本章熱點專題訓練

【知識與技能】

進一步加深對一元二次方程及其解的理解，能選擇恰當的方法解一元二次方

程，掌握用一元二次方程解決實際問題的思路方法，加強對應用問題的分析和解

決能力.

【過程與方法】

經歷分析問題和解決問題的過程，拓展對一元二次方程的認識.

【情感態度】

進一步提高在實際問題中運用方程思想解決問題的能力，增強數學應用的興

趣和意識，感悟解一元二次方程的策略的多樣性和合理性，培養開拓創新精神.

【教學重點】

理解并掌握一元二次方程的解法、根與系數關系和根的判別式，加強構建一

元二次方程解決應用問題的能力.

【教學難點】

綜合運用一元二次方程定義、根的判別式及根與系數關系解決具體問題.

一、知識框圖，整體把握

二、釋疑解惑，加深理解

1.一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0(a,b,c為常數，且a≠0),這里二次

項系數a≠0是必要條件，而這一點往往在解題過程中易忽視，而致結論出錯.

思考若關于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0有一根為0，則常

數m的值為.（參考答案：m=2）

2.一元二次方程的解法有：開平方法、配方法、公式法和因式分解法.對于具

體的方程，一定要認真觀察，分析方程特征，選擇恰當的方法予以求解.無論選

擇哪種方法來解方程，降次思想是它的基本思想.

3.根的判別式及根與系數的關系：（1）根的判別式Δ=b2-4ac與0的大小關系

可直接確定方程的根的情況，當Δ=b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根；

當Δ=b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根.當Δ=b2-4ac＜0時方程沒有實數根.

2

（2）根與系數的關系：若方程ax+bx+c=0(a≠0)的兩個實數根為x1,x2，則

bc

x1+x2=-,x1·x2=.（3）利用根與系數的關系確定方程的待定字母系數時，千

aa

萬應注意驗證Δ=b2-4ac是否大于等于0，否則所求出的值就不合題意應舍去，這

點應引起學生高度重視.

4.列一元二次方程解實際應用問題是數學應用的具體體現，如解決傳播類問

題、增長率類問題、利潤問題及幾何圖形的計算問題等，而解決這些實際問題的

關鍵是弄清題意，找出其中的等量關系，恰當設未知數，建立方程并予以求解.

需注意的是，應根據問題的實際意義檢驗結果是否合理.

【教學說明】在對上述知識的回顧過程中，既可師生根據教材的主要知識點

進行剖析，也可由教師設置問題，讓學生思考后進行總結交流，從而整體上加強

對本章知識的理解，同時，對易錯點給予強調，引起學生注意.

三、典例精析，復習新知

例1已知關于x的方程（m+n-1）x(m+n)2+1-(m+n)x+mn=0是一元二次方程，

則m+n的值為.

分析：由題意應有(m+n)2+1=2,故(m+n)2=1,∴m+n=±1,又因為一元二次方程

的二次項系數m+n-1≠0，∴m+n≠1,從而可知m+n=-1.

2014

例2已知a是方程x2-2014x+1=0的一個根，求代數式a2-2013a+的值.

a21

解：根據方程根的定義有a2-2014a+1=0,從而a2-2013a=a-1.a2+1=2014a,故原

1a2a12014aa

式=a-1+===2013.

aaa

在評講本例時，要防止少數學生利用求根公式求出a的值再代入計算的做

法，解釋這種解法的弊端，并引導學生學會用整體代入思想解題的方法和技巧.

例3已知關于x的方程x2-2（m+1）x+m2=0有兩個實數根，試求m的最小

整數值.

解：由題意有Δ=［-2(m+1)］2-4×1×m2=8m+4≥0，∴m≥-1/2,故m的最小

整數值為0.

例4已知關于x的方程x2-2x-a=0.

（1）若方程有兩個不相等的實數根，求a的取值范圍；

112

（2）若此方程的兩個實數根為x1,x2，則的值能等于嗎？如果可以，

x1x23

請求出a的值；如果不能，請說明理由.

例5某零售商購進一批單價為16元的玩具，銷售一段時間后，為了獲得更

多利潤，商店決定提高銷售價格，經試驗發現，若按每件20元銷售時，每月可

銷售360件；若按每件25元銷售時，每月能賣出210件，假定每月銷售件數y

（件）是價格x的一次函數.

（1）試求y與x之間的關系式；

（2）當銷售價定為多少時，每月獲得1800元利潤？

（3）每月的利潤能達到2000元嗎？為什么？

解：在（1）中，設y=kx+b，把(20,360),(25,210)代入，可得y=-30x+960(16

≤x≤32);在（2）中，設獲利為w(元)，則w=(x-16)(-30x+960),當w=1800時，有

（x-16）(-30x+960)=1800，解得x1=22,x2=26,故銷售價定為22元或26元時，每

月可獲得1800元利潤；在（3）中，令（x-16)(-30x+960)=2000,整理，得

3x2-144x+1736=0,此時Δ=b2-4ac=（-144）2-4×3×1736=-96＜0，原方程無解，即

每月利潤不可能為2000元.

【教學說明】在具體教學時，教師可根據自己的設想設置例題，對所選例題

的處理仍應先讓學生自主探究，嘗試著獨立完成，讓學生邊回顧邊思考，加深對

本章知識的掌握.

四、復習訓練，鞏固提高

1.若方程(m2-2)x2-1=0有一根為1，則m的值是多少？

2.若方程3x2-5x-2=0有一根為a，則6a2-10a的值是多少？

3.已知關于x的方程(a-2)x2-2(a-1)x+(a+1)=0，a為何非負整數時，（1）方程

只有一個實數根？（2）方程有兩個相等實數根？（3）方程有兩個不等實數根？

4.百貨商店服裝柜在銷售中發現：某品牌童裝平均每天可售出20件，每件

盈利40元.為了迎接“六·一”國際兒童節，商店決定采取適當的降價措施，擴

大銷售量，增加盈利，盡量減少庫存.經市場調查發現：如果每件童裝降價1元，

那么平均每天可多售出2件.要想平均每天銷售這種童裝盈利1200元，在對顧客

利益最大基礎上，那么每件童裝應降價多少元？

【教學說明】這4個小題的設置旨在幫助學生復習知識，其中第1、2題較

簡單，由學生自主完成，第3、4題可由師生共同完成.

【答案】1.m=±32.43.(1)a=2;(2)a=3;(3)a=0或a=1

4.每件降價20元.

五、師生互動，課堂小結

通過這節課學習，對本章的知識你有哪些新的認識？有何體會？

【教學說明】師生共同進行小結反思，讓學生進一步加深對本章知識的理解

和領悟，積累解題方法和經驗，完善知識體系.

1.布置作業：從教材“復習題21”中選取.

2.完成本課的熱點專題訓練.

1.本節課為復習課，所以首先要讓學生了解本章的知識體系，該掌握哪些知

識點，所以