呈逆時針排列，則直線AC的斜率與直線BD的斜率的乘積為數學試題第3頁(共6頁)步驟.15.(本小題滿分13分)已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且(1)求B;(2)若c=√2,角A的平分線交BC于點D,且AD=√3,求b.16.(本小題滿分15分)(2)平面APQ與平面ABCD的交線記為直線l,點N為直線l上一動點，求直線MN與平面APQ所成角的范圍.17.(本小題滿分15分)學們不得再隨意走動或進出).通過連續10周的統計，得到如下數據(各講座間是否滿座互不影響):古詩詞鑒賞紅樓夢中主三國演義中的計謀古代文明的起源歷史與現實58755把統計得到的頻率看作概率，解答下列問題.座中，在某周三滿座的講座個數設為ξ,求ξ的分布列和數學期望.(2)連續統計的10周中，以第1～5周和第6～10周各為一個統計單元，如果在一個統計單元中，某一講座有4次或4次以上滿座，就在該統計單元的最后一周的周末邀請相關專家來校開設該主題的專家講座一次.在下一個連續10周中的兩個統計單元中，(i)求“古代文明的起源”這個講座在單個統計單元中開設專家講座的概率；座的概率.18.(本小題滿分17分)已知橢圓C?的左、右頂點分別為A?,A?,雙曲線(a>0,b>0)以橢圓C?的長軸為實軸，C?的漸近線方程為3x±5y=0.(1)求雙曲線C?的標準方程；(2)在第二象限內取橢圓C?上的一點M,連接A?M并延長，與雙曲線C?交于另一點P,連接PA?并延長，交橢圓C?于另一點N,若A?M=MP,求四邊形A?NA?M的面積；(3)在(2)的條件下，從直線A?P上取兩個不同的點K,L,使得△A?KL的面積為45,問：∠KA?L的正切值是否存在最大值?若存在，請求出最19.(本小題滿分17分)已知函數f(x)=x—mlnx—1(m∈R),及一個如下所示的n行n列的數陣第1列第2列第3列…第j列…第n列1其中ai,;(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n)表示第i行第j列的數.在該數陣中，第1列的數從上到下組成公差d=1的等差數列；第1行的數，對a1.1加上1后，得到的數列a1,1+1,a1,2,a1,3,…,a?,j,…,a?,列.已知aj,1=m,aij=ai,j-1+ai-1.;(其中i=2,3,…,n;j=2,3,…,n),且(1)求實數m的值；(2)記第2行的數從左到右組成的數列為{cn},第1列各數的和為Sπ.(i)求數列{cn}的通項公式；2024—2025學年高三春季學期第三次模擬考試數學參考答案題號123456789BCCABADD一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.B【試題立意】本題主要考查復數的有關概念及學生的計算能力.2.C【試題立意】本題主要考查排列數、一元二次不等式的解法及集合的基本運算，主要考查學生的計算能力.4.A【試題立意】本題以冪函數和基本不等式為載體，主要考查學生分析問題、解決問題的能力.【解析】由已知，得,且m>0,n>0,所以,當且僅當,即n=5.B【試題立意】本題主要考查條件概率的基本知識和學生分析問題、解決問題的能力.【解析】設事件A=“選出的三點能構成三角形”,B=“選出的三點構成的三角形不是等邊三角形”,則有n(A)=C3-3=32,n(AB)=C-3-6-2=24.所以，在選出的三點能構成三角形的條件下，構成的三角形不是等邊6.A【試題立意】本題主要考查拋物線、向量的基礎知識和導數的幾何意義，著重考查學生的計算能力及分析問題、解決問題的能力.【解析】設直線l:y=kx+2,M(x?,y?),N(x?,y?),將直線l的方程代入拋物線C的方程，得x2—2pkx-4p=,所以p=4.故選A.問題、解決問題的能力.【解析】因為A+B+C=π,所以tanA+tanB—tan(A+B)=tan(A+B)(1—tanAtanB)—tan(A+B)=—tanC(1—tanAtanB)+tanC=—tan..8.D【試題立意】本題以三角恒等變換及導數為載體，通過探求函數的極值點，著重考查學生的計算能力、分析所以sinx>0.所以f(x)x十0單調遞增單調遞減項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.ABD【試題立意】本題以橢圓、雙曲線的基礎知識為載體，重點考查學生的計算能力、分析問題的能力及分率,則該曲線為橢圓，k<9.當a2=16時，b2=9—k,c2=a2—b2=k+7>0,所以10.ACD【命題意圖】本題以函數與導函數為載體，考查導函數的幾何意義，基本不等式.【解析】由題得f(x)=f(一x),所以f(x)為偶函數，A正確.令,當x∈(0,1)上上單調遞增，所以1.又,所以f(x)+g(x)≥2√2-1>1.8,D正確.故選ACD.11.BCD【試題立意】本題是《選擇性必修第一冊》44頁18題的引申，目的是引導學生重視對課本基礎知識的掌握；本題通過對異面直線上兩點距離及最小值、錐體體積及外接球等知識的考查，重點考查學生的計算能力、分析問題的能力、邏輯推理能力和空間想象能力.【解析】如圖，在平面ABCD內，作MQ⊥AB于點Q,連接NQ.因為平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,所所以MQ⊥NQ,所以△MNQ為直角三角形.又CM=BN=a(0<a≤√2),所以,所以當V三設修M-BCE,由MN//平面B把圖形補成正方體，可知過A,B,C,D,E,F六點的球即為該正方體的外接球，其半徑為,所以該球的體積正確.故選BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.√3【試題立意】本題主要考查三角恒等變換、三角函數的圖象與性質等基礎知識，重點考查學生的計算能力以及利用數形結合的思想來分析問題、解決問題的能力..由f(x)是奇函數，知),所以f(x)=±2sinx.易知y=|f(x)|=2|sinx|是偶函數且y=If(x)|在上單調遞減，在上單調遞增.,所以y=|f(x)|在上的最大值是√3.數學參考答案第3頁(共11頁)數學參考答案第4頁(共11頁)13.33【試題立意】本題通過對等差數列、等比數列知識的綜合考查，重點考查學生綜合利用基礎知識分析問題、解決問題的能力.國為本9的最小值，所以只露考慮a?=1時取等號.又(√2)?—(33)?=8-9<0,即(√2)?<(√3)?,即√2<33,所以q≥14.1【試題立意】本題利用指數函數與對數函數互為反函數，其圖象關于直線y=x對稱這一性質，來考查學生對基礎知識掌握的熟練程度，綜合利用基礎知識分析問題、解決問題的能力以及邏輯推理能力.【解析】函數f(x)=e與g(x)=Inx互為反函數，它們的圖象關于直線y=x對稱，函.1的圖象是由函數的圖象先向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度得到的，所以其圖象也B(x?,y?),C(xs,ys),D(x則有x?=y?,x:=y?,x?=y?,x?=y?,四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.【試題立意】本題考查三角函數、正弦定理、余弦定理等有關知識，并以此為載體考查學生的計算能力和分析問題、解決問題的能力.【解析】(1)對等式兩邊平方，.………1分解得.………………3分又-,所以…………………5分(2)方法一：如圖，在△ABD中，由正弦定理得……………………9分由余弦定理得,………………12分所以b=√6.…………………13方法二：如圖，在△ABD中，由正弦定理所以……………………7分所14所以……………………12分解得b=√6.…………16.【試題立意】本題主要考查空間線面關系、線面角及空間向量的有關知識，并以此為載體考查學生的計算能力、空間想象能力、分析問題的能力和邏輯推理能力.【解析】(1)在長方體ABCD-EFGH中，CD⊥平面ADHE又AD=2,點P為MD的中點，所以AP⊥MD4分中點，數學參考答案第5頁(共11頁)則即令xo=1,可求得平面APQ的一個法向量為n=(1,0,√3)…………又由PQ//CD,CDC平面ABCD,所以PQ//平面ABCD.又由平面APQN平面ABCD=L,知PQ//L,所以AN//PQ.……………………12分設直線MN與平面APQ所成的角為θ,則當λ=0,即點N與點A重合時取等號.又,所以故直線MN與平面APQ所成角的范圍是……………15分方法二：由題圖易得平面APQN平面ABCD=AB.即直線l即為直線AB……7分因為點P,Q分別是線段MD,MC的中點，所以PQ//CD,所以PQ⊥MD.所以MN與平面APQ所成的角和MN與MD所成的角互余…………………10分當MN最短，即MN⊥AB時，∠NMD最小，即MN與平面APQ所成的角最大，此時點A與點N重合……………………12分由(1)知AM=2,又MD=2,所以AD=AM=MD=2.所以,所以MN與平面APQ所成的最大角為當MN無限長時，MN與MD所成的角無限接近于所以MN與平面APQ所成的角無限接近于0.…………………14分故直線MN與平面APQ所成的角的范圍是17.【試題立意】本題考查古典概型、互斥事件、相互獨立事件的概率計算公式及二項分布的有關知識，著重考查學生的計算能力、分析問題及解決實際問題的能力.【解析】(1)由題意，知ξ的可能取值為0,1,2,3.因為“古詩詞鑒賞”“紅樓夢中主要人物剖析”“三國演義中的計謀”這三個講座滿座的概率分別為數學參考答案第6頁(共11頁)所以P(ξ=1)=2×(1-告)×(1-0)+(1-2)×4×(1-36)+(1-2)×(1-4)×10=50,所以ξ的分布列為4分ξ0123Pξ的數學期望為……………6分(2)(i)由題知“古代文明的起源”這個講座每次滿座的概率為.…………7分所以該講座在單個統計單元中開設專家講座的概率為.………………9分(ii)在下一個連續10周中的兩個統計單元中，“古代文明的起源”“歷史與現實”這兩個講座共開設3次專家講座，則“古代文明的起源”開設2次，“歷史與現實”開設1次，或者“古代文明的起源”開設1次，“歷史與現實”開設2次.因為“歷史與現實”每次滿座的概率為所以由(2)(i)知“古代文明的起源”“歷史與現實”每個講座在單個統計單元中開設專家講座的概率均為……………………………方法一：這兩個講座每個講座開設2次專家講座的概率為,…………………11分開設1次專家講座的概率為因此，在下一個連續10周中的兩個統計單元中，“古代文明的起源”開設2次專家講座，“歷史與現實”開設1次專家講座的概率為……………13分同理，在下一個連續10周中的兩個統計單元中，“古代文明的起源”開設1次專家講座，“歷史與現實”開設2次專家講座的概率也為.…………………14分所以，“古代文明的起源”“歷史與現實”這兩個講座共開設3次專家講座的概率為………………15分方法二：“古代文明的起源”“歷史與現實”這兩個講座共開設3次專家講座的概率為18.【試題立意】本題主要考查橢圓、雙曲線、平面向量等有關知識，并以此為載體考查學生對基礎知識掌握的熟練程度，以及綜合運用基礎知識來分析問題、解決問題的能力和計算能力.【解析】(1)因為A?,A?是橢圓C:的左、右頂點，所以A?(-5,0),A?(5,0).…………………1分又雙曲線C?:)以橢圓的長軸為實軸，所以a=5.…………………2分由雙曲線C?的漸近線方程為3x±5y=0,知·,所以b=3.……………所以雙曲線C?的標準方程為…………………4分 因為A?(5,0),所以P點坐標為(2x。—5,2y。).……………5分將點M,P的坐標分別代入橢圓C?和雙曲線C?的方程，得所以,由此可得P(-10,3√3).…………………8分又A?(一5,0),可知直線PA的方程是),即(3)由(2)知，直線A?P的方程是,即3√3x+5y+15√3=0,數學參考答案第8頁(共11頁)以KL為弦作圓，當點A?位于以KL為弦的圓的最高點(以KL為參考線)時，∠KA?L可取到最大值，此時A?G⊥KL,A?K=A?L.………………15分因為,所以∠KA?……………………17分方法二：設∠KA?L為θ,又方法二：設∠KA?L由余弦定理可得，在△KA?L中KL2=A?K2+A?L2—2A?K·A?Lcosθ,又KL2≥2A?K·A?L—2A?K·A?Lcosθ=2A?K·A?L(1—cos所以,整理…………………15分所以,當且僅當A?K=A?L時等號成立.19.【試題立意】本題考查函數與導數、數列等有關知識，是函數與數列知識的交匯題目；并以此為載體考查學生的計算能力、分析問題的能力、邏輯推理