第十章概率

10.1.1有限樣本空間與隨機事件

一、教學目標

1.理解隨機試驗的概念及特點

2.理解樣本點和樣本空間，會求所給試驗的樣本點和樣本空間

3.理解隨機事件、必然事件、不可能事件的概念，并會判斷某一事件的性質

4.通過對隨機事件與概率的學習，培養學生數學抽象、數學運算、數據分析等數學素養。

二、教學重難點

1.隨機試驗的概念及特點；

2.理解樣本點和樣本空間，會求所給試驗的樣本點和樣本空間。

三、教學過程：

（1）創設情景

閱讀課本，完成下列填空：

隨機試驗:我們把對隨機現象的____________和__________稱為隨機試驗,簡稱

____________,常用字母__________表示.

學生回答，（實現對它的觀察試驗E）

（2）新知探究

問題1:隨機試驗的特點有哪些？

學生回答，教師總結（①試驗可以在相同條件下重復進行；②試驗的所有可能結果是明

確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個，但事先不能確

定出現哪一個結果．）

問題2:(提出本節課所學內容)

（3）新知建構

樣本空間的定義:

我們把隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為____點，全體樣本點的集合稱為試驗E

的________(samplespace)．一般地，我們用Ω表示樣本空間，用ω表示樣本點．在本書中，

我們只討論Ω為有限集的情況．如果一個隨機試驗有n個可能結果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣

本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為____________.

隨機事件的定義:隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表

示．為了敘述方便，我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件簡稱事件，并把只包含一個樣本

點的事件稱為基本事件(elementaryevent)．隨機事件一般用大寫字母A，B，C，…表示．在

每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現時，稱為事件A發生．

必然事件的定義:在每次試驗中總有一個樣本點發生，所以Ω總會發生，我們稱Ω為必然

事件．

不可能事件的定義:空集?不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發生，我們稱?為

不可能事件

（4）數學運用

例1.將一枚骰子拋擲兩次.

（1）寫出試驗的樣本空間；

（2）用集合表示事件E“向上的點數之和大于8”.

【答案】（1）

1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,

3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6

5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6.

（2）E3,6,4,5,4,6,5,4,5,5,5,6,6,3,6,4,6,5,6,6

【解析】（1）用x,y表示試驗的結果，其中x表示第1次拋擲后向上的點數，y表示第2

次拋擲后向上的點數，則樣本空間

1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,

3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6

5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6.

（2）E3,6,4,5,4,6,5,4,5,5,5,6,6,3,6,4,6,5,6,6.

變式訓練1:如圖，一個電路中有A，B，C三個電器元件，每個元件可能正常，也可能失效，

把這個電路是否為通路看成是一個隨機現象，觀察這個電路中各元件是否正常.

（1）寫出試驗的樣本空間；

（2）用集合表示下列事件：M=“恰好兩個元件正常”；N=“電路是通路”；T=“電路是斷路”

解：(1)分別用x,x和x表示元件A,B和C的可能狀態，則這個電路的工作狀態可用(x,x,x)

123123

表示.進一步地，用1表示元件的“正常”狀態，用0表示“失效”狀態，

則樣本空間Ω={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}.

(2)“恰好兩個元件正常”等價于(x,x,x)∈Ω,且x,x,x中恰有兩個為1,

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所以M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.

“電路是通路”等價于(x,x,x)∈Ω,x=1,且x,x中至少有一個是1,所以

123123

N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}。

同理，“電路是斷路”等價于(x,x,x)∈Ω，x=0,或x=1,x=x=0.所以

1231123

T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)}.

如圖,還可以借助樹狀圖幫助我們列出試驗的所有可能結果.

變式訓練2:籠子中有4只雞和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出.記錄剩下動物

的腳數.則該試驗的樣本空間___________.

【答案】0,2,4,6,8

【解析】最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余雞的只數最多4只，最少0只，所以

剩余動物的腳數可能是8，6，4，2，0.

故答案為：0,2,4,6,8

例2.已知袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍色卡片，從中任取3張卡片，則下

列判斷不正確的是（）

A．事件“都是紅色卡片”是隨機事件

B．事件“都是藍色卡片”是不可能事件

C．事件“至少有一張藍色卡片”是必然事件

D．事件“有1張紅色卡片和2張藍色卡片”是隨機事件

【答案】C

【解析】袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍色卡片，從中任取3張卡片，

在A中，事件“都是紅色卡片”是隨機事件，故A正確；

在B中，事件“都是藍色卡片”是不可能事件，故B正確；

在C中，事件“至少有一張藍色卡片”是隨機事件，故C錯誤；

在D中，事件“有1張紅色卡片和2張藍色卡片”是隨機事件，故D正確．故選：C．

變式訓練:在10名學生中，男生有x名，現從10名學生中任選6人去參加某項活動：①至

少有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①為必然事件，②為

不可能事件，③為隨機事件，則x＝()

A．5B．6C．3或4D．5或6

【答案】C

【解析】依題意知，10名同學中，男生人數少于5人，但不少于3人，故x=3或4．故選C

例3:（多選）袋中有紅球3個，白球2個，黑球1個，從中任取2個，則互斥的兩個事件

是（）

A．至少有一個白球與都是白球

B．恰有一個紅球與白、黑球各一個

C．至少一個白球與至多有一個紅球

D．至少有一個紅球與兩個白球

【答案】BD

【解析】袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1個，從中任取2個，

在A中，至少有一個白球和都是白球兩個事件能同時發生，不是互斥事件，故A不成立.

在B中，恰有一個紅球和白、黑球各一個不能同時發生，是互斥事件，故B成立；

在C中，至少一個白球與至多有一個紅球，能同時發生，故C不成立；

在D中，至少有一個紅球與兩個白球兩個事件不能同時發生，是互斥事件，故D成立；

故選：BD.

變式訓練:（多選）從裝有2個紅球和2個黑球的口袋中任取2個小球，則下列結論正確的

是()

A．“至少一個紅球”和“都是紅球”是互斥事件

B．“恰有一個黑球”和“都是黑球”是互斥事件

C．“至少一個黑球”和“都是紅球”是對立事件

D．“恰有一個紅球”和“都是紅球”是對立事件

【答案】BC

【解析】不妨記兩個黑球為A1,A2，兩個紅球為B1,B2，從中取出2個球，則所有基本事件

如下：

A1A2,A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,B1B2，

恰有一個黑球包括基本事件：A1B1,A1B2,A2B1,A2B2，都是黑球包括基本