（考試時間：120分鐘滿分：150分）一、單選題（本大題共8小題，共40分．在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.若分別是雙曲線的左、右焦點,為雙曲線上一點,且,則的長為A. B.或 C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據,推出點在雙曲線的左支上,再根據雙曲線的定義列等式可解得.【詳解】因為,所以必在雙曲線左支上,所以根據雙曲線的定義可得:,又,所以,解得:,故選C.【點睛】本題考查了雙曲線的定義,注意先判斷出點在雙曲線的左支上.屬基礎題.2.拋物線的準線方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先將拋物線方程化為標準形式，再根據拋物線性質求解即可.【詳解】由得拋物線的標準方程為，所以其準線方程為.故選：C3.過兩直線與的交點，并且與第一條直線垂直的直線方程是（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通過解方程組，結合互相垂直的直線斜率之間的關系進行求解即可.【詳解】由可得兩直線交點，由第一條直線的斜率為，得到所求直線的斜率為，所求直線的方程為：，即．故選：C4.直三棱柱中，，，則直線與所成角大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據三棱錐的特征補全為正方體，則，為直線與所成角，連接，則為等邊三角形即可得解.【詳解】根據直三棱柱的各邊長相等且，補全可得如圖所示的正方體，易知，為直線與所成角，連接，則為等邊三角形，所以，所以直線與所成角的大小為.故選：B5.在數列中，，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據給定條件推導出數列的周期，再借助周期性計算得解.【詳解】在數列中，，，則，，于是得數列是周期數列，周期為3，，所以.故選：A6.2021年6月17日9時22分，搭載神舟十二號載人飛船的長征二號F遙十二運載火箭，在酒泉衛星發射中心點火發射．此后，神舟十二號載人飛船與火箭成功分離，進入預定軌道，并快速完成與“天和”核心艙的對接，聶海勝、劉伯明、湯洪波3名宇航員成為核心艙首批“入住人員”，并在軌駐留3個月，開展艙外維修維護，設備更換，科學應用載荷等一系列操作．已知神舟十二號飛船的運行軌道是以地心為焦點的橢圓，設地球半徑為R，其近地點與地面的距離大約是，遠地點與地面的距離大約是，則該運行軌道（橢圓）的離心率大約是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以運行軌道長軸所在直線為x軸，地心F為右焦點建立平面直角坐標系，設橢圓方程為，根據題意列出方程組，解方程組即可.【詳解】以運行軌道長軸所在直線為x軸，地心F為右焦點建立平面直角坐標系，設橢圓方程為，其中，根據題意有，，所以，，所以橢圓離心率．故選：A．7.已知拋物線的焦點為F，準線為l，點P在C上，直線PF交y軸于點Q，若，則點P到準線l的距離為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】求出焦點的坐標，過點作軸的垂線，垂足為，由可得，求出，結合拋物線的定義，即可得解．詳解】解：由拋物線，可知，準線的方程為，過點作軸的垂線，垂足為，因為，所以，所以，所以點到準線的距離為．故選：C．8.已知是橢圓的一個焦點，若橢圓上存在關于原點對稱的，兩點滿足，則橢圓離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設，，.由已知可得.進而根據橢圓的方程消去，得到.然后根據橢圓的范圍，即可求出，進而求出答案.【詳解】設，，.則，，由已知可得，，即，整理可得.因為，所以，所以，又由題意可得，所以.又，所以，所以，即，所以.故選：C.二、多選題（本大題共4小題，共20分．每小題有多項符合題目要求，多選、錯選不得分，漏選得2分）9.（多選題）下列命題中不正確的是（）A.若與共線，與共線，則與共線B.向量，，共面，即它們所在的直線共面C.若兩個非零空間向量，，滿足，則∥D.若∥，則存在唯一的實數λ，使=λ【答案】ABD【解析】【分析】舉反例判斷AD，根據共面向量的定義判斷B，根據向量共線定理判斷C【詳解】對于A，若，則與共線，與共線，但與不一定共線，所以A錯誤，對于B，共面向量的定義是平行于同一平面的向量，表示這些向量的有向線段所在的直線不一定共面，所以B錯誤，對于C，因為，所以，所以與共線，所以∥，所以C正確，對于D，若，，則不存在，使=λ，所以D錯誤，故選：ABD10.已知曲線（且），則下列說法正確的是（）A.若，則C為圓B.若，則C為橢圓C.若，則C為雙曲線D.若C為焦點在y軸上的雙曲線，則【答案】AC【解析】【分析】由表示雙曲線，圓以及橢圓的條件逐一判斷每一個選項即可求解.【詳解】對于AB，若，曲線即，表示原點在圓心半徑為1的圓，故A正確B錯誤；對于CD，若，則表示焦點在軸上的雙曲線，故C正確D錯誤.故選：AC.11.已知雙曲線過點且漸近線為，點在雙曲線的一條漸近線上，為坐標原點，為雙曲線的右焦點，則下列結論正確的是（）A.雙曲線的離心率為2 B.雙曲線的方程是C.的最小值為2 D.直線與有兩個公共點【答案】AB【解析】【分析】設雙曲線的方程為，由雙曲線過點求出，判斷B；再由離心率公式判斷A；聯立直線和雙曲線方程判斷D.【詳解】設雙曲線的方程為，由雙曲線過點可得，即雙曲線的方程是，故B正確；可化為，則，，故A正確；由題意可得，當直線與漸近線垂直時，取最小值，且最小值，故C錯誤；由，解得，即直線與只有一個交點，故D錯誤；故選：AB12.過拋物線：的焦點的直線與相交于，兩點.若長最小值為6，則下列結論正確的是（）A.拋物線方程為B.的中點到準線的距離最小值為3C.直線的斜率為時，為的一個四等分點D.【答案】ABC【解析】【分析】由題意可知，當斜率不存在時，即過拋物線的焦點，且垂直軸，即為通徑時，取得最小值，可求得p的值，即可判斷A;當PQ為拋物線通經時，的中點到準線的距離最小，判斷B;由A的分析求得，可判斷C;由A的分析求得，判斷D.【詳解】當直線斜率不存在時，即過拋物線的焦點，且垂直軸，，,，當斜率存在時，設直線的方程為，設，，，，聯立直線與拋物線的方程得，可得①，由韋達定理，可得，由拋物線的定義，可得，綜合以上兩種情況可得，當斜率不存在時，即過拋物線的焦點，且垂直軸，取得最小值，的最小值為6，，即，拋物線的方程為，故選項正確，當PQ垂直軸時，的中點到準線的距離最小，最小值為，故選項正確，當直線的斜率為時，將，代入①中，可得，解得兩根為，不妨取，，由拋物線得的定義可得，，，則,，即為的一個四等分點，故C選項正確．由①可知：，由于，故D錯誤，故選：三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.橢圓（）的兩個焦點為、，且，弦過點，則△的周長是_______．【答案】20【解析】【分析】由題意可得，利用，求出a，再運用橢圓定義得△的周長為即可.【詳解】如圖所示，由，得，即，橢圓（），∴，得，弦過點，根據橢圓定義得△的周長為.故答案為：20.【點睛】結論點睛：在橢圓中，弦過橢圓的一焦點與橢圓相交于A，B，與另一焦點形成的三角形的周長為.14.設圓與兩圓，中一個內切，另一個外切，則圓的圓心軌跡的方程為______.【答案】【解析】【分析】根據題意利用兩圓相切的性質，分類討論求出圓的圓心軌跡的方程.【詳解】設、的圓心分別為，圓的半徑為.當圓與圓內切，與圓外切時，這時有，圓的圓心軌跡是以為焦點的雙曲線的左支；當圓與圓外切，與圓內切時，這時有，圓的圓心軌跡是以為焦點的雙曲線的右支，因此圓的圓心軌跡是以為焦點的雙曲線，，所以方程為：.故答案為：【點睛】本題考查了利用雙曲線的定義求雙曲線的標準方程，考查了圓與圓相切的性質，考查了分類討論思想，考查了數學運算能力.15.對標準形式的拋物線，給出下列條件：①焦點在y軸上；②焦點在x軸上；③拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6；④由原點向過焦點的某直線作垂線，垂足坐標為(2，1).其中滿足拋物線方程為y2=10x的是____________.(要求填寫適合條件的序號)【答案】②④【解析】【分析】根據拋物線的幾何性質和定義判斷可得答案.【詳解】解：拋物線y2=10x的焦點在x軸上，②滿足，①不滿足；設M(1，y0)是y2=10x上一點，則|MF|=1+=1+≠6，所以③不滿足；由于拋物線y2=10x的焦點為，設過該焦點的直線方程為y=k，若由原點向該直線作垂線，垂足為(2，1)時，則k=-2，所以④滿足.故答案為：②④.16.在平面直角坐標系內，O為坐標原點，對于任意兩點，定義它們之間的“曼哈頓距離”為，以對于平面上任意一點P，若，則動點P的軌跡長度為______．【答案】【解析】【分析】由題意得點的軌跡方程，發現它的軌跡是正方形，只需求出一條邊的距離即可.【詳解】由題意設，則，用分別用依次代入該方程，發現該方程不變，所以曲線的圖象關于坐標軸以及坐標原點對稱，不妨設，此時即，它與坐標軸的兩個交點坐標為，它們的距離為，所以由對稱性得動點P的軌跡長度為.故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知，．（1）求兩圓公共弦所在的直線方程；（2）求兩圓的公共弦長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接兩圓方程相減即可求解；（2）先求圓心到直線的距離，再結合圓的弦長公式即可求解.【小問1詳解】由題意兩圓，方程相減得，，整理得，即兩圓公共弦所在的直線方程為.【小問2詳解】由（1）得兩圓公共弦所在的直線方程為，圓的圓心、半徑分別為，圓心到直線的距離為，所以兩圓的公共弦長為.18.已知M為橢圓上的動點，過點M作x軸的垂線，D為垂足，點P滿足，求動點P的軌跡E的方程（當點M經過橢圓與x軸的交點時，規定點P與點M重合．）【答案】【解析】【分析】由題意設，則，，結合，得，代入即可得解.【詳解】由題意設，則，，所以，又因為，所以，解得，由規定可知，所以，即動點P的軌跡E的方程為.19.如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點為，連接，，進而證明四邊形為平行四邊形即可證明結論；（2）取中點為，以為空間直角坐標系原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用坐標法求解即可；【小問1詳解】證明：取中點為，連接，，如圖所示，因為，分別是，的中點，所以且，又因為且，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面．【小問2詳解】解：取中點為，以為空間直角坐標系原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，，設平面的法向量為，因為，，所以，令，解得，即，設平面的法向量為，因為，，所以，令，解得，即，記平面與平面夾角為，，則，，所以二面角的正弦值為．20.已知雙曲線的焦點為，且該雙曲線過點．（1）求雙曲線的標準方程；（2）若雙曲線上的點滿足，求的面積．【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）設雙曲線的方程為，運用雙曲線的定義，以及兩點的距離公式可得，結合，，的關系，可得，，即可得到所求雙曲線的方程；（2）由雙曲線的定義和直角三角形的勾股定理、面積公式，化簡可得所求值．【詳解】（1）設雙曲線的方程為，由，，且該雙曲線過點，可得，，又，，雙曲線的標準方程為；（2）由，得，．【點睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質，考查三角形的面積的求法，注意運用勾股定理和定義法解題，考查運算能力．21.已知拋物線上一點到焦點的距離為（1）求的值.（2）過焦點作直線交拋物線于兩點，交軸于點，且,證明:為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】分析】（1）根據拋物線第一定義即可求解，再將點橫坐標代入即可求解；（2）設直線的方程，先求出點坐標，聯立直線和拋物線方程求得關于的一元二次方程，結合韋達定理表示出根與系數的關系，再根據代換出的表達式，結合韋達定理即可求解【詳解】（1）由拋物線第一定義得，再將點橫坐標代入拋物線方程解得（2）依題意直線斜率存在且不為零，設直線的方程，則代入拋物線得【點睛】本題考查拋物線的幾何性質，用解析法求證直線過焦點的定值問題，運算能力，屬于中檔題22.已知圓F1：（x+1）2+y2=16，F2（1，0），P是圓F1上的一個動點，F2P的中垂線l交F1P于點Q.（1）求點Q的軌跡E的方程；（2）若斜率為k（k≠0）的直線l1與點Q的軌跡E交于不同的兩點A，B，且線段AB的垂直平分線過定點（，0），求k的取值