專題2極化恒等式，奔馳定理，三角形四心序號考點知識點01極化恒等式知識點02奔馳定理知識點03三角形四心知識點01極化恒等式極化恒等式幾何意義:向量的數量積可以表示為以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的，恒等式的作用在于向量的線性運算與數量積之間的聯系如圖在平行四邊形中,則總結：此恒等式的精妙之處在于建立了向量的數量積與幾何長度(數量)之間的橋梁，實現向量與幾何、代數的巧妙結合，對于不共起點和不共終點的問題可通過平移轉化法等價轉化為對共起點(終點)的兩向量的數量積問題，從而用極化恒等式解決，需大家強化學習。例1．（全國·高考真題）設向量滿足，，則A．1 B．2 C．3 D．5例2．（2023·全國·高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（

）A． B．3 C． D．5例3.（2022·北京·高考真題）在中，．P為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【強化訓練】1.如圖,在中,已知,點分別在邊上,且,若為的中點,則的值為________2.（江蘇·高考真題）如圖，在中，是的中點，是上的兩個三等分點，，，則的值是.

知識點02奔馳定理1.奔馳定理如圖，已知O為內一點，則有或者由于這個定理對應的圖象和奔馳車的標志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.這個定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關的問題，有著決定性的基石作用.2.奔馳定理的推論推論是內的一點,且,則3.奔馳定理的證明如圖：延長與邊相交于點則【練習題型：奔馳定理】例1．已知點P為ABC內一點，PA→+2PB→+3PC→=0A．9：4：1 B．1：4：9 C．1：2：3 D．3：2：1例2．（2023·師大附中期末）已知是三角形內部一點，且，則的面積與的面積之比為（

）A． B． C． D．例3．設O為△ABC內一點，且滿足關系式OA→+2OB→+3OC→=3AB→+2BC→+CA→，則例4．已知是內部的一點，，，所對的邊分別為，，，若，則與的面積之比為（

）A． B． C． D．例5．（多選題）奔馳定理：已知是內的一點，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.若、是銳角內的點，、、是的三個內角，且滿足，，則（

）A．B．C．D．知識點03三角形四心三角形的重心：三角形三條中線的交點叫做三角形的重心，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1；三條重心所分六個小三角形面積均相等。三角形的內心：三角形三條內角平分線的交點叫做三角形的內心，也就是內切圓的圓心，三角形的內心到三邊的距離相等，都等于內切圓半徑r.（3）三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點叫做三角形的外心，也就是三角形外接圓的圓心，它到三角形三個頂點的距離相等.若為的外心，則；或（4）三角形的垂心：三角形三邊上的高的交點叫做三角形的垂心，垂心和頂點的連線與對邊垂直.總結．三角形四心與推論：是的重心：是的內心：是的外心： ．是的垂心： ．【練習題型一：重心定理】1．在中，，，且，，則點的軌跡一定通過的（

）A．重心 B．內心C．外心 D．垂心2．設O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過的（

）A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心3．若為的重心（重心為三條中線交點），且，則___．4．過△ABC重心O的直線PQ交AC于點P，交BC于點Q，，，則n的值為________.5．在中，，，，若是的重心，則______.6.（1）已知△ABC的重心為O，且AB=5，，則______．（2）已知△ABC的重心為O，且AB=5，，，D為BC中點，則____．7．（多選）中，a，b，c分別是內角A，B，C的對邊，O為其重心，，，分別是邊a，b，c上的高．若，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．是鈍角三角形【練習題型二：內心定理】1.已知O是平面上的一個定點，A?B?C是平面上不共線的三點，動點P滿足，則點P的軌跡一定經過的（

）A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心2．在中，，動點M滿足，則直線AM一定經過的（

）A．垂心 B．內心 C．外心 D．重心3．設為的內心，，，，則為________．4．已知點是的內心，若，則______.5．已知，是其內心，內角所對的邊分別，則（

）A． B．C． D．6．在△ABC中，，O為△ABC的內心，若，則x＋y的最大值為（

）A． B． C． D．【練習題型三：外心定理】已知是平面上的一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則動點的軌跡一定通過的（

）A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心2．已知△ABC中，，點O是△ABC的外心，則________.3．已知點是的內心、外心、重心、垂心之一，且滿足，則點一定是的（

）A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心4．設O為的外心，若，，則___________.5.6.設為的外心，，，分別為角，，的對邊，若，，則（

）A． B． C． D．7．已知點O是△ABC的外心，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，，且，則的值為________．【練習題型四：垂心定理】1.點P為所在平面內的動點，滿足，，則點P的軌跡通過的A．外心 B．重心 C．垂心 D．內心2．設為的外心，若，則是的（

）A．重心（三條中線交點） B．內心（三條角平分線交點）C．垂心（三條高線交點） D．外心（三邊中垂線交點）3．在中，，，為的垂心，且滿足，則