8數學廣角——優化單元集體備課本單元數學廣角滲透了優化思想。主要是通過日常生活中的一些簡單事例，讓學生嘗試從數學的角度在解決問題的多種方案中尋找最優的方案，初步體會運籌策略在實際生活中的應用，進而理解優化的數學思想。本單元編排了3個例題。例1沏茶，思考怎樣合理安排沏茶的各環節才能讓客人盡快喝上茶，其中“合理”“省時”是優化沏茶各程序的思考角度；例2烙餅，在探究烙3張餅怎樣最省時的基礎上，需探索烙更多張餅的最優策略和方法，探究其中的規律且明確道理，難度略深于例1；例3田忌賽馬，其中蘊含的策略方法更抽象一些。3個例題的編排順序由淺入深，層次清晰，符合學生的認知水平和思維水平，有利于學生理解和體會數學思想。由于優化思想和對策方法都是比較系統、抽象的數學思想方法，在這里只是讓學生通過簡單的事例，初步體會優化思想和對策方法在解決實際問題中的應用，初步培養學生的應用意識，提高解決實際問題的能力。學生只要能從解決問題的多種方案中尋找出最優的方案，初步體會優化思想的應用就可以了，并不要求學生一看到問題就能從數學的角度給出最優的方案。另外，教師在教學中也不要使用運籌、優化和對策等數學化的語言進行描述。通過之前的學習，學生已經初步體會了分析比較、邏輯推理等重要的數學思想，后續階段還將滲透化歸、優化等思想，可見本單元數學廣角的運籌策略在整個小學數學教學中的重要地位。本單元教學內容中無論是真實的生活情境（沏茶、烙餅），還是生動有趣的歷史故事，都能極大引發四年級學生探究生活中的數學問題的興趣。但是如何將生活中的問題用數學知識解決，對于學生來說，還是有一定的難度。特別是烙餅問題，生活中可能見過烙餅，但是很少用到這樣的數學知識，教學時需要通過具體的情境幫助學生理解。1.本單元教學難點在于如何讓學生在解決具體的問題中感悟抽象的數學思想。解決這個難點的關鍵就是將“做”與“思”有機結合，循序漸進，發展學生的抽象能力和推理能力。如何讓學生經歷由具體到抽象這一循序漸進的過程呢？一方面，為學生營造實踐感悟的空間，實踐中體驗解決問題的多種策略，比較中尋求最優策略，體驗中感悟優化思想，避免只有直觀沒有抽象，或直接闡述數學思想而疏漏體驗感悟的過程。另一方面可利用圖、表將外化的“做”濃縮為內隱的“思”，在動手操作中提升思維活動，將行為的感知升華為理性的思維認知，使學生在發展思維能力的同時理解抽象的數學思想。2.在教學中應設計很多實踐活動，讓學生在動手操作中感悟優化思想，尋找解決問題最優方案，提高學生解決問題的能力。可以通過用硬幣擺一擺幫助學生理解，還可以用流程圖的方式表示解決問題的順序或方案，教給學生設計方案的具體方法。3.對烙餅問題可以打破常規，不是先求烙1張、2張、3張……這樣一直求下去，而是求完烙2張之后，接著求烙4張、6張、8張、10張……這些雙數的張數，再求烙3張。求烙3張在這里是重點也是難點，讓學生通過討論、合作、探究來解決問題，再接著求烙5張、7張……這些單數的餅的時間。這樣處理的目的是降低題目的難度，有利于學生思考、解決問題。第1課時優化1：沏茶問題?教學內容教科書P104例1，完成P105“做一做”第1題，P107“練習二十”第1題。?教學目標1.通過解決實際生活中的問題，引導學生明確做事要考慮先后順序，認識到解決問題策略的多樣性，學會選擇合理、省時的方法解決問題。2.經歷安排做事的過程，探究最優方案，培養學生的擇優意識與解決問題的能力。3.感受生活與數學的聯系，體會通過合理安排可以節省時間、提高效率，讓學生逐漸養成合理安排時間的良好習慣。?教學重點根據事情的先后順序合理安排時間。?教學難點會用流程圖表示事情的安排順序。?教學準備課件。?教學過程一、基于經驗，感知優化1.課件出示情境。師：你們認為怎樣安排這兩件事情最省時間？【學情預設】因為生活中有類似的經驗，學生基本上能想到吃早飯的同時收聽新聞廣播可以節約時間。2.導入課題。師：看來大家都是珍惜時間、節約時間的小能手。今天這節課就跟老師一起來學習關于優化時間、合理安排時間的知識。（板書課題：優化1：沏茶問題）【設計意圖】從學生熟悉的生活情境引入，喚起學生對合理安排時間的認知經驗，順勢導入新課的教學，激發學生的探究熱情。二、深入探究，統籌優化1.課件出示教科書P104例1的情境圖。【教學提示】這一環節不需要提出省時的要求，而是先讓學生自由設計做事的順序，通過比較再來體會不同策略的合理性和優勢。【教學提示】這一環節不需要提出省時的要求，而是先讓學生自由設計做事的順序，通過比較再來體會不同策略的合理性和優勢。2.小組合作，探究方案。師：先想一想你要先做什么，再做什么，最后做什么，再來計算做這些事情所需要的時間。學生在組內交流。【學情預設】學生對燒水沏茶有一定的生活經驗，基本上能夠說清做這些事情的大概步驟，只不過這些方案可能是不省時的，他們會按照先后順序去設計而忽略時間問題，當然也有學生會想到有些事情可以同時做而省時的方案。【教學提示】此環節中為了讓學生表述更清晰，老師應該滲透流程圖的教學。【教學提示】此環節中為了讓學生表述更清晰，老師應該滲透流程圖的教學。展示學生不同的方案，并結合學生的交流結果進行板書。【學情預設】師：你們覺得他們的思路清晰嗎？哪種方案更好？好在哪里？【學情預設】通過交流，學生能感受到在燒水的同時洗茶杯、找茶葉這種方法更省時間，這就是最優方案。【設計意圖】數學中的統籌規劃、優化省時，都是源于生活實際需要。讓學生在獨立探究、互相交流中逐漸優化方法、培養優化意識，給學生提供充分的空間，在學生匯報交流時，教師適時引導、恰當提問，進而引發學生思考。4.小結方法。師：通過解決以上問題，同學們知道怎樣合理安排時間了嗎？引導學生小結：我們應該先思考完成一項工作要做哪些事情，再考慮哪些事情可以同時做，再寫出做事情的順序，最后計算所需要的時間，只有這樣才能達到既合理又省時的目的。三、鞏固應用，深化認識1.課件展示教科書P105“做一做”第1題。師：想一想，哪些事情是可以同時完成的呢？【學情預設】通過教科書P104例1中優化方法的引導，做這道題時學生能夠想到可以在等開水降為溫水的同時找感冒藥、量體溫，這樣可以節約時間，盡快吃上感冒藥。2.課件展示教科書P107“練習二十”第1題。師：從這道題中你讀到了什么數學信息？要解決的問題是什么？【學情預設】學生能從題目中讀到爸爸媽媽各自要辦的事情和每個流程所花的時間，要解決的問題是辦完事回到家至少需要多長時間。師：“至少”是什么意思？引導學生明確“至少”是花的時間越短越好，所以這里需要從兩個方面思考設計行走路線：一是爸爸媽媽分頭辦事，計算至少需要的時間；二是爸爸先送媽媽到商場后，再辦自己的事情，計算所需要的時間。最后比較兩種方案所需時間的長短。【設計意圖】這道題意在考查學生思考問題的有序性和全面性，并引導學生關注多種策略，在比較中體會優化思想。四、課堂小結，暢談收獲師：同學們，今天的數學課你們有哪些收獲呢？?板書設計?教學反思本節課是一節數學活動課，這個內容與學生的生活實際有密切聯系，日常生活中學生經常會遇到，也有一些感性上的認識。在解題過程中放手讓學生思考應該做哪些事情、怎樣安排做事的順序、如何表述更加清楚、哪種方案更合理，從而通過簡單的運籌問題向學生滲透優化思想，使學生從中體會優化思想在解決生活問題中的作用，感受數學的魅力。通過與實際相結合的教學活動，培養學生統籌規劃的意識，提高學生分析問題、解決問題的能力。?作業設計見對應課時作業。碼頭上有三艘輪船等待裝貨，甲船要12小時裝滿，乙船要8小時裝滿，丙船要9小時裝滿。因人手不足，只能一艘一艘地裝，要使三艘船的等待時間的總和最少，應該按怎樣的順序裝貨？參考答案應該按乙→丙→甲的順序裝貨。第2課時優化2：烙餅問題?教學內容教科書P105例2，完成教科書P105“做一做”第2題，P107“練習二十”第2題。?教學目標1.讓學生在探究中積累數學活動經驗，初步感悟優化的數學思想。2.在操作、比較、交流等活動中，嘗試尋求解決問題的最優方案，發展學生的合情推理能力及分析問題、解決問題的能力。3.體會數學與生活的密切聯系，養成合理安排時間的良好習慣。?教學重點體驗解決策略的多樣化，并在尋求最優方案中，初步感悟優化的數學思想。?教學難點烙3張餅的最優方案。?教學準備課件。?教學過程一、情境引入1.閱讀與理解。課件出示教科書P105例2的情境圖。師：你們從圖中讀到了哪些數學信息？能用自己的話說一說嗎？【學情預設】學生能明確烙熟1張餅需要烙兩個面，每面要烙3分鐘，這個鍋每次最多只能烙2張餅，當然1張餅也能烙。2.思考與交流。師：烙1張餅需要幾分鐘呢？【教學提示】用數學書代替“餅”來進行直觀演示烙的過程，學生很有興趣，邊“烙”邊說，教師順勢教給學生用簡單符號記錄過程的方法。【學情預設】引導學生用數學書代替【教學提示】用數學書代替“餅”來進行直觀演示烙的過程，學生很有興趣，邊“烙”邊說，教師順勢教給學生用簡單符號記錄過程的方法。板書：1張餅正——反時間：6分鐘師：烙2張餅又需要幾分鐘呢？【學情預設】有學生會說烙1張餅是6分鐘，烙2張餅就是2個6分鐘，也就是12分鐘了。當然也有學生會想到一次能烙2張餅，我們可以把2張餅一起烙，這樣可以節約時間和能源。師：你們覺得誰的辦法好？【學情預設】同時烙2張餅的方法好。引導學生用2本數學書同時“烙一烙”：先同時放上2本數學書的正面，用時3分鐘，再同時放上2本數學書的反面，也用時3分鐘，烙熟這2張餅一共用時6分鐘。板書：2張餅正1正2——反1反2時間：6分鐘師追問：為什么烙2張餅和烙1張餅都用6分鐘？【學情預設】學生依據自己的生活經驗，能夠解決烙1張餅和2張餅需要花費多長時間的問題，學生的困難在于不知道如何簡單地記錄烙餅的方法。3.課件集中演示。師：這里老師為了讓大家看得更清楚，在課件中用圓圈代表鍋和餅給大家演示烙1張餅和2張餅的方法。4.完善信息，引出課題。師：知道了烙1張和2張餅需要的時間，那烙3張餅又要用多長時間呢？怎樣才能盡快吃上餅？這就是這節課我們要研究的問題——烙餅問題。（板書課題：優化2：烙餅問題）【設計意圖】通過對“烙餅信息”的辨析，弄清了問題，明確了方法——以數學書充當“餅”作為操作道具，以簡單符號來記錄烙法，為后續的探究和建模奠定基礎。二、經歷過程，探究新知1.探究交流，優化方法。【教學提示】提醒學生探究時如果覺得有困難可以借助書本或學具動手擺一擺。師：烙【教學提示】提醒學生探究時如果覺得有困難可以借助書本或學具動手擺一擺。學生獨立思考后，記錄下烙的方法和時間。【學情預設】學生可能會出現如下兩種烙餅方法：預設1：正1正2——反1反2——正3——反3用時3×4＝12（分鐘）預設2：正1正2——反1正3——反2反3用時3×3＝9（分鐘）2.全班交流。隨著學生的交流，課件演示烙餅的方法。【教學提示】這里要提醒學生要把第【教學提示】這里要提醒學生要把第2張餅換下來是為了后面不讓鍋有空位，這樣才能更省時。引導討論：為什么第一種烙法比第二種烙法多用了3分鐘呢？【學情預設】學生會發現因為第一種烙法多烙了一次，其中有兩次鍋里只有1張餅，這就浪費了時間，而第二種烙法每次都保證了鍋里有2張餅，沒有讓鍋空出來，讓時間浪費。最后學生們能統一認為：第一種方法雖然也是可行的，但是第二種方法用的時間更少，是最優方法。板書：3張餅正1正2——反1正3——反2反3時間：9分鐘3.回顧與反思。師：想一想，烙3張餅還有沒有比烙3次花9分鐘更短的時間？【學情預設】學生快速反應這是不可能的，因為在這3次烙餅的過程中每次都保證了鍋里有2張餅，已經充分利用了鍋的空間，沒有浪費時間，所以烙3次花9分鐘是最短的時間。4.進一步探究，建立模型。師：如果要烙4張餅呢？試試看。學生獨立探究后，全班交流。【學情預設】正1正2——反1反2——正3正4——反3反4用時3×4=12（分鐘）通過學生的交流引導學生發現烙4張餅的方法其實跟烙2張餅的方法是差不多的，先花6分鐘烙2張，再花6分鐘烙另外2張。師：你覺得還有哪些數量的餅可以用同樣的方法來烙？【學情預設】學生會發現烙雙數的餅可以用烙4張餅的這個方法來烙，比如6張、8張、10張……6張就分成3個2張來烙，8張就分成4個2張來烙……師：看來烙雙數張餅的時候，2張2張地烙最省時間。（板書）師：如果烙的不是雙數張，是單數張，比如說烙5張餅呢？【學情預設】有了之前探究烙雙數張餅和3張餅的經驗基礎，學生會知道讓鍋沒有空位用的時間最少，所以5張餅可以先烙2張用時6分鐘，再按烙3張餅的方法即烙3次用時9分鐘就可以完成任務，總共用時15分鐘。師：你能說說如果烙的是單數張餅我們該怎么烙最省時間嗎？引導小結：如果烙餅的張數是單數(大于3張)，可以先2張2張地烙，直到剩下3張，再按“烙3張餅”的最優方案去烙，最節省時間。（板書）【設計意圖】研究烙“3張餅”的時間是教學的關鍵點，也是教學的難點。這一環節將時間和空間交給學生，讓學生通過直觀操作、課件演示，自己發現“省時間”背后的奧秘。操作不是目的，是將內隱的思維外顯化，使學生感受省時的優化思想。后面4張、8張、10張……的探究則是將操作思維引向了抽象思維，學生通過2張餅的烙法能遷移到雙數張餅的烙法；5張餅的烙法則綜合了2張餅和3張餅的烙法，從而得到單數張餅的烙法是把它分成兩部分，先2張2張地烙，剩下的按“烙3張餅”的最優方案去烙，最節省時間。三、鞏固練習,綜合應用1.運用規律。師：照這樣的方法，如果要烙100張餅，最少需要多長時間？學生獨立完成后互相交流。【學情預設】學生能說出100是雙數，可以2張2張地烙最省時間，100張里面有50個2張，烙2張需要6分鐘，那么50個2張就需要50×6=300（分鐘）。2.課件展示教科書P105“做一做”第2題。引導學生用簡單的符號來表示玩游戲的過程，要想花的時間最少，必須每局都是雙人玩。【設計意圖】問題中的“至少”體現需從優化角度來安排3人玩游戲的活動。3.課件展示教科書P107“練習二十”第2題。引導學生用圖示的方法來呈現檢查的順序，至少要用9分鐘。【設計意圖】保證每項檢查沒有空閑是節省時間的最優策略，用圖示方法簡化解決問題的過程，不僅體現符號意識的培養，而且達到提高學生抽象思維能力的目的。四、課堂小結，暢談收獲師：同學們，今天的數學課你們有哪些收獲呢？?板書設計?教學反思本節課通過對“烙餅問題”的研究，使學生從數學的角度經歷在多種解決問題的方案中尋求最優方案的過程，初步體會運籌策略在解決實際生活問題中的應用，進而理解和掌握優化的數學思想。學生掌握優化思想不是一節課就能達到的，但是我們要在有限的時間內不斷讓學生感悟是非常重要的。教學中，教師設問：烙1張餅和2張餅為什么都是6分鐘？同樣是3張餅，9分鐘比12分鐘的時間省在哪？烙2張餅需要6分鐘，多1張餅為什么只多3分鐘？學生在思考中，由淺入深地感受到“最省時”的道理，也就體現了學生對優化思想的感悟。?作業設計見對應課時作業。用一口平底鍋烙餅，餅的兩面都要烙，每烙完一面，需要3分鐘。一口平底鍋一次只能烙兩張餅。烙3張餅，至少需要多少分鐘？通過比較，第（）種方法最節省時間，所以烙3張餅，至少需要（）分鐘。如果一口平底鍋每次最多只能烙2張餅，那么只要保證每次在平底鍋中放線張餅，就最節省時間。參考答案61866123339三9[我發現]2第3課時優化3：田忌賽馬問題?教學內容教科書P106例3，完成教科書P106“做一做”，P107“練習二十”第3題。?教學目標1.在活動過程中體會對策論方法在解決實際問題中的應用，認識解決問題策略的多樣性，形成從多種方案中尋找最優方案的意識。2.在獨立思考、合作交流的探究過程中，嘗試用數學的方法解決生活中的簡單問題，提升觀察概括、分析思考和解決問題的能力。3.在研究過程中激發興趣、開闊眼界，感悟對策論與日常生活的密切聯系及重要性，讓學生進一步學會用數學的眼光觀察生活，提高應用意識。?教學重點在解決問題的多種策略中，認識和感悟最優策略。?教學難點在具體問題的解決過程中感受抽象的數學思想方法，將所學知識與實際生活聯系起來并且學會運用。?教學準備課件。?教學過程一、故事導入1.課件出示教科書P106例3。師：同學們聽過“田忌賽馬”的故事嗎？這個故事講的是齊國的大將田忌與齊王賽馬以弱勝強的故事。【教學提示】學生在講故事時，引導學生說清楚馬的基本情況（他們都有上、中、下三種等級的馬，而且在同等級的馬中，田忌的馬都不如齊王的馬）。他們先是怎么比的？后來又是怎么比的？【教學提示】學生在講故事時，引導學生說清楚馬的基本情況（他們都有上、中、下三種等級的馬，而且在同等級的馬中，田忌的馬都不如齊王的馬）。他們先是怎么比的？后來又是怎么比的？師：這個故事到底是怎樣的？誰能來講一講？【學情預設】課前已經讓學生查閱了資料，了解了這個故事的來龍去脈，學生基本上能講清楚故事的大概內容。2.提示課題。師：聰明的孫臏是怎么想到這個好辦法從而贏了齊王的？還有沒有別的贏齊王的方法呢？今天這節課我們就一起來探究。（板書課題：優化3：田忌賽馬問題）【設計意圖】通過課前讓學生查閱“田忌賽馬”的故事，讓學生通過講故事的形式引入思考：“聰明的孫臏是怎么想到這個好辦法從而贏了齊王的？還有沒有別的贏齊王的方法呢？”從而揭示課題，能更有效地激發學生的探究熱情。二、經歷過程，探究新知1.探究交流，找到對策。師：田忌和齊王賽馬到底有多少種不同的策略？你們能說一說嗎？學生獨立思考后，記錄賽馬的方法和結果，完成后和同桌說一說，再全班交流。【學情預設】學生想到的方法可能是不全面的，甚至是凌亂的、無序的。由于之前已經研究過搭配問題，所以有部分學生會知道應該有序思考問題。【教學提示】提醒學生探究時如果覺得有困難可以借助學具動手擺一擺，再完成填表。【教學提示】提醒學生探究時如果覺得有困難可以借助學具動手擺一擺，再完成填表。學生匯報完畢后，引導學生將這些策略進行有序整理，呈現下表：師：仔細觀察這張表格，你發現了什么？【學情預設】學生會發現一共有6種策略，齊王贏了5次，田忌只贏了1次，所以孫臏找到的這種方法就是唯一方法，也就是最優策略。師小結：把解決問題的所有可能性都一一找出來，然后從中找到最優策略，這是數學中一種很重要的方法。（板書)3.回顧與反思。師：想一想，田忌要想贏齊王，必須具備什么條件？我們是怎樣證明這個策略是贏齊王的唯一策略的？【學情預設】學生可能會說要讓齊王先派馬，田忌最低級的馬對齊王最高級的馬（先輸一場），田忌其他的馬對齊王略低一等的馬，這樣就會保證勝利。通過列表法按順序把所有策略一一列出來，從而證明這種策略是唯一能贏齊王的。師小結：在應對策略中找到“最優策略”，能順利實施并取得“以弱勝強”的結局需要滿足以下前提條件：一是齊王先出，且知曉他的應對策略；二是全盤考慮，田忌一方必須以最弱的馬對齊王最強的馬，然后再依次應對，從而整體取勝。【設