2024-2025學年第二學期第二次階段評測初四數學試題第I卷（選擇題共30分）一、選擇題（每小題3分，共30分，下列各題只有一個正確選項）1.的相反數是（）A. B.2025 C. D.2.國產人工智能大模型橫空出世，其低成本、高性能的特點，迅速吸引了全球投資者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的圖標，其文字上方的圖案是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.3.根據計劃，我國將在2030年前實現中國人首次登陸月球，開展月球科學考察及相關技術試驗等．地球與月球的距離大約為380000千米，用科學記數法可表示為（）千米．A. B. C. D.4.米斗是我國古代糧倉、糧棧、米行等必備的用具，是稱量糧食的量器，如圖（1）是一種無盈米斗，其示圖（不計厚度）如圖所示（2），則其俯視圖是（）A. B. C. D.5.下列計算中，正確是（）A. B.C. D.6.某展覽大廳有2個入口和2個出口，其示意圖如圖所示，參觀者可從任意一個入口進入，參觀結束后可從任意一個出口離開．小明從入口1進入并從出口A離開的概率是()A. B. C. D.7.如圖，在中，是切線，切點是B，直線交于點D，A，點E為上的一點，連接，．若，則的度數為（）A. B. C. D.8.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形為平行四邊形，其中點，，，以點為圓心，的長為半徑作弧，交于點，再把線段繞點逆時針旋轉得到線段，則點的坐標為（）A. B. C. D.9.某購物商場的地面停車場為矩形，其面積為，共設計了如圖所示的56個停車位，每個停車位的尺寸都一樣，且長比寬多，通車道的寬度都相等，設停車位的寬為，那么x滿足的方程是（）A. B.C. D.10.如圖1，在矩形中，，E，F分別為，中點，G是線段上一動點，設，的周長為y，圖2是y關于x的函數關系圖象，其中P是圖象上的最低點，則a的值為（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（每小題3分，共15分，只要求填寫最后結果）11.若，，則代數式的值是________．12.二次根式在實數范圍內有意義，則的取值范圍是_______．13.若關于的一元二次方程的兩根為，且，則的值是______．14.如圖，個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點，，，為邊，，，，的中點，的面積為，的面積為，的面積為，則_________．15.如圖，在中，，，，，線段繞點旋轉，點為的中點，則的最大值是________．三、解答題（共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16.（1）計算：（2）解不等式組，并把不等式組的解集在數軸上表示出來．17.年我國春晚上出現的扭秧歌機器人轟動世界，機器人與人們的生活聯系越來越緊密、某校為了解七、八年級學生對機器人相關知識的了解情況，舉辦了關于機器人知識的競賽，現從該校七、八年級學生中各隨機抽取名學生的競賽成績（百分制）進行整理、描述和分析（成績得分用表示，共分為四組：．，．，．，．，得分在分以上為優秀），下面給出了部分信息：七年級名學生的競賽成績是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，八年級名學生競賽成績在組的數據是：，，，，七、八年級抽取的學生競賽成績統計表年級平均數中位數眾數七年級八年級根據以上信息，解答下列問題：（1）上述圖表中的________，________，________；（2）根據以上數據分析，你認為該校七、八年級中哪個年級學生的機器人知識競賽成績更好？請說明理由；（寫出一條理由即可）（3）若該校七年級有名學生、八年級有名學生參加了此次機器人的知識競賽，估計該校七、八年級學生參加此次機器人知識競賽成績達到優秀的共有多少人？18.隨著新能源汽車使用的日益普及，各個小區都紛紛完善新能源汽車的配套設施，其中新能源充電樁的建設成為重點工作，某小區也不例外，計劃購置單槍、雙槍兩款新能源充電樁，來滿足小區內新能源汽車車主日益增長的充電需求，然而，在購置過程中，面臨著不同的價格、數量以及預算限制等問題，就像下面所描述的情況一樣．某小區計劃購置如圖所示的單槍、雙槍兩款新能源充電樁，購置充電樁的相關信息如表：單槍充電樁雙槍充電樁花費：元花費：元單價：元/個單價：元/個（1）若本次購買單槍充電樁的數量比雙槍充電樁的數量多個，求單槍、雙槍兩款新能源充電樁的單價；（2）在（1）的條件下，根據居民需求，小區決定再次購進單槍、雙槍兩款新能源充電樁共個，已知單槍新能源充電樁的單價比上次購買時提高了，雙槍新能源充電樁的單價比上次購買時降低了，如果此次加購小區預備支出不超過元，求小區最少需要購買單槍新能源充電樁的數量．19.如圖，、均為的直徑．點E在上，連接，交于點F，連，，點G在的延長線上，．（1）求證：與相切；（2）若，，求的長．20.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與軸，軸分別交于點和點，與反比例函數的圖象交于點，為線段的中點．（1）求的值；（2）直接寫出的解集．（3）點為線段上的一個動點，過點作軸，交該反比例函數圖象于點，連結，．若的面積為，求點的坐標．21.如圖，某景區為游客精心設計了兩條游覽路線，路線一：在點登船，沿水路游覽沿途風光；路線二：先坐觀光車從至，沿途游覽，再在點登船，沿水路游覽沿途美景．已知點在點的東北方向，點在點的北偏東方向，點在點的南偏西方向，點在點的南偏東方向，相距千米．（參考數據：，，）（1）求的距離（結果保留根號）；（2）小聰和小明同時從點出發，分別選擇路線一和路線二游覽，若游船和觀光車均保持勻速行駛，游船速度為千米/小時，觀光車的速度為千米/小時，上下車和上下船的時間忽略不計，請問小聰和小明誰先到達點，并說明理由．22.【問題背景】矩形紙片中，，，點在邊上，點在邊上，將紙片沿折疊，使頂點落在點處．【初步認識】（）如圖①，折痕的端點與點重合．①當時，________；②若點恰好在線段上，求的長；【深入思考】（）點恰好落邊上．如圖②，過點作交于點，連接．請根據題意，補全圖②并證明四邊形是菱形；【拓展提升】（）如圖③，若，連接．當是以為腰的等腰三角形時，請直接寫出線段的長．23.在平面直角坐標系中，矩形的頂點，的坐標分別為，，頂點為的拋物線經過點，，且與軸交于點，（點在點的左側）（1）求拋物線的解析式；（2）若拋物線對稱軸上存在一點，當的周長最小時，直接寫出點坐標；（3）當時，，求的值；（4）平移拋物線，使拋物線的頂點始終在直線上移動，在平移的過程中，當拋物線與線段有公共點時，求拋物線頂點的橫坐標的取值范圍．

2024-2025學年第二學期第二次階段評測初四數學試題第I卷（選擇題共30分）一、選擇題（每小題3分，共30分，下列各題只有一個正確選項）1.的相反數是（）A. B.2025 C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了相反數的定義，絕對值相等，正負號相反的兩個數互為相反數．【詳解】解：的相反數是，故選：B．2.國產人工智能大模型橫空出世，其低成本、高性能的特點，迅速吸引了全球投資者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的圖標，其文字上方的圖案是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了軸對稱圖形“如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形”，熟記軸對稱圖形的定義是解題關鍵．根據軸對稱圖形的定義逐項判斷即可得．【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，則此項不符合題意；B、不是軸對稱圖形，則此項不符合題意；C、是軸對稱圖形，則此項符合題意；D、不是軸對稱圖形，則此項不符合題意；故選：C．3.根據計劃，我國將在2030年前實現中國人首次登陸月球，開展月球科學考察及相關技術試驗等．地球與月球的距離大約為380000千米，用科學記數法可表示為（）千米．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了科學記數法的表示方法，科學記數法的表現形式為的形式，其中，為整數，確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值大于等于10時，是非負數，當原數絕對值小于1時，是負數，表示時關鍵是要正確確定的值以及的值．【詳解】解：地球與月球的距離大約為380000千米，用科學記數法可表示為千米，故選：B．4.米斗是我國古代糧倉、糧棧、米行等必備的用具，是稱量糧食的量器，如圖（1）是一種無盈米斗，其示圖（不計厚度）如圖所示（2），則其俯視圖是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了三種視圖，熟知三視圖的觀察方向是解題的關鍵．在正面內得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖，在水平面內得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；在側面內得到由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖．理解看得到的棱畫實線，看不到的棱畫虛線是解題關鍵．仔細觀察圖中幾何體擺放的位置，根據三種視角觀察到的圖形判定則可．【詳解】解：俯視圖是在水平面內得到的由上向下觀察物體的視圖，其圖形為：故選：B．5.下列計算中，正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了整式的加減，同底數冪相除，積的乘方，根據合并同類項法則，同底數冪相除法則，積的乘方法則，冪的乘方法則逐項判斷即可．【詳解】解：A．與不是同類項，不可以合并，故原計算錯誤；B．，故原計算錯誤；C．，故原計算錯誤；D．，故原計算正確；故選：D．6.某展覽大廳有2個入口和2個出口，其示意圖如圖所示，參觀者可從任意一個入口進入，參觀結束后可從任意一個出口離開．小明從入口1進入并從出口A離開的概率是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】解：畫樹狀圖得：所有等可能的情況有4種，其中從入口1進入并從出口A離開的情況有1種，則P=．故選：C．【點睛】此題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．7.如圖，在中，是切線，切點是B，直線交于點D，A，點E為上的一點，連接，．若，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】考查切線的性質、直角三角形銳角互余、圓周角定理及推論，如圖所示，連接，首先由切線得到，然后求出，最后利用圓周角定理求解即可．【詳解】如圖所示，連接，是的切線，切點是在中，圓周角與圓心角所對的弧是，．故選：B．8.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形為平行四邊形，其中點，，，以點為圓心，的長為半徑作弧，交于點，再把線段繞點逆時針旋轉得到線段，則點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、坐標與圖形、平行四邊形的性質、旋轉的性質，延長交軸于點，過點作軸于點，證明，得出，，即可得解．【詳解】解：如圖，延長交軸于點，過點作軸于點，由題意可得，軸，，，由旋轉的性質可得，，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴點的坐標為，故選：A．9.某購物商場的地面停車場為矩形，其面積為，共設計了如圖所示的56個停車位，每個停車位的尺寸都一樣，且長比寬多，通車道的寬度都相等，設停車位的寬為，那么x滿足的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解本題的關鍵．設停車位的寬為，則長為，通車道的寬度為，根據圖形，結合矩形面積為，列出關于的一元二次方程即可．【詳解】解：設停車位的寬為，則長為，通車道的寬度為，根據題意，可得：，故選：C．10.如圖1，在矩形中，，E，F分別為，的中點，G是線段上一動點，設，的周長為y，圖2是y關于x的函數關系圖象，其中P是圖象上的最低點，則a的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由圖象得，再由勾股定理得，由中位線的性質得，作點E關于的對稱點P，連接交于G，連接交于Q，連接，此時，最小，即，根據對稱的性質得，，再由已知得出，進而得，，再得，得，即，進而可得，最后由勾股定理得，即可得出結論．【詳解】解：∵圖象右端點的橫坐標為，∴，∵為矩形，∴，∴在中，，∵E，F分別為，的中點，∴是的中位線，∴，的周長，∴取最小值時，y最小，即為a，如圖，作點E關于的對稱點P，連接交于G，連接交于Q，連接，此時，最小，即，∵點E，點P關于對稱，∴，，∴，∵E，F分別為，的中點，∴，，，∴，，∴，∴，即，∴，∴，∴在中，，∴．故選：C．【點睛】本題考查了動點問題的函數圖象，矩形的性質，對稱的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，準確的分析動點的運動位置，獲得相應的解題條件是本題的解題關鍵．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（每小題3分，共15分，只要求填寫最后結果）11.若，，則代數式的值是________．【答案】2【解析】【分析】本題考查代數式求值．先將代數式進行因式分解，然后將條件代入即可求值．【詳解】解：∵，，，故答案為：2．12.二次根式在實數范圍內有意義，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】本題考查二次根式有意義的條件，解一元一次不等式，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關鍵．利用二次根式有意義的條件列不等式，再求解即可．【詳解】解：∵二次根式在實數范圍內有意義，∴，解得：，故答案為：．13.若關于的一元二次方程的兩根為，且，則的值是______．【答案】8【解析】【分析】本題主要考查一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握根與系數的關系是解題的關鍵．根據根與系數的關系得到，即可得到答案．【詳解】解：由題意得：，，，，，．故答案為：．14.如圖，個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點，，，為邊，，，，的中點，的面積為，的面積為，的面積為，則_________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，正方形的性質，圖形類的規律探索，應用相似三角形的面積比等于相似比的平方把難求的三角形轉化為求易求三角形的面積是解題的關鍵．首先根據題意求得的面積，又由，即可得，然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求得，然后代數求解即可．【詳解】解：個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點分別為邊，，，，的中點，，，，，，，，即，∴當時，故答案為：．15.如圖，在中，，，，，線段繞點旋轉，點為的中點，則的最大值是________．【答案】【解析】【分析】本題考查了解直角三角形，三角形中位線定理，旋轉的性質，解題的關鍵是找出取最大值時B、P、M三點的位置關系．取的中點M，連接、，利用解三角形求出，利用三角形中位線定理推出，當在下方時，如果B、P、M三點共線，則有最大值．【詳解】解：取的中點M，連接、．∵，，，∴，∴，∴，∵P、M分別是的中點，∴．如圖，當在下方時，如果B、P、M三點共線，則有最大值，最大值為，故答案為：．三、解答題（共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16.（1）計算：（2）解不等式組，并把不等式組的解集在數軸上表示出來．【答案】（1）4；（2），不等式組的解集在數軸上表示見解析【解析】【分析】先根據零指數冪的運算法則，特殊角的三角函數值，絕對值的性質分別求出各式的值，再進行計算即可；分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在數軸上表示出來即可．本題考查的是實數的運算，解一元一次不等式組，在數軸上表示不等式組的解集，零指數冪的運算法則，特殊角的三角函數值，絕對值的性質，熟知以上知識是解題的關鍵．【詳解】解：；，由①得，；由②得，，故不等式組的解集為：，在數軸上表示為：．17.年我國春晚上出現的扭秧歌機器人轟動世界，機器人與人們的生活聯系越來越緊密、某校為了解七、八年級學生對機器人相關知識的了解情況，舉辦了關于機器人知識的競賽，現從該校七、八年級學生中各隨機抽取名學生的競賽成績（百分制）進行整理、描述和分析（成績得分用表示，共分為四組：．，．，．，．，得分在分以上為優秀），下面給出了部分信息：七年級名學生的競賽成績是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，八年級名學生競賽成績在組的數據是：，，，，七、八年級抽取的學生競賽成績統計表年級平均數中位數眾數七年級八年級根據以上信息，解答下列問題：（1）上述圖表中的________，________，________；（2）根據以上數據分析，你認為該校七、八年級中哪個年級學生的機器人知識競賽成績更好？請說明理由；（寫出一條理由即可）（3）若該校七年級有名學生、八年級有名學生參加了此次機器人的知識競賽，估計該校七、八年級學生參加此次機器人知識競賽成績達到優秀的共有多少人？【答案】（1），，；（2）七年級學生競賽成績較好，理由見解析；（3）估計該校七、八年級學生參加此次機器人知識競賽成績達到優秀的共有人．【解析】【分析】本題主要考查扇形統計圖及中位數、眾數、平均數，熟練掌握扇形統計圖及中位數、眾數、平均數是解題的關鍵．（）根據表格及題意可直接進行求解；（）根據平均分、中位數，眾數，優秀人數分析即可得出結果；（）由題意可得出參加此次競賽活動成績優秀的百分比，然后可進行求解．【小問1詳解】解：∵七年級名學生的競賽成績中出現次數最多，∴，由八年級組占，人數為（人），八年級組占，人數為（人），∴八年級中位數為組的第個同學競賽成績的平均數即，∴八年級組人數為（人），則，∴，故答案為：，，；【小問2詳解】解：七年級學生競賽成績較好，理由：七、八年級的平均分均為分，七年級的中位數，眾數優秀人數均高于八年級的中位數，整體上看七年級學生競賽成績較好；【小問3詳解】解：估計該校七、八年級學生參加此次機器人知識競賽成績達到優秀的共有，（人），答：估計該校七、八年級學生參加此次機器人知識競賽成績達到優秀的共有人．18.隨著新能源汽車使用的日益普及，各個小區都紛紛完善新能源汽車的配套設施，其中新能源充電樁的建設成為重點工作，某小區也不例外，計劃購置單槍、雙槍兩款新能源充電樁，來滿足小區內新能源汽車車主日益增長的充電需求，然而，在購置過程中，面臨著不同的價格、數量以及預算限制等問題，就像下面所描述的情況一樣．某小區計劃購置如圖所示的單槍、雙槍兩款新能源充電樁，購置充電樁的相關信息如表：單槍充電樁雙槍充電樁花費：元花費：元單價：元/個單價：元/個（1）若本次購買單槍充電樁的數量比雙槍充電樁的數量多個，求單槍、雙槍兩款新能源充電樁的單價；（2）在（1）的條件下，根據居民需求，小區決定再次購進單槍、雙槍兩款新能源充電樁共個，已知單槍新能源充電樁的單價比上次購買時提高了，雙槍新能源充電樁的單價比上次購買時降低了，如果此次加購小區預備支出不超過元，求小區最少需要購買單槍新能源充電樁的數量．【答案】（1）單槍新能源充電樁的價格為1000元/個，雙槍新能源充電樁的價格為1500元/個（2）小區最少需要購買單槍新能源充電樁8個【解析】【分析】本題考查了分式方程的應用，一元一次不等式的應用，根據題意列出方程與不等式是解題的關鍵；（1）根據表格信息以及本次購買單槍充電樁的數量比雙槍充電樁的數量多個列出分式方程，解方程，即可求解；（2）先計算總花費為元，根據此次加購小區預備支出不超過元，列出不等式，解不等式，求最小整數解，即可求解．【小問1詳解】解：根據題意可得解得：經檢驗，是原方程的解，且符合題意，（元/個）答：單槍新能源充電樁的價格為1000元/個，雙槍新能源充電樁的價格為1500元/個；【小問2詳解】解：單槍新能源充電樁的單價比上次購買時提高了，則現在單槍新能源充電樁的單價為(元/個)雙槍新能源充電樁的單價比上次購買時降低了，則現在雙槍新能源充電樁的單價為(元/個)設再次購進單槍新能源允電社個，則購進雙槍新能源允電社個，總花費為元∵此次加購小區預備支出不超過元∴解得∴的最小值為答：小區最少需要購買單槍新能源充電樁8個．19.如圖，、均為的直徑．點E在上，連接，交于點F，連，，點G在的延長線上，．（1）求證：與相切；（2）若，，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據圓周角定理可得，結合已知可得，再根據等腰三角形的性質得出，求出即可得出結論；（2）連接，根據等腰三角形的性質求出，進而可得，的長，然后根據三角函數的定義和勾股定理求出，再在中，根據三角函數的定義和勾股定理求出，進而可得的長．【小問1詳解】證明：，，，，即，為的直徑，，，，，，，為的直徑，與相切；小問2詳解】解：連接，如圖，，，，．在中，，，∴，，，，為的直徑，．∴在中，，∴，由勾股定理得．，，．，∴在中，，∴，∴，．【點睛】本題考查了圓周角定理的推論，等腰三角形的性質，銳角三角函數的定義，勾股定理，切線的判定等知識，作出合適的輔助線，熟練掌握相關判定定理和性質定理是解題的關鍵．20.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與軸，軸分別交于點和點，與反比例函數的圖象交于點，為線段的中點．（1）求的值；（2）直接寫出的解集．（3）點為線段上的一個動點，過點作軸，交該反比例函數圖象于點，連結，．若的面積為，求點的坐標．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，解一元二次方程，求出C的坐標是解題的關鍵．（1）先分別求出點的坐標為，點的坐標為，利用為線段的中點，得出，將代入即可求解；（2）由圖可知的解集即為反比例函數的圖象在直線上方及相交時對應的自變量的取值范圍，即可求解；（3）設點的坐標為，則可得點的坐標為，利用三角形面積公式列方程求解即可．【小問1詳解】解：令，得，解得：，∴點的坐標為，令，則，∴點的坐標為，∵為線段的中點，∴，，即，，解得：，，∴，將代入，得；小問2詳解】解：由題意得反比例函數的解析式為，由圖可知的解集即為反比例函數的圖象在直線上方及相交時對應的自變量的取值范圍，∴的解集為；【小問3詳解】解：由（2）知反比例函數的解析式為，∵軸，設點的坐標為，則，代入直線，得：，∴點的坐標為，由題意得：，整理得：，解得：或，經檢驗，或是方程的解，但不符合題意，舍去，∴，，∴點坐標為．21.如圖，某景區為游客精心設計了兩條游覽路線，路線一：在點登船，沿水路游覽沿途風光；路線二：先坐觀光車從至，沿途游覽，再在點登船，沿水路游覽沿途美景．已知點在點的東北方向，點在點的北偏東方向，點在點的南偏西方向，點在點的南偏東方向，相距千米．（參考數據：，，）（1）求的距離（結果保留根號）；（2）小聰和小明同時從點出發，分別選擇路線一和路線二游覽，若游船和觀光車均保持勻速行駛，游船速度為千米/小時，觀光車的速度為千米/小時，上下車和上下船的時間忽略不計，請問小聰和小明誰先到達點，并說明理由．【答案】（1）千米（2）小明先到達點，理由見解析【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應用、平行線的性質、三角形的內角和定理等知識，通過作輔助線，構造直角三角形是解題關鍵．（1）過點作，交延長線于點，先在中，解直角三角形可得的長，再在中，解直角三角形可得的長，然后根據計算即可得；（2）過點作，交延長線于點，交于點，過點作于點，先根據平行線的性質、三角形的內角和定理可得，再在中，解直角三角形可得的長，在中，解直角三角形可得，的長，然后根據兩條路線的長度和速度計算時間，由此即可得．【小問1詳解】解：如圖，過點作，交延長線于點，由題意得：，，千米，在中，千米，千米，在中，千米，則千米，答：的距離為千米；【小問2詳解】解：如圖，設交于點，過點作于點，由題意得：，，，∴，∴，由（1）可知，，∴，在中，千米，千米，在中，千米，千米，∴千米，在中，千米，∴小聰選擇路線一所需時間為（小時），小明選擇路線二所需時間為（小時），因為，所以小明先到達點．22.【問題背景】在矩形紙片中，，，點在邊上，點在邊上，將紙片沿折疊，使頂點落在點處．【初步認識】（）如圖①，折痕的端點與點重合．①當時，________；②若點恰好在線段上，求的長；【深入思考】（）點恰好落在邊上．如圖②，過點作交于點，連接．請根據題意，補全圖②并證明四邊形是菱形；【拓展提升】（）如圖③，若，連接．當是以為腰的等腰三角形時，請直接寫出線段的長．【答案】（）①；②；（）補圖見解析，證明見解析；（）或【解析】【分析】（）①由鄰補角性質得，進而由折疊性質即可求解；②由折疊和勾股定理可求出，設，則，，在中利用勾股定理列出方程解答即可求解；（）①先證四邊形是平行四邊形，再由即可求證；（）分和兩種情況，利用折疊的性質解答即可求解．【詳解】解：（）①∵，∴，由折疊可得，，∴，故答案為：；②當點恰好在線段上時，如圖所示，∵四邊形是矩形，∴，，，由折疊可得，，，，∴，∴，設，則，，在中，，∴，解得，∴的長；（）補圖如下：證明：∵，∴，由折疊可知，，，∴，