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第八章立體幾何初步

8.1基本立體圖形

第1課時棱柱、棱錐、棱臺

【學習目標】1.通過對實物模型的觀察，歸納認知棱柱、棱錐、棱臺的結構特征.2.理解棱柱、

棱錐、棱臺之間的關系.3.能運用棱柱、棱錐、棱臺的結構特征描述現實生活中簡單幾何體的

結構并進行有關計算.

知識梳理梳理教材夯實基礎

■■■■■■■■■■■■■■■■----------------------------------------1-----------

知識點一多面體、旋轉體的定義

類別多面體旋轉體

一條平面曲線（包括直線）繞它所在

由若干個平面多邊形圍成平面內的一條定直線旋轉所形成的

定義

的幾何體曲面叫做旋轉面，封閉的旋轉面圍

成的幾何體叫做旋轉體

KE

圖形

F

i

面：圍成多面體的各個名

邂

相關概念軸：形成旋轉體所繞的定直線

棱：相鄰兩個面的公共邊

頂點：棱與棱的公共點

思考構成空間幾何體的基本元素是什么？

答案構成空間幾何體的基本元素是：點、線、面.

知識點二棱柱的結構特征

1.棱柱的概念

名稱定義圖形及表示相關概念

底面(底)：兩個互

有兩個面互相壬丘，其

側面底面相平行的面

余各面都是四邊形，并服*假

側面：其余各面

且相鄰兩個四邊形的公A~鏟頂點

棱柱側棱：相鄰側面的

共邊都互相壬任，由這如圖可記作：棱柱

公共邊

些面所圍成的多面體叫ABCDEF—

夕CD'E1F頂點：側面與底面

做棱柱A'

9的公共頂點

2.棱柱的分類

⑴按底面多邊形邊數來分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……

(2)按側棱是否與底面垂直：側棱垂直于底面的棱柱叫做直按拉，側棱不垂直于底面的棱柱叫

做斜棱柱.

底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四邊形的四棱柱也叫做平行六面體.

思考棱柱的側面一定是平行四邊形嗎？

答案棱柱的側面一定是平行四邊形.

知識點三棱錐的結構特征

1.棱錐的概念

名稱定義圖形及表示相關概念

底面(底)：多邊形

N頂點面

有一個面是空邊形,其吟/'側面

側面：有公共頂點

余各面都是有一個公共Z與。

的各個三角形面

棱錐頂點的三角形,由這些

p八面

Afi側棱：相鄰側面的

面所圍成的多面體叫做

如圖可記作：棱錐公共邊

棱錐

S—ABCD頂點：各側面的公

共頂點

2.棱錐的分類

(1)按底面多邊形的邊數分：三棱錐、四棱錐……

(2)底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱隹

知識點四棱臺的結構特征

名稱定義圖形及表示相關概念分類

上底面：平行于棱

錐底面的截面由三棱錐、

用一個平行于1,下底面：原棱錐的四棱錐、五

上底面

棱錐底面的平偏面洋玉雕底面棱錐……

面去截棱錐，w七?卜.底面側面：其余各面截得的棱臺

棱臺\B

頂點

底面與截面之側棱：相鄰側面的分別叫做三

如圖可記作：棱臺

間那部分多面公共邊棱臺、四棱

ABCD—

體叫做棱臺頂點：側面與上臺、五棱

AfB'C'D'

（下）底面的公共頂臺...

點

思考棱臺的各側棱延長線一定相交于一點嗎？

答案一定相交于一點.

■思考辨析判斷正誤■

1.有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐.（X）

2.棱柱的兩個底面是全等的多邊形.（V）

3.棱柱最多有兩個面不是四邊形.（V）

4.棱錐的所有面都可以是三角形.（V）

題型探究探究重點素希提升

一、棱柱的結構特征

例1（1）下列關于棱柱的說法：

①所有的面都是平行四邊形；②每一個面都不會是三角形；③兩底面平行，并且各側棱也平

行；④被平面截成的兩部分可以都是棱柱.

其中正確的說法的序號是.

答案③④

解析①錯誤，棱柱的底面不一定是平行四邊形.

②錯誤，棱柱的底面可以是三角形.

③正確，由棱柱的定義易知.

④正確，棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個棱柱，所以說法正確的序號是③④.

⑵如圖所示，長方體ABCO-ABGOi，M,N分別為棱AIi，GG的中點.

①這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？

②用平面8CNM把這個長方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是

幾棱柱，并用符號表示；如果不是，請說明理由.

解①是棱柱，并且是四棱柱，因為以長方體相對的兩個面作底面，是互相平行的，其余各

面都是矩形，且四條側棱互相平行，符合棱柱的定義.

②截面5CNM右上方部分是三棱柱BBM-CGN,左下方部分是四棱柱44MAi—。CNQi.

反思感悟棱柱結構的簫析方法

(1)扣定義：判定一個幾何體是不是棱柱的關鍵是棱柱的定義.

①看“面”，即觀察這個多面體是否有兩個互相平行的面，其余各面都是四邊形：②看“線”，

即觀察每相鄰兩個四邊形的公共邊是否平行.

(2)舉反例：通過舉反例，如與常見幾何體或實物模型、圖片等不吻合，給予排除.

跟蹤訓練1下列命題中正確的是()

A.有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱

B.棱柱中互相平行的兩個面叫棱柱的底面

C.棱柱的側面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形

D.棱柱的側棱都相等，側面是平行四邊形

答案D

二、棱錐、棱臺的結構特征

例2(1)有下列三種敘述：

①用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺；

②兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；

③有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺.

其中正確的有()

A.0個B.1個C.2個D.3個

答案A

解析①中的平面不一定平行于底面，故①錯；②?可用反例去檢驗，如圖所示，側棱延長

線不能相交于一點，故②③錯.

(2)下列說法中，正確的是()

①棱錐的各個側面都是三角形；

②四面體的任何一個面都可以作為極錐的底面；

③棱錐的側棱平行.

A.①B.①②C.②D.③

答案B

解析由棱錐的定義，知棱錐的各個側面都是三角形，故①正確；四面體就是由四個三角形

所圍成的幾何體，因此四面體的任何一個面都可以作為三棱錐的底面，故②正確；棱錐的側

棱交于一點，不平行，故③錯.

反思感悟判斷棱錐、棱臺的方法

(1)舉反例法

結合棱錐、枝臺的定義舉反例直接排除關于棱錐、棱臺結構特征的某些不正確說法.

⑵直接法

楂錐棱臺

只有一個面是多邊再，此面

定底面兩個互相平行的面，即為底面

即為底面

看側棱相交于一點延長后相交于一點

跟蹤訓練2下列關于棱錐、棱臺的說法：

①校臺的側面一定不會是平行四邊形；

②由四個平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐：

③棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.

其中正確說法的序號是.

答案①②

解析①正確，棱臺的側面一定是梯形，而不是平行四邊形;

②正確，由四個平面圍成的封閉圖形是四面體也就是三棱錐;

③錯誤，如圖所示的四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐.

?核心素養之直觀想象,

空間幾何體的表面展開圖

典例（1）某同學制作了一個對面圖案均相同的正方體禮品盒，如圖所示，則這個正方體禮品

盒的表面展開圖應該為（對面是相同的圖案）（）

☆※冏

※險※口

答案A

解析其展開圖是沿盒子的棱剪開，無論從哪條棱剪開，剪開的相鄰面在展開圖中可以不相

鄰，但未剪開的相鄰面在展開圖中一定相鄰.相同的圖案是盒子上相對的面，展開后不能相

鄰.

（2）如圖是三個幾何體的表面展開圖，請問各是什么幾何體？

解圖①中，有5個平行四邊形，而且還有兩個全等的五邊形，符合棱柱特點；圖②中，有

5個三角形，且具有共同的頂點，還有一個五邊形，符合棱錐特點；藥③中，有3個梯形,

且其腰的延長線交于一點，還有兩個相似的三角形，符合棱臺的特點.把表面展開圖還原為

原幾何體，如圖所示：

所以①為五棱柱，②為五棱錐，③為三棱臺.

［素養提升］多面體表面展開圖可以有不同的形狀，應多實踐，觀察并大膽想象立體團形與

表面展開圖的關系，一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀.

隨堂演練基礎鞏固學以致用

------------------N------------------

1.下面多面體中，是棱柱的有（）

?50?

A.1個B.2個C.3個D.4個

答案D

解析根據棱柱的定義進行判定知，這4個圖都滿足.

2.下面圖形中，為棱錐的是（）

A.0@B.①③?C.???D.①②

答案C

解析根據棱錐的定義和結構特征可以判斷，①②是棱錐，③不是棱錐，④是棱錐.故選C.

3.有一個多面體，由五個面圍成，只有一個面不是三角形，則這個幾何體為（）

A.四棱柱B.四棱錐C.三棱柱D.三棱錐

答案B

解析根據棱錐的定義可知該幾何體是四棱錐.

4.如圖所示，在三棱臺A'B'C'中，截去三棱錐A'-ABC,則剩余部分是（）

A.三棱錐B.四棱錐

C.三棱柱D.組合體

答案B

解析余下部分是四棱錐A'-BCCB'.

5.一個無蓋的正方體盒子的平面展開圖如圖，A,B,。是展開圖上的三點，則在正方體盒子

中，ZABC=.

答案60°

-課堂小結?

1.知識清單：

（1）多面體、旋轉體的定義.

（2）棱柱、棱錐、棱臺的結構特征.

2.方法歸納：舉反例法.

3.常見誤區：棱臺的結構特征認識不清.

課時對點練注重雙基強化落實

-------------------1------------------

3基礎鞏固

1.有兩個面平行的多面體不可能是（）

A.棱柱B.棱錐C.棱臺D.以上都錯

答案B

解析由棱錐的結構特征可得.

2.下列關于棱柱的說法中，錯誤的是（）

A.三棱柱的底面為三角形

B.一個棱柱至少有五個面

C.若棱柱的底面邊長相等，則它的各個側面全等

D.五棱柱有5條側棱、5個側面，側面為平行四邊形

答案C

解析顯然A正確；底面邊數最少的棱柱是三棱柱，它有五個面，故B正確；底面是正方

形的四棱柱，有一對側面與底面垂直，另一對側面不垂直于底面，此時側面并不全等，故C

錯誤；D正確.

3.觀察如圖所示的四個幾何體，其中判斷不正確的是（）

A.①是棱柱B.②不是棱錐

C.③不是棱錐D.④是棱臺

答案B

解析結合棱柱、棱錐、棱臺的定義可知①是棱柱，②是棱錐，③不是棱錐，④是棱臺，故

B錯誤.

4.下列圖形中，不是三棱柱展開圖的是（）

解析C無法將其折成三棱柱，故選C.

5.下列圖形經過折置可以圍成一個棱柱的是（）

答案D

6.四棱柱有條側棱，個頂點.

答案48

7.一個棱臺至少有個面，面數最少的棱臺有個頂點，有條棱.

答案569

8.一棱柱有10個頂點，其所有的f則棱長的和為60cm,則每條側棱長為cm.

答案12

解析該棱柱為五棱柱，共有5條側棱，每條側棱長都相等，所以每條側棱長為12cm.

9.如圖，在正方形48co中，E,尸分別為A8,8c的中點，沿圖中虛線將3個三角形折起,

使點A,B,C重合，重合后記為點P.

問：（1）折起后形成的幾何體是什么幾何體？

（2）若正方形邊長為2小則每個面的三角形面積為多少?

解（1）如圖折起后的幾何體是三棱錐.

P(A,B,C)

10.一個長方體的容器里裝有少量水，現在將容器繞著其底部的一條棱傾斜，在傾斜的過程

中，

⑴水面的形狀不斷變化，可能是矩形，也可能變成不是矩形的平行四邊形，對嗎?

（2）水的形狀也不斷變化，可能是棱柱，也可能變成棱臺成棱錐，對嗎？

解（1）不對，水面的形狀始終是矩形.

（2）不對，水的形狀只能是棱柱.

葉綜合運用

11.如圖，能推斷這個幾何體可能是三棱臺的是（）

AABi=2,A8=3,8Q=3,BC=4

BAS=1,AB=2,81G=1.5,BC=3,4C=2,AC=3

C.46i=l,AB=2,BiCi=1.5,BC=3,4G=2,AC=4

T）.AB=A\B\9BC=BiCi，CA=CiA\

答案c

解析選項A中裝工萼故A不符合題意；選項B中第W筆，故B不符合題意;

anococ/vc

選項C中嘿二弟二務1，故c符合題意；選項D中滿足這個條件的可能是一個三棱柱,

f\ooCAC

不可能是三棱臺.

12.一個棱錐的各棱長都相等，那么這個棱錐一定不是（）

A.三棱錐B.四棱錐

C.五棱錐D.六棱錐

答案D

解析由題意可知，每個側面均為等邊三角形，每個側面的頂角均為60。，如果是六棱錐，

因為6X6(r=360。，所以頂點會在底面上，因此不是六棱錐.

13.下列圖形中是正四面體(各棱長都相等的三棱錐)的展開圖的是()

Az5ZV醬宏

ABCD

答案AC

解析可選擇陰影三角形作為底面進行折疊，發現AB可折成正四面體，CD不論選哪一個

三角形作底面折疊都不能折成正四面體.

14.從正方體48co—4山iG。的8個頂點中任意取4個不同的頂點，這4個頂點可能是：

(1)矩形的4個頂點；(2)每個面都是等邊三角形的四面體的4個頂點；(3)每個面都是直角三

角形的四面體的4個頂點；(4)有三個面是等腰直角三角形，有一個面是等邊三角形的四面

體的4個頂點.

其中正確結論的個數為.

答案4

解析如圖所示：

四邊形ACG4為矩形，故(1)滿足條件；四面體力-為每個面均為等邊三角形的四面

體，故(2)滿足條件；四面體為每個面都是直角三角形的四面體，故(3)滿足條件：

四面體為有三個面是等腰直角三角形，有一個面是等邊三角形的四面體，故(4)

滿足條件.故正確的結論有4個.

葉拓廣探究

15.一個長方體共頂點的三個面的面積分別是觀,小,<6,則這個長方體對角線的長是

答案V6

解析設長方體長、寬、高為4,y,z,則yz=訛，xz=y[3,yx=y(6,

三式相乘得x2y2z2=6,即xyz=*,

解得工=小，y=&,z=l,所以。/+y+z2=N3+2+1=#.

16.如圖，在三棱錐V-A8C中，VA=VB=VC=4,ZAVB=ZAVC=ZBVC=30°,過點A

作截面AER求AAE/周長的最小值.

解將三棱錐沿側棱區剪開，并將其側面展開平鋪在一個平面上，如圖，線段的長為

所求aAE尸周長的最小值.

VZAVB=ZAiVC=ZBVC=30°,ZAVA^O0.

:

又VA=VAi=4t.??A4i=40.

二△/1￡：/周長的最小值為4^2.

第2課時圓柱、圓錐、圓臺、球、簡單組合體

【學習目標】1.了解圓柱、圓錐、圓臺、球的定義2掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的結構特征.

3.了解簡單組合體的概念及結構特征.

知識梳理梳理教材夯實基礎

------------------------------------N----------

知識點一圓柱的結構特征

圓柱圖形及表示

定義：以矩形的一邊所在直線為旋轉軸,其余三邊

旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱

相關概念：

圓柱的軸：旋轉軸

圓柱的底面：垂直王馳的邊旋轉而成的圓面

圓柱的側面：平行于軸的邊旋轉而成的曲旋

圖中圓柱表示為圓柱

圓柱側面的母線：無論旋轉到什么位置，平行于軸

o'0

的邊

思考圓柱的軸戰面有個，它們（填''全等"或“相似”），圓柱的母線有

條，它們與圓柱的高

答案無窮多全等無窮多相等

知識點二圓錐的結構特征

圓錐圖形及表示

定義：以直角三角形的所在直線為旋轉

軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體￡軸

相關概念：嚏

圓錐的軸：旋轉軸

圓錐的底面：垂直于軸的邊旋轉而成的圓面底薩干

側面：直角三角形的斜邊旋轉而成的曲面

圖中圓錐表示為圓錐S。

母線：無論旋轉到什么位置，不垂直于軸的邊

思考圓錐的軸截面有多少個？母線有多少條？圓錐頂點和底面圓周上任意一點的連線都

是母線嗎？

答案圓錐的軸截面有無窮多個，母線有無窮多條，圓錐頂點和底面圓周上任意一點的連線

都是母線.

知識點三圓臺的結構特征

圓臺圖形及表示

定義：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底而與截

面之間的部分叫做圓臺

相關概念：

圓臺的軸：旋轉軸

圓臺的底面：垂直于軸的邊旋轉一周所形成的圓面

圓臺的側面：不垂直了軸的邊旋轉周所形成的曲面圖中圓臺表不為圓臺

母線：無論旋轉到什么位置，不垂直于軸的邊0,0

知識點四球的結構特征

球圖形及表示

定義：半圓以它的直徑所在直線為旋轉軸,旋轉?周形成

承

的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉體叫做球體，簡稱球

相關概念：

球心：半圓的圓心

半徑：連接球心和球面上任意一點的線段

圖中的球表示為球。

直徑：連接球面上西點并經過球心的線段

知識點五簡單組合體的結構特征

1.概念：由簡單幾何體組合而成的,這些幾何體叫做簡單組合體.

2.基本形式：一種是由簡單幾何體援接而成，另一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成.

■思考辨析判斷正誤■

1.直角三角形繞一邊所在直線旋轉得到的旋轉體是圓錐.（X）

2.圓錐橫去一個小圓錐后剩余部分是圓臺.（V）

3.夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體是一圓柱.（X）

4.半圓繞其直徑所在直線旋轉一周形成球.（X）

題型探究探究重點素養提升

""""""""""""""""""---------------------------------N----------

一、旋轉體的結構特征

例1下列說法正確的是.（填序號）

①以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺；

②圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；

③以等腰三角形的底邊上的高線所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉一周形成的曲面所圍成

的幾何體是圓錐：

④用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面.

答案③④

解析①以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為軸旋轉一周可得到圓臺；②它們的底面為

圓面；③④正確.

反思感悟（1）判斷簡單旋轉體結構特征的方法

①明確由哪個平面圖形旋轉而成.

②明確旋轉軸是哪條直線.

（2）簡單旋轉體的軸截面及其應用

①簡單旋轉體的軸截面中有底面半徑、母線、高等體現簡單旋轉體結構特征的關鍵量.

②在軸截面中解決簡單旋轉體問題體現了化空間圖形為平面圖形的轉化思想.

跟蹤訓練1下列說法，正確的是（）

①圓柱的母線與它的軸可以不平行；

②圓錐的頂點、底面圓的圓心與圓錐底面圓周上任意一點這三點的連線都可以構成直角三角

形；

③在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；

④圓柱的任意兩條母線所在直線是互相平行的.

A.①②B.②③C.①③D.②④

答案D

解析由圓柱、圓錐、圓臺的定義及母線的性質可知②?正確，①③錯誤.

二、簡單組合體的結構特征

例2(1)請描述如圖所示的幾何體是如何形成的.

解①是由一個圓錐和一個圓臺拼接而成的組合體;②是由一個長方體截去一個三棱錐后得

到的幾何體；③是由一個圓柱挖去一個三棱錐后得到的幾何體.

(2)如圖所示，已知梯形A8CO中，AD//BC,且AZX8C當梯形A8CD繞A。所在直線旋轉

一周時，其他各邊旋轉形成的面圍成一個幾何體，試描述該幾何體的結構特征.

解如下圖所示，旋轉所得的幾何體可看成由一個圓柱挖去兩個圓錐后剩余部分而成的組合

體.

反思感悟(1)解決簡單組合體的結構特征相關問題，首先要熟練掌握各類幾何體的特征，其

次要有一定的空間想象能力.

(2)判斷旋轉體形狀的關鍵是軸的痛定，看是由平面圖形繞哪條直線旋轉所得，同一個平面圖

形繞不同的軸旋轉，所得的旋轉體一般是不同的.

跟蹤訓練2(1)如圖所示的簡單組合體的組成是()

A.棱柱、棱臺B.棱柱、棱錐

C.棱錐、棱臺D.棱柱、棱柱

答案B

(2)將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在直線旋轉一周，所得的幾何體包括()

A.一個圓臺、兩個圓錐B.兩個圓柱、一個圓錐

C.兩個圓臺、一個圓柱D.一個圓柱、兩個圓錐

答案D

解析圖①是一個等腰梯形，CO為較長的底邊，以8邊所在直線為旋轉軸旋轉一周所得

幾何體為一個組合體，如圖②，包括一個圓柱、兩個圓錐.

三、旋轉體的有關計算

例3一個圓臺的母線長為12cm,兩底面面積分別為4冗cm?和25兀cm?,求:

（1）圓臺的高；

⑵將圓臺還原為圓錐后，圓錐的母線長.

解（1）圓臺的軸截面是等腰梯形（如圖所示）.

由已知可得0iA=2cm,OB=5cm.

又由題意知腰長AB=12cm,

所以高AM=dl22_（5—2）2

=3y[\5（cm）.

（2）如圖所示，延長8A,00],CD,交于點S,

設截得此圓臺的圓錐的母線長為/,

/—I?2

則由△SAOIS/\S8O,可得一1一=彳

解得/=20.

即截得此圓臺的圓錐的母線長為20cm.

反思感悟用平行于底面的平面云棧柱、錐、臺等幾何體，注意抓住截面的性質（與底面全

等或相似），同時結合旋轉體中的經過旋轉軸的極面（軸極面）的性質，利用相似三角形中的相

似比，構設相關幾何變量的方程（組）而得解.

跟蹤訓練3如圖所示，用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓鏈，截得圓臺上、下底

面的面積之比為1：16,截去的圓錐的母線長是3cm,求圓臺。'。的母線長.

解設圓臺的母線長為/cm,由截得的圓臺上、下底面面積之比為1：16,可設截得的圓臺

的上、下底面的半徑分別為rem,4rcm.過軸SO作截面，如圖所示.

則AS。'A's^soA,SA1=3cm.

3/?I

所以而===不

解得/=9,即圓臺的母線長為9cn

隨堂演練基礎鞏固學以致用

1.下列說法中正確的是（）

A.將正方形旋轉不可能形成圓柱

B.夾在圓柱的兩個平行截面間的匚何體還是一個旋轉體

C.圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺

D.通過圓臺側面上一點，有無數條母線

答案C

解析將正方形繞其一邊所在直線旋轉可以形成圓柱，所以A錯誤；B中沒有說明這兩個

平行截面的位置關系，當這兩個平行截面與底面平行時正確，其他情況下結論不一定正確,

所以B錯誤；通過圓臺側面上一點，只有一條母線，所以D錯誤.

2.（多選）下列命題中正確的是（）

A.過球心的截面所截得的圓面的半徑等于球的半徑

B.母線長相等的不同圓錐的軸截面的面積相等

C.圓臺中所有平行于底面的截面都是圓面

D.圓錐所有的軸截面都是全等的等腰三角形

答案ACD

3.下列幾何體是臺體的是（）

答案D

解析臺體包括棱臺和圓臺兩種，A的錯誤在于四條側棱沒有交于一點，B的錯誤在于截面

與圓錐底面不平行.C是棱錐，結合棱臺和圓臺的定義可知D正確.

4.用一個平面去截一個幾何體，得到的截面是三角形，這個幾何體可能是（）

A.圓柱B.圓臺C.球體D.棱臺

答案D

解析圓柱、圓臺和球體無論怎樣截，截面可能是曲面，也可能是矩形（圓柱）或等腰梯形（圓

臺）,不可能截出三角形.只有棱臺可以截出三角形.

5.兩相鄰邊長分別為3cm和4cm的矩形，以一邊所在的直線為軸旋轉所成的圓柱的底面積

為cm2.

答案16兀或9兀

解析當以3cm長的一邊所在直線為軸旋轉時，得到的圓柱的底面半徑為4cm,底面積為

167tcm2；

當以4cm長的一邊所在直線為軸旋轉時，得到的圓柱的底面半徑為3cm,底面積為Mem?.

?課堂小結

1.知識清單：

（1）圓柱、圓維、圓臺的結構特征.

（2）球的結構特征.

（3）簡單組合體的結構特征.

2.方法歸納：分類討論.

3.常見誤區：同一平面圖形以不同的軸旋轉形成的旋轉體一般是不同的.

課時對點練注重雙基強化落實

-----------------------------------------------------------1--------------------

V基礎鞏固

1.下列幾何體中不是旋轉體的是（

AD

答案D

2.如圖所示的簡單組合體的結構特征是（）

B.由一個三棱錐和一個四棱錐組合成的

C.由一個四棱錐和一個四棱柱組合成的

D.由一個四棱錐和一個四棱臺組合成的

答案A

3.如圖所示的平面中陰賬部分繞中間軸旋轉一周，形成的幾何體形狀為（）

A.一個球體

B.一個球體中間挖去一個圓柱

C.一個圓柱

D.一個球體中間挖去一個長方體

答案B

解析圓面繞著直徑所在的軸，旋轉而形成球，矩形繞著軸旋轉而形成圓柱.故選B.

4.若圓柱的母線長為10,則其高等于（）

A.5B.10C.20D.不確定

答案B

解析圓柱的母線長與高相等，則其高等于10.

5.如圖所示的幾何體是由哪個平面圖形旋轉得到的（）

答案D

解析圖中所給的幾何體是由上部的圓錐和下部的圓臺組合而成的，故所求平面圖形的上部

是直角三角形，下部為直角梯形構成.

6.觀察下列四個幾何體，其中可看作是由兩個棱柱拼接而成的是.（填序號）

(D④

答案①④

解析①可看作由一個四棱柱和一個三棱柱組合而成，④可看作由兩個四棱柱組合而成.

7.已知一個圓柱的軸截面是一個正方形，且其面積是。，則此圓柱的底面半徑為.（用

Q表示）

答案平

解析設圓柱的底面半徑為，，則母線長為2r.

???4產=。，解得/?=平，

???此圓柱的底面半徑為乎.

8.若一個圓錐的側面展開圖是面積為2兀的半圓面，則該圓錐的高為.

答案<3

解析由題意知一個圓錐的側面展開圖是面積為2兀的半圓面，因為4兀=冗巴所以母線長為

1=2,又半圓的瓠長為2加，圓錐的底面的周長為2仃=2兀，所以底面圓半徑為r=l,所以該

圓錐的高為h=鄧_戶=42_、2=小

9.一個圓錐的高為2cm,母線與軸的夾角為30。，求圓錐的母線長及圓錐的軸截面的面積.

解如圖軸截面SA8,圓錐S。的底面直徑為48,S。為高，SA為母線，則NASO=30。.

在Rt/^SOA中，

AO=SOtan30。=邛^（cm）.

SO24s

SA-cos3O°-^3_3（皿）.

2

所以5.8=30?2>10=斗&cm?）.

所以圓錐的母線長為羋cm,圓錐的軸截面的面積為摯cm?.

10.如圖所示，有一個底面半徑為1,高為2的圓柱體，在A點處有一只蛆蟻，現在這只螞蟻

要圍繞圓柱表面由4點爬到B點，問螞蟻爬行的最短距離是多少？

解把圓柱的側面沿剪開，然后展開成為平面圖形一矩形，如圖所示，連接，

則4夕即為螞蟻爬行的最短距離.

為底面圓的周長，

AA4/=2兀乂1=2兀又48=4'B'=2,

：,AB'=山，8,2+村2川4+(2瓦)2=2山+干2,

即螞蟻爬行的最短距離為2產能.

7綜合運用

11.上、下底面面積分別為36兀和49m母線長為5的圓臺，其兩底面之間的距離為()

A.4B.3啦

C.2小D.2乖

答案D

解析圓臺的母線長/、高〃和上、下兩底面圓的半徑，，R滿足關系式尸=/+(/?——)2,由

題意知/=5,R=7,r=6,求得〃=2#,即兩底面之間的距離為2#.

12.已知球的半徑為10cm,若它的一個截面圓的面積為36兀cm?,則球心與截面圓圓心的距

離是cm.

答案8

解析如圖，設截面圓的半徑為7,球心與截面圓圓心之間的距離為"，球半徑為R.由示意

圖易構造出一個直角三角形，解該直角三角形即可.

由題意知，R=10cm,由幾戶=36兀，得/*=6,

所以r2=,\/100—36=8(cm).

13.邊長為5的正方形EFGH是圓柱的軸截面，則從點七沿圓柱的側面到相對頂點G的最短

距離為________.

答案|\后7

解析如圖，矩形是圓柱沿著其母線E尸剪開半個側面展開而得到的,

E^r------|昌

F3三號----------6

由題意可知G”=5,GFi=苧，6臼=、^條2+25=,冗2+4

所以從點E沿圓柱的側面到相對頂點G的最短距離是到西i

14.如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點的

圓錐而成的.現用一個豎直的平面去截這個幾何體，則所截得的圖形可能是.（填序號）

答案①⑤

解析由于截面平行于圓錐的軸或過圓錐的軸，故只能是①?.

g拓廣探究

15.已知球的兩個平行截面的面積分別為57c和8冗，它們位于球心的同一側，且距離為1,那

么這個球的半徑是（）

A.4B.3C.2D.0.5

答案B

解析如圖所示，???兩個平行截面的面積分別為5兀和8m

???兩個截面圓的半徑分別為八=市,

9=2也

???球心到兩個截面的距離小=鄧?_爪小=m_3

???4一心=、代一5一、供一8=1,??.R2=9,???R=3.

16.圓臺的上、下底面半徑分別為5cm,10cm,母線長AB=20cm,從圓臺母線A8的中點M

拉一條繩子繞圓臺側面轉到點A,求：

（1）繩子的最短長度；

（2）在繩子最短時，上底圓周上的點到繩子的最短距離.

解（1）如圖所示，將側面展開，繩子的最短長度為側面展開圖中42的長度，

設OB=l,

貝|]8/=2北X5,。(/+20)=2TTX10,

解得e=],1=20cm.

.*.(7A=40cm,OM=30cm.

JAM=\OP+OM2=50cm.

即繩子最短長度為50cm.

(2)作OQ_LAM于點Q,交弧8夕于點P,

則PQ為所求的最短距離.

*：OAOM=AMOQf，OQ=24cm

故PQ=OQ—OP=24-20=4(cm),即上底圓周上的點到繩子的最短也離為4cm.

8.2立體圖形的直觀圖

【學習目標】1.掌握用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖.2.會用斜二測畫法畫常見

的柱、錐、臺、球以及簡單組合體的直觀圖.

知識梳理梳理教材夯實基礎

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知識點一水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法

用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟

知識點二空間幾何體直觀圖的畫法

立體圖形直觀圖的畫法步驟

(1)畫軸：與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個耳軸，直觀圖中與之對應的是乙軸.

⑵畫底面：平面f。'平表示水平平面,平面y'O'平和7O'z'表示豎直平面,按

照平面圖形的畫法，畫底面的直觀圖.

（3）畫側棱：已知圖形中平行于z*日（或在z軸上）的線段，在其直觀圖中位性和長度都不變.

（4）成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛韁

■思考辨析判斷正誤二

1.在斜二測畫法中，各條線段的長度都發生了改變.（X）

2.在幾何體的直觀國中，原來平行的直線仍然平行.（V）

3.在斜二測畫法中平行于y軸的線段在直觀圖中長度保持不變.（X）

題型探究探究重點素養提升

-------------------------------------------------------------N------------------

一、平面圖形的直觀圖的畫法

例1畫出如圖所示水平放置的等腰梯形的直觀圖.

解畫法：（1）如圖所示，取AB所在直線為“軸，中點O為原點，建立直角坐標系，畫

對應的坐標系/O'y',使O'y'=45°.

（2）以。'為中點在/軸上取A'B'=48,在y'軸上取O'E1=1c>E,以&為中點畫

CD'//x'軸，并使C'D'=CD.

（3）連接"C,D'A',所得的四邊形A'"CQ'就是水平放置的等腰梯形ABCO的

直觀圖.

反思感悟在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當的直角坐存系是關鍵之一，一般

要使平面多邊形盡可能多的頂點落在坐標軸上，以便于畫點.原圖中不平行于坐標軸的線段

可以通過作平行于坐標軸的線段呆作出其對應線段.關鍵之二是確定多邊形頂點的位置，借

助于平面直角坐標系確定頂點后，只需把這些頂點順次連接即可.

跟蹤訓練1已知正五邊形A8CQE,如圖，試畫出其直觀圖.

解畫法:

(1)在圖①中作AG_Lx軸于點G,作軸于點”.

⑵在圖②中畫相應的『軸與y'軸，兩軸相交于點0',使O')，'=45°.

(3)在圖②中的『軸上取。'B'=0'。'G'=0G,O'C'=0C,O'H'=0H,yf

軸上取O'Er分別過G'和H'作了軸的平行線，并在相應的平行線上取G'A'

=|GA,H'Dr=^HD.

1

(4)連接A'B',AE'fE'D'，D’C,并擦去輔助線G'A’,WD'，/軸與y'

軸，便得到水平放置的正五邊形A88E的直觀圖4'B'CD'戌(如圖③).

二、空間幾何體的直觀圖

例2用斜二測畫法畫長、寬、高分別為4cm、3cm、2cm的長方體ABC。一A'B'CD'

的直觀圖.

解⑴畫軸.如圖，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點。，使NxO.y=45。，ZxOz=90°.

(2)畫底面.以點。為中點，在x軸上取線段MN,使MN=4cm；在y軸上取線段PQ,使PQ

=；cm.分別過點M和N作y軸的平行線，過點P和。作x軸的平行線，設它們的交點分

別為4,B,C,D,四邊形ABCD就是長方體的底面A8CD

(3)畫側棱.過4,B,C,。各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2cm長的

線段A4',BB',CC',DD'.

(4)成圖.順次連接A',(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到長

方體的直觀圖.

反思感悟空間幾何體的直觀圖的畫法

(1)對于一些常見幾何體(柱、錐、臺、球)的直觀圖，應該記住它們的大致形狀，以便可以較

快較準確地畫出.

(2)畫空間幾何體的直觀圖時，比畫平面圖形的直觀圖增加了一個z'軸，表示豎直方向.

(3)zz軸方向上的線段，方向與長度都與原來保持一致.

跟蹤訓練2用斜二測畫法畫出六棱錐P-ABCDEF的直觀圖，其中底面ABCDE尸為正六

邊形，點P在底面上的投影是正六邊形的中心0.(尺寸自定)

解畫法：

⑴畫出六棱錐P-ABCDEF的底面.①在正六邊形ABCDEF中，取A。所在的直線為x軸，

對稱軸MN所在的直線為y軸，兩軸相交于點O,如圖(1);畫出相應的x'軸、y'軸、z'

軸，三軸相交于0',使Nx'O'y'=45°,O'z'=90°,如圖(2)；②在圖(2)中，以

O'為中點，在/軸上取A'D'=AO,在y'軸上取"N'=%1N,以點M為中點，

畫出C平行于/軸，并且長度等于8C,再以M'為中點，畫出E'/平行于廣

軸，并且長度等于E/；③連接A'8',C'。'，D'E',F'A'得到正六邊形ABCOE尸

水平放置的直觀圖A'"CD1E'F'.

(2)畫出正六棱錐尸一A8CDE尸的頂點，在z'軸正半軸上截取點P',點P'異于點0'.

(3)成圖.連接P'A',P'夕，P'C',P'。'，P'E',P'尸，并擦去/軸、y'軸

和z'軸，便可得到六棱錐P—A3CDE尸的直觀圖P'—A'B'C'D'E'F',如圖(3).

ZfV

A0|/DX

（1）(2)(3)

三、直觀圖的還原與計算

例3如圖所示，一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形A'夕O',若

O'B'=1,那么原三角形48。的面積是（）

A.1B.乎C.啦D.2啦

答案C

解析直觀圖中等腰直角三角形直角邊長為1,因此面積為今又直觀圖與原平面圖形面積

比為啦：4,所以原圖形的面積為明，故選C.

反思感悟平面多邊形與其直觀圖面積間關系：一個平面多邊形的面積為斜二測畫法

得到直觀圖的面積為S和則有S產坐S包

跟蹤訓練3如圖，矩形O'A'B'C是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O'A'

=6cm,O'C=2cm,CO'=2cm,則原圖形是（）

A.正方形B.矩形

C.菱形D.一般的平行四邊形

答案C

解析如圖，在原圖形O4BC中，

應有0。=20'D'=2X272

=4&(cm),

CD=C'D'=2cm,

所以oc=7o?