2.5.1直線與圓的位置關(guān)系教學(xué)目標(biāo)和學(xué)科素養(yǎng)課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系.B.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題.1.數(shù)學(xué)抽象：直線與圓的位置關(guān)系.2.邏輯推理:判斷直線與圓的位置關(guān)系.3.數(shù)學(xué)運(yùn)算:判斷直線與圓的位置關(guān)系4.數(shù)學(xué)建模:直線和圓的方程解決實(shí)際問(wèn)題.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)判斷直線與圓的位置關(guān)系難點(diǎn)直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題.

“海上生明月，天涯共此時(shí)。”，表達(dá)了詩(shī)人望月懷人的深厚情誼。在海天交于一線的天際，一輪明月慢慢升起，先是探出半個(gè)圓圓的小腦袋然后冉冉上升，和天際線相連，再躍出海面,越來(lái)越高，展現(xiàn)著迷人的風(fēng)采.一情境導(dǎo)學(xué)二探究新知1.畫(huà)面中能抽象出哪些基本的幾何圖形呢？太陽(yáng)圓海平面直線海上日出直線與圓的位置關(guān)系那你想象一下，直線和圓的位置關(guān)系有幾種？相交相離相切練習(xí)：看圖判斷直線l與⊙O的位置關(guān)系.O.O.O.O.Olllll相離相交相切相交？三位置判斷——代數(shù)法.Ol想一想？代數(shù)法聯(lián)立方程關(guān)系位置△>0相交△=0相切△<0相離如果，公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不好判斷，該怎么辦？

“直線和圓的位置關(guān)系”能否像“點(diǎn)和圓的位置關(guān)系”一樣進(jìn)行數(shù)量分析？求判別式△四復(fù)習(xí)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系練一練例1已知直線l:3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0,判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；如果相交，求直線l被圓C所截得弦長(zhǎng)。解：聯(lián)立直線與圓C的方程，得消去y，得x2-3x+2=0，解得x1=2，x2=1.所以，直線l與圓C相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)把x1=2，x2=1分別代入方程①，得y1=0，y2=3.所以，直線l與圓C的兩個(gè)交點(diǎn)是A（2,0），B(1,3)五位置判斷——幾何法(用圓心O到直線l的距離d與圓的半徑r的關(guān)系來(lái)區(qū)分.).Oldr.Oldr.Oldr3、直線和圓相離d>r2、直線和圓相切d=r1、直線和圓相交d<r練一練例1已知直線l:3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0,判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；如果相交，求直線l被圓C所截得弦長(zhǎng)。解：圓C的方程x2+y2-2y-4=0可化為x2+（y-1）2=5，因此圓心C坐標(biāo)（0,1）半徑為√5.圓心C到直線l的距離：所以，直線與圓C相交，有兩個(gè)公共點(diǎn).oxyCrd六歸納總結(jié)——直線與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系特點(diǎn)交點(diǎn)個(gè)數(shù)幾何法代數(shù)法圖示l又稱(chēng)相交直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn).相切直線和圓有唯一的公共點(diǎn).相離直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)..o.A.Bl.OAl210d<rd=rd>r.Ol割線切線△>0△=0△<0七切線問(wèn)題例2過(guò)P點(diǎn)(2，1)作圓O：x2+y2=1的切線l，求切線l的方程.解法1：設(shè)切線l的斜率為k，則切線l的方程為y-1=k(x-2)，即kx-y+1-2k=0由圓心（0，0）到切線l的距離等于圓的半徑1，得：解得k=0或因此，所求切線l的方程為y=1，或4x-3y-5=0oxyP例2過(guò)P點(diǎn)(2，1)作圓O：x2+y2=1的切線l,求切線l的方程.解法2：設(shè)切線L的斜率為k,則切線方程l的方程為y-1=k(x-2)因?yàn)橹本€l與圓相切,所以方程組只有一組解.消元,得(k2+1)x2+(2k-4k)x+4k2-4k=0①因?yàn)榉匠挞僦挥幸粋€(gè)解,所以△=4k2(1-k)2-16k(k2+1)(k-1)=0解得k=0或因此，所求切線l的方程為y=1，或4x-3y-5=01．過(guò)圓上一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的求法

先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，再由垂直關(guān)系得切線的斜率為，由點(diǎn)斜式可得切線方程．如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y＝y(tǒng)0或x＝x0.2．過(guò)圓外一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的求法設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得k，也就得切線方程．當(dāng)用此法只求出一個(gè)方程時(shí)，另一個(gè)方程應(yīng)為x＝x0，因?yàn)樵谏厦娼夥ㄖ胁话ㄐ甭什淮嬖诘那闆r，而過(guò)圓外一點(diǎn)的切線有兩條．一般不用聯(lián)立方程組的方法求解．3．求切線長(zhǎng)(最值)的兩種方法(1)代數(shù)法：直接利用勾股定理求出切線長(zhǎng)，把切線長(zhǎng)中的變量統(tǒng)一成一個(gè)，轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值；(2)幾何法：把切線長(zhǎng)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成圓心到直線的距離問(wèn)題．

通性通法[跟蹤訓(xùn)練]1．以點(diǎn)(2，－1)為圓心，且與直線3x－4y＋5＝0相切的圓的方程為()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3C．(x＋2)2＋(y－1)2＝9D．(x－2)2＋(y＋1)2＝9解析：選D圓心到直線3x－4y＋5＝0的距離，即圓的半徑為3，所以所求圓的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝9.ABOPA1P2A2A3A4八弦長(zhǎng)問(wèn)題例3如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.圓拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造時(shí)每間隔4m需要用一根支柱支撐，求支柱A2P2的高度(精確到0.01m).解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，使線段AB所在直線為X軸，0為坐標(biāo)原點(diǎn),圓心在X軸上.由題意，點(diǎn)P,

B的坐標(biāo)分別為(0,

4),(10,

0).設(shè)圓心坐標(biāo)是(0,

b)，圓的半徑是r，那么圓的方程是x2+(y-b)2=r2.yx下面確定b和r的值.因?yàn)镻，B兩點(diǎn)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)(0.

4)，(10,

0)都滿足方程x2+(y-b)2=r2，于是，得到方程組解得b=-10.5，r2=14.52.ABOPA1P2A2A3A4八弦長(zhǎng)問(wèn)題例3如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.圓拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造時(shí)每間隔4m需要用一根支柱支撐，求支柱A2P2的高度(精確到0.01m).yx所以，圓的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.把點(diǎn)P2的橫坐標(biāo)x=-2代入圓的方程，得（-2）2+(y+10.5)2=14.52即課后思考：是否可以用其他方法解決？九實(shí)際應(yīng)用例4一個(gè)小島的周?chē)协h(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為20km的圓形區(qū)域內(nèi).已知小島中心位于輪船正西40km處，港口位于小島中心正北30km處.如果輪船沿直線返港，那么它是否會(huì)有觸礁危險(xiǎn)?yx輪船港口解:以小島的中心為原點(diǎn)O，東西方向?yàn)閤軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.為了運(yùn)算的簡(jiǎn)便，我們?nèi)?0

km為單位長(zhǎng)度，則港口所在位置的坐標(biāo)為(0,

3)，輪船所在位置的坐標(biāo)為(4,0).這樣，受暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對(duì)應(yīng)圓的方程為x2+y2=4;輪船航線所在的直線方程3x+4y-12=0.?聯(lián)立直線l與圓O的方程，得?消去y，得由△=(-72)2-4*25*80<0,可知方程組無(wú)解.所以直線l與圓O相離，輪船沿直線返港不會(huì)有觸礁危險(xiǎn).?方法總結(jié)用坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”:第一步:建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中的幾何要素，如點(diǎn)、直線、圓，把平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題;第二步:通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問(wèn)題;第三步:把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論。課堂小結(jié)十課后探究——切線公式提示：已知:圓的方程為:(x-a)2+(y-b)2=r，圓上一點(diǎn)P(x0,y0)解:圓心C(a，b)直線CP的斜率:k1=(y0-b)/(x0-a)因?yàn)橹本€CP與切線垂直，所以切線的斜率:k2=-1/k1=-(x0-a)/(y0-b)根據(jù)點(diǎn)斜式，求得切線方程:y-y0=k2(x-x0)y-y0=[-(x0-a)/(y0-b)](x-x0)整理得:(x-x0)(x0-a)+(y-y0)(y0-b)=0(注意:這式也是很好用的切線方程公式)展開(kāi)后:x0x-ax+ax0+y0y-by+by0-x02-y02=0(1)因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，所以它的坐標(biāo)滿足方程:(x0-a)2+(y0-b)2=r2化簡(jiǎn):x02-2ax0+a2+y2-2by0+b2=r2移項(xiàng):-x02-y02=-2ax