PAGEPAGE1課時作業39空間幾何體的表面積和體積[基礎達標]一、選擇題1．若圓錐的側面綻開圖是圓心角為120°，半徑為l的扇形，則這個圓錐的表面積與側面積比是()A．3：2B．2：1C．4：3D．5：3解析：底面半徑r＝eq\f(\f(2,3)π,2π)l＝eq\f(1,3)l，故圓錐中S側＝eq\f(1,3)πl2，S表＝eq\f(1,3)πl2＋πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)l))2＝eq\f(4,9)πl2，所以表面積與側面積的比為4：3.答案：C2．[2024·東北三省四市聯考]某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為()A．12＋2eq\r(2)B．8＋2eq\r(2)C．4＋4eq\r(2)D．8＋4eq\r(2)解析：本題考查三視圖及幾何體的表面積．由三視圖可知，該幾何體是底面為正方形，一條棱垂直于底面的四棱錐，其底面邊長為2，高為2，故該四棱錐的表面積為S＝2×2＋2×eq\f(1,2)×2×2＋2×eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝8＋4eq\r(2)，故選D.答案：D3．[2024·益陽市，湘潭市高三調研]如圖，網格紙上小正方體的邊長為1，粗實線畫出的是某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的體積是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(4,3)C.eq\f(8,3)D．4解析：由三視圖可得三棱錐為圖中所示的三棱錐A－PBC(放到棱長為2的正方體中)，VA－PBC＝eq\f(1,3)×S△PBC×AB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＝eq\f(4,3).故選B.答案：B4．[2024·開封市高三考試]某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為()A.eq\f(2π,9)B.eq\f(π,3)C.eq\f(16π,3)D.eq\f(16π,9)解析：由三視圖知該幾何體底面扇形的圓心角為120°，即該幾何體是某圓錐的三分之一部分，又由側視圖知幾何體的高為4，底面圓的半徑為2，所以該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×π×22×4＝eq\f(16,9)π，故選D.答案：D5．[2024·山東濰坊模擬]某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．4＋2eq\r(3)B．4＋4eq\r(2)C．6＋2eq\r(3)D．6＋4eq\r(2)解析：由三視圖還原幾何體和直觀圖如圖所示，易知BC⊥平面PAC，又PC?平面PAC，所以BC⊥PC，又AP＝AC＝BC＝2，所以PC＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，又AB＝2eq\r(2)，所以S△PBC＝S△PAB＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2)，S△ABC＝S△PAC＝eq\f(1,2)×2×2＝2，所以該幾何體的表面積為4＋4eq\r(2).答案：B6．[2024·福州模擬]已知圓錐的高為3，底面半徑為eq\r(3)，若該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一球面上，則這個球的體積等于()A.eq\f(8,3)πB.eq\f(32,3)πC．16πD．32π解析：設該圓錐的外接球的半徑為R，依題意得，R2＝(3－R)2＋(eq\r(3))2，解得R＝2，所以所求球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×23＝eq\f(32,3)π，故選B.答案：B7．[2024·福州模擬]如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()A．14B．10＋4eq\r(2)C.eq\f(21,2)＋4eq\r(2)D.eq\f(21＋\r(3),2)＋4eq\r(2)解析：解法一由三視圖可知，該幾何體為一個直三棱柱切去一個小三棱錐后剩余的幾何體，如圖所示．所以該多面體的表面積S＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(22－\f(1,2)×1×1))＋eq\f(1,2)×(22－12)＋eq\f(1,2)×22＋2×2eq\r(2)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×(eq\r(2))2＝eq\f(21＋\r(3),2)＋4eq\r(2)，故選D.解法二由三視圖可知，該幾何體為一個直三棱柱切去一個小三棱錐后剩余的幾何體，如圖所示．所以該多面體的表面積S＝S三棱柱表－S三棱錐側＋S三棱錐底＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2＋2＋2\r(2)×2＋2×\f(1,2)×22))－3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1))＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×(eq\r(2))2＝eq\f(21＋\r(3),2)＋4eq\r(2)，故選D.答案：D8．[2024·山西八校聯考]已知一個球的表面上有A，B，C三個點，且AB＝AC＝BC＝2eq\r(3)，若球心到平面ABC的距離為1，則該球的表面積為()A．20πB．15πC．10πD．2π解析：設球心為O，△ABC的中心為O′，因為AB＝AC＝BC＝2eq\r(3)，所以AO′＝eq\f(2,3)×3＝2，因為球心到平面ABC的距離為1，所以OO′＝1，所以AO＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，故該球的表面積S＝4π×(OA)2＝20π.故選A.答案：A9．[2024·石家莊摸底考試]如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某空間幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A.eq\f(16π＋1,3)B.eq\f(82π＋1,3)C．8(2π＋1)D．16(π＋1)解析：由三視圖得該幾何體為圓錐與正四棱錐的組合體，其中圓錐的底面半徑為2，高為4，正四棱錐的底面邊長為2，高為2，所以該幾何體的體積為eq\f(1,3)×2×2×2＋eq\f(1,3)×π×22×4＝eq\f(16π＋8,3)，故選B.答案：B10．[2024·南昌調研]已知三棱錐P－ABC的全部頂點都在球O的球面上，△ABC滿意AB＝2eq\r(2)，∠ACB＝90°，PA為球O的直徑且PA＝4，則點P的底面ABC的距離為()A.eq\r(2)B．2eq\r(2)C.eq\r(3)D．2eq\r(3)解析：取AB的中點O1，連接OO1，如圖，在△ABC中，AB＝2eq\r(2)，∠ACB＝90°，所以△ABC所在小圓O1是以AB為直徑的圓，所以O1A＝eq\r(2)，且OO1⊥AO1，又球O的直徑PA＝4，所以OA＝2，所以OO1＝eq\r(OA2－O1A2)＝eq\r(2)，且OO1⊥底面ABC，所以點P到平面ABC的距離為2OO1＝2eq\r(2).答案：B二、填空題11．[2024·南昌模擬]如圖，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若將直角梯形繞BC邊旋轉一周，則所得幾何體的表面積為________．解析：本題考查幾何體的表面積．所得幾何體的表面積是底面圓半徑為1、高為1的圓柱的下底面積、側面積和底面圓半徑為1、高為1的圓錐的側面積之和，即為π＋2π＋eq\r(2)π＝(3＋eq\r(2))π.答案：(3＋eq\r(2))π12．[2024·山東濰坊模擬]已知正四棱柱的頂點在同一個球面上，且球的表面積為12π，當正四棱柱的體積最大時，正四棱柱的高為________．解析：設正四棱柱的底面邊長為a，高為h，球的半徑為r，由題意知4πr2＝12π，所以r2＝3，又2a2＋h2＝(2r)2＝12，所以a2＝6－eq\f(h2,2)，所以正四棱柱的體積V＝a2h＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(h2,2)))h，則V′＝6－eq\f(3,2)h2，由V′>0，得0<h<2，由V′<0，得h>2，所以當h＝2時，正四棱柱的體積最大，Vmax＝8.答案：213．[2024·福州四校聯考]已知三棱錐A－BCD的全部頂點都在球O的球面上，AB為球O的直徑，若該三棱柱的體積為eq\r(3)，BC＝3，BD＝eq\r(3)，∠CBD＝90°，則球O的體積為________．解析：設A到平面BCD的距離為h，∵三棱錐的體積為eq\r(3)，BC＝3，BD＝eq\r(3)，∠CBD＝90°，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×eq\r(3)×h＝eq\r(3)，∴h＝2，∴球心O到平面BCD的距離為1.設CD的中點為E，連接OE，則由球的截面性質可得OE⊥平面CBD，∵△BCD外接圓的直徑CD＝2eq\r(3)，∴球O的半徑OD＝2，∴球O的體積為eq\f(32π,3).答案：eq\f(32π,3)14．[2024·江蘇卷，10]如圖所示，正方體的棱長為2，以其全部面的中心為頂點的多面體的體積為________．解析：本題考查組合體體積的計算．多面體由兩個完全相同的正四棱錐組合而成，其中正四棱錐的底面邊長為eq\r(2)，高為1，∴其體積為eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×1＝eq\f(2,3)，∴多面體的體積為eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)[實力挑戰]15．[2024·廣東廣州調研]如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某個幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A．4＋4eq\r(2)＋2eq\r(3)B．14＋4eq\r(2)C．10＋4eq\r(2)＋2eq\r(3)D．4解析：如圖，該幾何體是一個底面為直角梯形，有一條側棱垂直于底面的四棱錐S－ABCD.連接AC，因為AC＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，SC＝eq\r(2\r(5)2＋22)＝2eq\r(6)，SD＝SB＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，CD＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，SB2＋BC2＝(2eq\r(2))2＋42＝24＝SC2，故△SCD為等腰三角形，△SCB為直角三角形．過D作DK⊥SC于點K，則DK＝eq\r(2\r(2)2－\r(6)2)＝eq\r(2)，△SCD的面積為eq\f(1,2)×eq\r(2)×2eq\r(6)＝2eq\r(3)，△SBC的面積為eq\f(1,2)×2eq\r(2)×4＝4eq\r(2).所求幾何體的表面積為eq\f(1,2)×(2＋4)×2＋2×eq\f(1,2)×2×2＋4eq\r(2)＋2eq\r(3)＝10＋4eq\r(2)＋2eq\r(3)，選C.答案：C16．[2024·河北聯盟考試]某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積是()A．13B．14C．15D．16解析：所求幾何體可看作是將長方體截去兩個三棱柱得到的幾何體，在長方體中還原該幾何體，如圖中ABCD－A′B′C′D′所求，長方體的長、寬、高分別為4,2,3，兩個三棱柱的高為2，底面是兩直角邊長分別為3和1.5的直角三角形，故該幾何體的體積V＝4×2×3－2×eq\f(1,2)×3×eq\f(3,2)×2＝15，故選C.答案：C17．[2024·廣州調研]如圖，網格紙上正方形小格的邊長為1，圖中粗線畫出的是某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的外接球的表面積為________．解析：依題意可得該幾何體的直觀圖為圖中所示的三棱錐B－CDE，且長方體的長、寬、高分別為2,1,1，建立如圖所示的空間直角坐標系，則B(0,0,1)，C(0,1,0)，D(1,2,0)，E(0,2,0)，設球心為P(x，y，z)，依題意可得|PB|＝|PC|＝|PD|＝|PE|.由|PD|＝|PE|得(x－1)2＋(y－2)2＋z2＝x2＋(y－2)2＋z2，解得x＝eq\f(1,2).由