教學設(shè)計題目5.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象第1課時內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象內(nèi)容解析正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是一類基本初等函數(shù)，作為函數(shù)的下位知識，學生有以往研究函數(shù)的經(jīng)驗，知道按照研究函數(shù)的一般路徑，在學習了正弦、余弦函數(shù)的定義之后必然要探究其圖象，并為后續(xù)研究正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)、正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象及函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)奠定基礎(chǔ).正弦函數(shù)的圖象體現(xiàn)了函數(shù)圖象與三角函數(shù)定義之間內(nèi)在的邏輯聯(lián)系——圖象是函數(shù)的一種表示法，先根據(jù)定義畫出任意一點，掌握了精確繪制一點的作法原理后，通過選擇具體的、足夠多的點，或者借助信息技術(shù)工具描出任意多的點，畫出正弦函數(shù)在［0,2π］的圖象，進而通過平移、連續(xù)成線畫出三角函數(shù)的圖象，這里加強了信息技術(shù)的應(yīng)用.對于余弦函數(shù)，則是根據(jù)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的“天然”聯(lián)系，由正弦函數(shù)的圖象通過平移得到余弦函數(shù)的圖象，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想.學情分析學生已經(jīng)學過一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)以及銳角的正弦函數(shù)、任意角的正弦函數(shù)，這為本節(jié)課的學習奠定了認知基礎(chǔ).同時，學生也熟悉用“列表——描點——連線”作圖的基本思路.不過，對于正弦函數(shù)，如何根據(jù)其定義準確地繪制出函數(shù)圖象上的任意一點，這仍然是個難點．因為圖象是函數(shù)的一種表示法，所以作函數(shù)圖象的本質(zhì)就是利用函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系作出圖象上的點．假設(shè)T(x0,sinx0)是正弦函數(shù)圖象上的一點，根據(jù)定義，x0與圖1所以作圖的關(guān)鍵是：給定任意一個橫坐標x0，在單位圓上畫出∠AOB=x0，其終邊OB與單位圓交點B的縱坐標就是圖象上點T(x0,sinx0)的縱坐標，再將之平移至x0處，就得到了點T(目標和目標解析目標1.借助單位圓能畫出正弦函數(shù)的圖象，發(fā)展直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).2.能畫出余弦函數(shù)的圖象，滲透數(shù)形結(jié)合和化歸的數(shù)學思想.目標解析1.能根據(jù)正弦的定義，借助單位圓，在直角坐標系中作出圖象上任意一點，并且能利用這一點的作圖原理畫出整個圖象.2.能利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)解析式的關(guān)系，得出其圖象之間的關(guān)系，通過平移正弦曲線得到余弦曲線.教學重點正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象教學難點作正弦函數(shù)圖象上的一點T(x0,sinx教學方法分析1.發(fā)揮單位圓的作用，加強數(shù)學的整體性.單位圓是研究三角函數(shù)的工具，在探究正弦函數(shù)的圖象時，要注重發(fā)揮單位圓的“腳手架”作用，在加強整體性的同時增強教學效果，降低學習難度，提高教學質(zhì)量.2.在一般觀念指導(dǎo)下展開研究.一般觀念在本節(jié)內(nèi)容中的指導(dǎo)具體體現(xiàn)：(1)以函數(shù)的一般概念與性質(zhì)為線索；(2)類比指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)展開研究；(3)注重三角函數(shù)的特殊性——周期性；(4)相同背景條件下的幾個對象之間一定有內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)聯(lián)系和轉(zhuǎn)化方法是數(shù)學研究中的基本任務(wù).3.加強信息技術(shù)的應(yīng)用.本節(jié)內(nèi)容最好借助信息技術(shù)工具輔助完成.教學過程設(shè)計教師活動與任務(wù)設(shè)計學生學習活動與任務(wù)解決設(shè)計意圖或評價目標環(huán)節(jié)一任務(wù)1：情境創(chuàng)設(shè)、提出問題問題1：我們已經(jīng)學習了三角函數(shù)的定義，類比以往研究函數(shù)的經(jīng)驗，接下來我們還要研究三角函數(shù)的什么內(nèi)容呢？追問：我們知道，單位圓上任意一點在圓周上旋轉(zhuǎn)一周就回到原來的位置，這一現(xiàn)象可以用公式sin(x±2π)=sinx，cos(x±2π)=cosx來表示．它的含義是什么？根據(jù)這一特性，你覺得在研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)時可以怎樣簡化研究對象？學生類比之前學習冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的經(jīng)驗，思考得出：得到函數(shù)的定義之后，接著必然研究它們的圖象與性質(zhì)．學生獨立思考，小組討論后全班交流，教師幫助完善．因為每增加（減少）2π，正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn)，因此可以簡化研究過程，只需畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上的圖象，就可以通過平移得到它們在整個定義域上的圖象．設(shè)計意圖：讓學生明確研究函數(shù)的一般路徑，積累研究一類對象的學習經(jīng)驗.設(shè)計意圖：規(guī)劃研究方案，構(gòu)建正弦、余弦函數(shù)的研究路徑．評價目標：發(fā)展直觀想象核心素養(yǎng)，達成目標1.環(huán)節(jié)二任務(wù)2：探究原理、獲得圖象問題2：繪制函數(shù)的圖象，首先需要準確繪制其上一點．對于正弦函數(shù)，在[0,2π]上任取一個值x0，如何利用正弦函數(shù)的定義，確定正弦函數(shù)值sinx0，教師引導(dǎo)學生，根據(jù)定義分析確定x0問題3：我們已經(jīng)學會繪制正弦函數(shù)圖象上的某一個點，聯(lián)想、類比以前所學函數(shù)的作圖經(jīng)驗，接下來，如何畫出函數(shù)y=sinx，x∈追問：這兩種繪制方法的異同是什么？引導(dǎo)學生用“手工細線纏繞”的方法，使用自制教具完成．具體步驟：找一根沒有彈性的細線，在x軸上量出橫坐標x0圖2然后將長度為x0的細線以A為起點沿逆時針方向纏繞在單位圓上，細線的末端就是B(cosx0,sinx0)，于是學生給出設(shè)想，選擇一種或者多種適合的方法實施．預(yù)設(shè)：方案1：在區(qū)間[0,2π]內(nèi)任取一些橫坐標的值，按照上述方法逐一繪制，再用光滑的曲線連接．方案2：為方便操作，可以在區(qū)間[0,2π]內(nèi)取等分點，按照上述方法逐一繪制，再用光滑的曲線連接．兩種方法本質(zhì)相同，在信息技術(shù)條件支持下都容易實現(xiàn)，在手工操作的條件下，用方案2比較可行.設(shè)計意圖：引導(dǎo)學生利用定義分析正弦函數(shù)圖象上任意一點的畫法，深化對正弦函數(shù)定義的理解．通過分析點的坐標的幾何意義，準確描點．設(shè)計意圖：確定畫出一個周期內(nèi)正弦函數(shù)圖象的方法并實施，同時體會信息技術(shù)給數(shù)學研究帶來的便捷.評價目標：提升邏輯推理、直觀想象核心素養(yǎng),達成目標1.設(shè)計意圖：畫出正弦函數(shù)在［0,2π］上的圖象后，讓學生自己根據(jù)誘導(dǎo)公式一進行拓展，得出正弦曲線，培養(yǎng)學生的作圖能力，并在作圖過程中感受正弦函數(shù)的變化規(guī)律，為接下來研究性質(zhì)做準備．設(shè)計意圖：通過觀察函數(shù)圖象，概括其特征，獲得“五點法”作圖的簡便畫法.評價目標：提升直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng),達成目標1.師生活動：學生用方案2繪制函數(shù)圖象，教師借助信息技術(shù)，用方案1繪制函數(shù)圖象．利用信息技術(shù)，可使x0在區(qū)間［0,2π］上取到足夠多的值而畫出足夠多的點T(x0,sinx0),將這些點用光滑的曲線連接起來，可得到比較精確的函數(shù)y=sinx，圖3問題4：根據(jù)函數(shù)y=sinx，x∈［0,2π］的圖象，你能想象正弦函數(shù)y=sinx，學生獨立思考，說明依據(jù)并畫圖：根據(jù)誘導(dǎo)公式一，可知函數(shù)y=sinx，x∈［2kπ，2(k+1)π］,k∈Z且k≠0的圖象與y=sinx，x∈［0,2π］的圖象形狀完全一致．因此將函數(shù)y=sinx，x∈［0,2π］的圖象不斷向左、向右平移（每次移動2π個單位長度），就可以得到正弦函數(shù)圖4小結(jié)：正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線，是一條“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線．問題5：我們已經(jīng)知道了正弦函數(shù)圖象的形狀．請你結(jié)合上述正弦曲線的作圖過程思考，在確定正弦函數(shù)的圖象形狀時，應(yīng)抓住哪些關(guān)鍵點？教師：只要描出這五個點，按照正弦函數(shù)圖象的走勢，并用光滑曲線將之連接就可以畫出函數(shù)的簡圖，稱之為“五點法”.學生回顧取點的作圖過程，同時觀察正弦曲線，得出：在函數(shù)y=sinx，x∈［0,2π］的圖象上，五個點(0,0)，(π2,1)，(π,0)，(3π2,環(huán)節(jié)三任務(wù)3：發(fā)現(xiàn)聯(lián)系、變換作圖問題6：現(xiàn)在我們知道了正弦函數(shù)圖象的畫法，那么，余弦函數(shù)y=cos追問1：你能在兩個函數(shù)圖象上選擇一對具體的點，解釋這種平移變換嗎？教師：余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R的圖象叫做余弦曲線．它是與正弦曲線具有相同形狀的“波浪形”曲線．追問2：類似于用“五點法”畫正弦函數(shù)的圖象，如何畫出余弦函數(shù)的簡圖呢？學生先用排除法觀察誘導(dǎo)公式，選擇簡潔的公式，作為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系研究的依據(jù)．學生通過比較進行選擇．從數(shù)的角度看，可以選擇關(guān)系式cosx=sin(x+π2)．記f(x)=siny=cos學生獨立完成，之后展示交流：設(shè)x0,yy0＝cosx0=令x0y0＝sint0，即在函數(shù)y=sinx圖象上有對應(yīng)點t0,y0．比較兩個點：所以點x0,y0可以看作是點t學生獨立完成，設(shè)計意圖：利用誘導(dǎo)公式，通過圖象變換，由正弦函數(shù)的圖象獲得余弦函數(shù)的圖象，增強對兩個函數(shù)圖象之間的聯(lián)系性的認識.設(shè)計意圖：為學有余力的學生設(shè)置，進一步認識圖象之間的聯(lián)系.設(shè)計意圖：鞏固對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象特征的認識，熟練"五點法"畫圖，提高畫圖的基本技能．評價目標：提升直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng),達成目標1.環(huán)節(jié)四任務(wù)4：例題練習，鞏固理解例1.先用五點法畫出下列函數(shù)的圖象，然后再說明如何經(jīng)過圖象的變換得到其圖象：(1)y=1+sinx∈［0,2π］；(2)y=－x∈［0,2π］．學生先獨立完成，然后對解題思路和結(jié)果進行展示交流．解：(1)按五個關(guān)鍵點列表：（表1）描點并用光滑曲線連接起來.(將函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象向上平移1個單位長度可得.)圖5(2)按五個關(guān)鍵點列表：（表2）描點并用光滑曲線連接起來.(將函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象關(guān)于x軸對稱可得.)圖6設(shè)計意圖：鞏固對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的認識，熟練“五點法”作圖，掌握畫圖的基本技能．同時，通過分析圖象變換，深化對函數(shù)圖象關(guān)系的理解，為后續(xù)的學習做鋪墊．評價目標：提升直觀想象、數(shù)學運算核心素養(yǎng)，達成目標1、2.課堂小結(jié)回顧本節(jié)課的學習內(nèi)容，回答下列問題：(1)回顧研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的作圖過程．畫出結(jié)構(gòu)圖反映研究過程．(2)本節(jié)課給出的函數(shù)圖象作圖方法與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等函數(shù)圖象的作法有什么區(qū)別？為什么要用這些方法？學生獨立思考、歸納，再進行全班交流．(1)繪制一點↓［0,2π］的圖象↓正弦曲線↓余弦曲線(2)“列表—描點一連線”是常用方法，以往所描點的坐標是通過代數(shù)運算得到的．而正弦函數(shù)因為其對應(yīng)關(guān)系是單位圓的圓心角（任意角）與相應(yīng)點的縱坐標之間的“幾何對應(yīng)”，并沒有“代數(shù)運算”的特征，因此，正弦函數(shù)圖象的精準繪制就不能沿用以前的常規(guī)描點，只有回歸定義，利用定義中所反映的自變量與函數(shù)值的幾何意義，借助單位圓，通過幾何描點的方法完成作圖．利用余弦函數(shù)與正弦函數(shù)的聯(lián)系就能得到余弦函數(shù)圖象．設(shè)計意圖：通過小結(jié)，不但明確了精確作正弦、余弦函數(shù)圖象的方法，而且豐富了函數(shù)作圖的經(jīng)驗，為后續(xù)研究正切函數(shù)的圖象奠定了基礎(chǔ).另外，正弦函數(shù)的作圖過程還體現(xiàn)了函數(shù)圖象與定義的內(nèi)在聯(lián)系，通過作圖可以加深對函數(shù)本質(zhì)的理解，為研究函數(shù)性質(zhì)奠定基礎(chǔ)．評價目標：提升直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng),達成目標1、2.目標檢測與作業(yè)設(shè)計目標檢測1．（多選）以下對于正弦函數(shù)y＝sinx的圖象描述正確的是()A．在x∈［2kπ，2(k+1)π］,k∈Z上的圖象形狀相同，只是位置不同B．關(guān)于x軸對稱C．介于直線y＝1和y＝－1之間D．與y軸僅有一個交點2.函數(shù)y=cosx與y=A．關(guān)于直線x＝1對稱B．關(guān)于原點對稱C．關(guān)于x軸對稱D．關(guān)于y軸對稱3.用五點法作下列函數(shù)的圖象：(1)y=sinx，x∈［－(2)y＝cosx+12，x∈作業(yè)設(shè)計預(yù)計完成時間：20分鐘基礎(chǔ)鞏固類作業(yè)（必做）作業(yè)1：教科書第200頁練習1、4題．鞏固提升類作業(yè)(任選1題)作業(yè)2：1.用“五點法”作下列函數(shù)的簡圖.(1)y＝2sinx，x∈[0,2π]；(2)y=sinx－π2，x∈[π2.當x∈[－2π,2π]時，作出下列函數(shù)的圖象，把這些圖象與y＝sinx的圖象進行比較，你能發(fā)現(xiàn)圖象變換的什么規(guī)律？(1)y＝－sinx；(2)y＝|sinx|；(3)y＝sin|x|.拓展延伸類作業(yè)（選做）作業(yè)3：簡諧運動的圖象實驗：將塑料瓶底部扎一個小孔做成一個漏斗，再掛在架子上，就做成了一個簡易單擺(如圖7所示).在漏斗下方放一塊紙板，板的中間畫一條直線作為坐標系的橫軸.把漏斗灌上細沙并拉離平衡位置，放手使它擺動，同時勻速拉動紙板.這樣就可在紙板上得到一條曲線，它就是簡諧運動的圖象.圖7圖8觀察簡諧運動的圖象，對比、并思考簡諧運動的圖象與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的異同，你能通過查閱資料，找到它們之間的聯(lián)系嗎？設(shè)計意圖：考查正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象及用“五點法”作函數(shù)簡圖的方法．評價目標：提升直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng),達成目標1、2.設(shè)計意圖：通過作業(yè)