4.2.1直線與圓的位置關系

問題：一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預報：臺風中心位于輪船正西70km處，受影響的范圍是半徑長為30km的圓形區域。已知港口位于臺風中心正北40km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否

會受到臺風的影響？.xOy港口.輪船直線與圓的位置關系:(1)直線與圓相交，有兩個公共點；(2)直線與圓相切，只有一個公共點；(3)直線與圓相離，沒有公共點；問題：如何用直線和圓的方程判斷它們之間的位置關系？(1)利用圓心到直線的距離d與半徑r的大小關系判斷：直線與圓的位置關系的判定方法：直線l：Ax+By+C=0圓C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)d>

rd=

rd<

r直線與圓相離直線與圓相切直線與圓相交(2)利用直線與圓的公共點的個數進行判斷：n=0n=1n=2直線與圓相離直線與圓相切直線與圓相交△<0△=0△>0例1、如圖，已知直線l:3x+y-6和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0，判斷直線l與圓的位置關系；如果相交，求它們的交點坐標。.xyOCABl分析：方法一，判斷直線L與圓的位置關系，就是看由它們的方程組成的方程有無實數解；方法二，可以依據圓心到直線的距離與半徑長的關系，判斷直線與圓的位置關系。解法一：由直線L與圓的方程，得

消去y，得因為△=所以，直線L與圓相交，有兩個公共點。解法二：圓可化為，其圓心C的坐標為（0，1），半徑長為，點C（0，1）到直線L的距離d＝＝==所以，直線L與圓相交，有兩個公共點．由，解得把＝2代入方程①，得＝０；把＝1代入方程①，得＝３．所以，直線L圓相交，它們的坐標分別是Ａ（２，０），Ｂ（１，３）．＜直線與圓的位置關系判斷方法：一、幾何方法。主要步驟：利用點到直線的距離公式求圓心到直線的距離作判斷:當d>r時，直線與圓相離；當d=r時，直線與圓相切;當d<r時，直線與圓相交把直線方程化為一般式,利用圓的方程求出圓心和半徑把直線方程與圓的方程聯立成方程組求出其Δ的值比較Δ與0的大小:當Δ<0時,直線與圓相離；當Δ=0時,直線與圓相切;當Δ>0時,直線與圓相交。二、代數方法。主要步驟：利用消元法，得到關于另一個元的一元二次方程例2、已知過點M（-3，-3）的直線l被圓x2+y2+4y-21=0所截得的弦長為，求直線l的方程。.xyOM.EF分析:

若直線經過圓內的一定點，那么該直線必與圓交于兩點，因此可以從直線過定點的角度去考慮問題.

解(1)將直線l的方程變形，得

m(2x+y-7)+(x+y-4)=0．∵對于任意的實數m,方程都成立，13此時l方程y-1=2(x-3)，即2x－y－5=0練習1:對任意實數k,圓C:x2+y2-6x-8y+12=0與直線L:kx-y-4k+3=0的位置關系是()A相交B相切C相離D與k值有關A2:已知圓x2+y2=8，定點p(4,0)，問過p點的直線的傾斜角在什么范圍內取值時，這條直線與圓(1)相切，(2)相交，(3)相離一只小老鼠在圓(x-5)2+(y-3)2=9上環行，它走到哪個位置時與直線l

：3x+4y-2=0的距離最短，請你幫小老鼠找到這個點并計算這個點到直線l的距離。

p最短距離為2小結：判斷直線和圓的位置關系