全國青年教師觀摩大賽數學賽課一等獎作品

教學設計精品模板（一）

目錄

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9.6空間向量的夾角和距離公式

南昌大學附屬中學高

瑩

三維目標：

知識與技能：1.使學生知道如何建立空間直角坐標系，掌握向量的長度

公式、

夾角公式、兩點間距離公式、中點坐標公式，并會用這

些公式

解決有關問題；

2被學生經歷對從生活中如何抽象出數學模型的過程，從

而提高分析問題、解決問題的能力.

過程與方法：通過采用啟發探究、講練結合、分組討論等教學方法使

學生在積極活躍的思維過程中，從“懂”到“會”到“悟”.

情感、態度和價值觀：1.通過自主探究與合作交流的教學環節的設置，激發學生

的學習熱情和求知欲，充分體現學生的主體地位；

2.通過數形結合的思想和方法的應用，讓學生感受和體會

數學的魅力，培養學生“做數學”的習慣和熱情.

教學重點：夾角公式、距離公式.

教學難點：數學模型的建立.

關鍵：將生活中的問題轉化為數學問題，建立恰當的空間直角坐標系，正確

寫出空間向量的坐標.

教具準備：多媒體投影，實物投影儀.

教學過程：

（一）創設情境，新課導入

2008年5月16日，南昌可以說是萬人空巷，大家都把自己的愛國熱情聚集在

圣火的傳遞上，讓我們值得驕傲的是火炬傳遞中的一站就是我們的南昌大學，其

中途經我市雄偉而壯觀的生米大橋，為記錄傳遞過程，我校派了小記者在船上進

行全景拍攝，出現了這么一個問題.

引例:在離江面高30米的大橋上，火炬手由東向西以2m/s的速度前進，小船以

1m/s的速度由南向北勻速行駛，現在火炬手在橋上％點以東30米的G點處，

小船在水平。點以南方向30米的A處（其中。刀，水面）

求（1）6s后火炬手與小船的距離？

（2）此時的視線與開始時的視線所成角的余弦值?

（不考慮火炬手與小船本身的大小）.

今天我們從另一個角度來分析這個問題.

分析:建立數學模型

問題（1）轉化為:如何求空間中兩點間的距離？

問題（2）轉化為：如何求空間中兩條直線所成角的余弦值?

1、空間兩點間的距離公式

已知：A（X，X，Z|），8@2，%，22）,則

AB=（x2-xi,y2-yl,z2-zt）

網=NABAB="（/-療+⑴-川+仁一力

^A.B=V（X2-X1）2+（%一丁1）-+（Z2—4）一

2、夾角公式

設。=（4%，4）,6=（%2，%，22），

則a=O4,b=0B

.a*h

cos<a,b

2+yj+zj^x^+y^+z^

（二）例題示范，形成技能

例1：在離江面高30米的大橋上，火炬手由東向西以2m/s的速度前進，小船以

1m/s的速度由南向北勻速行駛，現在火炬手在橋上2點以東30米的G點處，

小船在水平。點以南方向30米的A處（其中OQ，水面）

求（1）6s后火炬手與小船的距離？

（2）此時的視線與開始時的視線所成角的余弦值?

（不考慮火炬手與小船本身的大小）.

解：建立如圖空間直角坐標系，

則A（30,0,0），G（0,30,30）

M（0,18,30）,N（24,0,0）；

(1)|w|=^242+(-18)2+(-30)2

=30\f2m

(2)W=(24,-18,-30),AC,=(-30,30,30).

MN?AC、

cos〈MN,AC)

|M/V|-|AC,|

24x(-30)+(-18)x30+(-30)x30_2m

30A/2xJ(-30『+3()2+3025

此題所求的是空間兩條直線所成角的余弦值，而不是兩個空間向量夾角的

余弦值，兩者有什么區別？我們又如何轉化為本題的結論?

（三）學生互動鞏固提高

變式訓練:實際上,我們剛剛就是在一個正方體中討論兩點間的距離，兩條直線

所成的角，而在正方體中還有許多的點與線,

例2：（1）若G為MN的中點，求G3兩點間的距離.

（2）若耳耳=〃￡=竽，求88與。耳所成的角的余弦值.

(D解：設G點的坐標為G(x,y,z),則

DG=1(DM-9

=l[(O,18，M24]

=(12,9,)1.

G(12,9,)1B(,30),

\GB\=V182+212+152=3VH0.

⑵解:如圖，5(30,30,0),￡,30,y,30

0(0,0,0)/0,萬,30

BE,=10,-y,30=0,y,30j.

x"+30x30

BE、?DF[2___1_5____

cos〈BEi，DF)=

時Wl15>/171571717

22

請在上面例題的基礎上,各編一個關于求夾角和距離的題目.

拓展提高:我們知道平面上到兩點距離相等的點的軌跡是一條直線,那么猜想空間

上到兩點距離相等的點的軌跡是一個平面，我們能不能把它表示出來呢？

例3：求到M,N兩點距離相等的點P(x,y,z)的坐標x、y、z滿足的條件.

解：點P(品y,z)到N兩點距離相等,

則-MTP,

Q(X-Q)~+(y-]8)~+(z-30)

=^-24)2+(y-0)2+(z-0)2

化簡，得

4x-3y-5z+54=

即到到M,N兩點距離相等的點的坐標點(x,y,z)滿足的條件是

4元一3y-5z+54=

(四)概括提煉，總結升華

求空間兩點間的距離求空間兩條直線的夾角

(五)布置作業，探究延續

1.課本P42習題9.67.8.9.

2.請同學們各編寫一道關于求夾角和距離的題目，并解答.

3.思考題：弓I例:何時小船與火炬手之間的距離最短?

（六）板書設計:

§9.6空間向量的夾角和距離公式

1.兩點間的距離公式例題作業

2.向量的夾角公式小結

3.中點公式

教案說明

一'授課內容的數學本質與教學目標定位

本節課是人教版第九章第六節空間向量的坐標運算之夾角和距離公式的第

一課時，它是在學生學習了空間向量的坐標表示，空間向量的數量積的基礎上進

一步學習的知識內容，溝通了代數與幾何的關系，體現了向量的工具性、應用性,

滲透了轉化、數形結合等數學思想.同時它也是數學建模中很典型的一堂課，是

數學研究過程的一個縮影.

這節課希望達到以下教學目標：

三維目標：

知識與技能：1.使學生知道如何建立空間直角坐標系，掌握向量的長度

公式、

夾角公式、兩點間距離公式、中點坐標公式，并會用這

些公式

解決有關問題；

2.使學生經歷對從生活中如何抽象出數學模型的過程，從

而提高分析問題、解決問題的能力.

過程與方法：通過采用啟發探究、講練結合、分組討論等教學方法使

學生在積極活躍的思維過程中，從‘‘懂"到''會"到“悟”.

情感、態度和價值觀：1.通過自主探究與合作交流的教學環節的設置，激發學生

的學習熱情和求知欲，充分體現學生的主體地位；

2.通過數形結合的思想和方法的應用，讓學生感受和體會

數學的魅力，培養學生“做數學”的習慣和熱情.

二'學習內容的基礎以及今后有何用處

在人們生活的空間中存在著大量的圖形，夾角和距離在現實生活中隨處可見,

同時它們又是立體幾何中的重要問題，由于高二的學生已具備一定的空間想象，

但對把空間的問題轉化為數學的問題的能力有所欠缺，而本節課的學習使學生經

歷對從生活中如何抽象出數學模型的過程，從而有助于培養學生分析問題、解決

問題的能力.

本節課是在已完成了“平面向量的數量積公式、夾角公式，空間向量的坐標

表示，空間向量的數量積”等內容的教學以后進行的，它研究的是空間中夾角和

距離公式，是空間向量在立體幾何中的簡單應用，是后面學習夾角和距離的基礎，

同時也肩負著學生用向量法處理立體幾何問題，把對空間圖形的研究從“定性推

理”轉化為“定量計算”的任務，因此本節課的教學內容起著承前啟后的作用.

這節課的教學，為向量在數學和物理上的綜合運用奠定了基礎.

三'教學診斷分析

(1)由于高二的學生已具備一定的空間想象，但對把空間的問題轉化為數學的

問題的能力有所欠缺，因此在創設情境中安排了實際背景材料一一奧運火炬在南

昌的傳遞，對學生進行愛國主義教育，通過動畫演示來引出新知，使學生直觀的

體驗空間中兩點間的距離和空間兩條直線所成的角，目的有以下幾點：①通過學

生身邊的實例，激發學生的學習興趣，變枯燥的數學為有趣的數學;②使學生感

悟到數學就在身邊，提高“用數學”的意識;③使學生經歷從現實生活中抽象出

數學“模型”過程，培養“建模”意識.

(2)由于本節課的重點是夾角和距離公式，而關鍵在于如何找坐標，學生容易

了解，因此在例題的講解上，充分的發揮學生的主觀能動性，盡可能的由他們說

出點或向量的坐標，激發學生參與的熱情.

(3)由于高二的學生具備一定的學習能力，但在探究問題的內部聯系和內在發

展上還有所欠缺，為此在例1的基礎上設置變式訓練，首先將課本中的中點坐標

以及求夾角的例題設計到變式訓練中給學生以示范,再安排學生在以上的基礎上

自己編題，目的:①始終以例1為主線，貫穿下來②起到培養學生的合作精神以及

對掌握知識的相互補充作用，同時激發學生的學習積極性，讓學生真正參與進來,

真正的自主的學習.并通過投影儀充分展示學生的成果，在師生雙邊活動的過程中

養成反思意識和提高有條理的表達能力，促進學生全面和諧地發展.

將課本中求空間上到兩點距離相等的點的軌跡問題設計到拓展提高當中，引

發學生的興趣，將整堂課推向高潮.

（4）利用程序框圖幫助總結求空間兩點間的距離與兩條直線所成角的步驟.

（5）為適應不同水平的學生，作業層次有所不同，給例1設計了一問留給學生思

考，使得整堂課一根紅線貫穿始終.

四、本節課的教法特點以及預期效果分析

1.教學方法

為了激發學生學習的主體意識，面向全體學生，使學生在獲取知識的同時，

各方面的能力得到進一步的培養.根據本節課的內容特點，本節課采用啟發探究、

講練結合，分組討論等教學方法，著重于培養學生分析、解決問題的能力以及良

好的學習品質.

2.教學中的預期效果分析

本節課我采用現代化的教學手段進行教學，運用已有的知識體系，創造性的

使用教材，一根紅線貫穿始終,使學生在自主學習與教師引導相結合的教學實踐

中，從“懂”到“會”到“悟”，體會鉆研的意識，品嘗成功的喜悅，從而使學生

在積極活躍的思維過程中，數學能力和數學素養得到提高.

《算術平均數與幾何平均數》

焦作市第十一中學郭振東

【教學目標】

（1）知識目標

使學生能準確表達兩個重要不等式；理解它們成立的條件和意義；能正確運

用算術平均數與幾何平均數定理求最值.

(2)能力目標

通過對實例的分析和提煉培養學生的觀察、分析和抽象、概括能力；通過師

生間的合作交流提高學生的數學表達和邏輯思維能力.

(3)情感目標

讓學生經歷知識的發生、發展、應用的全過程，鼓勵學生在學習中勤于思考,

積極探索；通過去偽存真的學習過程培養學生批判質疑的理性思維和鍥而不舍追

求真理的精神.

【教學重點】兩個正數的算術平均數與幾何平均數定理及應用定理求最值.

【教學難點】在求最值時如何正確運用定理.

【教學過程】

I.引言：

某人中秋節到超市買兩斤糖果，不巧超市的電子秤壞了，但超市還有一個不

等臂但刻度準確的壞天平，于是售貨員先把糖果放在天平的左側稱出“一斤”，

再拿出一些糖果放在天平的右側稱出“一斤”，然后把兩次稱出的糖果合在一起

給了他，并且解釋：“一邊多一邊少，加在一起就正好.”這種稱法準確么？如果

不準確，那么是稱多了還是稱少了？

【分析】設天平左右兩側力臂長分別為4、4,兩次稱得的糖果實際重量為工、

y則：M=4，=y"?

X+y=^-+—

/,l2

這個數比2大還是小呢？有沒有好的解決方法？請同學們閱讀課本第9,10頁算

術平均數與幾何平均數一節的正文及例1,看看能否在課本中找到答案。同時思

考以下問題：

問題1.糖果給多了還是少了？你用什么知識解決了這個問題？如何解決的？

問題2.除定理外還有一個重要不等式，內容是什么？它與定理有哪些相同點和

不同點？

問題3.認真分析例1及其證明過程，你能得到什么啟示？

n.閱讀課文，找尋答案

學生閱讀課本后回答問題1和問題2,引出本節知識

一.兩重要不等式

如果凡b￡R那么a2+b1、2ab

（當且僅當〃=〃時取T號）.

定理如果a力是正數，那么小2疝

2

（當且僅當。=人時取“=”號）.

想一想："當且僅當"的含義是什么？

介紹生吆叫做。、〃的算術平均數，依叫做。、〃的幾何平均數.數列

2

解釋：兩個正數的等差中項不小于它們的正項等比中項.

m.例題精析，去偽存真

二.定理應用

例L已知都是正數，求證：

（1）如果積砂是定值P,那么當x=y時，和x+y有最小值2"；

（2）如果和x+y是定值S,那么當x=y時，積.有最大值;S?.

回答問題3,得出：

1.利用定理可以求解最值問題；

2.利用定理可以求解：和一定求積的最值；積一定求和的最值.

3.利用定理求最值應滿足：一正二定三相等.

指出“一正”即滿足定理成立的條件；“二定”即求和的最小值則積應為定

值，求積的最大值則和應為定值；“三相等”即要保證求出的最值可以取到.三

個條件在利用定理求最值時缺一不可.

Q1

練習1.（1）已知xwO,當x取什么值時的值最小，最小值是多少？

（2）已知0<x<2,當x取什么值時，x（2-x）的值最大，最大值是多少？

投影學生的解題過程，讓其他學生分析是否完整，并思考這兩個問題是否還

有其他解法（第一個小題還可以利用第一個重要不等式；第二小題可以利用一元

二次函數的最值求法）.

練習2.下列問題的解法是否正確，如果錯誤請指出錯誤原因.

（1）求函數y=（xwO）的值域.

X

解：y=x+—^2x—=2

xVx

函數y=的值域為［2,+8）.

（2）求函數/=尤（3-2外,龍卜勺最大值.

3

解：0<x<—.*.3—2v>（

2

y=x（3—2x）W（x+；2x）2=（21￡）2,

函數沒有最大值.

（3）求函數丁=，X2+4+」_■,的最小值.

《+4

解：>{x2+4>0,-；1>0

VX2+4

.,.函數的最小值為2.

帶領學生分析：練習1錯誤原因：忽略了自變量取負值的情況；練習2錯

誤原因：不滿足和x+（3-2x）為定值；練習3錯誤原因：7?喜不可能

VX2+4

成立.并且給出第（1）（2）小題的正確解法.

再次強調“一正”即滿足定理成立的條件；“二定”即求和的最小值則積

應為定值，求積的最大值則和應為定值；“三相等”即要保證求出的最值可以取

到。三個條件在利用定理求最值時要同時滿足，缺一不可.

IV.歸納小結，課堂延伸

要求學生回顧本節課的內容，談談有哪些收獲，然后教師總結

1.兩個重要不等式的內容及成立條件是什么？

2.利用定理求最值應滿足的條件有哪些？含義是什么？

作業：書面作業：課本12頁第5、6、7題.

拓展作業：借助互聯網了解算術平均數與幾何平均數的實際應用；了解股

市大盤指數的含義.

算術平均數與幾何平均數（教案說明）

河南省焦作市第十一中學郭振東

數學是研究空間形式和數量關系的科學，是刻畫自然規律和社會規律的科學

語言和有效工具；在形成人類理性思維和促進個人智力發展的過程中發揮著獨特

的、不可替代的作用；數學是人類文化的重要組成部分，數學素質是公民所必須

具備的一種基本素質.

因此在數學教學中要以培養學生的數學素質為根本目標，使學生掌握數學的

基礎知識、基本技能、基本思想；使學生表達清晰、思考有條理；使學生具有實

事求是的態度、鍥而不舍的精神；使學生學會用數學的思考方式解決問題、認識

世界.

一.教學背景分析

1.教材的地位和作用

兩個正數的算術平均數與幾何平均數定理及重要不等式"+》2二2ab不僅

在證明不等式和求最值中有著廣泛的應用，而且作為工具，在物理學和經濟學中

也常常看到它們的身影；在高考中，這兩個重要的不等式既可以從本身出發單獨

命題，又可以作為解答題的一個步驟，運用相當靈活，成為高考的一個熱點.

2.學生情況

在本節課前，學生已經能夠運用不等式的性質證明一些簡單的不等式，已經

具備了一定的建模能力，能夠解決一些簡單的應用題.

二.教學展開分析

1.教學內容

本節課主要學習算術平均數與幾何平均數定理及應用定理求解簡單的最值

問題.

2.教學目標

通過本節課的學習，力求達到以下三個目標：

（1）知識目標

使學生能準確表達兩個重要不等式，理解它們成立的條件和意義；能準確運

用算術平均數與幾何平均數定理求最值.

（2）能力目標

通過學生的自主學習、研討培養他們的自學能力和分析、解決問題能力；通

過師生間的合作交流提高學生的數學表達和交流能力.

（3）情感目標

通過學生對教師給出問題的解決，鼓勵學生在學習中勤于思考，積極探索；

通過去偽存真的學習過程培養學生批判、質疑的理性思維和鍥而不舍追求真理的

精神.

3.教學重、難點

本節課的教學重點是算術平均數和幾何平均數定理及應用定理求最值.難點

是理解應用定理求最值是應具備的三個條件一一“一正、二定、三相等”，以及

在求最值時如何正確運用定理。

三.教學過程分析

根據教學內容的特點和學生的實際情況，我把本節課設計為以下四個環節：

1.設置情境，自學釋疑

這一環節通過設置有趣的實際問題激發學生的學習興趣，讓學生帶著問題閱

讀課本，培養學生的自學能力和分析、解決問題的能力，為他們將來繼續學習打

下堅實的基礎.

2.深化定理，例題精析

通過對定理和例1的認真分析突出教學重點，培養學生的觀察、分析能力和

歸納、總結能力.通過師生間的合作交流，提高學生的數學表達和交流能力.

3.練習鞏固，錯解辨析

通過這一環節突破教學難點，強調利用定理求最值時必須同時滿足“一正、

二定、三相等”，三個條件缺一不可.同時通過去偽存真的學習過程培養學生批判、

質疑的理性思維和鍥而不舍的鉆研精神與科學態度.

4.歸納小結，課堂延伸

鞏固學生已學知識，延伸數學課堂.通過實踐作業擴大學生的知識容量，使

學生逐步認識到數學的科學價值、應用價值和文化價值，激發學生學習數學的興

趣和應用數學的意識.

四.教學診斷分析

本節課中，兩個重要不等式的內容及其證明過程學生比較容易理解，所以我

采用學生自主學習的方式培養他們的自學能力，同時強調兩個重要不等式的適用

范圍及等號成立的條件，為進一步學習利用定理求解最值問題埋下伏筆.

課本例1實質上給出了利用定理求解最值問題的模板，通過學生的認真分析

與合作交流得出利用定理求解最值時應滿足的三個條件一一“一正、二定、三相

等”.

如何正確地應用算術平均數與幾何平均數定理求解最值問題是本節課的教

學重點及難點.準確理解三個條件“一正、二定、三相等”是突破教學難點的關

鍵，為此我專門準備了三個有針對性的練習，通過錯解辨析進一步加強學生對運

用定理求最值時應滿足的三個條件的理解：“一正”即滿足定理成立的條件；“二

定”即求和的最小值時積應為定值，求積的最大值時和應為定值；“三相等”即

要保證不等式兩邊可以取等號，三個條件在利用定理求最值時應同時滿足，缺一

不可.

五.教法特點及預期效果分析

本節課我采用“設置疑問，探索辨析，歸納應用，延伸拓展”的科研式教學

方法啟學釋疑培養學生的自學能力；討論辨析形成批判性思維；應用、拓展發

展學生的應用意識.

在學生自整￡習與教師引導相結合的教學過程中，力求使學生掌握兩個重要

不等式及利用定理求解最值的方法，建立自己的知識結構，培養學生分析問題、

解決問題的能力.課后利用網絡的信息資源進行拓展學習，激發學生學習數學的

興趣和應用數學的意識，提高學生的數學素養.

六.教學理念

本節課的教學設計體現了我的兩個教學理念：

1.給學生提供一個充分展示自我的平臺，讓每一位學生都能得到發展.

在教學中設置不同層次的問題，使每位學生都能通過解決問題體會到學習過

程中的快樂，樹立起學習數學的自信心.

2.學習是為了應用，只有緊密聯系生活的科學才是有生命力的科學.

新課標中再三強調要注重發展學生的應用意識，課堂教學不能一味的講授理

論，要隨時隨地聯系實際，只有這樣學生才會覺得學習數學有用，才能激發學生

學習數學的興趣，數學課堂才能充滿活力和激情！

課題：隨機事件的概率（第一課時）

授課教師：賀航飛（2008年9月20日）

一、教學目標分析：

1、知識與技能：⑴了解隨機事件、必然事件、不可能事件的概念；

⑵通過試驗了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性；

2、過程與方法：⑴創設情境，引出課題，激發學生的學習興趣和求知欲；

⑵發現式教學，通過拋硬幣試驗，獲取數據，歸納總結試驗結果，體會隨機

事件發生的隨機性和規律性，在探索中不斷提高；

⑶明確概率與頻率的區別和聯系，理解利用頻率估計概率的思想方法.

3、情感態度與價值觀：⑴通過學生自己動手、動腦和親身試驗來理解知識，體

會數學知識與現實世界的聯系；

⑵培養學生的辯證唯物主義觀點，增強學生的科學意識，并通過數學史實滲

透，培育學生刻苦嚴謹的科學精神.

二、重點與難點：

⑴重點：通過拋擲硬幣了解概率的定義、明確其與頻率的區別和聯系；

⑵難點：利用頻率估計概率，體會隨機事件發生的隨機性和規律性；

三、學法與教學用具：

⑴指導學生通過實驗，發現隨機事件隨機性中的規律性，更深刻的理解事件

的分類，認識頻率，區分概率；

⑵教學用具：硬幣數十枚，表格，幻燈片，計算機及多媒體教學.

四、教學基本流程：

創設情境、引出課題

溫故知新、鞏固練習

師生合作、共探新知

討論探究、例題演練

課堂小結、布置作業

五、教學情境設計：（第一課時）

1、創設情境，引出課題——狄青征討儂智高

故事：北宋仁宗年間，西南蠻夷儂智高起兵作亂，大將狄青奉命征討.出征

之前，他召集將士說：“此次作戰，前途未卜，只有老天知道結果.我這里有100

枚銅錢，現在拋到地上，如果全部正面朝上，則表明天助我軍，此戰必勝.”言

罷，便將銅錢拋出，100枚銅錢居然全部正面朝上！

將士聞訊，歡聲雷動、士氣大振！宋軍也勢如破竹，最終全勝而歸.

2、溫故知新、承前啟后——溫習隨機事件概念：

⑴必然事件：在條件S下，一定會發生的事件，叫相對于條件S的?；

⑵不可能事件：在條件S下，一定不會發生的事件，叫相對于條件s的?；

⑶隨機事件：在條件s下可能發生也可能不發生的事件，叫相對于s的?；

⑷確定事件：必然事件和不可能事件統稱為相對于條件s的確定事件.

討論：在生活中，有許多必然事件、不可能事件及隨機事件.你能舉出現實

生活中隨機事件、必然事件、不可能事件的實例嗎？

例1:判斷下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨機事件？

⑴“導體通電后，發熱”；

⑵“拋出一塊石塊，自由下落”；

⑶“某人射擊一次，中靶”；

（4）“在標準大氣壓下且溫度低于0℃時，冰自然融化”；

⑸''方程f+1=0有實數根”；

（6）”如果。＞方，那么a—匕＞0"；

⑺“西方新聞機構CNN撒謊”；

⑻“從標號分別為1,2,3,4,5的5張標簽中，得到1號簽”。

答：根據定義，事件⑴、⑵、⑹是必然事件；事件⑷、⑸是不可能事件；事

件⑶、⑺、⑻是隨機事件.

?頻數與頻率:在相同的條件S下重復n次試驗,觀察某一事件A是否出現,

稱n次試驗中事件A出現的次數nA為事件A出現的頻數;稱事件A出現的比例

fn（A）=%為事件A出現的頻率.

n

討論：隨機事件、必然事件、不可能事件頻率的取值范圍？

答：必然事件出現的頻率為1,不可能事件出現的頻率為0,隨機事件出現

的頻率介于0和1之間.

3、師生合作，共探新知一一拋擲硬幣試驗：

?試驗步驟：（全班共48位同學，小組合作學習）

第一步，個人試驗，收集數據：全班分成兩大組，每大組分成六小組，每小

組四人，前三排每人試驗15次，后三排每人試驗10次；

第二步，小組統計，上報數據：每小組輪流將試驗結果匯報給老師；

第三步，班級統計，分析數據：利用EXCEL軟件分析拋擲硬幣“正面朝上”

的頻率分布情況，并利用計算機模擬擲硬幣試驗說明問題;

組另U第一大組第二大組

小組正面朝上次數正面朝上比例正面朝上次數正面朝上比例

1

2

3

4

5

6

合計

第四步，數據匯總，統計“正面朝上”次數的頻數及頻率；

第五步，對比研究，探討“正面朝上”的規律性.（教師引導、學生歸納）

①隨著試驗次數的增加，硬幣“正面朝上”的頻率穩定在0.5附近；

②拋擲相同次數的硬幣，硬幣“正面朝上”的頻率不是一成不變的。

（在試驗分析過程中，由學生歸納出來）

提問：如果再做一次試驗，試驗結果還會是這樣嗎？（不會，具有隨機性）

?歷史上一些拋擲硬幣的試驗結果.（PU2,表3-2）

正面向上的

試驗者拋擲次數（n）頻率(―)

次數（頻數m）n

棣莫弗204810610.5181

布豐404020480.5069

費勒1000049790.4979

皮爾遜1200060190.5016

皮爾遜24000120120.5005

（討論：0.5的意義，引出概率的概念.）

?概率：對于給定的隨機事件A,如果隨著試驗次數的增加，事件A發生的

頻率fn（A）穩定在某個常數上，把這個常數記作P（A）,稱為事件A的概率。

討論：事件A的概率P（A）的范圍？頻率與概率有何區別和聯系？

?頻率與概率的區別和聯系：（重點、難點）

⑴頻率是概率的近似值，隨著試驗次數的增加，頻率會穩定在概率附近；

⑵頻率本身是隨機的，在試驗前不能確定；

⑶概率是一個確定的數，是客觀存在的，與每次試驗無關。

?討論：研究隨機事件的概率有何意義?

任何事件的概率是0~1之間的一個確定的數，它度量該事情發生的可能性。

小概率事件很少發生，而大概率事件則經常發生。知道隨機事件的概率有利于我

們作出正確的決策。（例子）

?數學思想方法點撥一一如何求隨機事件的概率？

通過大量重復試驗，利用頻率估計概率。

例子：天氣預報、保險業、博彩業等。

4、參考例題及課后練習：

例2：做同時擲兩枚硬幣的試驗，觀察試驗結果：

⑴試驗可能出現的結果有幾種？分別把它們表示出來。

⑵做100次試驗，每種結果出現的頻數、頻率各是多少？

重復⑵的操作，你會發現什么？你能估計“兩個正面朝上”的概率嗎？

（利用計算機模擬擲兩次硬幣試驗，說明問題）

照應：通過模擬試驗，我們知道拋兩枚硬幣，得到“兩個正面朝上”的概率

為0.25,那狄青拋100個銅錢都正面朝上，這種事情你敢相信嗎？

揭示謎底：狄青所拋銅錢正面朝上是必然事件，而不是隨機事件，因為他所

拋的銅錢正反兩面是相同的。

備用練習：P113,練習題第2題（利用計算機模擬擲骰子試驗）

5、課堂小結一知識內容：⑴隨機事件、必然事件、不可能事件的概念；

⑵概率的定義及其與頻率的區別和聯系，體會隨機事件的隨機性與規律性。

?思想方法：利用頻率（統計規律）估計概率.

6、課后任務：

（必做）如果某種彩票的中獎概率為0.001,那么買1000張彩票一定能中獎

嗎？試論述中獎概率為0.001的含義。（要求突出頻率與概率的區別和聯系）

（選做）試求上題中，買1000張彩票都不中獎的概率？

六、教學反思（參評教師課后討論——網絡教研）：

?觀課教師的課后評析（2008年4月30日海南省高中數學優質課比賽決賽）

（注：以下內容來自數學教育交流站，錄像課為2008年9月20日在演播大廳重拍）

/index/1000026.jspx?articleld=1469267

2008年海南省高中數學優質課比賽決賽論壇

?13.評：2008年海南省高中數學優質課比賽決賽論壇,2008-04-3018:16:00,疝1

賀航飛老師這節課應該說上得非常完整非常精彩，在《十面埋伏》的音樂背景中引入一個傳

說故事，也引起了學生的好奇和興趣。教學中一環扣一環，使得學生不斷的開發智力，只是

板書少了些。這個過程明確目的，強調重難點，非常順暢的完成這個課時的教學。

?33.評：2008年海南省高中數學優質課比賽決賽論壇,2008-04-3020:03:00,選搔性失明

1,海南中學，賀航飛老師."隨機事件的概率"最難上，所有上過該課的老師都有體會，我

認為賀老師做得很好，詳略得當，重點突出，趣味靈動；對概率的定義，處理很到位，從直

觀到理性，細膩有味，凸顯了數學思想方法。我提倡上這樣的數學課。

?95.評：2008年海南省高中數學優質課比賽決賽論壇,2008-05-0100:36:0。，刀

最后的賀選手整節課把握的不錯，不論是開局，過程，結尾；還是思想，教法都顯得渾然一

體，完美。特別是結尾，此次比賽前面許多選手把握不到火候，硬給羅老師喊“停”。

但有一細節請教，我看到課前他將一椅子讓學生放在前幾行的中間，是否另有妙招還沒展

示？

?103.評：2008年海南省高中數學優質課比賽決賽論壇,2008-05-0109:54:00,我也評評

首先，我是一個高級教師，非常欣賞賀老師，課堂設計非常漂亮，執行得也非常好，特別是

分組試驗設計得很好，否則這節課很難完成教學任務。但我也有幾個問題要問賀老師，第一，

你怎么看幾何概型？第二，教材中利用頻率估計概率這種提法，我覺得很別扭，你怎么看。

?141.評：2008年海南省高中數學優質課比賽決賽論壇,2008-05-0123:03:00,鵬儀

三亞港中有一位年青教師給我遞紙條：“隨機事件的概率范圍是(0,1)這樣的話經常出現在

許多數學教師口中，這原本就是一個錯誤，我想請您在這次大賽中向一些老師糾正一下。

隨著人教試驗版數學教科書幾何概型的引入，概率為零的事件也可能發生，而概率為1的事

件也可能不發生。也就是說原來隨機事件概率范圍(0,1)已經是一個錯誤，必須隨著教材版

本的改進而加以更正。否則我們作為數學教師的就是對數學這門學科的大不敬。

不當之處，請給予指正。”

這位老師提的問題很好，大家可以討論討論。另外，比較有意思的還有幾個問題：1,關于

零向量問題，共線向量與平行向量的關系；2,復數定義問題，虛軸與實軸定義問題。

?144.評：2008年海南省高中數學優質課比賽決賽論壇,2008-05-0123:15:00,鵬儀

有關數學概念的細節問題，我們是否有必要在概念課時與學生糾纏更多？這三個問題都是爭

論很久也沒有定論的，所以我的意見還是，高考都回避了，我們沒必要太多糾纏。從小概率

事件的定義來講，在一個圈內投豆，豆子落到某點是隨機事件，但正好落到這點的概率為0,

有關幾何概型中出現的悖論，歷史上最有名的就是Buffon的悖論，所以才有后來概率論的

嚴格定義。如果為了講這個問題，而搬出那么多歷史問題，這樣的課堂將更加失敗。

?145.評：2008年海南省高中數學優質課比賽決賽論壇,2008-05-0123:30:00,鵬儀

關于利用頻率逼近概率問題，這是一種非常重要的數學應用問題，新課程所提倡的，隨機模

擬方法，也就是Monte-Carl。法，至于他的數學公理性，沒有人刻劃，但這個方法比較有效。

最簡單的例子就是Buffon的投針問題：平面上畫有等距離的平行線，平行線間的距離為a

(a>0),向平面任意投一枚長為1(l<a)的針，試求針與平行線相交的概率。利用這個問

題估計K(pi)的值。

“隨機事件的概率”教案說明

海南省海南中學賀航飛

“隨機事件的概率”是人教A版《數學必修3》第三章第一節的內容，本節

課是其中的第一課時.課程標準要求：“在具體情境中，了解隨機事件發生的不

確定性和頻率的穩定性，進一步了解概率的意義以及頻率與概率的區別”.并指

出：“概率教學的核心問題是讓學生了解隨機現象與概率的意義”.要求“教師應

通過日常生活中的大量實例，鼓勵學生動手試驗，正確理解隨機事件發生的不確

定性及其頻率的穩定性，并嘗試澄清日常生活遇到的一些錯誤認識.”根據課程

標準的要求，結合教材實際，我將從背景分析、目標定位、教法學法、教學設想、

教學評價等五個方面對本節課的教學設計進行說明.

一、背景分析

1.教材分析：

相對于傳統的代數、幾何而言，概率論形成較晚，其定義方式新穎獨特，具

有不確定性，這是理解概率的難點所在.新教材在教學內容的編排上，采用了模

塊化、螺旋上升的方式.本節課就是在學習了“隨機抽樣”、“用樣本估計總體”

等統計知識的基礎上展開對概率的研究的一一利用頻率估計概率，即當試驗次數

較大時，頻率漸趨穩定的那個常數就叫概率.本節課的學習，將為后面學習古典

概型、幾何概型、條件概率等打下基礎.因此，我認為“通過拋擲硬幣了解概率

的定義、明確其與頻率的區別和聯系”是本節課的教學重點；

2.學情分析：

學生在初中階段學習了概率初步，對頻率與概率的關聯有一定的認識，但他

們不知道如何利用頻率去估計概率，這是教學中的一大難點；另外，隨機事件發

生的隨機性和規律性是如何辯證統一的，這是教學中的又一大難點.

二、目標定位

1、知識與技能目標：⑴了解隨機事件、必然事件、不可能事件的概念；

⑵通過試驗了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性；

2、過程與方法目標：⑴創設情境，引出課題，激發學生的學習興趣和求知欲；

⑵發現式教學，通過拋硬幣試驗，獲取數據，歸納總結試驗結果，體會隨機

事件發生的隨機性和規律性，在探索中不斷提高；

⑶明確概率與頻率的區別和聯系，理解利用頻率估計概率的思想方法.

3、情感態度與價值觀目標：⑴通過學生自己動手、動腦和親身試驗來理解知識，

體會數學知識與現實世界的聯系；

⑵培養學生的辯證唯物觀，增強學生的科學意識，并通過數學史實滲透，培

育學生刻苦嚴謹的科學精神.

三、教法學法

針對本節課的特點，在教法上，我采用以教師引導為主，學生合作探索、積

極思考為輔的探究式教學方法；在教學過程中，我注重啟發式引導、反饋式評價,

充分調動學生的學習積極性，鼓勵同學們動手試驗，讓同學們積極主動分享自己

的發現和感悟；在教學手段上，我靈活運用黑板板書和多媒體展示，通過打擂臺

等競賽方式，激發學生的創造力，活躍了氣氛，加深了理解；在教學思想上，我

以建構主義為主，強調數學知識的建構過程，讓學生親歷隨機事件隨機性與規律

性的發現之旅.

四、教學設想

歿行意畫號評述

本節課的總體設計思

創設情境、引出課題想是建構主義的.

首先通過狄青將軍討

溫故知新、鞏固練習伐儂智高的傳說，創設情

1境，激發興趣.

師生合作、共探新知然后回顧隨機事件、

1頻數、頻率相關概念，為

討論探究、例題演練拋擲硬幣試驗做好準備；

1高效的拋擲試驗和富有成

課堂小結、布置作'也效的試驗研討是本節課的

關鍵.

建構主義要求教師通過問題為載體，以學生活最后通過例題分析、

動為主線開展教學，尊重“受體”知識的建構過程.課堂小結，分享成長體會，

達到教學目的.

1、創設情境，引出課題一一狄青征討儂智高

數學過整歿花意畫號評述

音樂（十面埋伏）本節課的內容相對簡

故事：北宋仁宗年間，西南蠻夷儂智高起兵作單，學生在初中已經有所

舌L,大將狄青奉命征討.出征之前，他召集將士說：涉及，如何激發學生的學

“此次作戰，前途未卜，只有老天知道結果.我這習興趣、主動參與課堂，

里有100枚銅錢，現在拋到地上，如果全部正面朝是教學的一大難點.

上，則表明天助我軍，此戰必勝言罷，便將銅說書形式評講狄青將

錢拋出，100枚銅錢居然全部正面朝上！軍討伐儂智高的傳說，能

將士聞訊，歡聲雷動、士氣大振！宋軍也勢如夠激發學生的學習興趣，

破竹，最終全勝而歸.調動聽課者情緒，以飽滿

的精神參與課堂.

2、溫故知新、承前啟后——進一步認識隨機事件、頻率:

數學過程世材意囹號評述

2.1復習隨機事件概念

⑴必然事件：在條件S下，一定會發生的事件，由于是章節的第一課

叫相對于條件S的必然事件；時，又涉及到全新概念，

⑵不可能事件：在條件S下，一定不會發生的本節課有許多枝節內容需

事件，叫相對于條件S的不可能事件；要介紹，頗顯繁瑣.在課

⑶隨機事件：在條件S下可能發生也可能不發堂中如何組織這部分內容

生的事件，叫相對于s的隨機事件；的教學，考驗了教師教學

⑷確定事件：必然事件和不可能事件統稱為相的基本功.

對于條件S的確定事件.

2.2討論：在生活中，有許多必然事件、不可對隨機事件的概念，

能事件及隨機事件.你能舉出現實生活中隨機事筆者直接利用多媒體展示

件、必然事件、不可能事件的實例嗎？出來，重點放在對生活中

隨機事件的討論上，調動

2.3例1：判斷下列事件哪些是必然事件，哪些了同學們的積極性，活躍

是不可能事件，哪些是隨機事件？了氣氛.在實際教學中，

⑴“導體通電后，發熱”；學生總能想到一些奇特的

⑵''拋出一塊石塊，自由下落”；例子，生動活潑，出人意

⑶“某人射擊一次，中靶”；料.

⑷“在標準大氣壓下且溫度低于0℃時，冰自

然融化”；

第一個例題，鼓勵同

（5）“方程V+1=0有實數根”；

學們搶答，或輪流回答，

（6）“如果”>。，那么a-b>0”；突出參與意識.

⑺“西方新聞機構CNN撒謊”；

⑻“從標號分別為1,2,3,4,5的5張標簽

中，得至U1號簽

答：事件⑴、⑵、⑹是必然事件；事件⑷、⑸

是不可能事件；事件⑶、（7）、⑻是隨機事件.

2.4頻數與頻率：在相同的條件S下重復n次復習頻率概念，為理

試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗中事解概率概念及“利用頻率

件A出現的次數以為事件A出現的頻數;稱事件A估計概率”的思想方法創

造條件.

出現的比例fn（A）=也為事件A出現的頻率.

n

2.5提問：隨機事件、必然事件、不可能事件加深對隨機事件的理

頻率的取值范圍？