高中PAGE1試題2023北京一零一中高一（下）期中數(shù)學本試卷滿分120分，考試時間100分鐘一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.的值為()A. B. C. D.2.已知，則()A. B. C. D.13.已知向量且，則A. B. C. D.4.下列函數(shù)中最小正周期為的是（）①；②；③；④A.①② B.②④ C.①③④ D.①②④5.如圖所示，在正方形中，為的中點，為的中點，則（）A. B.C. D.6.在中，角的對邊分別為，若，則一定是()A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰三角形7.已知角的終邊上有一點，則的值為()A.3 B. C.1 D.8.已知實數(shù)“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.石景山游樂園“夢想之星”摩天輪采用國內(nèi)首創(chuàng)的橫梁中軸結(jié)構(gòu)，風格現(xiàn)代簡約.“夢想之星”摩天輪直徑約為86米，總高約100米，勻速旋轉(zhuǎn)一周時間為18分鐘，配有42個球形全透視360度全景座艙.如果不考慮座艙高度等其它因素，該摩天輪的示意圖如圖所示，游客從離地面最近的位置進入座艙，旋轉(zhuǎn)一周后出艙，甲、乙兩名同學通過即時交流工具發(fā)現(xiàn)，他們兩人進入各自座艙的時間相差6分鐘，這兩名同學在摩天輪上游玩的過程中，他們所在的高度之和的最大值約為()A.79米 B.157米 C.113米 D.189米10.已知對于任意角，均有公式，設(shè)的內(nèi)角滿足，面積滿足，角的對邊分別為.給出下列四個結(jié)論：①；②；③；④.其中正確結(jié)論的序號是()A.②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④二、填空題：共5小題，每小題5分，共25分.11.已知向量，向量，則向量與向量的夾角為__________．12.在△中，，則________，△的面積____．13.若，，則___________14.已知函數(shù)，那么函數(shù)的最小正周期是_____：若函數(shù)在上具有單調(diào)性，且，則________.15.已知的外心是O，其外接圓半徑為1，設(shè)，則下列論述正確的是____________.①若，，則為直角三角形；②若，則為正三角形；③若，，則為頂角為的等腰三角形；④若，，則.三、解答題：共5小題，共55分.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.16.已知函數(shù).（1）某同學利用五點法畫函數(shù)在區(qū)間上的圖象.他列出表格，并填入了部分數(shù)據(jù)，請你幫他把表格填寫完整，并在坐標系中畫出圖象；（2）已知函數(shù).①若函數(shù)的最小正周期為，求的單調(diào)遞增區(qū)間；②若函數(shù)在上無零點，求的取值范圍(直接寫出結(jié)論).x0020017.在中，，，，P為所在平面內(nèi)的一個動點，且.（1）求；（2）求的取值范圍.18.已知函數(shù)，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇能確定函數(shù)的解析式的兩個作為已知.條件①：函數(shù)的最小正周期為；條件②：函數(shù)的圖象經(jīng)過點；條件③：函數(shù)的最大值為.（1）求的解析式及最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2條對稱軸，求t的取值范圍.19.在中，角的對邊分別為，.（1）求角的大小；（2）若，為外一點，如圖，，求四邊形面積的最大值.20.給定正整數(shù)，設(shè)為n維向量的集合.對于集合M中的任意元素和，定義它們的內(nèi)積為.設(shè).且集合，對于A中任意元素，，若則稱A具有性質(zhì).（1）當時，判斷集合是否具有性質(zhì)？說明理由；（2）當時，判斷是否存在具有性質(zhì)的集合A，若存在求出，若不存在請證明；（3）若集合A具有性質(zhì)，證明：.

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.【答案】A【解析】【分析】由誘導公式可得答案.【詳解】.故選：A2.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二倍角的正切公式計算即可.【詳解】因為，所以，故選：B.3.【答案】B【解析】【詳解】分析：首先由向量平行確定向量的坐標，再求向量的模長.詳解：因為，所以，即；所以；所以.點睛：1、本題考查向量共線、向量的坐標運算等知識，意在考查學生的分析、計算能力.解決本題的關(guān)鍵在于熟練掌握向量平行的坐標表示；熟記向量坐標的加減運算與向量模長的坐標運算.4.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系、三角恒等變換化簡函數(shù)，從而可判斷各三角函數(shù)的最小正周期，即可得答案.【詳解】解：①，則的最小正周期為，故①符合；②，則的最小正周期為，故②不符合；③，則的最小正周期為，故③符合；④，則的最小正周期為，故④符合.故選：C.5.【答案】D【解析】【分析】由平面向量的線性運算逐步轉(zhuǎn)化即可得解.【詳解】=.故選：D．6.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正弦定理化邊為角，結(jié)合邊的關(guān)系進行判斷.【詳解】因為，所以由正弦定理可得，因為，所以，即，所以.故選：D.7.【答案】B【解析】【分析】首先求出的值，然后將所求的式子利用誘導公式進行化簡，然后可得答案.【詳解】依題意得，則，故選：B.8.【答案】A【解析】【分析】由條件推結(jié)論可判斷充分性，由結(jié)論推條件可判斷必要性.【詳解】當時，，且，充分性成立；當時，未必有，例如時，此時，但不滿足.所以實數(shù)“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.9.【答案】B【解析】【分析】先求摩天輪的角速度，從而得到兩人相差的角度，再建立人距離地面的高度關(guān)于轉(zhuǎn)動角之間的函數(shù)關(guān)系，從而得到所在的高度之和的函數(shù)模型，再利用三角函數(shù)性質(zhì)求出最值.【詳解】因為摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)一周時間為18分鐘，所以摩天輪的角速度為，又因為甲乙兩人進入各自座艙的時間相差6分鐘，所以兩人相差的角度為，設(shè)第二個人進倉后轉(zhuǎn)動角時對應的高度為，因為摩天輪直徑約為86米，總高約100米，所以摩天輪底部距離地面高度為14米，摩天輪半徑約為43米，所以，因為甲乙兩人相差的角度為，所以甲乙兩人所在的高度之和為：，所以，所以，化簡可得，又根據(jù)題意可知，所以，所以當時，即時，取得最大值.故選：B.10.【答案】B【解析】【分析】首先可由得到，然后利用所給公式結(jié)合和差公式、倍角公式可化得，然后結(jié)合可求得外接圓半徑的范圍，然后可判斷②③④.【詳解】因為，所以，即，因為，所以，所以，故①正確；設(shè)的外接圓半徑為，因為，所以，所以，故②正確；，故③錯誤，，故④正確，故選：B二、填空題：共5小題，每小題5分，共25分.11.【答案】##【解析】【分析】由平面向量夾角公式代入即可得出答案.【詳解】，，，設(shè)向量與向量的夾角為，，所以向量與向量的夾角為.故答案為：.12.【答案】①.4②.【解析】【分析】根據(jù)余弦定理可得值，先求得結(jié)合三角形面積公式即可求得結(jié)果．【詳解】，，由可得,.故答案為：，．13.【答案】【解析】【分析】先由已知條件求出，然后利用兩角差的正弦公式計算即可得到答案．【詳解】，，，故答案為：．14.【答案】①.②.【解析】【分析】（1）利用周期公式求解即可.（2）對代入化簡可求出的正切值，寫出表達式，根據(jù)范圍確定的值.【詳解】（1）（2）由可得，利用誘導公式化簡可得，展開得，，又，【點睛】求三角函數(shù)的解析式時，由即可求出；確定時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標，則令或)，即可求出，否則需要代入點的坐標，利用一些已知點的坐標代入解析式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)解出和，若對的符號或?qū)Φ姆秶幸螅瑒t可用誘導公式變換使其符合要求.15.【答案】①②③【解析】【分析】對于①②，利用平面向量的知識得出O的位置，結(jié)合三角形的性質(zhì)得出判斷即可；對于③④，還需要利用向量數(shù)量積的公式求出數(shù)量積或者夾角才能正確判斷.【詳解】若，，則，所以O(shè)是AB的中點，又O是的外心，從而為直角三角形，故①正確；若，則，即，所以O(shè)是的重心，又O是的外心，從而為等邊三角形，故②正確；若，，則，即.取AB的中點D，則,從而，所以O(shè)是中線CD上一點，又因為O是的外心，即O是中垂線的交點，所以，從而是等腰三角形.由得，兩邊平方得（*）.因為且，所以（*）式化為，所以，由圓周角是圓心角的一半可得，即為頂角為的等腰三角形，故③正確；若，，則，兩邊平方得，因為，所以；從而,故④錯誤.故答案為：①②③.三、解答題：共5小題，共55分.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.16.【答案】（1）答案見詳解（2）①；②【解析】【分析】（1）令為可完善表格，描點可得圖象；（2）①先求出的解析式，根據(jù)周期可得，然后可得單調(diào)區(qū)間；②先求的范圍，再根據(jù)沒有零點列出限制條件，可得范圍.【小問1詳解】表格填寫如下：x0020-20圖象如下：【小問2詳解】①由題意，，，即.令,解得.所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.②，時，，因為函數(shù)在上無零點，所以，解得，所以的取值范圍為(0，1).17.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用數(shù)量積的運算可求得，即可得出答案；（2）以A為原點，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，設(shè)P點坐標為，則可得的表達式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果．【小問1詳解】，所以.【小問2詳解】以A為原點，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，建立平面直角坐標系如圖所示．B點坐標為，C點坐標為，設(shè)P點坐標為．所以，，所以，所以的取值范圍是．18.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換化簡，選擇①②：由周期得出，由得出，進而求出的解析式及最小值；選擇①③：由周期得出，由的最大值為得出，進而求出的解析式及最小值；選擇②③：由得，又因為函數(shù)的最大值為，所以，與矛盾，不符合題意.（2）因為，所以，由題意得，求解即可．【小問1詳解】由題可知，.選擇①②：因為，所以，又因為，所以.所以.當，即時，，所以函數(shù)的最小值為－1.選擇①③：因為，所以，又因為函數(shù)的最大值為，所以.所以，當，即時，.所以函數(shù)的最小值為.選擇②③：因為，所以.又因為函數(shù)的最大值為，所以，與矛盾，不符合題意.【小問2詳解】因為，所以，又因為在區(qū)間上上有且僅有2條對稱軸，所以，所以，所以.19.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式得到，即可得解；（2）根據(jù)題意，利用余弦定理可得，再表示出，表示出四邊形，進而可得最值.【小問1詳解】因為由正弦定理得，，即，因為，所以，即，因為，所以.【小問2詳解】在中，，，所以，又，則為等邊三角形，，又，所以，所以當時，四邊形的面積取最大值，最大值為.20.【答案】（1）不具有（2）存在，，或，（3）證明見詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)新定義驗證即可判斷；（2）分別討論，根據(jù)新定義驗證具有性質(zhì)的集合是否存在即可得解；（3）根據(jù)集合A具有性質(zhì)，分類討論，由特殊到一般思想，利用反證法證明結(jié)論.【小問1詳解】因為，同理，又，同理.所以集合A={(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)}不具有性質(zhì).【小問2詳解】當時，集合A中的元素個數(shù)為4，由題意知顯然，，否則集合A中的元素個數(shù)少于4個.①當時A={(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，,0)，(0，0，0，,1)}，具有性質(zhì)H(1，0).③當時，A{(1，1，0，0)，(1，0，1，0)，(1，0，0，1)，(0，1，1，0)，(0，1，0，1)，(0，0，1，1)}若，則(1，1，0，0)和(1，0，0，1)至多一個在A中；(0，1，1，0)和(0，1，0，1)至多一個在A中；(1，0，1，0)和(0，0，1，1)至多一個在A中，故集合A中的元素個數(shù)小于4.若，則(1，1，0，0)和(0，0，1，1)至多一個在A中；(1，0，1，0)和(0，1，0，1)至多一個在A中；(1，0，0，1)和(0，1，1，0)至多一個在A中，故集合A中的元素個數(shù)小于4.④當時A={(1,1，1，0)，(1，1，0，1)，(1，0，1，1)，(0，1，1，1)}，具有性質(zhì)H(3，2).綜上，，或，.【小問3詳解】記，則