2024~2025學年上海市上海中學高一下學期期中測試卷（B卷）數學試卷（考試時間120分鐘滿分150分）考生注意：1．帶2B鉛筆、黑色簽字筆、科學計算器、考試中途不得傳借文具.2．本試卷共4頁，21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘3．請將答案正確填寫在答題紙上，作答在原卷上不予評分一．填空題（12題共54分，1~6題每題4分，7~12題每題5分）1.1小時內秒針轉過了______．（用弧度制表示）2已知，則___________3.函數的圖象的一部分如圖所示，則的初相為______．4.函數的圖象的對稱中心的坐標是___________.5.已知函數，其中，若在區間上恰有2個零點，則的取值范圍是_____.6.已知函數在區間上是嚴格增函數，則的取值范圍是________．7.已知函數,,若函數在區間內單調遞增,且函數的圖像關于直線對稱,則的值為________．8.已知函數，若滿足（a、b、c互不相等），則的取值范圍是_______.9.設函數（）的圖象與直線相交的連續的三個公共點從左到右依次記為，，，若，則正實數的值為______.10.定義：余割.已知為正實數，且對任意的實數,均成立，則的取值范圍為________．11.已知，順次連接函數與的任意三個相鄰的交點都構成一個等腰直角三角形，則________．12.設集合有______個真子集．二.選擇題（4題共18分，13~14每題4分，15~16每題5分）13.函數的最大值為（）A1 B. C.2 D.314.已知函數，則函數的部分圖象可以為（）A. B. C. D.15.在△ABC中，三個角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，下列四個條件中有幾個是△ABC為直角三角形的充分條件（）①；②；③；④.A.1 B.2 C.3 D.416.已知函數，給出下列結論：①是周期函數；②在區間上是增函數；③若，則；④函數在區間上有且僅有1個零點．則上述結論中正確的序號為（）A.① B.①③ C.①②③ D.②③④三．解答題（共78分，17~19每題14分，20~21每題18分）17.記的內角所對的邊分別為，且．（1）求；（2）若，求外接圓面積的最小值．18.冪函數的圖像關于y軸對稱，且在區間上是嚴格增函數.（1）求f（x）的表達式；（2）對任意實數，不等式恒成立，求實數t取值范圍.19.如圖，游客從某旅游景區的景點處下上至處有兩種路徑．一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到．現有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為．在甲出發后，乙從乘纜車到，在處停留后，再從勻速步行到，假設纜車勻速直線運動的速度為，山路長為1260，經測量，．（1）求索道的長；（2）問：乙出發多少后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在處互相等待的時間不超過，乙步行的速度應控制在什么范圍內？20已知函數（1）求函數的最小正周期（2）當時，求函數的最大值和最小值（3）已知函數，若對任意的，當時，恒成立，求實數的取值范圍21.已知函數的定義域為且滿足：對任意的，有恒成立，則稱為“”函數.（1）分別判斷和是否為“”函數；（2）若函數是“”函數，求取值范圍；（3）若為上的“”函數，且是以4為周期的周期函數，證明：對任意的，都有：.

2024~2025學年上海市上海中學高一下學期期中測試卷（B卷）數學試卷（考試時間120分鐘滿分150分）考生注意：1．帶2B鉛筆、黑色簽字筆、科學計算器、考試中途不得傳借文具.2．本試卷共4頁，21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘3．請將答案正確填寫在答題紙上，作答在原卷上不予評分一．填空題（12題共54分，1~6題每題4分，7~12題每題5分）1.1小時內秒針轉過了______．（用弧度制表示）【答案】【解析】【分析】利用任意角的定義結合弧度制的性質求解即可.【詳解】因為1小時內分針轉過了，所以1小時內秒針轉過了.故答案為：2.已知，則___________【答案】##【解析】【分析】由，根據二倍角公式即可求解.【詳解】由，所以，故答案為：.3.函數的圖象的一部分如圖所示，則的初相為______．【答案】##【解析】【分析】由圖象利用“五點法”求出函數的解析式，從而可求出初相.【詳解】由圖可知，周期，所以，所以，因為點在函數圖象上，所以，所以，所以，因，所以，所以，所以初相為，故答案為：4.函數的圖象的對稱中心的坐標是___________.【答案】，【解析】【分析】方法一：根據正弦函數的性質，利用圖象變換方法；方法二：根據正弦函數的性質，利用整體代入方法求解.【詳解】方法一：圖象變換法：函數的對稱中心是形如的點，其中為整數.變換后的函數分析：函數是由原函數經過橫向壓縮3倍、向左平移個單位，再向上平移1個單位得到的.對稱中心變換：橫向壓縮3倍后，原對稱中心的橫坐標變為向左平移個單位后，橫坐標變為

.向上平移1個單位后，縱坐標變為1.函數

的圖像的對稱中心的坐標為：,.方法二：利用正弦函數的性質直接求解法:求解對稱中心：對稱中心的橫坐標滿足方程

，解得

,縱坐標恒為1.最終，函數

的圖象的對稱中心的坐標為：：,.故答案為：,.5.已知函數，其中，若在區間上恰有2個零點，則的取值范圍是_____.【答案】【解析】【分析】求出的范圍，利用正弦函數圖像的性質計算即可；【詳解】函數，其中，在區間上恰有2個零點，，.求得，則的取值范圍為.故答案為：.6.已知函數在區間上是嚴格增函數，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】問題化為在上單調遞增，且，結合正弦函數圖象及相關性質列不等式求參數范圍.【詳解】由，則，由題意在上單調遞增，且，所以，則，故，綜上，，則，故.故答案為：7.已知函數,,若函數在區間內單調遞增,且函數的圖像關于直線對稱,則的值為________．【答案】【解析】【詳解】由在區間內單調遞增,且的圖像關于直線對稱,可得,且,所以考點:本題主要考查三角函數的性質.8.已知函數，若滿足（a、b、c互不相等），則的取值范圍是_______.【答案】【解析】【分析】根據對稱性求得，結合對數函數的性質求得正確答案.【詳解】不妨設，畫出的圖象如下圖所示，，所以.令，解得，所以，所以.故答案為：9.設函數（）的圖象與直線相交的連續的三個公共點從左到右依次記為，，，若，則正實數的值為______.【答案】##0.5【解析】【分析】作出正弦型三角函數的圖象，利用其對稱性和周期性求出點橫坐標，再代入計算即可.【詳解】作出函數，的大致圖象，如圖，令，，解得，，則函數的圖象與直線連續的三個公共點，，，（可以同時往左或往右移動正整數倍周期長度）即，關于直線，對稱，，由于，故，而，關于直線，對稱，故點橫坐標為，將點橫坐標代入，得．故答案為：.10.定義：余割.已知為正實數，且對任意的實數,均成立，則的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】由三角函數新定義，將已知不等式等價轉化成，利用同角的三角函數基本關系式化簡右式，借助于基本不等式即可求得其最值即可.【詳解】由已知可得，即，因為，所以，則，因，當且僅當時等號成立，此時，故.故答案為：.11.已知，順次連接函數與的任意三個相鄰的交點都構成一個等腰直角三角形，則________．【答案】##【解析】【分析】根據題意作圖，通過圖象可知，等腰直角三角形的斜邊的長度為三角函數的一個周期，利用等腰直角三角形的性質求出邊長，再由三角函數的周期公式求得的值.【詳解】如圖所示（根據對稱性，其它情況與此本質相同），在函數與的交點中，，令，又，所以，因為三個相鄰的交點構成一個等腰直角三角形，故等腰直角三角形斜邊上的高為，即，所以，則.故答案為：.12.設集合有______個真子集．【答案】##【解析】【分析】依題意由表達式中角的特征可知當時，的取值各不相同，當時，利用誘導公式以及集合元素的互異性即可求得集合的元素個數為1013，繼而得到真子集個數.【詳解】由題意，當時，，此時，，因是奇數，是偶數，且中的任意兩組角都不關于對稱，所以的取值各不相同，因此當時，集合中的取值會隨著的增大而增大，所以當時，集合中共有個元素；當時，易知又因，故，即時的取值與時的取值相同，根據集合元素的互異性可知，時，并沒有增加集合中的元素個數，當，易得：，可得當時，集合中的元素個數只增加了一個0，故可得集合的元素個數為1013個，故集合的真子集有個.故答案為：.二.選擇題（4題共18分，13~14每題4分，15~16每題5分）13.函數的最大值為（）A.1 B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】運用拆角變換，逆用差角的正弦公式，化簡函數式，即可求得其最值.【詳解】因，故其最大值為1.故選：A.14.已知函數，則函數的部分圖象可以為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由奇偶性可排除BD，再取特殊值可判斷AC，從而得解【詳解】因為的定義域為，且，所以為奇函數，故BD錯誤；當時，令，易得，解得，故易知的圖象在軸右側的第一個交點為，又，故C錯誤，A正確；故選：A15.在△ABC中，三個角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，下列四個條件中有幾個是△ABC為直角三角形的充分條件（）①；②；③；④.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】分別對各選項化簡，分析是否能得出△ABC為直角三角形即可.【詳解】①由正弦定理，，則，即，故或，即或，故不能推出△ABC為直角三角形，故①錯誤；②，則，即，故.因為，故或，即（舍）或，則不能推出△ABC為直角三角形，故②錯誤；③，則，即，故，即，即，故.因為，故，即，則△ABC為直角三角形，故③正確；④，則，即，故，故，即，故.因為，故，即，則△ABC為直角三角形，故④正確.綜上有③④是△ABC為直角三角形的充分條件.故選：B16.已知函數，給出下列結論：①是周期函數；②在區間上是增函數；③若，則；④函數在區間上有且僅有1個零點．則上述結論中正確序號為（）A.① B.①③ C.①②③ D.②③④【答案】B【解析】【分析】先求出解析式，再對①②③④一一驗證：對于①：利用周期的定義驗證；對于②：取特殊數值排除；對于③：利用三角函數的有界性進行計算，即可判斷；對于④：可以求出零點，進行判斷.【詳解】函數，對于①：由所以函數的最小正周期為，故①正確；對于②：由于，，，，故函數在上不是單調增函數，故②錯誤；對于③：函數的最大值為1，若，則，所以，，，故；故③正確；對于④：當時，，由于，即，解得或，所以函數有兩個零點，故④錯誤．故選：B.三．解答題（共78分，17~19每題14分，20~21每題18分）17.記的內角所對的邊分別為，且．（1）求；（2）若，求外接圓面積的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，運用和角公式化簡求得，即得；（2）由余弦定理，結合基本不等式和條件可得，再由正弦定理求得外接圓半徑的最小值即可.【小問1詳解】由整理得：，由正弦定理，可得即，因為，所以，即，又因為，所以．【小問2詳解】由正弦定理，外接圓的半徑，要使外接圓的半徑最小，只需最小，由余弦定理，，當且僅當時取等號，此時，則．故外接圓面積的最小值為．18.冪函數的圖像關于y軸對稱，且在區間上是嚴格增函數.（1）求f（x）的表達式；（2）對任意實數，不等式恒成立，求實數t的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由冪函數的單調性及得m的可能值，再驗證奇偶性，得的解析式；（2）將條件轉化為在上恒成立，求在上的最大值即可.【小問1詳解】因為冪函數為偶函數，在區間上是嚴格增函數，則在區間上單調遞減，所以，解得，又因為，所以或2，當或2時，不是偶函數，舍去；當時，是偶函數，合題意，所以.【小問2詳解】對任意實數，不等式恒成立，即在上恒成立，設，，因為在上單調遞減，所以，所以，即.19.如圖，游客從某旅游景區的景點處下上至處有兩種路徑．一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到．現有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為．在甲出發后，乙從乘纜車到，在處停留后，再從勻速步行到，假設纜車勻速直線運動的速度為，山路長為1260，經測量，．（1）求索道的長；（2）問：乙出發多少后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在處互相等待的時間不超過，乙步行的速度應控制在什么范圍內？【答案】（1）m（2）（3）（單位：m/min）【解析】【詳解】（1）在中，因為，，所以，，從而．由正弦定理，得（）．（2）假設乙出發后，甲、乙兩游客距離為，此時，甲行走了，乙距離處，所以由余弦定理得，由于，即，故當時，甲、乙兩游客距離最短．（3）由正弦定理，得（）．乙從出發時，甲已走了（），還需走710才能到達．設乙步行的速度為，由題意得，解得，所以為使兩位游客在處互相等待的時間不超過，乙步行的速度應控制在（單位：）范圍內．考點：正弦、余弦定理在實際問題中的應用.【方法點睛】本題主要考查了正弦、余弦定理在實際問題中的應用，考查了考生分析問題和利用所學知識解決問題的能力，屬于中檔題.解答應用問題，首先要讀懂題意，設出變量建立題目中的各個量與變量的關系，建立函數關系和不等關系求解.本題解得時，利用正余弦定理建立各邊長的關系，通過二次函數和解不等式求解，充分體現了數學在實際問題中的應用.20.已知函數（1）求函數的最小正周期（2）當時，求函數的最大值和最小值（3）已知函數，若對任意的，當時，恒成立，求實數的取值范圍【答案】（1）（2）最大值為，最小值為（3）【解析】【分析】（1）先由降冪公式，倍角公式，輔助角公式化簡，再代入周期公式求解即可；（2）由已知結合的范圍，利用正弦函數的性質求解即可；（3）由已知不等式結合輔助角公式進行化簡可得，然后結合正弦函數的單調性求解即可.【小問1詳解】，則最小正周期為.【小問2詳解】；則函數的最大值為，最小值為.【小問3詳解