第三章一元函數的導數及其應用（測試）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數，則（

）A．1 B． C．2 D．42．曲線在點處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．3．若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．已知函數.若，對，則（

）A． B．C． D．5．已知函數，則函數（

）A．既有極大值也有極小值 B．有極大值無極小值C．有極小值無極大值 D．既無極大值也無極小值6．已知函數的導函數為，且，當時，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．7．若函數有極值，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．函數，若關于的不等式有且僅有三個整數解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．丹麥數學家琴生（Jensen）是19世紀對數學分析做出卓越貢獻的巨人，特別是在函數的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果，設函數在上的導函數為，在上的導函數為，若在上恒成立，則稱函數在上為“凸函數”，以下四個函數在上是凸函數的是（）A． B．C． D．10．已知函數，則（

）A．為奇函數B．的單調遞增區間為C．的極小值為D．若關于的方程恰有3個不等的實根，則的取值范圍為11．已知函數及其導函數的定義域均為，若是奇函數，滿足，且對任意，，，則（

）A． B． C． D．第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．燒水時，水溫隨著時間的推移而變化.假設水的初始溫度為，加熱后的溫度函數（是常數，表示加熱的時間，單位：min），加熱到第10min時，水溫的瞬時變化率是.13．已知函數，若函數恰有一個零點，則的取值范圍是.14．已知，對任意的，不等式恒成立，則的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）已知.(1)求并寫出的表達式；(2)證明：.16．（15分）某種兒童適用型防蚊液儲存在一個容器中，該容器由兩個半球和一個圓柱組成（其中上半球是容器的蓋子，防蚊液儲存在下半球及圓柱中），容器軸截面如題圖所示，兩頭是半圓形，中間區域是矩形，其外周長為100毫米．防蚊液所占的體積為圓柱體體積和一個半球體積之和．假設的長為毫米．(1)求容器中防蚊液的體積（單位：立方毫米）關于的函數關系式；(2)如何設計與的長度，使得最大？17．（15分）已知函數．(1)若，求函數在上的最大值和最小值；(2)討論函數的單調性．18．（17分）已知，，是自然對數的底數.(1)當時，求函數的極值；(2)若關于的方程有兩個不等實根，求的取值范圍；(3)當時，若滿足，求證：.19．（17分）對給定的在定義域內連續且存在導函數的函數，若對在定義域內的給定常數，存在數列滿足在的定義域內且，且對在區間的圖象上有且僅有在一個點處的切線平行于和的連線，則稱數列為函數的“關聯切線伴隨數列”.(1)若函數，證明：都存在“關