PAGEPAGE12.1平面對量的實際背景及基本概念[核心必知]1．預習教材，問題導入依據以下提綱，預習教材P74～P76的內容，回答下列問題．(1)我們在物理中學習了位移、速度、力等，這些量與我們日常生活中的年齡、身高、體重、面積、體積等有什么區分？提示：位移、速度、力是既有大小又有方向的量，而年齡、身高、體重、面積、體積等只有大小，沒有方向．(2)對既有大小，又有方向的量，如何形象、直觀地表示出來？提示：用有向線段．(3)若向量a與向量b相等，則它們應具備什么條件？提示：長度相等且方向相同．2．歸納總結，核心必記(1)向量的概念數學中，我們把像力、位移等這種既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)有向線段帶有方向的線段叫做有向線段，它包含三個要素：起點、方向、長度．(3)向量的表示方法①向量可以用有向線段表示．向量的大小，也就是向量的長度(或稱模)，記作||.②用字母表示向量：通常在印刷時，用黑體小寫字母a，b，c，…表示向量，在手寫時用帶箭頭的小寫字母，，，…表示向量．也可用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示，例如，，.(4)幾種特別的向量①零向量：長度為0的向量，叫做零向量，記作0.②單位向量：長度等于1個單位的向量叫做單位向量．③相等向量：長度相等且方向相同的向量，叫做相等向量．④平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，假如向量a和b平行，記作a∥b；規定：零向量與任一向量平行，即對于隨意向量a，都有0∥a.[問題思索](1)兩個向量能比較大小嗎？提示：不能．因為向量是具有方向的量．(2)向量就是有向線段，這種說法對嗎？提示：不對，向量與有向線段是兩個不同的概念，可以用有向線段表示向量．(3)“若a∥b，且b∥c，則a∥c”這個說法對嗎？提示：不對，若b＝0，則a、c均可以是隨意向量，所以a、c不肯定平行．平面幾何中平行的傳遞性：a∥b，且b∥c，則a∥c，在向量的平行中并不適用．解題時我們也要充分考慮0的特別性．[課前反思](1)向量的概念：；(2)有向線段：；(3)向量的表示方法：；(4)零向量：；(5)單位向量：；(6)相等向量：；(7)平行向量(共線向量)：.學問點1向量的有關概念講一講1．(1)下列說法中正確的是()A．數量可以比較大小，向量也可以比較大小B．方向不同的向量不能比較大小，但同向的向量可以比較大小C．向量的大小與方向有關D．向量的模可以比較大小(2)下列說法中正確的有()①單位向量的長度大于零向量的長度；②零向量與任一單位向量平行；③因為平行向量也叫作共線向量，所以平行向量所在的直線也肯定共線；④因為相等向量的相等關系具有傳遞性，所以平行向量的平行關系也具有傳遞性；⑤因為相等向量肯定是平行向量，所以平行向量也肯定是相等向量．A．①②B．①②④C．①③⑤D．①②③[嘗試解答](1)不管向量的方向如何，它們都不能比較大小，故A，B不正確；向量的大小即為向量的模，指的是有向線段的長度，與方向無關，故C不正確；向量的模是一個數量，可以比較大小，故D正確．(2)①正確，因為單位向量的長度為1，零向量的長度為0.②正確．③錯誤，平行向量所在的直線可能不共線．④錯誤，平行向量的平行關系不具有傳遞性．⑤錯誤，平行向量不肯定是相等向量．答案：(1)D(2)A類題·通法解決與向量概念有關問題的方法解決與向量概念有關題目的關鍵是突出向量的核心——方向和長度，如：共線向量的核心是方向相同或相反，長度沒有限制；相等向量的核心是方向相同且長度相等；單位向量的核心是方向沒有限制，但長度都是一個單位長度；零向量的核心是方向沒有限制，長度是0；規定零向量與任一向量共線．只有緊緊抓住概念的核心才能順當解決與向量概念有關的問題．練一練1．下列說法錯誤的有________．(填上你認為全部符合的序號)(1)兩個單位向量不行能平行；(2)兩個非零向量平行，則它們所在直線平行；(3)當兩個向量a，b共線且方向相同時，若|a|＞|b|，則a＞b.解析：(1)錯誤，單位向量也可以平行；(2)錯誤，兩個非零向量平行，則它們所在直線還可能重合；(3)錯誤，兩個向量是不能比較大小的，只有模可以比較大小．答案：(1)(2)(3)學問點2向量的表示講一講2．(1)如圖，B，C是線段AD的三等分點，分別以圖中各點為起點和終點，可以寫出________個向量．(2)在如圖所示的坐標紙上(每個小方格邊長為1)，用直尺和圓規畫出下列向量：①，使||＝4eq\r(2)，點A在點O北偏東45°；②，使||＝4，點B在點A正東；③，使||＝6，點C在點B北偏東30°.[嘗試解答](1)由向量的幾何表示可知，可以寫出12個向量，它們分別是，，，，，，，，，，，.(2)①由于點A在點O北偏東45°處，所以在坐標紙上點A距點O的橫向小方格數與縱向小方格數相等．又||＝4eq\r(2)，小方格邊長為1，所以點A距點O的橫向小方格數與縱向小方格數都為4，于是點A位置可以確定，畫出向量如圖所示．②由于點B在點A正東方向處，且||＝4，所以在坐標紙上點B距點A的橫向小方格數為4，縱向小方格數為0，于是點B位置可以確定，畫出向量如圖所示．③由于點C在點B北偏東30°處，且||＝6，依據勾股定理可得：在坐標紙上點C距點B的橫向小方格數為3，縱向小方格數為3eq\r(3)≈5.2，于是點C位置可以確定，畫出向量如圖所示．答案：(1)12類題·通法用有向線段表示向量的方法用有向線段表示向量時，先確定起點，再確定方向，最終依據向量模的大小確定向量的終點．必要時，需依據直角三角形學問求出向量的方向(即夾角)或長度(即模)，選擇合適的比例關系作出向量．練一練2．一輛汽車從A動身向西行駛了100km到達B點，然后變更方向向西偏北50°走了200km到達C點，又變更方向，向東行駛了100km到達D點．(1)作出向量、、；(2)求汽車從A點到D點的位移大小||.解：(1)向量、、如圖所示．(2)由題意，易知與方向相反，故與共線．又||＝||，所以在四邊形ABCD中，AB綊CD，所以四邊形ABCD為平行四邊形，所以||＝||＝200km.學問點3相等向量與共線向量[思索1]兩個向量相等的條件是什么？提示：方向相同，模相等．[思索2]兩個向量共線的條件是什么？名師指津：兩個非零向量的方向相同或相反，則這兩個向量為平行向量，也叫做共線向量.0與隨意向量共線．講一講3．如圖所示，已知點O為正方形ABCD的對角線的交點，四邊形OAED，OCFB都是正方形．(1)與相等的向量有________，與相等的向量有________；(2)與共線的向量有____________________；(3)與的模相等的向量有____________________．[嘗試解答](1)依據相等向量定義可知＝，＝.(2)依據共線向量的定義可知，與共線的向量為，，.(3)易知||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||.答案：(1)(2)，，(3)，，，，，，類題·通法找尋共線向量或相等向量的方法(1)找尋共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構造同向與反向的向量，留意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量．(2)找尋相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是與已知向量方向相同的向量．練一練3．如圖，△ABC和△A′B′C′是在各邊的eq\f(1,3)處相交的兩個全等的等邊三角形，設△ABC的邊長為a，圖中列出了長度均為eq\f(a,3)的若干個向量，則(1)與向量相等的向量有________；(2)與向量共線，且模相等的向量有________；(3)與向量共線，且模相等的向量有________．解析：向量相等?向量方向相同且模相等．向量共線?表示有向線段所在的直線平行或重合．答案：(1)，(2)，，，，(3)，，，，[課堂歸納·感悟提升]1．本節課的重點是向量的概念、向量的表示方法及幾種特別的向量，難點是幾種特別向量的概念及應用．2．要重點駕馭向量的三個問題(1)向量有關概念的辨析，見講1；(2)向量的表示，見講2；(3)相等向量與共線向量的應用，見講3.3．本節課要留意兩個區分(1)向量與數量①數量只有大小沒有方向，向量既有大小又有方向．②數量可以比較大小，向量不能比較大小．(2)向量與有向線段①區分：從定義上看，向量有大小和方向兩個要素，而有向線段有起點、方向和長度三個要素，因此它們是兩個不同的量．在空間中，有向線段是固定的，而向量是可以自由移動的．②聯系：向量可以用有向線段表示，但并不能說向量就是有向線段．課下實力提升(十三)[學業水平達標練]題組1向量的有關概念1．汽車以120km/h的速度向西走了2h，摩托車以45km/h的速度向東北方向走了2h，則下列命題中正確的是()A．汽車的速度大于摩托車的速度B．汽車的位移大于摩托車的位移C．汽車走的路程大于摩托車走的路程D．以上都不對解析：選C速度和位移是向量，由向量不能比較大小可知A，B錯；汽車走的路程為240km，摩托車走的路程為90km，故C正確．2.如圖，在圓O中，向量，，是()A．有相同起點的向量B．單位向量C．模相等的向量D．相等的向量解析：選C由題圖可知三向量方向不同，但長度相等．3．下列命題：①若a是單位向量，b也是單位向量，則a與b的方向相同或相反；②若向量是單位向量，則向量也是單位向量；③以坐標平面上的定點A為起點，全部單位向量的終點P的集合是以A為圓心的單位圓．其中正確的個數為()A．0B．1C．2D．3解析：選C由單位向量的定義知，凡長度為1的向量均稱為單位向量，對方向沒有任何要求，故①不正確．因為||＝||，所以當是單位向量時，也是單位向量，故②正確．因為向量是單位向量，故||＝1，所以點P是以A為圓心的單位圓上的一點；反過來，若點P是以A為圓心的單位圓上的隨意一點，則因為||＝1，所以向量是單位向量，故③正確．題組2向量的表示4．一個人先向東行進了5千米，而后又向西行進了3千米，那么這個人總共()A．向東行進了8千米B．向東行進了2千米C．向東行進了5千米D．向西行進了3千米解析：選B記向東方向為正，則向東行進了5千米為＋5千米，向西行進了3千米為－3千米，則＋5＋(－3)＝＋2，表示向東行進了2千米．5．如圖，在矩形ABCD中，可以用一條有向線段表示的向量是()A．和B．和C．和D．和解析：選B和方向相同且大小相等，是相等向量，故可以用一條有向線段表示．6.在如圖的方格紙中，畫出下列向量．(1)||＝3，點A在點O的正西方向；(2)||＝3eq\r(2)，點B在點O北偏西45°方向；(3)求出||的值．解：取每個方格的單位長為1，依題意，結合向量的表示可知，(1)(2)的向量如圖所示．(3)由圖知，△AOB是等腰直角三角形，所以||＝eq\r(|OB→|2－|OA→|2)＝3.題組3相等向量與共線向量7．在△ABC中，點D、E分別為邊AB、AC的中點，則如圖所示的向量中，相等向量有()A．一組B．二組C．三組D．四組解析：選A由向量相等的定義可知，只有一組向量相等，即＝.8．如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，則以圖中點A，B，C，D，E，F，O中的隨意一點為起點，與起點不同的另一點為終點的全部向量中，與向量共線的向量共有()A．2個B．3個C．6個D．9個解析：選D與向量共線的向量有，，，，，，，，，共9個．9．如圖，四邊形ABCD為正方形，△BCE為等腰直角三角形，那么以圖中各點為起點或終點的向量中：(1)與共線的向量有_____________________________________________；(2)與相等的向量有_____________________________________________；(3)與模相等的向量有___________________________________________．解析：(1)與已知向量在同始終線上或平行的向量都是它的共線向量，依據題意，與共線的向量有，，，，，，.(2)與已知向量相等的向量與已知向量方向相同、長度相等，于是與相等的向量有，.(3)向量的模相等，只需長度相等，與方向無關，依據正方形和等腰直角三角形的性質，可知與模相等的向量有，，，，，，，，.答案：(1)，，，，，，(2)，(3)，，，，，，，，10．如圖是4×3的矩形(每個小方格的邊長都是1)，在起點和終點都在小方格的頂點處的向量中，與向量平行且模為eq\r(2)的向量共有幾個？與向量方向相同且模為3eq\r(2)的向量共有幾個？解：(1)依題意，每個小方格的兩條對角線中，有一條對角線對應的向量及其相反向量都和平行且模為eq\r(2).因為共有12個小方格，所以滿意條件的向量共有24個．(2)易知與向量方向相同且模為3eq\r(2)的向量共有2個．[實力提升綜合練]1．如圖所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分別是AB、BC、AC的中點，則與向量相等的向量是()A．與B．與C．與D．與解析：選B向量相等要求模相等，方向相同，因此與都是和相等的向量．2．已知在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，則||＝()A．1B.eq\r(3)C．2D．2eq\r(3)解析：選D易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，設AC與BD交于點O，則AO＝eq\f(1,2)AB＝1.在Rt△ABO中，易得||＝eq\r(3)，則||＝2||＝2eq\r(3).故選D.3．下列說法中正確的是()A．||與線段BA的長度不相等B．對任一向量a，|a|>0總是成立的C．||＝||D．若a∥b，且|a|＝1005，|b|＝1013，則|a＋b|＝2018解析：選C||，||分別與線段AB，BA的長度相等，所以A不正確，C正確；|0|＝0，對任一向量a，|a|≥0總成立，所以B不正確；對于D，當a與b方向相反時，|a＋b|＝8，故D不正確．4．給出下列命題：①若|a|＝0，則a＝0；②若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；③若a∥b，則|a|＝|b|.其中，正確的命題有()A．0個B．1個C．2個D．3個解析：選A①忽視了0與0的區分，a＝0；②混淆了兩個向量的模相等和兩個實數相等，兩個向量的模相等，只能說明它們的長度相等，它們的方向并不確定；③兩個向量平行，可以得出它們的方向相同或相反，未必得到它們的模相等．5．設a0，b0分別是a，b的單位向量，則下列結論中正確的是________(填序號)．①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.解析：因為a0，b0是單位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，所以|a0|＋|b0|＝2.答案：③6.如圖，四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形．(1)