16.1二次根式

第1課時二次根式的概念

教爵

i.能用二次根式表示實際問題中的數量及數量關系，體會研究二次根式的必要性；(難

2.能根據算術平方根的意義了解二次根式的概念及性質，會求二次根式中被開方數中

字母的取值范圍.(重點)

一、情境導入

問題1：你能用帶有根號的式子填空嗎？

(1)面積為3的正方形的邊長為,面積為S的正方形的邊長為.

(2)一個長方形圍欄，長是寬的2倍，面積為130m2,則它的寬為m.

(3)一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間f(單位：s)與落下的高度〃(單位：

m)滿足關系/?=5尸，如果用含有的式子表示h則￡=.

問題2：上面得到的式子小，小,刷,分別表示什么意義？它們有什么共同特征？

二、合作探究

探究點一：二次根式的定義

@D下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？

(1)VH；(2)V7r5；⑶?(—7)2；

(4)^13；I；⑹-3—x(xW3)；

(7)y[--x(x^0)；⑻d(〃一1『；(9h/—x2—5；

(10)M(〃一/)2(ab20).

解析：要判斷一個根式是不是二次根式，一是看根指數是不是2,二是看被開方數是不

是非負數.

解：因為4TT,7(一7)233-X（xW3）,7（4—1）2,7（〃—力）

(")0)中的根指數都是2,且被開方數為非負數，所以都是二次根式.折5的根指數不是2,

[-5,x(x20),4-%2—'5的被開方數小于0,所以不是二次根式.

方法總結：判斷一個式子是不是二次根式，要看所給的式子是否具備以下條件：(1)帶

二次根號“廠”；(2)被開方數是非負數.

探究點二：二次根式有意義的條件

【類型一】根據二次根式有意義求字母的取值范圍

求使下列式子有意義的x的取值范圍.

⑴也F⑵X-2：⑶X.

解析：根據二次根式的性質和分式的意義，被開方數大于或等于0且分母不等于0,列

不等式(組)求解.

44I

解：(1)由題意得4—3x>0,解得當時，廣一有意義;

33y]4~3x

[3-x20,

(2)由題意得―解得xW3且x=2.當xW3且xK2時，工\l3二~廠x有意義;

[x—2W0,》一/

[x+520,\lx+5

(3)由題意得彳解得x2—5且xWO.當x》一5且xWO時，-有意義.

方法總結：含二次根式的式子有意義的條件：

(1)如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是各個二次根式中的被

開方數都必須是非負數；(2)如果所給式子中含有分母，則除了保證二次根式中的被開方數

為非負數外，還必須保證分母不為零.

[類型二]利用二次根式的非負性求解

畫U(l)已知4、b滿足，24+8+|6—小|=0,解關于x的方程3+2)x+〃=a-l；

(2)已知x、y都是實數，且產出‘-3+<3-x+4,求必的平方根.

解析：(1)根據二次根式的非負性和絕對值的非負性求解即可；(2)根據二次根式的非負

性即可求得x的值，進而求得y的值，進而可求出尸的平方根.

j2a+8=0,f?=—4,

解：(1)根據題意得小_O解得fb—小則①+2)田+/=。一1,即一2欠+3=—5,

解得x=4；

[x—320,._

(2)根據題意得《解得x=3.則y=4,故)4=43=64,*7區=±8,的平方根

為±8.

方法總結：二次根式和絕對值都具有非負性，幾個非負數的和為0,這幾個非負數都為

0.

探究點三：和二次根式有關的規律探究性問題

頤1先觀察下列等式，再回答下列問題.

(1)請你根據上面三個等式提供的信息，寫出的結果;

(2)請你按照上面各等式反映的規律，試寫出用

含n的式子表示的等式（〃為正整數）.

解析：（1）從三個等式中可以發現，等號右邊第一個加數都是1,第二個加數是個分數，

設分母為"，第三個分數的分母就是〃+1,結果是一個帶分數，整數部分是1,分數部分的

分子也是1,分母是前項分數的分母的積；（2）根據（1）找的規律寫出表示這個規律的式子.

解：⑴{1+.+/=1+廣本=由

QBX/I+H（〃，）2=1+1_*?=:（〃；i）（”為正整數）?

方法總結：解答規律探究性問題，都要通過仔細觀察找出字母和數之間的關系，通過閱

讀找出題目隱含條件并用關系式表示出來.

三、板書設計

1.二次根式的定義

一般地，我們把形如如320）的式子叫做二次根式.

2.二次根式有意義的條件

被開方數（式）為非負數；W有意義

投卷鰻

通過將新知識與舊知識進行聯系與對比，隨后由學生熟悉的實際問題出發，用己有的知

識進行探究，由此引入二次根式.在教學過程中讓學生感受到研究二次根式是實際的需要，

體會到數學與實際生活間的緊密聯系，以此充分激發學生學習的興趣

第一十六章二次根式

教材分析：

i.本單元教學的主要內容：

二次根式的概念；二次根式的加減；二次根式的乘除；最簡二次根式.

學情分析：

新學期，根據八年級的實際，首先是先摸清底子，穩住學生，然后根據學生學情分布情況，

重新劃分學習小組，對新轉班過來的學生，做好各方面的工作，使他們迅速適應新環境，然

后，盡快幫他們找到新的學習榜樣和新學伴，幫他們樹立競爭意識和發展意識以及創新意識,

鼓勵大家在新學期，獲得更大的進步，取得更大的發展。

教學目標：

1.知識與技能

（1）理解二次根式的概念.

（2）理解（a20）是一個非負數，（）2=a（a20）,=a（a20）.

(3)掌握夜?\[b=\[ab(a20,bNO),4ab=4a?4b；

=、口(a>0,b>0),/Z-2^.(a20,b>0).

加Nb\b4h

(4)了解最簡二次根式的概念并靈活運用它們對二次根式進行加減.

2.過程與方法

(1)先提出問題，讓學生探討、分析問題，師生共同歸納，得出概念.?再對概念的內

涵進行分析，得出幾個重要結論，并運用這些重要結論進行二次根式的計算和化簡.

(2)用具體數據探究規律，用不完全歸納法得出二次根式的乘(除)法規定，?并運用

規定進行計算.

(3)利用逆向思維，?得出二次根式的乘(除)法規定的逆向等式并運用它進行化簡.

(4)通過分析前面的計算和化簡結果，抓住它們的共同特點，?給出最簡二次根式的概

念.利用最簡二次根式的概念，來對相同的二次根式進行合并，達到對二次根式進行計算和

化簡的目的.

3.情感、態度與價值觀

通過本單元的學習培養學生：利用規定準確計算和化簡的嚴謹的科學精神，經過探索二

次根式的重要結論，二次根式的乘除規定，發展學生觀察、分析、發現問題的能力.

教學重點

1.二次根式6(a20)的內涵.4a(a20)是一個非負數；(、份)2=a(a>0)；后=a

(a20)?及其運用.

2.二次根式乘除法的規定及其運用.

3.最簡二次根式的概念.

4.二次根式的加減運算.

教學難點

1.對G(a20)是一個非負數的理解；對等式(、份)2=a(a20)及J/=a(a20)

的理解及應用.

2.二次根式的乘法、除法的條件限制.

3.利用最簡二次根式的概念把一個二次根式化成最簡二次根式.

教學關鍵

1.潛移默化地培養學生從具體到一般的推理能力，突出重點，突破難點.

2.培養學生利用二次根式的規定和重要結論進行準確計算的能力，?培養學生一絲不茍

的科學精神.

單元課時劃分

本單元教學時間約需11課時，具體分配如下:

16.1二次根式3課時

16.2二次根式的乘法3課時

16.3二次根式的加減3課時

教學活動、習題課、小結2課時

16.1二次根式

教學內容

二次根式的概念及其運用

教學目標

知識與技能目標：理解二次根式的概念，并利用6（a》0）的意義解答具體題目.

過程與方法目標：提出問題，根據問題給出概念，應用概念解決實際問題.

情感與價值目標：通過本節的學習培養學生：利用規定準確計算和化簡的嚴謹的科學精神，

發展學生觀察、分析、發現問題的能力.

教學重難點關鍵

1.重點：形如、G（a>0）的式子叫做二次根式的概念；

2.難點與關鍵：利用（a，0）”解決具體問題.

教法：1、引導發現法：通過教師精心設計的問題鏈，使學生產生認知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導學生觀察、類比、參與問題討論，使感性認識上升為理性認識，充分體

現了教師主導和學生主體的作用，對實現教學目標起了重要的作用：2、講練結合法：在

例題教學中，引導學生閱讀，與平方根進行類比，獲得解決問題的方法后配以精講，并進行

分層練習，培養學生的閱讀習慣和規范的解題格式。

學法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學生感悟二次根式的模型，形成有效的學習策

略。

2、閱讀的方法讓學生閱讀教材及材料，體驗一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內交換，達到取長補短，體驗學習活動中的交流

與合作。

4、練習法采用不同的練習法，鞏固所學的知識；利用教材進行自檢，小組內進行他

檢，提高學生的素質。

媒體設計：PPT課件，展臺。

課時安排：1課時。

教學過程

一、復習引入

（學生活動）請同學們獨立完成下列三個問題：

3

問題1：已知反比例函數y=2,那么它的圖象在第一象限橫、?縱坐標相等的點的坐標

x

是.

問題2：如圖，在直角三角形ABC中，AC=3,BC=1,ZC=90°,那么AB邊的長是

老師點評：

問題1：橫、縱坐標相等，即*=丫，所以X2=3.因為點在第一象限，所以x=百，所以

所求點的坐標(百，V3).

問題2：由勾股定理得AB=JI6

二、探索新知

很明顯6、M,都是一些正數的算術平方根.像這樣一些正數的算術平方根的式子，

我們就把它稱二次根式.因此，一般地，我們把形如G(a20)?的式子叫做二次根式,“”

稱為二次根號.

議一議：

1.一1有算術平方根嗎？

2.0的算術平方根是多少？

3.當a<0,有意義嗎？

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：血、g、L石(x>0),而、

X

蚯、-近、--—、Jx+y(x>0,y?20).

x+y

分析：二次根式應滿足兩個條件：第一，有二次根號“一”；第二，被開方數是正數

或0.

解：二次根式有：0、G(x>0)>爬、-JI、>jx+y(x20,y》0)；不是二次

根式的有：垂>、蚯、—.

xx+y

例2.當x是多少時，J3『-1在實數范圍內有意義?

分析：由二次根式的定義可知，被開方數一定要大于或等于0,所以3x-l20,?J3X-1

才能有意義.

解：由3x-120,得：X21

3

當X21時，J3x-1在實數范圍內有意義.

3

三、應用拓展

例3.當x是多少時，,23+3+'一在實數范圍內有意義?

X+1

分析：要使,2x+3+—L在實數范圍內有意義,必須同時滿足j2x+3中的在0和」一中

X+lX+1

的X+1W0.

2x+3>0

解：依題意，得《

x+lwO

3

由①得：x'--

2

由②得：x#-l

當X2-—且xW-l時，，2x+3+——在實數范圍內有意義.

2x+1

例4（1）已知y=j2-x+Jx-2+5,求上的值.（答案⑵

y

________2

（2）若不萬=0,求azw+b?00,的值.（答案:三）

四、歸納小結

本節課要掌握：

1.形如五（a20）的式子叫做二次根式，稱為二次根號.

2.要使二次根式在實數范圍內有意義,必須滿足被開方數是非負數.

五、布置作業

一、選擇題

1.下列式子中，是二次根式的是（）

A.-V?B.近C.\[xD.x

2.下列式子中，不是二次根式的是（）

A."B.V16C.瓜D.-

X

3.已知一個正方形的面積是5,那么它的邊長是（）

A.5B.小C.-D.以上皆不對

5

二、填空題

1.形如的式子叫做二次根式.

2.面積為a的正方形的邊長為.

3.負數平方根.

三、綜合提高題

1.某工廠要制作一批體積為In?的產品包裝盒，其高為0.2m,按設計需要，?底面應

做成正方形，試問底面邊長應是多少？

在實數范圍內有意義?

2.當x是多少時,+3+*2

X

3.若-X+y]x-3有意義，則\Jx2=

4.使式子J—（X-5）2有意義的未知數X有（）個.

A.0B.1C.2D.無數

5.已知a、b為實數，且夜一5+2>/10—2〃=b+4,求a、b的值.

答案：

一、1.A2.D3.B二、L4a(a20)2.4a3.沒有

三、1.設底面邊長為x,則02x2=1,解答：x=6.2.依題意得：，2“x+3>一0，「>一一5,

x。0八

I[x^O

.?.當x>-3且xWO時，,2元+3+x2在實數范圍內沒有意義.

2x

1

3.—4.B5.a=5,b=-4

3

板書設計：

§16.1.1.二次根式(1)

情境引入例2學生板演

二次根式的定義例3

例1例4小結

16.1二次根式(2)

教學內容

1.4a(a20)是一個非負數；

2.(-Ja)2=a(a20).

教學目標

知識與技能目標：理解&(a20)是一個非負數和(&)2=a(a20),并利用它們進行

計算和化簡.

過程與方法目標：過復習二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出G(a>0)是一個非負

數，用具體數據結合算術平方根的意義導出(、份)2=a(a>0)；最后運用結論嚴謹解題.

情感與價值目標：通過本節的學習培養學生：利用規定準確計算和化簡的嚴謹的科學精神，

發展學生觀察、分析、發現問題的能力.

教學重難點關鍵

1.重點：4a（a，0）是一個非負數：（）2=a（a，0）及其運用.

2.難點、關鍵：用分類思想的方法導出G（a，0）是一個非負數；?用探究的方法導

出（\fa）2=a（a20）.

教法：1、引導發現法：通過教師精心設計的問題鏈，使學生產生認知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導學生觀察、類比、參與問題討論，使感性認識上升為理性認識，充分體

現了教師主導和學生主體的作用，對實現教學目標起了重要的作用；2、講練結合法：在

例題教學中，引導學生閱讀、類比，獲得解決問題的方法后配以精講，并進行分層練習，培

養學生的閱讀習慣和規范的解題格式。

學法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學生理解五（a>0）是一個非負數和（JZ）

2=a（a20）,形成有效的學習策略。

2、閱讀的方法讓學生閱讀教材及材料，體驗一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內交換，達到取長補短，體驗學習活動中的交流

與合作。

4、練習法采用不同的練習法，鞏固所學的知識；利用教材進行自檢，小組內進行他

檢，提高學生的素質。

媒體設計：PPT課件，展臺。

課時安排：1課時。

教學過程

一、復習引入

（學生活動）口答

1.什么叫二次根式？

2.當a20時，而叫什么？當a<0時，G有意義嗎？

老師點評（略）.

二、探究新知

議一議：（a>0）是一個什么數呢？

老師點評:

、萬（a，0）是一個非負數.

做一做：根據算術平方根的意義填空：

（C）2=;（&）2=；（囪）2=;(G)2=

（卜=——；（卜——；心'——

老師點評：”是4的算術平方根，根據算術平方根的意義，〃是一個平方等于4的

非負數，因此有（、"）2=34.

同理可得：(V2)2=2,(A/9)2=9,()2=3,(

2=0,所以

(y/a)2=a(a20)

例1、計算

22.(36)23.(E)24.(―)2

1.

V62

分析:我們可以直接利用（&）2=a（a20）的結論解題.

解：(2)2=2,(3石)2=32?(岔)2=32?5=45,

\22

(口2工(立),(V7)27

一二-------------——

\662224

三、鞏固練習

計算下列各式的值:

(V18)2（Vo）2

(3A/5)2-(5A/3)2

四、應用拓展

例2、計算

1.(Jx+1)2(x20)2.3.(d+2a+1)~

4.(44(4￡+)2

分析：(1)因為x20,所以x+l>0；(2)a2>0；(3)a2+2a+l=(a+1)》0；

(4)4X2-12X+9=(2X)2-2?2x-3+32=(2x-3)2^0.

所以上面的4題都可以運用（五）2=a（a>o）的重要結論解題.

解：（1）因為x20,所以x+l>0

(Jx+1)2=x+1

(2)Va2^0,)2=a2

(3)Va2+2a+l=(a+1)2

又「(a+1)220,/.a2+2a+120,/.yja2+\=a2+2a+1

(4)V4X2-12X+9=(2X)2-2?2x?3+32=(2x-3)2

又；(2x-3)22。

/.4X2-12X+9^0.(\/4x2-12x+9)2=4x2-12x+9

例3、在實數范圍內分解下列因式：

(1)X2-3(2)X4-4⑶2X2-3

分析：(略)

五、歸納小結

本節課應掌握：

1.4a(a20)是一個非負數；

2.(y[a)2=a(a20);反之:a=(\[a)2(a20).

六、布置作業

一、選擇題

22

1.下列各式中厲、技、揚―1、yja+b,JW+20、J-144,二次根式

的個數是().

A.4B.3C.2D.1

2.數a沒有算術平方根，則a的取值范圍是().

A.a>0B.a20C.a<0D.a=0

二、填空題

1.(_6)2=.

2.已知有意義，那么是一個數.

三、綜合提高題

i.計算

(1)(V9)2(2)-(G)2(3)(-76)2(4)(-3J-)2

2\3

(5)(273+3V2)(2A/3-3V2)

2.把下列非負數寫成一個數的平方的形式：

(1)5(2)3.4(3)-(4)x(x20)

6

3.已知Jx—y+l+Jx-3=0,求x'的值.

4.在實數范圍內分解下列因式：

(1)X2-2(2)X4-93X2-5

答案：一、1.B2.C；二、1.32.非負數；三、1.(1)(V9)2=9(2)

i17Jo9

-(>/3)2=-3(3)(—x/6)2=—X6=—；(4)(-3./—)2=9X—=6(5)-6

242\33

2.(1)5=(A/5)2；(2)3.4=(J3.4)2；(3)—=(.—)2;(4)x=(\[x)

6\6

2(x20)

y+1—0x=3>—r—

3.4*《xy=34=81；4.(1)X2-2=(x+V2)(x-V2)

x-3=0[y=4

(2)x4-9=(X2+3)(X2-3)=(X2+3)(x+6)(X-A/3)；(3)略

板書設計:

§16.1.二次根式(2)

情境引入例1學生板演

1.4a(a>0)是一個非負數；例2

2.(\[a)2=a(a20);

反之:a=(G)2(a，0).例3小結

16.1二次根式(3)

教學內容:值=a(a20)

教學目標

知識與技能目標：理解J/=a(a^O)并利用它進行計算和化簡.

過程與方法目標：通過具體數據的解答，探究J/=a(a》0),并利用這個結論解決具體

問題.

情感與價值目標：通過本節的學習培養學生：利用規定準確計算和化簡的嚴謹的科學精神，

發展學生觀察、分析、發現問題的能力.

教學重難點關鍵

1.重點：V7=a(a20).

2.難點：探究結論.

3.關鍵：講清a》0時，，了=2才成立.

教法：1、引導發現法：通過教師精心設計的問題鏈，使學生產生認知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導學生觀察、類比、參與問題討論，使感性認識上升為理性認識，充分體

現了教師主導和學生主體的作用，對實現教學目標起了重要的作用；2、講練結合法：在

例題教學中，引導學生閱讀類比，獲得解決問題的方法后配以精講，并進行分層練習，培養

學生的閱讀習慣和規范的解題格式

學法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學生感悟，戶=2(a20),形成有效的學習策

略。

2、閱讀的方法讓學生閱讀教材及材料，體驗一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內交換，達到取長補短，體驗學習活動中的交流

與合作。

4、練習法采用不同的練習法，鞏固所學的知識；利用教材進行自檢，小組內進行他

檢，提高學生的素質。

媒體設計：PPT課件，展臺。

課時安排：1課時。

教學過程:一、復習引入

1.形如右(a>0)的式子叫做二次根式；

2.4a(a^O)是一個非負數;

3.(\fa)2=a(a》0).

那么，我們猜想當a20時，，/=2是否也成立呢？下面我們就來探究這個問題.

二、探究新知

填空：

(老師點評)：根據算術平方根的意義，我們可以得到：

亞=2；血喬=00；而牙木杼q；病行M

因此，一般地：|行=a(a20)

例1、化簡

(1)V9(2)Ji、(3)V25(4)J(-3)2

分析:因為(1)9=-32,(2)(-4)2=42,⑶25=52,

(4)(-3)2=32,所以都可運用(a20)?去化簡.

解：(1)必律=3(2)J(-4)2="=4

(3)A/25=5(4)J(-3『=3

三、應用拓展

例2、填空：當a》0時，_____；當a<0時，，/=，?并根據這一性

質回答下列問題.

(1)若，?=a,則a可以是什么數？

(2)若必=-a,則a可以是什么數？

(3)J/>a,則a可以是什么數？

分析：；G=a(a20),...要填第一個空格可以根據這個結論，第二空格就不行，應

變形，使“()2”中的數是正數，因為，當aWO時，后4-a)?,那么-a》0.

(1)根據結論求條件；(2)根據第二個填空的分析，逆向思想；(3)根據(1)、(2)可知，/=

Ia|,而|a|要大于a,只有什么時候才能保證呢？a<0.

解：(1)因為C=a,所以a20；

(2)因為=-a,所以aWO；

(3)因為當a20時=a,要使J/>a,即使a>a所以a不存在；當a<0時，J/=-a,

要使J/>a,即使-a>a,a<0綜上，a<0

例3、當x>2,化簡J(x—2)2-J(1一2xJ.

分析：(略)

四、歸納小結

本節課應掌握：G=a(a20)及其運用，同時理解當a<0時，J/=-a的應用拓

展.

五、布置作業

一、選擇題

22

A.0B.-C.4-D.以上都不對

33

2.a20時，J/、，口產、-J/,比較它們的結果，下面四個選項中正確的是（）.

A.=yl（-a）2B.

C.J（-a）.D.-\[a^>=7（-￡Z）2

二、填空題

1.-V0.0004=.

2.若J礪是一個正整數，則正整數m的最小值是.

三、綜合提高題

1.先化簡再求值：當a=9時，求a+Jl—Za+a?的值,甲乙兩人的解答如下：

甲的解答為：原式=a+d（l_a）2=a+（1-a）=1；

乙的解答為：原式=a+=a+（a-1）=2a-l=17.

兩種解答中，的解答是錯誤的，錯誤的原因是.

2.若|1995-a|+J"2000=a,求a-19952的值.

（提示：先由a-200020,判斷1995-a?的值是正數還是負數，去掉絕對值）

3.若-3WxW2時，試化簡|x-2|+J（X+3）2+&-10X+25。

答案:一、1.C2.A；二、1.-0.022.5；三、1.甲甲沒有先判定1-a是正數還是

負數

2.由己知得a--2000?20,22000

所以a-1995+,“一2000=a,y/a-2000=1995,a-2000=19952,

所以a-19952=2000.

3.10-x

板書設計：

§16.1.二次根式(3)

情境引入例2學生板演

=a(a20).例3

例1練習小結

教學反思:

16.2二次根式的乘除(1)

教學內容：4a?\[h—yfab(a20,b20),反之>/拓=夜?y/h(a20,b20)及其

運用.

教學目標

知識與技能目標：理解G,y/b=yfab(a)0,b》0),\[ab--/a?4b(a'O,b

》0),并利用它們進行計算和化簡

過程與方法目標：由具體數據，發現規律，導出夜?嘉=，石(a20,b》0)并運

用它進行計算；?利用逆向思維，得出，石=6-y[b(a》0,bNO)并運用它進行解題和

化簡.

情感與價值目標：通過本節的學習培養學生：利用規定準確計算和化簡的嚴謹的科學精

神，發展學生觀察、分析、發現問題的能力.

教學重難點關鍵

重點：4a,4b=\[ah(a)0,b20),\[ab-\[a?4b(a>0,b20)及它們的運

用.

難點：發現規律，導出&?4b—4ab(a20,b^O).

關鍵：要講清ylab(a<O,b<O)=JZ、/,如J(-2)x(-3=J-?(-2)x-(-3)或

J(-2)x(-3)=J2x3=\/2XV3.

教法：1、引導發現法：通過教師精心設計的問題鏈，使學生產生認知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導學生觀察、類比、參與問題討論，使感性認識上升為理性認識，充分體

現了教師主導和學生主體的作用，對實現教學目標起了重要的作用；2,講練結合法：在

例題教學中，引導學生閱讀，與算術平方根的乘法進行類比，獲得解決問題的方法后配以精

講，并進行分層練習，培養學生的閱讀習慣和規范的解題格式。

學法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學生感悟二次根式的乘法法則，形成有效的學

習策略。

2、閱讀的方法讓學生閱讀教材及材料，體驗一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內交換，達到取長補短，體驗學習活動中的交流

與合作。

4、練習法采用不同的練習法，鞏固所學的知識；利用教材進行自檢，小組內進行他

檢，提高學生的素質。

媒體設計：PPT課件，展臺。

課時安排：1課時。

教學過程

一、復習引入

(學生活動)請同學完成下列各題.

1.填空

(1)X邪-,—4x9=___;

(2)y/16X＞/25=,J16x25=.

(3)7100X^6=,V100x36=.

參考上面的結果，用“＞、＜或="填空.

V4XV9,V16X725716x25,7100X

A/36V100x36

2.利用計算器計算填空

(1)&X百遍，(2)72x75M,

(3)V5XV6而,(4)V4X而，

(5)幣又回屈.

老師點評(糾正學生練習中的錯誤)

二、探索新知

(1)被開方數都是正數；

(2)兩個二次根式的乘除等于一個二次根式，?并且把這兩個二次根式中的數相乘，作

為等號另一邊二次根式中的被開方數.

一般地，對二次根式的乘法規定為:4a?\fb=\[ab.(a20,b20)

反過來：=??血（a》0,b，0）

例L計算

(1)75XV7(2)(3)A/9XV27(4)

分析：直接利用G?a=箍（a，0,b20）計算即可.

解：⑴小義布=莊

⑵卜眄=即=百

(3)V9X>/27=V9X27=V92X3=9A/3

(4)義瓜=Jgx6=G

例2化簡

(1)79x16(2)716x81(3)781x100

(4)02y2(5)V54

分析：利用5/茄=五?4b(a》0,b20)直接化簡即可.

解：(1)79x16=79X716=3X4=12

(2)716x81=716XV81=4X9=36

(3)-81x100=聞X=9X10=90

(4)y)9x2y2=5/3^xyjx2y2=V?xx=3xy

(5)V54=5/9x6-5/3^XV6=3V6

三、鞏固練習

(1)計算：①V16Xa②3V6X2>/10③V5a,[gay

(2)化簡：V20;V18；V24；V54；712a2/72

四、應用拓展

例3.判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正:

(1)J(T)x(-9)=Cx"

（2）JgX后=4義但X后=4侵X4=4/=86

解：（1）不正確.

改正：正而不5=X?=2X3=6

（2）不正確.

改正:X后=J^X25=VHI=J16>7=4幣

五、歸納小結：本節課應掌握：（1）4a?4b=\[ab=（a^O,b》0）,\[ab-4a?4b

（a^O,b20）及其運用.

六、布置作業：一、選擇題

1.若直角三角形兩條直角邊的邊長分別為厲cm和巫cm,?那么此直角三角形斜邊

長是（）.

A.3\J2cmB.3>/3cmC.9cmD.27cm

2.化簡a的結果是（）.

A.yj-ClB.\[uC.-yj-ClD.-yfa

3.等式而IJ7=1=1一一1成立的條件是)

A.xelB.x》-lC.“WxWlD.xN1或xW?l

4.下列各等式成立的是（).

A.4#>X2亞=8亞B.5百X4&=20石

C.473X3V2=7V5D.56X472=20>/6

二、填空題：1.71014=.

2.自由落體的公式為S=；gt2（g為重力加速度，它的值為lOm/s?）,若物體下落的高

度為720m,則下落的時間是.

三、綜合提高題：1.一個底面為30cmX30cm長方體玻璃容器中裝滿水，?現將一部分

水例入一個底面為正方形、高為10cm鐵桶中，當鐵桶裝滿水時，容器中的水面下降了20cm,

鐵桶的底面邊長是多少厘米？

2.探究過程：觀察下列各式及其驗證過程.

歸_22一-2(22—1)廠一I2

V22-l+22-l-V22-1+22-l-V+3

通過上述探究你能猜測出:（a>0），并驗證你的結論.

答案:一、1.B2.C3.A4.D；二、1.13瓜2.12s

三、1.設：底面正方形鐵桶的底面邊長為X,

貝ijx?X10=30X30X20,x2=30X30X2,

x=V30x30XV2=30V2.

驗證:

板書設計:

16.2二次根式的乘除（1）

情境引入例2學生板演

yja?y[h=\[ab(a20,b20),例3

反之=G?\[b(a20,b20).

例1練習小結

16.2二次根式的乘除（2）

教學內容

\a_4a

（a，0,b>0）,反過來（a20,b>0）及利用它們進行計算和化簡.

4廠而

教學目標

知識與技能目標：理解(aZO,b>0)（aNO,b>0）及利用它

和4呼

們進行運算.

過程與方法目標：利用具體數據，通過學生練習活動，發現規律，歸納出除法規定，并

用逆向思維寫出逆向等式及利用它們進行計算和化筒.

情感與價值目標：通過本節的學習培養學生：利用規定準確計算和化簡的嚴謹的科學精

神，發展學生觀察、分析、發現問題的能力.

4a_[a[a_4a

教學重難點關鍵:1.重點：理解(aZO,b>0),（a》O,b>0）及利用

它們進行計算和化簡.

2.難點關鍵：發現規律，歸納出二次根式的除法規定.

教法：1、引導發現法：通過教師精心設計的問題鏈，使學生產生認知沖突，感悟新知，建

立分式的模型，引導學生觀察、類比、參與問題討論，使感性認識上升為理性認識，充分體

現了教師主導和學生主體的作用，對實現教學目標起了重要的作用；2、講練結合法：在

例題教學中，引導學生閱讀，與商的平方根進行類比，獲得解決問題的方法后配以精講，并

進行分層練習，培養學生的閱讀習慣和規范的解題格式。

學法：1、類比的方法通過觀察、類比，使學生感悟二次根式的除法法則，形成有效的學

習策略。

2、閱讀的方法讓學生閱讀教材及材料，體驗一定的閱讀方法，提高閱讀能力。

3、分組討論法將自己的意見在小組內交換，達到取長補短，體驗學習活動中的交流

與合作。

4、練習法采用不同的練習法，鞏固所學的知識；利用教材進行自檢，小組內進行他

檢，提高學生的素質。

媒體設計：PPT課件，展臺。

課時安排：1課時。

教學過程：一、復習引入

（學生活動）請同學們完成下列各題：

1.寫出二次根式的乘法規定及逆向等式.

2.填空

V3656

而W,

3.利用計算器計算填空:

乖>也V2_

(1),(2),(3)，(4)也

忑=------

規律：言（3也但V2（2旦17

4；耳3：出5；引

二、探索新知

y/aa

一般地，對二次根式的除法規定:7rM(a20,b>0),

■SO,b>0)

反過來,

下面我們利用這個規定來計算和化簡一些題目.

分析：上面4小題利用/=（a》O,b>0）便可直接得出答案.

4b\b

解：（1）警=后="=2

分析:直接利用(a>0,b>0)就可以達到化簡之目的.

三、應用拓展

例3.已知，日三且x為偶數，求(1+x)-二￡'+4的值.

Vx-67^6Vx2-l

分析:式子只有a>0,b>0時才能成立.

因此得到9-x20且x-6>0,即6<xW9,又因為x為偶數，所以x=8.

解A：由,題意?得《9-x>0,即<[x<9

x-6>0x>6

???6<xW9

???x為偶數

/.x=8

?,?原式=(1+X)

(X+1)0—1)

(1+x)J4..=J(l+x)(x—4)

J(x+1)

.,.當x=8時，原式的值=14x9=6.

四、歸納小結

y/a[a_y[a

本節課要掌握(a20,b>0)和(a20,b>0)及其運用.

五、布置作業

一、選擇題

2/72v2

A.-V5B.-C.V2D.一

777

2.閱讀下列運算過程：

1百垂)2275275

值一品6-3'75-75x75~5

2

數學上將這種把分母的根號去掉的過程稱作“分母有理化”,那么，化簡7己的結果是

).

A.2B.6C.-V6D.V6

3

二、填空題

1■分母有理化:(1)」產=________;(2)—^=_______；(3).

3V2V122V5

2.已知x=3,y=4,z=5,那么J五+的最后結果是

三、綜合提高題

1.有一種房梁的截面積是一個矩形，且矩形的長與寬之比為百：1,?現用直徑為

3715cm的一種圓木做原料加工這種房梁，那么加工后的房染的最大截面積是多少？

2.計算

(a>0)

__V3V3V10V2xV5V2V15

答案:-1?A2.C一、1.(1)——?;(2)——;(3)—產=--------T=-=-----2.---

662V52V523

三、1.設：矩形房梁的寬為x（cm）,則長為Gxcm,依題意，得：（百x）2+x2=（3厲）