第二十八章第2節《解直角三角形及其應用》提高訓練（25）

一、單選題

1.如圖所示，從一熱氣球的探測器A點，看一棟高樓頂部B點的仰角為30。，看這棟高樓底部C

點的俯角為60。，若熱氣球與高樓的水平距離為30m,則這棟高樓高度是（）

A.60mB.40^/3mC.30^73mD.60^/3m

2.如圖所示，。尸是NAOC的平分線，點2在0P上，人5，。。于點。，NA=45°,點8到

OA的距離為2,則AB長為（）

A.2B.2A/3C.2A/2D.3

3.如圖，下列判斷正確的是（）.

Ar.

\［北

45。1c

力酶匚三工

BD

A.5看3的仰角是HO48'B.A看3的俯角是45°

C.C看B的俯角11。48'D.B在。的南偏西78°52'

4.如圖，在平面直角坐標系中，已知點4（0,1）,42在無軸的正半軸上，且N。41A=60。，過點

4作44,44交y軸于點4；過點小作AA,，4A交無軸于點4；過點4作交y

軸于點4；過點4作AA,±A4A交尤軸于點4；…按此規律進行下去，則點A2019的坐標是（）

2018

A.(O,-(V3))B.(―(百)2。19,0)

C.(O,(^)2018)D.((gyoi'O)

5.如圖，在菱形ABC。中，28=45。，AE為邊上的高，將A4BE沿AE所在直線翻折,

得到AAB'E，若C'B=4i-l，則菱形的邊長為()

A.—B.2C.1D.J2

2

6.如圖，嘉琪在一座橋的附近試飛一架小型無人機，為了測量無人機飛行的高度A。，嘉琪通過

操控裝置測得無人機俯視橋頭3,C的俯角分別為/￡鉆=60。和NE4c=30°,且。，B,C

在同一水平線上，已知橋3c=30米，則無人機的飛行高度">=()

A.15米B.15山米C.(156-15)米D.(15如+15)米

7.如圖，矩形ABCD中，N54c=60。.以點A為圓心，以任意長為半徑作弧分別交AB、AC于

點、M、N,再分別以點M、N為圓心，以大于的長為半徑作弧交于點尸，作射線AP交

2

BC于點、E，若BE=1，則矩形ABC。的面積等于（）

C.3+6D.373

8.如圖，某天然氣公司的主輸氣管道從A市的北偏東60。方向直線延伸，測繪員在A處測得要安

裝天然氣的M小區在A市的北偏東30°方向，測繪員由A處沿主輸氣管道步行1000米到達點C處,

測得M小區位于點C的北偏西75。方向，試在主輸氣管道上尋找支管道連接點N,使點N到該

小區鋪設的管道最短，此時鋪設的管道的最短距離約是（）.

（參考數據：V2?1.414,百B1.732）

C.634米D.700米

9.如圖，豎直放置的桿A3,在某一時刻形成的影子恰好落在斜坡CD的。處，而此時1米的桿

影長恰好為1米,現量得3c為10米，CD為8米，斜CD與地面成30。角，則桿的高度43為（）

米.

D

A.6+4A/3B.10+4囪C.8D.6

10.如圖，學校某數學興趣小組想測量操場對面旗桿A6的高度，他們在C點測得旗桿頂部A的

仰角為35。，再沿著坡度為3：4的樓梯向下走了3.5米到達。處，再繼續向旗桿方向走了15米到

達E處，在E處測得旗桿頂部A的仰角為65。，己知旗桿A3所在平臺BE的高度為3.5米，則旗

桿的高度為（）（結果精確到0.1,參考數據：tan35°a0.7,tan65°?2.1）.

A.19.8米B.19.7米C.18.3米D.16.2米

11.如圖，在A處測得點尸在北偏東60°方向上，在3處測得點P在北偏東30°方向上，若AB=2

米，則點P到直線A5距離PC為().

A.3米B.G米C.2米D.1米

二、解答題

12.如圖1,在△ABC中，AB=A桓,ZB=45°,ZC=60°.

(1)求邊上的高線長；

(2)如圖2,若點￡為線段A8的中點，點尸在邊AC上，連接EF,沿EF將4AEF折疊得到4PEF.連

接AP,當PFLAC時，求PF的長.

13.綜合實踐

數學課上，各小組進行了特殊四邊形的探究活動，如圖所示，在AABC中，分別以AB,AC,BC

為邊在5c的同側作等邊三角形MD,等邊三角形ACE,等邊三角形6b.

F

\E

BC

(1)奮進小組發現：四邊形ZM跖是平行四邊形，請你完成證明；

(2)當四邊形ZM砂是矩形時，求Nfi4c的度數；

(3)當四邊形ZME尸是菱形時，若NZME=120。，請直接寫出與。咒之間的數量關系.

14.某“綜合與實踐”小組開展了測量本校對面山上一座古塔高度的實活動，他們制訂了方案，并利

用課余時間完成了實地測量.他們在該山腳的一塊平地上，選擇兩個不同測點，分別測量山頂和塔

頂的俯角，以及這兩個測點之間的距離.為了減小測量誤差，小組在測量俯角的度數以及兩個測點

之間的距離時，都分別測量了三次并取它們的平均值為測量結果，測量數據如下表(不完整).

課題測量山上塔的高度

測量工具測量角度的儀器，皮尺等

說明：線段CD表示山高，CB表示塔的高，測量

角度的儀器的高度=座；=15〃,端點B,C,

測量示意圖

國D,A,E在同一豎直平面內，點D,C,B共線，

6<E,

點D,A,E共線.

測量項目第一次第二次第三次平均值

NS4D的度數63.6°63.3°63.3°63.4°

NCED的度數29.9°29.8°30.3°30°

測量數據

NBED的度數44.9°45.3°44.8°—

A,E之間的距

50.1m49.8m50.1m—

離

任務一：三次測量的度數平均值是；A,E之間的距離的平均值是__________m.

任務二，根據以上測量結果，請你幫助該“綜合與實踐”小組求出塔的高度.

(結果精確至【J0.1m.參考數據：sin63.4?！?.89,cos63.4。“0.45,tan63.4。a2.00,右。1.73，

V2?1.41)

15.熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30。，看這棟高樓底部的俯角為60。,

熱氣球與高樓的水平距離為66m,這棟高樓有多高？（結果精確到0.1m,參考數據：百。1.73）

dS0

ffslOB

ss0

i58-

-1

s一_

w

能

腿

16.如圖1是小明在健身器材上進行仰臥起坐鍛煉時的情景，圖2是小明鍛煉時上半身由ON位置

運動到與底面CD垂直的OM位置時的示意圖，已知AC=0.66米，BD=0.26米，a=30°（參

考數據：73=1.732,72=1.414)

（1）求AB的長

（2）若ON=0.6米，求M、N兩點的距離（精確0.01）

17.已知NA5C=90。，AB=2,BC=3,AD//BC,尸為線段上的動點，點。在射線A3

(1)當AD=2,且點。與點B重合時(如圖2所示)，求線段PC的長;

3

(2)在圖1中，聯結AP，當AO=—,且點。在線段A5上時，設點5、。之間的距離為x,

2

S

二，其中表示的面積，S"表示^PBC的面積，求y關于1的函數關系式，

3△PBC

并寫出函數定義域；

(3)當且點。在線段A5的延長線上時(如圖3所示)，求NQPC的大小.

18.在AABC中，AB=AC,點D、E分別是BGAC的中點，將△CDE繞點C按順時針方向

旋轉一定的角度，連接3nAE.

圖①圖②

(1)如圖①，當NBAC=60。時，填空:

②直線AE所夾銳角為；

類比探究

AE

(2)如圖②，當NB4C=90°時，試判斷——的值及直線3aAE所夾銳角的度數，并說明理由；

BD

拓展應用

(3)在(2)的條件下，若DE=也,將△CDE繞著點C在平面內旋轉，當點D落在射線AC

上時，請直接寫出AE?的值.

19.二七紀念塔位于鄭州市二七廣場，是獨特的仿古，它是為紀念京漢鐵路工人大罷工而修建的紀

念性建筑物.學完三角函數知識后，某校“數學社團”的劉明和王華決定用自己學到的知識測量二七

紀念塔的高度.如圖，CD是高為1米的測角儀，在D處測得塔頂端A的仰角為40。，向塔方向前

進38米在E處測得塔頂端A的仰角為60。，求二七紀念塔AB的高度(精確到1米，參考數據

5Z/7400?0.64,c<?540°h0.77ja“40°?0.84,6?1.73).

A

20.綜合與探究：如圖，已知拋物線y=2/+4x-6與x軸交于A，3兩點，點A在點3的左側,

與y軸交于點c,拋物線的對稱軸/與％軸相交于點D.

(1)求點A，B,C的坐標；

(2)若點E為坐標平面內一點，且AE=BE=CE,求點E的坐標；

(3)在拋物線上是否存在點P,使tanNABP=《tanNABE?若存在，求出滿足條件的所有點P

的坐標；若不存在，請說明理由.

21.已知矩形ABC。，AD=36，CD=3,半徑為1.5的。8分別與A3，BC交于點E，小

甲蟲P從點E以每秒1個單位長度的速度繞著圓周順時針爬行，再次回到點E時停止，設爬行時

間為/秒.

(1)ZDBA=0；當/=時，小蟲距離點。最遠.

(2)小明說：“當=時，AP與08相切.”你同意的他的觀點嗎？若同意，請求出此時，

2

的值.

(3)連接AC,AP,CP,直接寫出△ACP面積的最大值和最小值.

22.如圖，小明的家在某住宅樓A3的最頂層，他家對面有一建筑物CD,他很想知道建筑物的高

度，他首先量出A到地面的距離(AB)為16加，又測得從A處看建筑物底部C的俯角戊為30。，看

建筑物頂部。的仰角廠為53°且A3，CD都與地面垂直，點A，B,C,。在同一平面內.

(1)求與CD之間的距離(結果保留根號)；

(2)求建筑物CD的高度(結果精確到1相).

參考數據：sin53°?0.8,cos53°?0.6,tan53°?1.3,73?1.7.

23.如圖1,在平行四邊形ABC。中，AB=6,BC=1Q,NABC=60°,點/在5c邊上,

且6,點尸在CD邊上，由點C向點。運動，以為邊在平行四邊形A6CD內部作等邊

△MPQ,連接AP，AM^BQ,設CP=X.

上

M

LBMC,WC

圖1備用圖備用圖

(1)判斷AP與3Q的數量關系：AP______BQ.

(2)若x=4,①求/到3。的距離；

②求AMP。的面積；

(3)求出AMPQ的面積與x的關系.

24.如圖1,已知等腰MAABC中，E為邊AC上一點,過E點作EFLAB于F點，以EF為邊作

正方形EFAG,且AC=3,EF=2

—

B

圖1圖3

(1)如圖1,連接CF,求線段CF的長；

(2)將等腰MAABC繞A點旋轉至如圖2的位置，連接BE,M點為BE的中點，連接MC、MF,

求MC與MF的關系；

(3)將AABC繞A點旋轉一周，請直接寫出點M在這個過程中的運動路徑長為一.

25.在A48C中，ZC=?,。。是△ABC的內切圓，。尸分別與CA的延長線、CB的延長線以及

直線AB均相切，。。的半徑為相，。尸的半徑為

(1)當a=90°時，AC=6,8C=8時，m=,n=.

(2)當a取下列度數時，求AA8C的面積(用含有機、九的代數式表示，并直接寫出答案).①如

圖，a=90°；②如圖，a=60。.

26.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,動點尸從點。出發沿DA向終點A運動，同時

動點。從點A出發沿對角線AC向終點C運動，過點P作交AC于點E，動點P、Q

的運動速度是每秒1個單位長度，運動時間為x秒，當點P動到點A時，P、。兩點同時停止運

動,設PE=y.

?用圖

(1)求y關于x的函數關系式；

(2)探究：當X為何值時，四邊形PQ3E為梯形？

(3)是否存在這樣的點尸和點Q,使尸、。、E為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出

所有滿足要求的x的值；若不存在，請說明理由.

27.如圖，四邊形ABCZ)中，AD//BC,ZBCD=90°,AD=6,BC=3,于E,AC

交DE于F.

（1）若NZMB=60。，求CD的值.

AF

（2）若CD=4,求——的值.

FC

ME

（3）若CO=6,過A點作A〃〃C。交CE的延長線于M,求——的值.

EC

28.如圖，在一次空中搜尋中，水平飛行的飛機在點A處測得前方海面的點F處有疑似飛機殘骸

的物體（該物體視為靜止），此時的俯角為30。.為了便于觀察，飛機繼續向前飛行了800m到達B

點，此時測得點F的俯角為45。.請你計算當飛機飛臨F點的正上方點C時（點A,B,C在同一

直線上），豎直高度CF約為多少米？（結果保留整數.參考數據：73=1.7）

29.如圖，根據道路管理規定，在某筆直的大道AB上行駛的車輛，限速60千米/時，已知測速站

點M距大道AB的距離MN為30米，現有一輛汽車從A向B方向勻速行駛，測得此車從A點行

駛到B點所用時間為6秒，ZAMN=60°,ZBMN=45°.

（1）計算AB的長度（結果保留整數）.

（2）通過計算判斷此車是否超速.（溫馨提示：73=1.732,后W.414）

3

30.如圖，在平行四邊形ABCD中，于C,AB=10,tanZB=-,經過點C作圓。和

4

AB邊切于E點（E點可與點A、8重合），交BC邊、AC邊于尸、G.

(1)求BD的長；

(2)若點。在邊5c上，求弧的長；

(3)若點E與點A重合，判斷點。與圓。的位置關系；

(4)設圓。的半徑為「，直接寫出廠的取值范圍.

31.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,以AC為直徑作O。，點D在。。上，BD=BC,DEVAC

垂足為點E,DE與O。交于點M,連接BO,AM,

(1)證明：BD是OO的切線；

(2)若tan/AMD=/,AD=2A5，求O。的半徑長.

32.已知等腰==頂角NA=a,。為腰A6上一個點.將線段。。繞點。逆

時針旋轉a得到線段。E.

(1)如圖1,若tz=60°，求證:

①AE=BD；

②AEUBC.

(2)當點。從3運動至A時，

①若0=60°，則點E運動的路程是

②若0=90°，如圖2,則點E運動的路程是；_

③若。=120°，如圖3,則點E運動的路程是.

33.如圖所示，有一個繩索拉直的木馬秋千，秋千繩索AB的長度為4米，將它往前推進2米(即

DE=2米)，求此時秋千的繩索與靜止時所夾的角度及木馬上升的高度.(精確到0.1米)

34.如圖，A3是O。的直徑，點C是O。上一點，41c的平分線AD交O。于點。，過點。

作DE±AC交AC的延長線于點E.

(1)求證：OE是O。的切線；

(2)如果44c=60。，AE=求AC長.

35.如圖，某輪船在海上向正東方向航行，在點A處測得小島。在北偏東60。方向，之后輪船繼

續向正東方向行駛1.5〃到達3處，這時小島。在船的北偏東30。方向36海里處.

(1)求輪船從A處到3處的航速.

(2)如果輪船按原速繼續向正東方向航行，再經過多少時間輪船才恰好位于小島。的東南方向？

36.如圖①半的直徑為4，過點作CO,A3,且CO=4,延長OB到點。，使0。=3,以0C、

OD為鄰邊作矩形ODEC.

發現：若點P在半O。上，則PE的最大值是，PE的最小值是.

圖①

思考：如圖②，將半O。繞點3逆時針旋轉90。得到半00',求半0。'與矩形ODEC重疊部分圖

形的面積；

圖②

探究：若將矩形ODEC沿著過點。的直線翻折，使得邊CE所在直線翻折后的對應直線與半O。相

切，設切點為。，求點。到矩形ODEC的邊。E的距離.

圖③

37.如圖，AE//BF,AC平分44石，且交8歹于點C,BD平分NABF，且交AE于點。,

連接CD.

(1)求證：四邊形ABCD是菱形；

(2)若NADB=30°,BD=6,求AD的長.

38.小明要測量公園里被湖水隔開的兩個涼亭A和3之間的距離，他在A處測得涼亭3在A的北

偏東75。方向，他從A處沿南偏東60。走了100米到達。處，測得涼亭3在C的北偏東45。方向.

C

(1)求NA3C的度數；

(2)求兩個涼亭A,B之間的距離.(結果精確到1米)

（參考數據：V2?1.414,73?1.732）木造2.449）

39.如圖，早上8：00,一艘輪船以15海里/小時的速度由南向北航行，在A處測得小島P在北偏

西15。方向上，到上午10：00,輪船在B處測得小島P在北偏西30。方向上，在小島P周圍18海

里內有暗礁，若輪船繼續向前航行，有無觸礁的危險?

40.已知：如圖1,中，NACB=90°,CA=CB,等邊ACDE的邊CE在CB上，點。

在AB上.

(1)求證：ZACD=2ZBDE

A

(2)如圖2,將AAOC沿著CD翻折，得到ACD7L連接所，求證：AD=EF

(3)如圖3,在(2)的條件下，過點。作。G,CD交CB延長線于點G,若BE=m,

0G=4+2相.求AFDE的面積.

_3

41.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線>=辦2-QX+C與X軸交于點A、B,與y軸交于點C,直

線丫=工犬+2經過A、C兩點.

-2

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點。為線段AC上的一個動點，過點。作。E〃y軸，交拋物線于點E,過E作EFLy軸，

交直線AC于點F,以DE、EF為邊作矩形DEFG,矩形DEFG的周長能為10嗎？如果能，請求

出點E的橫坐標；如果不能，請說明理由；

(3)點尸是拋物線上的一個動點，當NPCAu/BC。時，請直接寫出點尸的坐標.

42.在一次課外活動中，小明和小華測量小山AF的高度，如圖，已知山底有一斜坡CE,通過測

量，斜坡CE的坡角為30。，小明沿斜坡坡腳E處行走至斜坡的中點。處，在。處測得山頂A的仰

角為53。，斜坡CE的長度為60m，坡頂C與小山的距離BC=100加，求小山A尸的高度.(結果精

t

確至!]0.1租,參考數據：cos53M).6,sin53°?0.8,tan53°~1.33,邪1HL73)

43.圖①是一輛吊車的實物圖，圖②是其工作示意圖，AC是可以伸縮的起重臂，其轉動點A離地

面BD的高度AH為3.6m.當起重臂AC長度為12m，張角NHAC為H8。時，求操作平臺。離

地面的高度.（結果保留小數點后一位）（參考數據：sin28°?0.47,cos28-?0.88,tan28°?0.53）

圖1

44.五星紅旗作為中華民族五千年歷史上第一面代表全體人民意志的民族之旗、團結之旗、勝利之

旗、希望之旗、吉祥之旗，是中華人民共和國的標志和象征.某校九年級綜合實踐小組開展了測量

學校五星紅旗旗桿A5高度的活動.如圖，他們在地面。處豎直放置標桿CD,并在地面上水平放

置一個平面鏡E，使得3,E，。在同一水平線上.該小組在標桿的尸處通過平面鏡E恰好觀測

到旗桿頂點A（此時NAEB=NEED）,在尸處分別測得旗桿頂點A的仰角為40。、平面鏡E的

俯角為45。，ED=L6米，問旗桿A5的高度約為多少米？（結果保留整數）

（參考數據：tan40°y0.8,tan50°?1.2,tan85°?11）

45.第十一屆全國少數民族傳統體育運動會于2019年9月8日至16日在鄭州舉行，據了解，該賽

事每四年舉辦一屆，是我國規格最高、規模最大的綜合性民族體育盛會.其中，花炮、押加、民族

式摔跤三個項目的比賽在鄭州大學主校區進行.如圖，鐘樓是鄭州大學主校區標志性建筑物之一,

是鄭大的“第一高度”，寓意來自五湖四海的鄭大人的團結和凝聚.小剛站在鐘樓前C處測得鐘樓頂

A的仰角為53。，小強站在對面的教學樓三樓上的。處測得鐘樓頂A的仰角為30。，此時，兩人的

水平距離EC為38加.已知教學樓三樓所在的高度為10m,根據測得的數據，計算鐘樓的高度.(結

434廠

果保留整數.參考數據：sin53%],cos53°~—,tan53°=y,73-1.73)

神□

□

秘萬□

□

□

46.如圖，河對岸有鐵塔AB,在C處測得塔頂A的仰角為30。，向塔前進14米到達D,在D處

測得A的仰角為45°,求鐵塔AB的高.

問題：如圖1,等邊三角形ABC的邊長為6,點。是NABC和44CB的角平分線交點，

ZFOG=120°，繞點。任意旋轉ZFOG,分別交AABC的兩邊于D,E兩點.求四邊形ODBE

面積.

討論：

①小明：在/尸OG旋轉過程中，當經過點3時，OG一定經過點C.

②小穎：小明的分析有道理，這樣我們就可以利用“ASA”證出△ODfiZAOEC.

③小飛：因為AODB會AOEC,所以只要算出AOBC的面積就得出了四邊形ODBE的面積.

老師：同學們的思路很清晰，也很正確.在分析和解決問題時，我們經常會借用特例作輔助線來解

決一般問題：請你按照討論的思路，直接寫出四邊形O0BE的面積：.

(2)應用方法：

①特例：如圖2,NR9G的頂點。在等邊三角形ABC的邊上，05=2,。。=4,邊

OGLAC于點E,ObLAB于點。，求的面積.

②探究：如圖3,已知NR7G=60°，頂點。在等邊三角形ABC的邊上，OB=2,OC=4,

記△5OD的面積為x,ACOE的面積為「求期的值.

③應用：如圖4,已知NR9G=60°，頂點。在等邊三角形ABC的邊CB的延長線上，05=2,

BC=6,記△5OD的面積為。，ACOE的面積為6,請直接寫出。與6的關系式.

48.如圖，矩形ABCD是供一輛機動車停放的車位示意圖，已知BC=2m,CD=5.4m,ZDCF=30°,

請你計算車位所占的寬度EF約為多少米？（小1.73,結果保留兩位有效數字.）

三、填空題

49.如圖，已知四邊形ABCD是菱形，按以下步驟作圖：①以頂點B為圓心，BD長為半徑作弧,

交AD于點E；②分別以D,E為圓心，以大于工DE的長為半徑作弧，兩弧交于點F,射線BF

2

交AD于點G,連接CG,若/BCG=30。，AG=3,則菱形ABCD的面積等于.

50.如圖，在邊長為1的菱形ABC。中，入4g=60。,將4A3。沿射線BD的方向平移得到^A'B'D',

分別連接AC,A'D,B'C,則AC+9C的最小值為.

51.如圖，梯形ABC。是攔水壩的橫斷面圖，（圖中，=1:若是指坡面的鉛直高度￡出與水平寬度

CE的比），ZB=60°.AB=6,AD=4,攔水壩的橫斷面ABCD的面積是（結果保留

三位有效數字，參考數據：退=1.732,72=1,414）

52.某人順著山坡沿一條直線型的坡道滑雪，當他滑過130米長的路程時，他所在位置的豎直高度

下降了50米，則該坡道的坡比是.

53.如圖，AC是高為30米的某一建筑，在水塘的對面有一段以BD為坡面的斜坡，小明在A點

觀察點。的俯角為30。，在A點觀察點3的俯角為45。，若坡面BD的坡度為1:百，則BD的長

為.

54.如圖，在△ABC中，/A=30°,/B=45°,AC=2j§",則SAABC

55.如圖1,把一張四邊形ABCD紙片中的△BDC沿直線BE翻折，C,D剛好重合，再把△ADE

沿直線AE翻折，如圖2,點D落點F處，點F在線段BE上，AF交BD于M,AE交BD于G,

原四邊形紙片中，ZBAD=90。，AB=AD=2710cm,CD=40cm，FG=cm,BM=

56.如圖①，在AABC中，把A3繞點A順時針旋轉1（?！?lt;1<180°）得到A3'，把AC繞點A

逆時針旋轉P得到AC，連接BC，當a=180。時，我們稱AAB'C是AABC的旋補三角形，

AAB'C'邊3'C'上的中線AD叫做AABC的旋補中線.

如圖②，當AABC為等邊三角形時，AA3'C'是AABC的旋補三角形，A。是旋補中線，與5C

的數量關系為：AD=BC；當5c=8時，則3'C'長為.

57.如圖，在△ABC中，NAC3=90。，。是3C邊上的一點，CD=2,以CD為直徑的O。與

AB相切于點E.若￡）￡的長為:萬，則陰影部分的面積為.（結果保留〃）

58.已知傳送帶與水平面所成斜坡的坡度i=l:回，如果它把物體送到離地面3米高的地方，那

么物體所經過的路程為米.

59.如圖.等邊△ABC的邊長為5,點D、E、F分別在三邊AC、AB、BC上，且AE=2,DF±DE,

ZDEF=60°,則DF的長為.

60.定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”.已知在“等對角

四邊形ABCD”中，/DAB=60°,NABC=90°,AB=4,CD=2,則邊BC的長是.

【答案與解析】

1.B

【解析】

作AD_LBC于D,由俯仰角得出NADB、/CAD的值，則由AD的長及俯仰角的正切值得出BD、

CD的長，BC的長即可求出.

過A作ADJ_BC,垂足為D在RtAABD中，VZBAD=30°,AD=30m,

.?.BD=AD?tan30°=30x—=1073(m),在RtAACD中，VZCAD=60°,AD=30m,

3

/.CD=AD*tan60°=30x.x/3=3073(m),.?.BC=BD+CD=1073+30^3=40^(m),

即這棟高樓高度是40Gm.

故選擇：B.

本題考查俯角與仰角的定義，要求學生能借助俯角與仰角構造直角三角形并會解直角三角形.

2.C

【解析】

先過B點作BELOA于E,再根據角平分線的性質得到BE=BD=2,最后再解直角△ABE,求出

AB即可.

解：如圖，過B點作BELOA于E,

：OF是/AOC的平分線，點B在OP上，BD±OC,

；.BE=BD=2

在RtAABE中，ZAEB=90°,ZA=45°

；.AB=^BE=20.

故答案為C.

本題考查了角平分線的性質和解直角三角形，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解答

本題的關鍵.

3.C

【解析】

根據仰角、俯角以及方位角的定義判斷即可.

A、判斷不正確；

B、判斷不正確；

C、判斷正確；

D、90°—11。48'=78°12'判斷不正確；

故選：C.

本題考查俯角、仰角、方位角的定義，正確的識別圖形是解題的關鍵.

4.A

【解析】

通過解直角三角形可得出點4的坐標，同理可得出點4，4，A，4，4，…的坐標，根據

坐標的變化可得出變化規律“點4〃+3的坐標為（0，32用）（〃為正整數）”，再結合2019=504x4+1即

可得出點4019的坐標，此題得解.

解：???ZO4A=60°,。4=1,

OA,=A/3

，點4的坐標為（G,0）,

同理，A3（0,-3,）,4（-3如，0）,A（0,9）,4（9A/3-0）,4（0,-27）,…，

點為”+3的坐標為（0,-32X）（“為正整數）.

Q2019=504x4+3,

???點42。19的坐標為（°，丁期）即（0,-（退）刈8）.

故選：A.

本題考查了特殊角的三角形函數值以及規律型：點的坐標，根據點的坐標的變化找出變化規律“點

&“+3的坐標為（0，32向）（〃為正整數）”是解題的關鍵.

5.C

【解析】

設菱形的邊長為a,用a表示BE與AB,再在RsABE中由三角函數關系求得a便可.

解：：四邊形ABCD是菱形，

；.AB=BC=CD=AD,

設AB=BC=CD=AD=a,

BB-a+^/2

由對折知，BE=BT>"+0T,AE±BB\

2

VZB=45°,

BE=AB*sin45°=

2

.ci+5/2—1sf2

?.--------------=------a,

22

解得,a=l,

故選：C.

本題考查了菱形的性質以及等腰直角三角形的性質，解直角三角形的應用，折疊的性質，關鍵是列

出關于a的方程，體現了方程思想.

6.B

【解析】

由NE46=60°、NE4c=30°可得出NC4D=60°、ZBAD=30°,進而可得出CD=6人。、

BD=—AD,再結合BC=30即可求出AD的長度.

3

解：-.■ZEAB=60°,ZEAC=30°,

：.ZCAD=60°,ZBAD=3Q°,

\CD=ADgan?CAD-J3AD,BD=ADg.an?BAD與人￡）,

\BC=CD-BD=—AD=30,

3

.-.AD=1573（米）.

答：無人機的飛行高度AO為15百米.

故選：B.

本題考查了解直角三角形的應用中的仰角俯角問題，掌握仰角俯角定義解題的關鍵.

7.D

【解析】

先根據角平分線的尺規作圖可得AP是/班C的角平分線，從而可得4a=30。，再根據矩形的

性質可得4=90°,然后解直角三角形可得AB、BC長，最后根據矩形的面積公式即可得.

由題意得：AP是44c的角平分線，

??,za4c=60。,

:.ZBAE=-ZBAC=30°,

2

?.?四邊形ABCD是矩形，

二/3=90°,

RF1L

在Rt/\ABE中，AB=-------------=---------=V3,

tanNBAEtan30°

在HMABC中，BC=ABtanN3AC=gtan60°=3，

則矩形ABCD的面積為ABBC=35

故選：D.

本題考查了角平分線的尺規作圖、矩形的性質、解直角三角形等知識點，熟練掌握角平分線的尺規

作圖是解題關鍵.

8.A

【解析】

如圖（見解析），先根據垂線段最短可得MN為最短距離，設的V=x米，再解直角三角形分別求

出AN、CN的長，然后根據AN+QV=AC=1000建立方程求解即可得.

如圖，過點M作“WLAC于點N,

由垂線段最短得：MN為所求的最短距離，

由題意得：ZM47V=60°—30。=30。，ZBCM=75。,ZDCA=6Q°,AC=1000米，

；?ZMCN=180°-75°-60°=45°,

設的V=x米，

MNr

在中，AN=----------=j3x（米），

tan30

MN

在RtCMN中,CN=-----------=x（米），

tan45°

?/AC=1000米，

AN+CN=AC=1000,即yfix+x—1000>

解得x=500（6-1）,

.,.2W=X=500（A/3-1）?366（米），

即鋪設的管道的最短距離約是366米，

故選：A.

牛

M飛北

東

西一

本題考查了方位角、垂線段最短、解直角三角形等知識點，利用垂線段最短找出最短距離是解題關

鍵.

9.A

【解析】

如圖：延長AB交水平線于點E,過C作DE的垂線，垂足為F,則CF=BE,BC=EF,根據題意可知

NCDE=30。結合CD=8運用三角函數可得CF=4,DF=46，即BE=CF=4,DE=EF+DF=10+4月；又由

1米的桿影長恰好為1米，則AE:DE=1:1,解得AE=10+4V3；最后由AB=AE-BE即可解答.

解：如圖：延長AB交水平線于點E,過C作DE的垂線，垂足為F,則CF=BE,BC=EF

VZCDE=30°,CD=8

CF=CD-sin30°=8x-=4,DF=CDcos30°=8x—=473

22

；.DE=EF+DF=10+4A/3

又..T米的桿影長恰好為1米

.\AE:DE=1:1,AE=DE=10+4-73

AB=AE-BE=10+4-73-4=6+4-73.

故答案為A.

本題考查了銳角三角函數解直角三角形，根據題意正確構造直角三角形并靈活運用三角函數解三角

形是解答本題的關鍵.

10.C

【解析】

作CG,A尸于點G,作CH上FD的延長線于點H,根據勾股定理和坡度比求得CH和DH的長，

然后根據兩個正切值分別表示處AF,并求得AF的長，最終根據AF-BF即可求解AB的長.

作CG±AF于點G,作CH_LED的延長線于點H,

設CH=3x,則DH=4x,在RtCHD中

（3x）2+（4x）2=352

解得x=0.7

.?.CH=2.1,DH=2.8

I艮據題意CG=FH=DH+DE+EF=2.8+15+EF=17.8+EF,FG=CH=2.1

A（Z

VtanZACG=tan35°=—

CG

.?.AG=0.7CG

/.AF=AG+GF=0.7CG+2.1=0.7（17.8+EF）+2.1=14.56+0.7EF

AT7

又tanZAEF=tan65°=-----

EF

.\AF=2,1EF

???14.56+0.7跖=2.IE/

解得EF=10.4

???AF=2.1EF=2.1x10.4。21.8

AB=AF-BF=21.8-3.5=18.3（米）

A

故選C.

本題考查了勾股定理，銳角三角函數，關鍵是作出輔助線，用兩種方法表示AF并求解AF.

11.B

【解析】

設點尸到直線A3距離PC為x米，根據正切的定義用x表示出AC、BC,根據題意列出方程,

解方程即可.

解：設點P到直線A5距離PC為x米，

PCr-

在Rt^APC中，AC=----------=j3x,

tanAPAC

在Rt/XBPC中，BC=———=—x,

tanZPBC3

由題意得，—且x=2,

3

解得，x=g(米)，

故選：B.

本題考查的是解直角三角形的應用，掌握銳角三角函數的定義、正確標注方向角是解題的關鍵.

12.(1)4；(2)273.

【解析】

(1)如圖1中，過點A作AOL8C于。，解直角三角形求出即可.

AFAE

(2)求出AC的長度，證明△AE/SAACB,推出一=一,由此求出的長度即可解決問題.

ABAC

解：(1)如圖1中，過點A作于D

圖1