九年級數(shù)學下冊第一章直角三角形的邊角關系1銳角三角函數(shù)第1課時正切教學設計（新版）北師大版課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、設計思路嗨，親愛的同學們！今天咱們要一起探索一個充滿魅力的數(shù)學世界——直角三角形的邊角關系，特別是正切函數(shù)。想象一下，我們就像是一群探險家，手牽手，一起走進這個充滿奧秘的數(shù)學迷宮。我會用最生動、最有趣的方式，帶領你們領略正切的奇妙。準備好了嗎？讓我們一起踏上這場數(shù)學之旅吧！??????二、核心素養(yǎng)目標分析在本節(jié)課中，我們將培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。通過正切函數(shù)的學習，學生能夠抽象出直角三角形的邊角關系，培養(yǎng)邏輯推理能力，學會用數(shù)學模型描述實際問題，并在解決幾何問題時進行準確的數(shù)學運算。同時，增強學生對數(shù)學知識的興趣和應用意識，提升解決問題的能力。三、教學難點與重點1.教學重點，

①正切函數(shù)的定義及其在直角三角形中的應用；

②正切函數(shù)的性質(zhì)，包括周期性、奇偶性、單調(diào)性等；

③利用正切函數(shù)解決實際問題，如求角度、解直角三角形等。

2.教學難點，

①正切函數(shù)概念的理解與抽象，特別是將幾何關系轉化為代數(shù)表達；

②正切函數(shù)圖像的繪制，理解圖像與函數(shù)性質(zhì)之間的關系；

③在復雜情境中運用正切函數(shù)解決問題，如處理非標準角或非直角三角形的情況。四、教學方法與手段教學方法：

1.講授法：通過系統(tǒng)的講解，幫助學生理解和掌握正切函數(shù)的基本概念和性質(zhì)。

2.實例分析法：結合具體實例，讓學生通過觀察和分析，加深對正切函數(shù)應用的理解。

3.探究式學習：引導學生提出問題，通過小組討論和合作探究，培養(yǎng)解決問題的能力。

教學手段：

1.多媒體演示：利用PPT展示正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，直觀形象地展示數(shù)學概念。

2.互動軟件：使用數(shù)學軟件或在線平臺，讓學生通過交互式操作，探索正切函數(shù)的性質(zhì)。

3.直觀教具：使用直角三角形模型，讓學生動手操作，直觀感受正切函數(shù)的定義和應用。五、教學流程1.導入新課

-詳細內(nèi)容：首先，我會以一個生活中的實際問題引入，比如：“同學們，你們有沒有想過，如何用數(shù)學來描述一個物體的高度？比如，我們想知道旗桿的高度，但我們只能測量到旗桿底部到地面的距離和從某個角度看到的旗桿頂端與地面的夾角。今天，我們就來學習如何利用直角三角形的邊角關系來解決這個問題。”

-用時：5分鐘

2.新課講授

-詳細內(nèi)容：

①講解正切函數(shù)的定義：我會通過展示直角三角形的模型，引導學生觀察并總結出正切函數(shù)的定義，即對邊與鄰邊的比值。

②展示正切函數(shù)的性質(zhì)：通過PPT展示正切函數(shù)的周期性、奇偶性和單調(diào)性，并結合實例進行講解。

③舉例說明正切函數(shù)的應用：通過幾個簡單的例子，如計算直角三角形的角度和邊長，讓學生理解正切函數(shù)在實際問題中的應用。

-用時：15分鐘

3.實踐活動

-詳細內(nèi)容：

①繪制正切函數(shù)圖像：讓學生在坐標紙上繪制正切函數(shù)的圖像，觀察其變化規(guī)律。

②利用計算器計算正切值：提供一些角度值，讓學生使用計算器計算對應的正切值，并填寫表格。

③解決實際問題：給出一個實際問題，如計算旗桿的高度，讓學生運用所學知識進行解答。

-用時：10分鐘

4.學生小組討論

-詳細內(nèi)容：

①討論正切函數(shù)的周期性：讓學生討論正切函數(shù)的周期性，并舉例說明。

②分析正切函數(shù)的單調(diào)性：引導學生分析正切函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，并舉例說明。

③探討正切函數(shù)的應用：讓學生討論正切函數(shù)在生活中的應用，如建筑設計、工程測量等。

-用時：10分鐘

5.總結回顧

-詳細內(nèi)容：在課程結束前，我會對今天所學內(nèi)容進行總結，強調(diào)正切函數(shù)的定義、性質(zhì)和應用。同時，我會提出一些思考題，如“正切函數(shù)在哪些情況下會發(fā)生變化？”和“如何利用正切函數(shù)解決實際問題？”來引導學生進行反思。

-用時：5分鐘

總計用時：45分鐘六、教學資源拓展1.拓展資源：

-直角三角形的邊角關系拓展：除了正切函數(shù)，還可以引入余弦函數(shù)和正弦函數(shù)，讓學生了解直角三角形中三個角的正弦、余弦和正切之間的關系，以及它們在不同幾何問題中的應用。

-三角函數(shù)的圖像拓展：通過展示正弦、余弦和正切函數(shù)的圖像，讓學生觀察并總結出函數(shù)圖像的對稱性、周期性和單調(diào)性等特征。

-三角函數(shù)的實際應用拓展：提供一些實際案例，如建筑設計中的角度計算、工程測量中的高度測量等，讓學生了解三角函數(shù)在現(xiàn)實生活中的應用。

2.拓展建議：

-閱讀相關書籍：推薦學生閱讀《數(shù)學之美》等書籍，了解數(shù)學在各個領域的應用，激發(fā)學生對數(shù)學的興趣。

-在線學習資源：鼓勵學生利用網(wǎng)絡資源，如數(shù)學教育網(wǎng)站、視頻教程等，進行自主學習和探究。

-實踐項目：組織學生參與數(shù)學競賽或科學實驗項目，如制作一個簡易的三角函數(shù)演示器，通過實踐加深對三角函數(shù)的理解。

-小組合作學習：鼓勵學生組成學習小組，共同探討三角函數(shù)的奧秘，通過討論和合作提高解決問題的能力。

-家庭作業(yè)拓展：布置一些開放性的家庭作業(yè)，如設計一個利用三角函數(shù)解決實際問題的方案，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和問題解決能力。

-教學軟件使用：介紹一些數(shù)學教學軟件，如GeoGebra、Mathematica等，讓學生通過軟件操作，直觀地探索三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像。

-數(shù)學歷史學習：引導學生了解三角函數(shù)的發(fā)展歷史，了解古代數(shù)學家對三角函數(shù)的研究和貢獻，培養(yǎng)學生的歷史意識和文化素養(yǎng)。

-課外閱讀推薦：推薦一些與三角函數(shù)相關的科普書籍或文章，如《數(shù)學家的故事》、《三角學的奧秘》等，拓寬學生的知識面。七、內(nèi)容邏輯關系①本文重點知識點：

-正切函數(shù)的定義：對邊與鄰邊的比值。

-正切函數(shù)的性質(zhì)：周期性、奇偶性、單調(diào)性。

②關鍵詞：

-對邊

-鄰邊

-周期性

-奇偶性

-單調(diào)性

③重要句子：

-“在直角三角形中，對于一個銳角，其對邊與鄰邊的比值稱為該角的正切。”

-“正切函數(shù)是周期函數(shù)，周期為π。”

-“正切函數(shù)在第一和第三象限內(nèi)是增函數(shù)。”

①本文重點知識點：

-正切函數(shù)的圖像：理解圖像的基本形狀和特征。

-正切函數(shù)圖像的繪制方法：如何利用函數(shù)的性質(zhì)繪制圖像。

②關鍵詞：

-函數(shù)圖像

-繪制方法

-增函數(shù)

-減函數(shù)

③重要句子：

-“正切函數(shù)的圖像是一條連續(xù)的曲線，具有無限多個垂直漸近線。”

-“繪制正切函數(shù)圖像時，要注意其周期性和單調(diào)性。”

-“在坐標軸上，正切函數(shù)的圖像呈現(xiàn)出周期性的波動。”

①本文重點知識點：

-正切函數(shù)的應用：如何利用正切函數(shù)解決實際問題。

-應用實例：設計一些與實際生活相關的數(shù)學問題，讓學生應用所學知識解決。

②關鍵詞：

-應用

-實際問題

-解決方案

-應用實例

③重要句子：

-“正切函數(shù)在工程測量、建筑設計等領域有廣泛的應用。”

-“通過應用正切函數(shù)，我們可以計算直角三角形中未知的角度或邊長。”

-“解決實際問題時，要善于將實際問題轉化為數(shù)學模型，并運用數(shù)學知識進行求解。”八、課后作業(yè)1.作業(yè)題目：已知直角三角形中，∠A為銳角，且∠A的正切值為3，若該直角三角形的斜邊長度為5，求該直角三角形的面積。

解答：設直角三角形的兩直角邊分別為a和b，則根據(jù)正切函數(shù)的定義，有a/b=3。又因為斜邊長度為5，根據(jù)勾股定理，有a^2+b^2=5^2。將a=3b代入勾股定理中，得到(3b)^2+b^2=25，解得b=2，a=6。因此，三角形的面積為(1/2)*a*b=(1/2)*6*2=6。

2.作業(yè)題目：在直角三角形ABC中，∠C為直角，∠A的正切值為2/3，斜邊AB的長度為10，求直角三角形ABC的周長。

解答：設直角三角形的兩直角邊分別為a和b，則根據(jù)正切函數(shù)的定義，有a/b=2/3。又因為斜邊AB的長度為10，根據(jù)勾股定理，有a^2+b^2=10^2。將a=(2/3)b代入勾股定理中，得到(2/3)b)^2+b^2=100，解得b=6，a=4。因此，三角形的周長為a+b+AB=4+6+10=20。

3.作業(yè)題目：在直角三角形中，已知一個銳角的正切值為√3，求該銳角的大小。

解答：正切值為√3的銳角是60°，因為在直角三角形中，當∠A=60°時，對邊與鄰邊的比值即為√3。

4.作業(yè)題目：在直角三角形中，已知一個銳角的余弦值為1/2，求該銳角的大小。

解答：余弦值為1/2的銳角是60°，因為在直角三角形中，當∠A=60°時，鄰邊與斜邊的比值即為1/2。

5.作業(yè)題目：在直角三角形中，已知一個銳角的正弦值為√3/2，求該銳角的大小。

解答：正弦值為√3/2的銳角是60°，因為在直角三角形中，當∠A=60°時，對邊與斜邊的比值即為√3/2。教學評價1.課堂評價：

-提問：通過課堂提問，了解學生對正切函數(shù)定義、性質(zhì)和應用的理解程度。例如，提問“誰能告訴我正切函數(shù)的定義是什么？”或者“你們知道正切函數(shù)的周期性嗎？”來檢驗學生的掌握情況。

-觀察：在課堂上觀察學生的參與度、互動情況和學習態(tài)度，如是否積極舉手發(fā)言、是否能正確解答問題等。

-測試：通過課堂小測驗或即時練習，快速評估學生對正切函數(shù)知識的掌握。例如，給出幾個簡單的問題，讓學生在規(guī)定時間內(nèi)解答，如“求30°角的正切值”。

-及時反饋：對于學生在課堂上出現(xiàn)的問題，及時給予個別指導或全班講解，確保所有學生都能跟上教學進度。

2.作業(yè)評價：

-批改：對學生的作業(yè)進行詳細批改，包括正誤判斷、解題過程和答案的準確性。

-點評：在作業(yè)批改中給出具體、有針對性的點評，如“解題思路清晰，但計算過程中有誤”或“能夠靈活運用正切函數(shù)解決問題，值得表揚”。

-反饋：及時將作業(yè)批改結果反饋給學生，鼓勵他們在下一次作業(yè)中改進不足。

-鼓勵：對于作業(yè)完成得好的學生，給予口頭或書面的表揚，增強他們的學習動力。

-綜合評價：通過作業(yè)的表現(xiàn)，綜合評價學生的學習態(tài)度、知識掌握和應用能力。

3.形成性評價：

-小組討論評價：在小組討論環(huán)節(jié)，評價學生在討論中的參與度、表達能力和合作精神。

-實踐活動評價：通過實踐活動，評價學生將理論知識應用于實踐的能力和創(chuàng)新能力。

-學生自評與互評：鼓勵學生進行自我評價和互相評價，提高他們的反思能力和團隊協(xié)作能力。

4.總結性評價：

-期中/期末測試：通過期中或期末的綜合性測試，全面評估學生對正切函數(shù)知識掌握的深度和廣度。

-成長記錄：記錄學生在整個學習過程中的進步，包括作業(yè)、測試和課堂表現(xiàn)等，為學生的成長提供依據(jù)。教學反思與總結今天這節(jié)課，我們學習了直角三角形的邊角關系，特別是正切函數(shù)。回顧一下，我覺得有幾個方面做得還不錯，也有一些地方可以改進。

首先，我覺得課堂氛圍挺活躍的。我嘗試用生活中的例子引入課題，比如旗桿的高度問題，這樣讓學生感覺數(shù)學不再是抽象的符號游戲，而是可以解決實際問題的工具。看到學生們對這個問題感興趣，我挺高興的。

然后，我在講解正切函數(shù)的定義和性質(zhì)時，盡量用簡潔明了的語言，配合直觀的圖形，幫助學生理解。我發(fā)現(xiàn)，當我在黑板上畫出正切函數(shù)的圖像時，學生們更容易抓住函數(shù)的變化規(guī)律。

不過，我也發(fā)現(xiàn)了一些問題。比如，在講解周期性時，有些學生還是不太理解。我可能需要更多的時間來解釋周期性的概念，或者通過更多的實例來幫助學生理解。

在實踐活動環(huán)節(jié)，我讓學生們自己繪制正切函數(shù)的圖像，這個環(huán)節(jié)挺不錯的，學生們都很投入。但是，我發(fā)現(xiàn)個別學生在操作過程中遇到了困難，我沒有及時