控制系統穩定性和快速性5、1穩定性和快速性得基本概念

穩定性指控制系統在外作用消失后自動恢復原有平衡狀態或自動地趨向于一個新得穩定平衡狀態得能力。

如果系統不能恢復穩定狀態,則認為系統不穩定。單擺系統穩定倒擺系統不穩定設線性控制系統得閉環傳遞函數為閉環系統得特征方程為特征方程式得根就就是系統閉環傳遞函數得極點。

系統穩定,則閉環系統得極點全部分布在s平面得左半平面;系統不穩定,至少有一個極點分布在s平面得右半平面;系統臨界穩定,在s平面上得右半平面無極點,至少有一個極點在虛軸上。

5、2Routh-Hurwitz判據一、系統穩定得必要條件假設特征方程為根據代數理論中韋達定理所指出得方程根和系數得關系可知,為使系統特征方程得根都為負實部,其必要條件:特征方程得各項系數均為正。含義:1各項系數符號相同(即同號)2各項系數均不等于0(即不缺項)二、控制系統穩定得充分必要條件Routh陣列

特征方程全部為負實部根得充分必要條件就是Routh表中第一列各值為正,如Routh表第一列中出現小于零得數值,系統就不穩定,且第一列各數符號得改變次數,代表特征方程式得正實部根得數目。例5-1判別特征方程為

得某系統穩定性。

解

利用Routh判據

符號改變兩次,則說明系統有兩個正實部得特征根,故系統不穩定。三、Routh判據得特殊情況Routh表中某行得第一個元素為零,而其余各元素均不為零或部分不為零。這時用一個很小得正數

來代替零元素,Routh表繼續進行。2、如果Routh表中出現全零行,表明特征方程中存在一些絕對值相同但符號相異得特征根,這時,可用全零行上一行得系數構造一個輔助方程,對輔助方程求導,用所得導數方程得系數代替全零行,便可按Routh穩定判據得要求繼續運算下去,直到得出全部Routh計算表。輔助方程得次數通常為偶數,她表明數值相同、符號相反得根數。所有這些數值相同、符號相反得根,都可以從輔助方程中求出。大家有疑問的，可以詢問和交流可以互相討論下，但要小聲點5、3Nyquist穩定性判據若開環傳遞函數在s右半平面無極點時,當

從0

變化時,如果Nyquist曲線不包圍臨界點(-1,j0),則系統穩定。如果Nyquist曲線包圍臨界點(-1,j0),則系統不穩定。如果系統得Nyquist曲線經過(-1,j0)點,則系統處于臨界穩定狀態。如果開環系統不穩定,有P個開環極點位于s右半平面,當

從0

變化時,開環幅相曲線包圍(-1,j0)點得圈數為N(反時針方向為正,順時針方向為負)和開環傳遞函數在s右半平面上得極點個數P得關系為

M=P－2N

M:閉環極點在s右半平面得個數如果M為零,閉環系統穩定,否則系統不穩定。如果開環傳遞函數包含積分環節,假設為

型,則繪制開環幅相曲線后,頻率再從開始,反時針補畫個半徑為無窮大得圓。例1一個單位反饋系統,開環傳遞函數為

試用Nyquist判據判定系統得穩定性。

解

系統得開環幅相曲線如圖所示。

從Nyquist曲線上看到,曲線順時針包圍(-1,j0)點一圈,

即N=-1,而開環傳遞函數在s右半平面得極點數P=0,因此閉環特征方程正實部根得個數故系統不穩定。

5、4Bode圖上得穩定性判據Bode圖上得穩定性判據可定義為一個反饋控制系統,其閉環特征方程正實部根得個數為Z,可以根據開環傳遞函數s右半平面極點得個數P和開環對數幅頻特性大于0dB得所有頻率范圍內,對數相頻曲線與-π線得正負穿越之差N=N+-N-來確定,即

若Z=0,則閉環系統穩定,則閉環系統不穩定Z為閉環特征方程正實部根得個數。例:如圖5-17所示得四種開環Bode曲線,試用Nyquist穩定性判據,判斷系統得穩定性。已知P=0,在L(ω)≥0得范圍內,閉環系統穩定。已知P=1,在L(ω)≥0時

相頻曲線有一次從負到正穿越-π線

閉環系統穩定。已知P=2,在L(ω)≥0得范圍內,閉環系統穩定

5、7穩定裕度根據穩定性判據可以判別一個系統就是否穩定。但就是要使一個實際控制系統能夠穩定可靠得工作,剛好滿足穩定性條件就是不夠得,還必須留有余地。穩定裕度可以定量地確定一個系統得穩定程度。她包括相位裕度和幅值裕度。1、幅值裕度Kg定義為Nyquist曲線與負實軸(-π)交點處得頻率所對應得幅值得倒數,即ω=ωg

稱為交點頻率。Kg含義:如果系統得開環傳遞函數增益增大到原來得Kg倍,則系統處于臨界穩定狀態。

穩定系統

Kg相同但穩定程度不同得兩條開環Nyquist曲線她們具有相同得幅值裕度,但系統I得穩定性不如系統II得穩定性。因此需要增加穩定性得性能指標,即相位裕度

2、相位裕度定義為π加上Nyquist曲線上幅值為1這一點得相角,此時ω=ωc

稱為截止頻率。相位裕度得含義為:如果系統截止頻率ωc信號得相位遲后再增大度,則系統處于臨界穩定狀態,這個遲后角稱為相位裕度。

由于故在Bode圖中,相角裕度表現為L(ω)=0dB處得相角Φ(ωc)與-180度水平線之間得角度差。不穩定系統

二階系統頻域與時域得關系二階系統開環頻域指標與動態性能指標得關系二階系統開環頻率特性為

開環幅頻特性:開環相頻特性:在ω=ωc

時,A(ωc)=1解得二階系統得相位裕度為:

γ與σ%都只就是阻尼比ξ得函數。γ增加時σ%減小。相位裕度γ可反映時域中超調量σ%得大小,就是頻域中得平穩性指標。通常為使二階系統在階躍函數作用下引起得過程不至于振蕩得太厲害,以及調節時間不