教學設計

課程基本信息

課例編號2020QJ10SXRA041學科數學年級高一學期第一學期

課題數學建模活動（2）

書名：普通高中教科書數學必修第一冊

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年4月

教學人員

姓名單位

授課教師吳斯威北京市第二十二中學

指導教師李穎北京市東城區教師研修中心

教學目標

教學目標：

1.通過選題，開題，做題，結題的環節完成數學建模活動，經歷數學建模的全過程；

2.體會收集數據與整理數據的方法；

3.感受用數學的眼光發現和提出問題，提升數學建模的核心素養.

教學重點：

1.數據的收集和整理;

2.函數模型的選擇和建立.

教學難點：

1.數據的分析；

2.函數模型的選擇.

教學過程

時教學環

主要師生活動

間節

教師：在進行數學建模活動之前讓我們來回顧一下都有哪些知識儲備.

從小學開始，大家進行了九年系統的數學學習，這些知識都是我們今天進

行數學建模活動的知識儲備，同時大家有十五年的生活經驗，這些生活經驗對

于數學建?；顒右彩欠浅Ｖ匾?同時我們有比較豐富的一次函數，二次函數，

冪函數，指數函數與對數函數的學習經驗，并且我們了解研究函數的一般方法.

那么，我們怎么把以前的學習經驗和生活經驗應用到數學建?；顒又心?？

5首先要從身邊的問題入手，選擇研究難度較小，貼近生活，同時還能引導

回顧舊

分大家合理使用資源的“小問題”.待具備了一定的知識儲備和研究能力以后再

知

鐘對較困難的問題進行研究.

先學習建立函數模型進行數學建?；顒?，是因為我們有比較多的函數模型

的學習經驗，實際問題往往比較便于建立函數模型;同時，函數模型能夠涵蓋

眾多生活中的問題,能夠比較好的反映生活中問題的變化規律.

在通過建立函數模型解決生活中問題時，由于中學階段函數概念主要用于

描述兩個變量之間的關系，所以在選擇問題時，盡量選擇只包含兩個變量關系

的問題，對于多變量問題可以采用限制變量等方法或者留待以后再進行研究.

介紹數進行數學建?；顒訒r要進行比較充分的準備，一般要經過選題、開題、做

3

學建模題、結題，四個環節.

分

活動的選題時應選擇那些有能力收集數據，能夠用有效的數學方法整理數據建立

鐘

流程模型的問題.

開題時要向導師與同學闡述自己的研究目的，研究方法，以及要達到的目

標和對研究方案的設想等.同時在開題時要撰寫開題報告，并召開開題報告會.

做題是指從實際問題中抽象出數學問題，經歷收集數據、整理數據、分析

數據的過程對數學問題進行分析，進而得出相應的數學結論，再從數學結論中

得出實際問題的解決辦法.

結題時向老師和同學展示自己的研究過程和研究方法，接受各方面的意見

和建議，對研究中存在的問題進行修改，并進一步完善結論.同時要有結題報

告或結題論文，并召開結題報告會.

教師：許多家庭使用電熱水壺燒水飲用，用一臺電熱水壺燒水需要多長時

間呢？怎樣燒水最省電？是少量多次燒水好，還是每次燒水越多越好？這些都

可以作為研究的方向.

根據我的生活習慣，休息的時候會喝點茶，我用電水壺燒水沏茶，水壺容

積大約為1100毫升，茶壺容積約為330毫升，我每次沏茶喜歡喝兩次，因為

2

提出問從第三次開始茶葉味道就會衰減.

分

題那么我是一次燒水660毫升省電呢，還是燒水兩次，每次330毫升省電呢？

鐘

設計意圖：當換一種眼光來觀察周圍的世界，可能會有不同的收獲，用數

學的眼光，從數學的角度來研究電熱水壺燒水問題.既是學生身邊的小問題，

又能夠通過建立函數模型解決.能夠鍛煉學生發現身邊的問題，使用數學方法

解決身邊問題.

同時本問題可以滲透節約用電、低碳生活的理念，培養學生的環保意識.

教師：怎樣把生活中的實際問題轉化為數學問題？

由于一般家用電表測量精度只能達到0.01度，同時在燒水時其他家用電

器也在工作，不方便直接記錄燒水量和用電量之間的關系，根據初中物理公式

W=Pt，再根據水壺銘牌上的標注，水壺的功率恒定為1800瓦，通過收集燒水

時間與燒水量的數據，即可計算燒水量和用電量之間的關系，從而將生活中的

問題數量化；通過建立坐標系將數學問題形象化；通過擬合函數將生活中的問

題數學化.進而通過研究函數問題解決生活問題.

3注意：一般來說，通過建立函數模型解決實際問題，需要經歷如下幾個步

問題轉

分驟.觀察實際情景、發現和提出問題、收集數據、選擇函數模型、求解函數模

化

鐘型、檢驗，如果符合實際情況就可以用該模型得出結論；如果不符合實際情況

就要回溯檢查，是函數模型出了問題，還是實驗數據記錄錯誤.

學生：闡述看法，在教師引導下總結出數學觀察生活的主要手段就是用數

據和圖形描述客觀世界的變化規律，以此為基礎建立函數模型，解決實際問題.

設計意圖：數學建模問題難點往往在于如何建立數學模型，這里結合物理

公式W=Pt，將不好測量的用電量轉化為容易測量的時間，只要知道了燒水量

對應的燒水時間就能計算出電量的消耗.既體現了數學學科與物理學科的融

合，又比較巧妙的解決了收集數據的問題.

對于燒水時間和燒水量的關系，如何建立擬合函數？

分析：先用電熱水壺燒一定量的水并記錄時間數據，選擇合適的擬合函數，

5表達燒水量和把水燒開的時間之間的函數關系，再做一組對比試驗檢查用函數

問題具

分關系求解的燒水時間，如果能夠基本吻合，就可以得出燒水量與燒水時間的函

體化

鐘數關系；如果不符合，或者誤差較大，就要檢查是數據的問題還是選擇擬合函

數的問題.

設計意圖：學生感受建立函數模型解決實際問題的過程，將燒水問題具體

解決步驟討論出來.

通過測量等實驗步驟，獲得實驗數據，當燒水量為220毫升時，把水燒開

用時65秒；當燒水量為330毫升時，把水燒開用時72秒；當燒水量為440毫

升時，把水燒開用時89秒；當燒水量為550毫升時，把水燒開用時110秒.

5

收集數

分

據

鐘

5描述和

分分析數

鐘據

可以采用Excle制表，能夠非常方便的得出各種類型的擬合函數曲線，這

個試驗我們可以選擇指數型的擬合函數y=47.05e0.0014x

我們還可以選取其他類型的擬合函數，例如這個問題還可以選取線性擬合

函數y=0.1382x+30.8，下面我們來對比兩種擬合函數哪個更能接近真實情

況.

通過燒開1100毫升水（已達水壺最大水位線）并記錄時間，跟兩種擬合

函數預測的時間作對比來進行檢驗.

應用指數型擬合函數計算，預測用時219秒，真實測量

用時211秒，誤差+8秒；運用線性擬0.合0014?計算，預測用時

?=47.05e

182秒，誤差-29秒.分析誤差原因，很可能來自于指數型函數值隨的增長速

?=0.1382?+30.8

?

度逐漸變快，一次函數增長速度不變.所以會出現指數型擬合函數計算值超過

真實值，線性擬合函數預測值低于真實值的情況，由于水壺最大水位線為1100

毫升，此時指數型擬合更接近真實值，同時水量也不會再多于這個最大值了，

決定本問題使用指數型擬合更符合實際情況.也可以應用Excle軟件自帶的功

能，選擇顯示值功能，更接近1的擬合函數能夠更好的描述數據的規律.

這部分知識在高2二我們會學2習，所以這里不做贅述.

??

根據擬合函數，燒水660毫升用時約為118.5353秒，可

計算出用電0.05926度，燒水0.3003104?毫升用時72秒用電0.036度；因為要燒兩

?=47.05e

次所以用電0.072度，所以一次燒水660毫升更為省電.

注意：應用Excle繪圖功能，將數據用函數關系擬合并進行分析，是函數

類建模的常用方法.重點分析擬合函數的選擇，要經過實踐的檢驗，選擇更符

合檢測結果的函數關系對數據進行擬合.通過對比擬合函數，選擇更好的擬合

函數，在這個過程中還可以復習相關函數的性質.

數學建模的實驗報告寫作要求包括：

1、課題名稱；

2、課題組成員及分工；

3、課題的意義；

4、研究計劃；

5、研究過程；

獲得結

56、研究成果；

論撰寫

分7、收獲與體會；

實驗報

鐘8、對此研究的評價.

告

其中課題名稱要能夠準確描述所研究的問題，課題組分工要寫清小組中每

位成員的具體工作，課題的意義要講明為什么要研究本課題.研究計劃要在研

究前撰寫，寫明研究的步驟，以及每步的具體操作.研究過程要嚴格遵循事實，

盡可能詳實的記錄研究中遇到的問題和解決問題的具體辦法.研究成果要有一

定價值.收獲與體會可以和小組同學共同研討，寫出自己在研究過程中的真實

體會.

數學建?；顒拥脑u價可以通過考試的方式，但不應僅通過考試的方式來進

行，由于數學建?；顒痈匾曉诨顒舆^程中的收獲.所以可以通過下面多個角

度進行：

1、從選題的角度評價：精彩程度，創新程度，……;

3數學建2、從做題的角度評價：數學模型建立的合理程度，創新程度，……;

分?；顒?/p>