2024屆高考模擬監測（三）數學試題（分數：150分，時間：120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知表示空間中兩條不同的直線，表示一個平面，且∥，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】將直線和平面放入特殊圖形中證明充分性，否定必要性即可.【詳解】如圖，在長方體中，設取為直線，取為平面，取為直線，滿足但，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A2.已知是虛數單位，復數的實部、虛部分別為3，2，則在復平面內對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】依題意，，求出，進而根據復數的幾何意義求得答案.【詳解】因為復數的實部、虛部分別為3，2，所以，所以，在復平面內對應的點為，在第一象限，故選：A.3.假設在某種細菌培養過程中，正常細菌每小時分裂1次（1個正常細菌分裂成2個正常細菌和1個非正常細菌），非正常細菌每小時分裂1次（1個非正常細菌分裂成2個非正常細菌）.若1個正常細菌經過14小時的培養，則可分裂成的細菌的個數為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】經過小時，有個正常細菌，個非正常細菌，由題意可得，，進一步求出，的通項公式，即可得出答案.【詳解】設經過小時，有個正常細菌，個非正常細菌，則，.又，，所以，，則，則，所以是首項為和公差均為的等差數列，所以，所以，所以.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是找到的相關推遞式，從而得解.4.《九章算術》是我國古代的數學專著，是“算經十書”（漢唐之間出現的十部古算書）中非常重要的一部．在《九章算術》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．已知“塹堵”的所有頂點都在球的球面上，且．若球的表面積為，則這個三棱柱的表面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知條件確定球心的位置，根據球的半徑求得棱柱的高，可計算表面積.【詳解】設，的中點分別為，，連接，取的中點．直三棱柱中，，，四邊形是平行四邊形，有，因為三棱柱的底面是直角三角形，，所以，，，分別是，的外接圓圓心．因為平面，所以平面，所以為的外接球的球心．連接，因為球的表面積為，所以球的半徑為1，即，，則，，可得，，所以三棱柱的表面積，故選：C．5.設為某正方體的一條體對角線，為該正方體的各頂點與各棱中點所構成的點集，若從中任選兩點連成線段，則與垂直的線段數目是（）A.12 B.21 C.27 D.33【答案】C【解析】【分析】如圖正方體，設直線為直線，可證平面，故所有與垂直的直線在平面內或與平面平行，再結合圖象確定與平面平行的平面，最后利用組合數公式計算可得.【詳解】如圖正方體，設直線為直線，如下圖所示，對應棱上點為對應棱的中點，連接，因為四邊形為正方形，則，平面，平面，，，平面，平面，平面，，同理可證，又，平面，平面，故所有與垂直直線在平面內或與平面平行，易知與平面平行的平面有平面、平面、平面、平面，所以滿足條件的且與對角線垂直的線段共（個）.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是將問題放到具體的圖象中，從而確定所求線段（直線）的位置特征.6.設A，B，C，D為拋物線上不同的四點，A，D關于該拋物線的對稱軸對稱，平行于該拋物線在點D處的切線l.設點D到直線和直線的距離分別為，，已知.則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】設，，，，由導數的幾何意義求得，由，，可得，則有，又，得，可求的值.【詳解】由題意可設，，，.拋物線方程，即，由，所以點D處切線的斜率為，，，，因此，即，平行于軸，，則點D到直線和直線的距離相等，即.又，，所以.所以.故選：B.7.設函數，，若存在，，使得，則的最小值為（）A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據題意，由條件可得，即可得到，構造函數，求導得其最值，即可得到結果.【詳解】由題意可得，即，所以，又，所以在上單調遞增，即，所以，且，令，，則，其中，令，則，當時，，則單調遞增，當時，，則單調遞減，所以當時，有極大值，即最大值，所以，，所以.故選：B【點睛】關鍵點睛：本題主要考查了函數同構問題以及導數求最值問題，結合同構函數，然后構造函數求導即可得到結果.8.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構造函數，由的單調性和最值可證明，再構造，由的單調性和最值可證明，即可得出答案.【詳解】令，則.當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，則，故.令，則.當時，，單調遞減，則，即.故.故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵點在于構造函數，通過求出函數的單調性和最值來比較大小.構造函數，和即可得出答案.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分.9.某電影藝術中心為了解短視頻平臺的觀眾年齡分布情況，向各大短視頻平臺的觀眾發放了線上調查問卷，共回收有效問卷4000份，根據所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的是（）A.a＝0.028B.在4000份有效問卷中，短視頻觀眾年齡在10~20歲的有1320人C.估計短視頻觀眾的平均年齡為32歲D.估計短視頻觀眾年齡的75%分位數為39歲【答案】CD【解析】【分析】根據頻率和為可構造方程求得，可判斷A；由頻率和頻數的關系可求得觀眾年齡在歲的人數，可判斷B；由平均數和百分位數的計算方法可驗證CD.【詳解】對于A，∵(0.015＋0.033＋a＋0.011＋0.011)×10=1，∴a=0.03，故A錯誤；對于B，由頻率分布直方圖，短視頻觀眾年齡在10～20歲的對應頻率為0.15，∴短視頻觀眾年齡在10~20歲的有4000×0.15=600(人)，故B錯誤；對于C，平均年齡為＝(0.015×15＋0.033×25＋0.03×35＋0.011×45＋0.011×55)×10=32(歲)，故C正確；對于D，設75%分位數為x，由年齡在10~20歲和20~30歲兩組頻率是(0.015＋0.033)×10=0.48，又年齡在10~20歲和20~30歲，30~40歲三組頻率是(0.015＋0.033+0.03)×10=0.78，所以75%分位數位于年齡在30~40歲這一組，則0.015×10＋0.033×10＋(x-30)×0.03=0.75，解得x=39，故D正確.故選：CD.10.如圖，將一塊邊長為4m的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下來，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，下列說法正確的是（）A.當時，正四棱錐的側面積為B.當時，正四棱錐的體積為C.當時，正四棱錐外接球的體積為D.正四棱錐的體積最大值為【答案】BCD【解析】【分析】作出示意圖，對于A：可求得判斷A；對于B：當時，，可得判斷B；，設外接球的半徑為，可得，進而求得體積判斷C；可得，，可得，利用利用換元法，結合導數可求其最大值判斷D.【詳解】用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器如圖所示：對于A：當時，即，由題意可得的邊上的高為2，所以側面面積為，故A錯誤；對于B：當時，由題意可得側面斜高，，可得，所以，故B正確；對于C：當時，可得，，正四棱錐外接球的球心在直線上，設外接球的半徑為，則，解得，所以正四棱錐外接球的體積為，故C正確；對于D：可得，，，令，則，求導得，令，則，解得，當，，，，所以，此時時取等號，故D正確.故選：BCD.11.已知，動點滿足，則下列結論正確的是（）A.點的軌跡圍成的圖形面積為B.的最小值為C.是的任意兩個位置點，則D.過點的直線與點的軌跡交于點，則的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】由得，計算面積可判斷A；結合圖象可知，當共線的時候取值最小值，可判斷B；過A向圓引切線，用兩條切線夾角來可判斷C；分別用斜率存在和不在兩種情況寫出過點的直線方程，然后由圓的幾何性質求，進而結合基本不等式可得的最小值，即可判斷D.【詳解】由得：，即，點的軌跡為圓心，半徑的圓.對于A：面積為，故A正確；對于B：點B在圓內，由圖知，當共線的時候等號成立，所以最小值為，故B正確，對于C：因為，，所以過A向圓引切線，切線長等于，則兩條切線夾角為，故C不正確.對于D：斜率不存在時，過點的直線方程為，此時；斜率存在時，過點的直線方程為，即，則圓心到該直線的距離，由圓的幾何性質，，當時，；當時，；當時，，當且僅當即時取等號，綜上所述，的最小值為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則最小值為____________.【答案】【解析】【分析】根據平面向量的模求出數量積，利用向量的幾何意義和運算律計算可得，表示點與點的距離之和，作出圖形，確定的最小值，結合圖形即可求解.【詳解】由，得，即，解得.，表示點與點的距離之和.如圖，點關于x軸的對稱點為，連接，則，當且僅當三點共線時等號成立，所以的最小值為.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是表示點與點的距離之和，結合圖形，確定（當且僅當三點共線時等號成立）.13.若存在實數及正整數使得在內恰有2024個零點，則滿足條件的正整數的值有______個．【答案】5【解析】【分析】利用換元思想將問題轉化為方程在實數范圍內一定有兩個異號的根，根據方程與函數的應用進行討論分析.【詳解】由題意知，，令，，此時，而，，，則上述方程在實數范圍內一定有兩個異號的根，當時，，一個周期內有兩個零點，則或；當時，，一個周期內有三個零點，，則需要個周期，即；當時，此時，解得，若，此時，則一個周期內有四個零點，則需要個周期，即；若，此時，，則一個周期內有三個零點，，個周期恰好個零點，個周期是個零點，個周期則個零點，此時不符題意，若，此時，一個周期內有兩個零點，則或.綜上所述，這樣的正整數有個，分別是.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查函數與方程的應用，通過將三角函數方程換元，得到關于的二次方程，根據二次方程根的分布分類討論得到的范圍，然后根據數形結合的思想結合正弦函數的圖像進行求解是解決本題的關鍵.14.設，則的最大值為___________.【答案】2【解析】【分析】設，利用基本不等式得到，再將右式配湊成的倍數，從而得解.【詳解】設，則，，當且僅當，時，等號成立，故.令，解得，，所以，當，時，等號成立.故答案為：2.【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是利用基本不等式，配湊出一個定值出來，從而得解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數，．（1）若，求函數的極值；（2）試討論函數的單調性．【答案】（1）極小值為，無極大值（2）答案見解析【解析】【分析】（1）當，求出，令得出方程的根，判斷所求根兩邊導函數的符號即可得到函數的極值；（2）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域范圍內分別求解即可.【小問1詳解】若，，定義域為，則，令，可得，由，可得，所以在上單調遞增，由，可得，所以在上單調遞減，所以在處取得極小值，極小值為，無極大值；小問2詳解】的定義域為，，，當時，，則在上單調遞減，當時，令，可得或，因為，所以舍去，所以當時，，則在上單調遞減，所以當時，，則在上單調遞增，綜上，當時，在上單調遞減，當時，在上單調遞減，在上單調遞增.16.在對于一些敏感性問題調查時，被調查者往往不愿意給出真實答復，因此需要特別的調查方法消除被調查者的顧慮，使他們能如實回答問題．某單位為提升員工的工作效率，規范管理，決定出臺新的員工考勤管理方案，方案起草后，為了解員工對新方案是否滿意，決定采取如下隨機化回答技術進行問卷調查：隨機選取150名男員工和150名女員工進行問卷調查．問卷調查中設置了兩個問題：①你公歷生日是奇數嗎？②你對新考勤管理方案是否滿意．調查分兩個環節，第一個環節：確定回答的問題，讓被調查者從裝有4個紅球，6個黑球（除顏色外完全相同）的袋子中隨機摸取兩個球．摸到兩球同色的員工如實回答第一個問題，摸到兩球異色的員工如實回答第二個問題，第二個環節：填寫問卷（問卷中不含問題，只有“是”與“否”）．已知統計問卷中有198個“是”．（參考數據：）（1）根據以上的調查結果，利用你所學的知識，估計員工對新考勤管理方案滿意的概率；（2）據核實，以上的300名員工中有15名員工對新考勤管理方案不滿意，其中男3人，女12人，試判斷是否有97.5%的把握認為與對新考勤管理方案是否滿意與性別有關；參考公式和數據如下：，．0.150.100.050.0250.0052.0722.7063.8415.0247.879（3）從該單位任取10人，恰有X人對考勤管理方案不滿意，利用（1）中的結果，寫出的表達式（其中，），并求出X的數學期望.【答案】（1）（2）有（3），【解析】【分析】（1）由題可得摸到同色兩球的概率，進而可得回答第一個問題的人數及選擇“是”的人數，再利用古典概型概率公式即得；（2）利用公式求出，再對照臨界值表即可得出結論；（3）由題意可得服從二項分布，再根據二項分布的概率公式及期望公式即可得解.【小問1詳解】由題意摸到兩球同色的概率為，所以回答第一個問題有人，則回答第二個問題有人，由題意可知公歷生日是奇數的概率是，所以回答第一個問題，選擇“是”的同學人數為人，則回答第二個問題，選擇“是”的同學人數為人，所以員工對新考勤管理方案滿意的概率；【小問2詳解】由題意，列聯表如下：對新考勤管理方案滿意對新考勤管理方案不滿意合計男員工女員工合計285，所以有97.5%的把握認為與對新考勤管理方案是否滿意與性別有關；【小問3詳解】由題意可知，則，所以.17.已知橢圓的離心率為，長軸長為4．（1）求橢圓C的標準方程；（2）O為坐標原點，過點且斜率不為零的直線與橢圓C交于E，F兩點，試問：在x軸上是否存在一個定點T，使得．若存在，求出定點T的坐標；若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）由橢圓的性質結合離心率的計算解出標準方程即可；（2）假設存在，由已知可轉化求得.設出直線方程，然后與橢圓聯立，根據韋達定理得出坐標關系表示出斜率，化簡整理可得出，進而得出的值.【小問1詳解】由題意可得，，所以，所以橢圓C的標準方程為.【小問2詳解】假設存在x軸上的定點，使得.則結合圖可得，所以.由題意，直線的斜率一定存在，設直線的方程為，設，，由得，，

，則，且.因為直線ET的斜率為，直線的斜率為，由得.因為，，所以，即，所以，所以，則，所以在x軸上存在一個定點，使得．【點睛】關鍵點睛：本題第二問關鍵是由已知推得，進而轉化為探索.18.如圖，在三棱錐中，分別是側棱的中點，，平面.（1）求證：平面平面；（2）如果，且三棱錐的體積為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明過程詳見解析.（2）二面角的余弦值為.【解析】【分析】（1）易得，由線面垂直的性質證明，再根據線面垂直的判定定理證明平面，再根據面面垂直的判定定理即可得證；（2）易得兩兩垂直，求出，以點C為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】分別是側棱的中點，，，平面，平面，，又平面，平面，又平面，平面平面.【小問2詳解】平面，平面，，，又由題意得是等腰直角三角形，，此時易算三棱錐體積為：，故符合題意.平面，，平面，又平面，，兩