數(shù)學(xué)第1頁(共4頁)高三數(shù)學(xué)強(qiáng)化卷本試卷滿分150分,考試時(shí)間120分鐘.一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知z=(i為虛數(shù)單位),則|zA.{1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}A.B.4.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列,則=()336.在數(shù)字通信中,信號(hào)是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機(jī)因素的干擾,發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0.已知發(fā)送信號(hào)0時(shí),接收為0和1的概率分別為0.9和0.1;發(fā)送信號(hào)分別為0.95和0.05.假設(shè)發(fā)送信號(hào)0和1是等可能的,已知接收到的信號(hào)為0,則發(fā)送的信號(hào)是1的概率為()32,7.已知圓臺(tái)的母線與下底面所成角的正弦值為則此圓臺(tái)的表面積與其內(nèi)切球(2,線都相切的球)的表面積之比為()A.B.數(shù)學(xué)第2頁(共4頁)8.已知函數(shù)的圖象與直線y=k-x有3個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()D.(0,2]二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.A.f(x)的最小正周期為πB.f(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱在上單調(diào)遞減D.f(x)在(0,π)上有2個(gè)零點(diǎn)10.藥物臨床試驗(yàn)是驗(yàn)證新藥有效性和安全性必不可少的步驟.在某新藥的臨床試驗(yàn)中,志愿者攝入一定量藥物后,在較短時(shí)間內(nèi),血液中藥物濃度將達(dá)到峰值,當(dāng)血液中藥物濃度下降至峰值濃度的20%時(shí),需要立刻補(bǔ)充藥物.已知血液中該藥物的峰值濃度為120mg/L,為探究該藥物在人體中的代謝情況,研究人員統(tǒng)計(jì)了血液中藥物濃度y(mg/L)與代謝時(shí)間x(h)的相關(guān)數(shù)據(jù),如下表所示:x012345678y根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程=-10.5x+,則()D.代謝約10小時(shí)后才需要補(bǔ)充藥物11.已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(0)=2,f(3-x)+f(x)=1,設(shè)f(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)為g(x),則()三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.514.三角形是常見的幾何圖形,除了我們已經(jīng)學(xué)習(xí)的性質(zhì)外,三角形還有很多性質(zhì),如:→→→→→→→→→→→→性質(zhì)2:對(duì)于△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)P,有AB·AP+BC·BP+CA·CP=AB·AC+BC·BA+CA·CB;數(shù)學(xué)第3頁(共4頁)性質(zhì)3:△ABC內(nèi)存在唯一一點(diǎn)P,使得∠PAB=∠PBC=∠PCA=α,這個(gè)點(diǎn)P稱為△ABC的“勃羅卡點(diǎn)”,角四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)某學(xué)校舉行運(yùn)動(dòng)會(huì),為了解學(xué)生參加跳繩比賽與學(xué)生的性別是否有關(guān),對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣,得到如下數(shù)據(jù):女男未參加跳繩比賽參加跳繩比賽(1)能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生參加跳繩比賽與學(xué)生的性別有關(guān)?(2)為了進(jìn)一步了解女生平時(shí)運(yùn)動(dòng)的情況,利用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從這100人中抽取12人進(jìn)行研究.老師甲從這12人中隨機(jī)選取3人,求至少有1人參加跳繩比賽的概率.附:χ2P(χ2≥k)k16.(15分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.(1)求證:PA∥平面EDB;(2)求證:PB⊥平面EFD;(3)求平面CPB與平面PBD的夾角的大小.數(shù)學(xué)第4頁(共4頁)17.(15分)已知f(x)=xln(x-1)-ax(a∈R).(1)若f(x)在定義域上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;(2)若y=f(x)有極大值m,求證:m<-4.18.(17分)已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F(-2,0),短軸長為22.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.直線l:x=-與x軸交于點(diǎn)Q,過焦點(diǎn)F(-2,0)的直線與橢圓交于M,N兩點(diǎn).(i)證明:點(diǎn)Q在以MN為直徑的圓外.(ii)在l上是否存在點(diǎn)E使得△EMN是等邊三角形?若存在,求出直線MN的方程;若不存在,請說明理由.19.(17分)如果數(shù)列{xn}滿足:存在實(shí)數(shù)G1,G2,使得對(duì)任意n∈N?,有G1≤xn≤G2,那么稱數(shù)列{xn}有界,其中G1為{xn}的下界,G2為{xn}的上界.(1)寫出數(shù)列{xn}無界的定義.已知an=,bn=,數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為An,Bn,討論數(shù)列{An},{Bn}的有界性.(3)兩個(gè)整數(shù)數(shù)列{an},{bn}滿足方程(an-an-1)·(an-an-2)+(bn-bn-1)(bn-bn-2)=0(n=3,4,5,…).證明:存在k∈N?,使得ak=ak+2.高三數(shù)學(xué)強(qiáng)化卷答題卡貼條形碼區(qū)填涂樣例填涂樣例正確填涂注意事項(xiàng)1.答卷前,考生須在答題卡和試卷上規(guī)定的位置,準(zhǔn)確填寫本人姓名、準(zhǔn)考證號(hào),并核對(duì)準(zhǔn)條形碼上的信息。確認(rèn)無誤后,將條形碼粘貼在答題卡上相應(yīng)位置。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆作答,字體工整,筆跡清楚。3.考生必須在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域范圍書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不準(zhǔn)折疊,不得損壞。5678 A BCD 9A BCD 三、填空題(每小題5分,共15分)請?jiān)诟黝}目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無效請?jiān)诟黝}目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無效姓名準(zhǔn)考證號(hào)考生禁填缺考考生,由監(jiān)考員貼條形碼,并用2B請?jiān)诟黝}目的答題區(qū)域內(nèi)作答姓名準(zhǔn)考證號(hào)考生禁填缺考考生,由監(jiān)考員貼條形碼,并用2B答題卡第一頁總分總分:登分人:復(fù)核人:請?jiān)诟黝}目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無效請?jiān)诟黝}目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無效請?jiān)诟黝}目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無效答題卡第二頁D1高三數(shù)學(xué)強(qiáng)化卷參考答案123456789ABDCCBDDACDACACD15.(1)有99%的把握認(rèn)為學(xué)生參加跳繩比賽與學(xué)生的性別有關(guān)(6分)(2)(7分)【解】(1)第一步:完成2×2列聯(lián)表,算出χ2的值,并與對(duì)應(yīng)臨界值比較大小女男合計(jì)未參加跳繩比賽75參加跳繩比賽合計(jì)2002260022600第二步:得出結(jié)論所以有99%的把握認(rèn)為學(xué)生參加跳繩比賽與學(xué)生的性別有關(guān).……………6分(2)第一步:利用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法算出各層人數(shù)利用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從這100人中抽取12人,則未參加跳繩比賽的有75×12=9人參加跳繩比賽的有25×=3人.……………………8分第二步:利用對(duì)立事件求概率老師甲從這12人中隨機(jī)選取3人,記“至少有1人參加跳繩比賽”為事件A,則P(A)=1-P(A)=1-C=1-21=34C25555,所以至少有1人參加跳繩比賽的概率是.………………13分16.(1)證明見解析(4分)(2)證明見解析(5分)(3)(6分)(1)【證明】第一步:構(gòu)造中位線,證明線線平行如圖,連接AC交BD于點(diǎn)Q,連接EQ,則點(diǎn)Q為AC的中點(diǎn),因?yàn)镋為PC的中點(diǎn),所以EQ∥PA.…………2分第二步:用線面平行的判定定理證明結(jié)論又因?yàn)镋Q?平面EDB,PA?平面EDB,所以PA∥平面EDB.…………4分(2)【證明】第一步:證明BC⊥平面PCD因?yàn)镻D⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,所以PD⊥BC.因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形,所以CD⊥BC,而PD∩CD=D,PD,CD?平面PCD,所以BC⊥平面PCD.…………6分第二步:證明DE⊥平面PBC又DE?平面PCD,所以BC⊥DE.因?yàn)镻D=DC,E為PC的中點(diǎn),所以DE⊥PC.又PC,BC?平面PBC,PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.…………8分第三步:證明PB⊥平面EFD因?yàn)镻B?平面PBC,所以DE⊥PB.又因?yàn)镋F⊥PB,DE∩EF=E,DE,EF?平面EFD,所以PB⊥平面EFD.…………9分(3)【解】第一步:根據(jù)定義證明∠DFE為二面角C-PB-D的平面角由(2)知PB⊥平面EFD,又DF?平面EFD,所以PB⊥DF,所以∠DFE為二面角C-PB-D的平面角.…10分第二步:分別求DE,DF,EF的長設(shè)AB=2a,則BD=PC=22a,PB=23a,PC在Rt△PCD中,DE==2a,2PD·BD26在Rt△PBD中,DF==a(提示:等面積法表示PB3Rt△PBD的面積,從而求解DF的長度),PC·BC26PB3在Rt△PBC中,點(diǎn)C到PB的距離為=a,PB3所以EF=×a=a.…………………13分第三步:由余弦定理求夾角在△DFE中,由余弦定理得EF2+DF2-DE21cos∠DFE==2EF·DF2,………14分∠DFE=π即平面CPB與平面PBD的夾角(2)證明見解析(9分)由題意知,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,+∞).x-1(x-1)2(x-1)2,因?yàn)閒(x)在定義域上單調(diào)遞增,所以f′(x)≥0恒成立(提示:函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào),求參數(shù)的范圍,一般情況下,要先轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上恒大于等于0或者恒小于等于0,然后借助不等式恒成立的解法即可求出參數(shù)的范圍),所以2-a≥0,即a≤2,故a的取值范圍為(-∞,2].………6分(2)【證明】第一步:利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理判斷f′(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及范圍由(1)可知,當(dāng)y=f(x)有極大值時(shí),a>2,所以當(dāng)f′(x)=0時(shí),x=x1,x=x2(1<x1<2<x2)(提示:函數(shù)零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用),………………8分第二步:求極大值的表達(dá)式則ln(xi-1)+=a(i=1,2).所以x=x1為f(x)的極大值點(diǎn),則m=f(x1).………………10分第三步:證明極大值小于-41-1)-ln(x1-1)-ù」ú=2-.x1-1設(shè)g(x)=-x2則g′(x)=-x(x-2)>0在(12)上恒成立x-1,(x-1)2,,所以g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增,所以g(x)<g(2)=-4,即m<-4.……………15分18.(1)+=1(3分)(2)(i)證明見解析(7分)(ii)存在,直線MN的方程為y=x+2或y=-x-2(7分)由題意得c=2,b=2,第二步:求出a并寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程所以a=6.……………………2分則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.…………3分(2)(i)【證明】第一步:考慮直線MN傾斜角為0的情況由題意得Q(-3,0),當(dāng)直線MN的傾斜角為0時(shí),以MN為直徑的圓的方程為x2+y2=6,顯然點(diǎn)Q在此圓外.……5分第二步:直線MN傾斜角不為0時(shí)設(shè)出該直線方程,并與橢圓方程聯(lián)立當(dāng)直線MN的傾斜角不為0時(shí),設(shè)直線MN的方程為x=my-2,聯(lián)當(dāng)直線MN的傾斜角不為0時(shí),設(shè)直線MN的方程為x=my-2,聯(lián)Δ=16m2+8(m2+3)=24m2+24>0恒成立. →→QM·QN的符號(hào),得出第三步:設(shè)出點(diǎn)M →→QM·QN的符號(hào),得出設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),……7分-2m2+3,則y1+y2=,y1y-2m2+3,→→QM·QN=(x1+3)(x2+3)+y1y2……………9分=(my1+1)(my2+1)+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=++1=>0,故點(diǎn)Q在以MN為直徑的圓外.……………10分(ii)【解】第一步:考慮直線MN斜率不存在的情況假設(shè)在l上存在點(diǎn)E使得△EMN是等邊三角形,當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí),|MN|==此時(shí)點(diǎn)Q到MN不存在△EMN為等邊三角形.第二步:考慮直線MN斜率為0的情況當(dāng)直線MN的斜率為0時(shí),易知不存在△EMN為等邊三角形.……………11分第三步:考慮直線MN的斜率存在且不為0的情況,設(shè)出該直線方程當(dāng)直線MN的斜率存在且不為0時(shí),設(shè)直線MN的方程為x=my-2(m≠0).第四步:設(shè)線段MN的中點(diǎn)為G,根據(jù)弦長公式表示出|EG|和|MN|設(shè)線段MN的中點(diǎn)為G(xG,yG),M(x1,y1),N(x2,y2),由設(shè)線段MNy1+y2y1+y2yG==2m+3m+32,由于點(diǎn)G在直線x=my-2上,所以xG=2m+3m+3……………12分-6m+3直線EG的斜率為-m,所以|EG|=1+m22+3=1+m2m+3mm+33m2+32 m+3m+322226(m2+1)第五步:求出m的值和直線MN的方程|MN| 3因?yàn)椤鱁MN是等邊三角形,所以=2、-|MN| 3因?yàn)椤鱁MN是等邊三角形,所以=2、-(m2+1)332,解得m2=1,即m=±1,故直線MN的方程為y=x+2或y=2-x-2.………17分19.(1)對(duì)任意G>0,存在n∈N?,|xn|>G(2分)(2){An}有界,{Bn}無界(8分)(3)證明見解析(7分)(2)【解】第一步:判斷數(shù)列{An}的有界性對(duì)于數(shù)列{an}:當(dāng)n=1時(shí),A1=a1=1<2;所以An=a1+a2+a3+…+an<1+(1-+-+…+-=2-<2.n-1nn-=2-<2.n-1nn又對(duì)任意n∈N?,An>0,所以0<An<2,所以{An}有界.……6分第二步:先證不等式x>ln(x+1)(x>0)對(duì)于數(shù)列{bn}:先證當(dāng)x>0時(shí),x>ln(x+1).x+1x+1,令f(x)=x-ln(x+1),則f′(x)=1-1=x+1x+1,D2D3所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x>0時(shí),f(x)>f(0)=0,所以x>ln(x+1),x>0恒成立.第三步:賦值得出不等關(guān)系第四步:利用放縮法求和并得出結(jié)論ln3-ln2+ln4-ln3+…+ln(n+1)-lnn=ln(n+1),對(duì)任意G>0,令n=[eG],則Bn>ln(n+1)>G,所以{Bn}無界.……………10分n之間的關(guān)系記點(diǎn)Pn(an,bn),則由條件得=0,n≥3,n∈N……………12分第二步:討論點(diǎn)Pn-1,Pn-2重合時(shí)的情形所以(an-an-2)2+(bn-bn-2)2=0,所以an=an-2.………14分第三步:討論點(diǎn)Pn-1,Pn-2不重合時(shí)的情形②若點(diǎn)Pn-1,Pn-2不重合,則點(diǎn)Pn在以線段Pn-1Pn-2為直徑的所以{|Pn-1Pn|2}是單調(diào)不增的數(shù)列(提示:后一個(gè)圓的直徑小于或等于前一個(gè)圓的直徑).第四步:得出結(jié)論當(dāng)n充分大時(shí),要么|Pn-1Pn|2=|Pn-2Pn-1|2,所以Pn與Pn-2重合,所以an=an-2;要么|Pn-1Pn|2=0,所以當(dāng)n充分大時(shí),所有點(diǎn)Pn均重合,所以存在k∈N?,使得ak=ak+2.……16分綜上,存在k∈N?,使得ak=ak+2.…………17分高三數(shù)學(xué)強(qiáng)化卷2-i(2-i)(2+i),2-i(2-i)(2+i),{x∈N|0≤x≤2}={0,1,2},所以A∩B={0,1}.故選B.3.D4.C+2,則公比q≠1,所以=a1(1-qn+2)aa1(1-qn+2)n+2,即2【深度解析】設(shè)雙曲線的方程為-=1(a>0,b>0),則把點(diǎn)(1,1)的坐標(biāo)代入方程,得-=1①.因?yàn)闈u近線的方程為y=±x,且雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°,所以漸近線y=x的 3 33把②代入①,得-32=1,無解(易錯(cuò):此處易忽視方程①,直接利2ab2ab3232ab22222a【深度解析】解法一(條件概率定義和全概率公式):設(shè)A=“發(fā)送的信號(hào)為0”,B=“接收到的信號(hào)為0”,則由題意可知P(A)=P(A)=0.5,P(B|A)=P(B|A)=0.95,所以P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.5×故選B.解法二(貝葉斯公式):設(shè)A=“發(fā)送的信號(hào)為0”,B=“接收到的信P(B|A)=0.9,P(B|A)=0.1,P(B|A)=0.05,P(B|A)=0.95.根,將數(shù)值代P(A)P(B|A)據(jù)貝葉斯公式P(A|,將數(shù)值代P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)入可得,P(A|B)==.解法三(列舉法計(jì)算概率):假設(shè)進(jìn)行了1000次發(fā)送信號(hào)的試驗(yàn),因?yàn)榘l(fā)送信號(hào)0和1是等可能的,所以發(fā)送信號(hào)0和1各有【深度解析】設(shè)圓臺(tái)的上、下底面圓的圓心分別為O2,O1,其內(nèi)切球的球心為O,如圖,等腰梯形ABDC為圓臺(tái)的軸截面,且軸截面截內(nèi)切球O得大圓,并且是梯形ABDC的內(nèi)切圓,延長AC,BD交于點(diǎn)S,連接SO1,則點(diǎn)O,O2在線段SO1上,32121221,2,21上靠近點(diǎn)S的三等分點(diǎn),而內(nèi)切球表面積為S1=4πr2,又因?yàn)?1=R(提示:根據(jù)軸截面中存在的幾何圖形的角度及條件確定圓臺(tái)的下底面半徑與內(nèi)切球半徑之間的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵),所以圓臺(tái)的表面222(圓臺(tái)表面積公式:S=πR2+πr2+πl(wèi)(R+r),其中,R,r分別為圓臺(tái)上、下底面的半徑,l為圓臺(tái)的母線長),所以圓臺(tái)的表面積與其內(nèi)r2SS【深度解析】解法一(方程聯(lián)立+數(shù)形結(jié)合):如圖,作函數(shù)y=f(x)1414,41(x≤0)相切;當(dāng)k=0時(shí),直線y=-x經(jīng)過點(diǎn)(0,0),且與曲線2+2x+2(x≤0)有2個(gè)不同的交點(diǎn);當(dāng)k=2時(shí),直線y=2-x經(jīng)過點(diǎn)(0,2),且與y=f(x)的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn).由圖分析可知,當(dāng)k∈(0,2]時(shí),y=f(x)的圖象與直線y=k-x有3個(gè)不同的交點(diǎn).故選D.解法二(導(dǎo)數(shù)的幾何意義+數(shù)形結(jié)合):如圖,作函數(shù)y=f(x)的大致圖象,平移直線y=k-x,當(dāng)直線y=k-x與曲線y=x2+2x+2(x≤0)相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0,對(duì)y=x2+2x+2(x≤0)求導(dǎo)得y′=3=-1,解得x0=-所以切點(diǎn)坐標(biāo)-代入y=k-x,得k=-.-代入y=k-x,得k=-.以下同解法一.2,4,4解法三(取值檢驗(yàn)):取k=0,y=-x與y=x2+2x+2(x≤0)聯(lián)立得2+2x+2(x≤0)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),而直線y=-x與y=ln(x+1)(x>0)的圖象沒有交點(diǎn),所以此時(shí)直線y=-x與y=f(x)的圖象共有2個(gè)交點(diǎn),不符合題意,排除選項(xiàng)A和C;取k=3,直線y=3-x與y=x2+2x+2(x≤0)聯(lián)22+2x+2(x≤0)的圖象只有1個(gè)交點(diǎn),直線y=3-x與y=ln(x+1)(x>0)的圖象有1個(gè)交點(diǎn),所以此時(shí)直線y=3-x與y=f(x)的圖象共有2個(gè)交點(diǎn),不符合題意,排除選項(xiàng)B.故選D.9.ACD2,所以最小正周期T=2=π,故A正確;對(duì)于B,令2x-=+kπ(k∈Z),解得x=+(圖象的對(duì)稱軸為直線x=+(k∈Z),故B錯(cuò)誤;,3,則f(x)在,3,則f(x)在-,1π,令f(x)=3,6上單調(diào)遞減,故-,1π,令f(x)=2x-12,所以f(x)在(0,π)上有2個(gè)零點(diǎn),故D正確.故選ACD.【深度解析】對(duì)于A,把點(diǎn)(4,80)的坐標(biāo)代入=-10.5x+,解得=122,故A正確;對(duì)于B,從表中數(shù)據(jù)可知,血謝時(shí)間x的增大而減小,所以相關(guān)系數(shù)r<0(提示:若兩個(gè)變量成關(guān)關(guān)系,則相關(guān)系數(shù)為正數(shù),呈負(fù)相關(guān)關(guān)系,則相關(guān)系數(shù)為負(fù)數(shù)),故【深度解析】(賦值法)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是R上的偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),則[f(-x)]′=-f′(-x)=f′(x).又g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),所以-g(-x)=g(x),故g(x)是奇函數(shù)且g(0)=0.由f(3-x)+f(x)=1,兩邊同時(shí)求導(dǎo)得-f′(3-x)+f′(x)=0,即-g(3-x)+g(x)=0(易錯(cuò):注意復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)),故函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于對(duì)于C,因?yàn)間(x+6)=g(-x-3)=-g(x+3)=-g(-x)=g(x),故C正確;對(duì)于A選項(xiàng),由選項(xiàng)C可知g(x+6)=g(x),所以函數(shù)g(x)的周期為6,所以g(2025)=g(337×6+3)=g(3)=g(0)=0,故A正確;對(duì)于B選項(xiàng),若函數(shù)f(x)=cosx+,滿足已知條件,則f′(x)=g(x)=-sinx,則g≠,故B錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng),由f(3-x)+f(x)=1及f(x)是偶函數(shù),得f(x-3)+f(x)=1,所以f(x)=-f(x-3)+1,所以f(x+3)=-f(x)+1,即f(x+6)=-f(x+3)+1=f(x),所以函數(shù)f(x)的周期為6,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=[f(1)+f(4)]+[f(2)+f(5)]+[f(3)+f(6)]=1+1+1=3,因?yàn)閒(3-x)+f(x)=1,所以令x=0得f(0)+f(3)=1,又f(0)=2,則f(3)=-1,令x=1得f(1)+0123452-a34-a5e【深度解析】設(shè)y=f(x)=eax+b,切點(diǎn)為(x0,eax0+b),則f′(x)=ax+b,f′(x0)=aeax0+b,則切線方程為y-eax0+b=aeax0+b(x-x0),整理0)所以ab=.設(shè)h(x)=,則h′(x)=,令h′(x)>0,即1-x>0,解得x<1,令h′(x)<0,即1-x<0,解得x>1,所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(-∞,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以h(x)max=h(1)=,所以ab的最大值為.316.(1)證明見解析(4分)3514.5【深度解析】由題意,設(shè)【深度解析】由題意,設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b2+c2-a2,b=c=b2+c2-a2,b=c=1,則cosA=1+1-3==-2b,c,不妨令a=3(1)【證明】第一步:構(gòu)造中位線,證明線線平行222因?yàn)镋為PC的中點(diǎn),所以EQ∥PA.…………2分3→3→3→→,CA·CB=3→→,CA·CB=2,所以AB·AC=|AB|41→→→→同理BA·BC=|BA|同理BA·BC=|BA|·|→3→(2)【證明→3→,2知△ABC的面積S=S△PAB+S△PBC+S△PCA(提示:分割法的應(yīng)因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形,所以CD⊥BC,而PD∩CD=D,PD,CD?平面PCD,1→→→→→→用)1→→→→→→用)=2(AB·AP+BC·BP+CA·CP)tanθ(提示:利用性質(zhì)1表示出1→→→→→→第二步:證明DE⊥平面PBC三角形的面積)=2(AB·AC+BC三角形的面積)=2(AB·AC+BC·BA+CB·CA)·tanθ(提示:利用(1)有99%的把握認(rèn)為學(xué)生參加跳繩比賽與學(xué)生的性別有關(guān)(6分)(2)(7分)【解】(1)第一步:完成2×2列聯(lián)表,算出χ2的值,并與對(duì)應(yīng)臨界值比較大小因?yàn)镻D=DC,E為PC的中點(diǎn),所以DE⊥PC.又PC,BC?平面PBC,PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.…………8分第三步:證明PB⊥平面EFD因?yàn)镻B?平面PBC,所以DE⊥PB.又因?yàn)镋F⊥PB,DE∩EF=E,DE,EF?平面EFD,所以PB⊥平面EFD.…………9分(3)【解】第一步:根據(jù)定義證明∠DFE為二面角C-PB-D的平面角由(2)知PB⊥平面EFD,又DF?平面EFD,所以PB⊥DF,所以∠DFE為二面角C-PB-D的平面角.…10分第二步:分別求DE,DF,EF的長女男合計(jì)未參加跳繩比賽75參加跳繩比賽合計(jì)200設(shè)AB=2a,則女男合計(jì)未參加跳繩比賽75參加跳繩比賽合計(jì)200PC在Rt△PCD中,DE==2a,2PD·BD26在Rt△PBD中,DF==a(提示:等面積法表示PB3Rt△PBD的面積,從而求解DF的長度),PC·BC2622600在Rt△PBC中,點(diǎn)C到PB的距離為=a,PC·BC2622600在Rt△PBC中,點(diǎn)C到PB的距離為=a,PB3所以EF=×a=a.…………………13分第三步:由余弦定理求夾角第三步:由余弦定理求夾角在△DFE中,由余弦定理得EF2+DF2-DE21cos∠DFE==2EF·DF2,………14分∠DFE=π即平面CPB與平面PBD的夾角……………6分(2)第一步:利用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法算出各層人數(shù)利用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從這100人中抽取12人,則未參加跳繩比賽的有75×12=9人參加跳繩比賽的有25×=3人.……………………8分第二步:利用對(duì)立事件求概率(2)證明見解析(9分)由題意知,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,+∞).記“至少有1人參加跳繩比賽”為事件A,則P(A)=1-P(A)=1-C=1-21=34C25555,所以至少有1人參加跳繩比賽的概率是.………………13分D3因?yàn)閒(x)在定義域上單調(diào)遞增,所以f′(x)≥0恒成立(提示:函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào),求參數(shù)的范圍,一般情況下,要先轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上恒大于等于0或者恒小于等于0,然后借助不等式恒成立的解法即可求出參數(shù)的范圍),所以2-a≥0,即a≤2,故a的取值范圍為(-∞,2].………6分(2)【證明】第一步:利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理判斷f′(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及范圍由(1)可知,當(dāng)y=f(x)有極大值時(shí),a>2,所以當(dāng)f′(x)=0時(shí),x=x1,x=x2(1<x1<2<x2)(提示:函數(shù)零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用),………………8分第二步:求極大值的表達(dá)式則ln(xi-1)+x所以x=x1為f(x)的極大值點(diǎn),則m=f(x1).………………10分第三步:證明極大值小于-41-1)-ln(x1-1)-ù」ú=2-.x1-1設(shè)g(x)=-,則g′(x)=->0在(1,2)上恒成立,所以g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增,所以g(x)<g(2)=-4,即m<-4.……………15分18.(1)+=1(3分)(2)(i)證明見解析(7分)(ii)存在,直線MN的方程為y=x+2或y=-x-2(7分)由題意得c=2,b=2,第二步:求出a并寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程所以a=6.……………………2分則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.…………3分(2)(i)【證明】第一步:考慮直線MN傾斜角為0的情況由題意得Q(-3,0),當(dāng)直線MN的傾斜角為0時(shí),以MN為直徑的圓的方程為x2+y2=6,顯然點(diǎn)Q在此圓外.……5分第二步:直線MN傾斜角不為0時(shí)設(shè)出該直線方程,并與橢圓方程聯(lián)立當(dāng)直線MN的傾斜角不為0時(shí),設(shè)直線MN的方程為x=my-2,22 x+y=162,可得(m2+3)y2-4my-2=0,x=my-2,Δ=16m2+8(m2+3)=24m2+24>0恒成立.→→第三步:設(shè)出點(diǎn)M和N的坐標(biāo),通過判斷QM·QN的符號(hào),得出點(diǎn)→→設(shè)M(x1,y1),N(x2