1.2集合的基本關系題型分類題型匯總【題型1判斷集合的子集（真子集）的個數】【題型2求集合的子集（真子集）】【題型3判斷兩個集合是否相等】【題型4根據集合相等求參數】【題型5空集的概念判斷以及性質與應用】【題型6Venn圖表示集合的關系】【題型7判斷元素與集合，集合與集合的包含關系】【題型8根據集合的包含關系求參】【題型9集合關系的新定義】【鞏固練習】知識點解讀1.子集一般地，對于兩個集合,,如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合為集合的子集，記為或（）讀作集合包含于集合（或集合包含集合）.集合是集合的子集可用圖表示如下：或關于子集有下面的兩個性質：（1）反身性：；（2）傳遞性：如果，且，那么.2.真子集如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記為（或），讀作集合真包含于集合（或集合真包含集合）.集合是集合的真子集可用圖表示如右.3.集合的相等如果集合，且，此時集合與集合的元素是一樣的，我們就稱集合與集合相等，記為.集合與集合相等可用圖表示如右.4.空集我們把不含任何元素的集合叫做空集，記為.我們規定空集是任何一個集合的子集，空集是任何一個非空集合的真子集，即（1）（是任意一個集合）；（2）（）.題型分類練習【題型1判斷集合的子集（真子集）的個數】1.若集合則的子集個數為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據子集的定義直接求解即可.【詳解】若集合有個元素，則其子集個數為，所以的子集個數為.故選：A2．已知集合,，則集合的真子集個數為（

）A．3 B．5 C．7 D．15【答案】C【分析】由知道為奇數，從而求出集合，然后由集合的真子集公式求得結果.【詳解】∵，∴為奇數，∴，∴集合中有3個元素，∴集合的真子集個數為：.故選：C3．已知集合，，則集合的所有真子集的個數（

）A．7 B．4 C．8 D．15【答案】A【分析】先求出集合，再根據子集的定義即可求解.【詳解】依題意，所以集合B的真子集的個數為.故選：A.4．已知集合，，則集合的真子集個數為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出集合，利用集合的真子集個數公式可求得集合的真子集個數.【詳解】因為，則，所以，集合的真子集個數為.故選：A.5．設集合，則集合A的子集個數為（

）A．4 B．16 C．8 D．9【答案】B【分析】根據條件，先化簡集合A，再利用子集個數的計算公式，即可求解.【詳解】由，則集合A的子集個數為.故選：B.6.設，為兩個非空實數集合，定義集合，若，，則集合的子集的個數為．【答案】32【分析】直接根據定義求出集合中的元素，再根據元素個數求出集合的子集個數即可.【詳解】因為定義集合，且，，又，所以集合A中的元素分別為1，2，3，4，5共5個，則集合的子集的個數為.故答案為：32．7.設集合均為質數的真子集的個數為．【答案】31【分析】利用列舉法表示集合，進而求出其真子集個數.【詳解】依題意，，所以集合的真子集的個數為.故答案為：31【題型2求集合的子集（真子集）】1.（多選）下列是集合的子集的為（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】寫出集合的所有子集即可得解.【詳解】集合的子集為．故選：ABD2.集合的子集有；其中真子集有．【答案】【分析】根據子集和真子集的定義求解即可.【詳解】集合{a，b，c}的子集有：；真子集有：.故答案為：；3（1）寫出集合的子集和真子集．（2）寫出集合的所有子集和真子集．（3）寫出集合的所有子集和真子集．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）答案見解析【分析】根據子集與真子集的定義求解即可．【詳解】（1）子集：，；真子集：；（2）子集：，，，；真子集：，，；（3）子集：，，，，，，，；真子集：，，，，，，．4.設集合，列出集合A的子集.【答案】A的子集為【分析】先由條件確定集合的元素，再根據子集的定義寫出其所有子集.【詳解】由化簡可得，所以A的子集為5.已知集合，且.(1)求的值；(2)寫出集合的所有真子集.【答案】(1)(2)，，，，，，.【分析】（1）由，求得或，結合元素的特征，即可求解；（2）由（1）知集合，根據集合子集的概念，即可求解.【詳解】（1）當時，，不滿足集合元素的互異性，不合題意；當時，解得或，不合題意，當時，，符合題意；綜上，；（2）由（1）可得，故集合A的所有真子集為：，，，，，，.6.已知集合(1)若，請寫出集合的所有子集；(2)若集合，且，求的取值范圍.【答案】(1)、、、(2)【分析】（1）當時，求出集合，即可寫出集合的所有子集；（2）對集合中的元素個數進行分類討論，結合可得出關于實數的等式或不等式，綜合可得出實數的取值范圍.【詳解】（1）解：當時，，所以，集合的所有子集有：、、、.（2）解：因為，分以下幾種情況討論：①當時，對于方程，，解得；②當集合只有一個元素時，對于方程，，可得，此時，，此時，；③當集合有兩個元素時，因為，則，即，即關于的方程的兩根分別為、，所以，，無解.綜上所述，實數的取值范圍是.7.已知集合且，且(1)寫出集合的子集，真子集；(2)求集合的子集數，非空真子集數．【答案】(1)答案見解析(2)16，14【分析】（1）根據集合的子集和真子集的概念即可求解；（2）利用集合的子集和非空真子集個數的求解公式，即可得出其相應的個數．【詳解】（1），的子集有：，，，，，，，；的真子集有：，，，，，，．（2），有4個元素，的子集數為個，的非空真子集數為個．【題型3判斷兩個集合是否相等】1.給出以下集合，其中是相等集合的有（

）A．，B．，C．，D．，【答案】D【分析】根據集合相等的定義逐項判斷即可.【詳解】對于A，中只有一個元素，中有兩個元素，，故，不是相等的集合；對于B，，，是空集，中有一個元素，故，不是相等的集合；對于C，，，和中各有一個元素，但元素不相同，故，不是相等的集合；對于D，解一元二次方程可得，或，故，解一元二次方程可得，或，故，和都只有兩個元素，，所以和是相等的集合．故選：D．2．下列每組集合是相等集合的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據集合相等的概念判斷四個選項即可.【詳解】對于A，，，故，所以A錯誤；對于B，為點集，為數集，故，所以B錯誤；對于C，，，故，所以C錯誤；對于D，數集和數集元素一樣，故，所以D正確，故選：D.3.集合，，的關系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據集合包含關系的定義和集合相等的定義判斷即可.【詳解】根據集合的概念可知集合表示所有被除余的數以及所構成的集合，集合表示所有被除余的數所構成的集合，所以，集合表示所有被除余的數所構成的集合，任取，則，，所以，，又，，所以，綜上，故選：A4.（多選）給出以下幾組集合，其中相等的集合有（

）A．B．C．D．【答案】BC【分析】相等集合即集合中的元素完全一致，通過此定義逐一判定各選項即可.【詳解】對于選項A，是點集,是數集，所以不是相等集合；對于選項B,,都表達的是奇數集，所以是相等集合；對于選項C，,所以是相等集合；對于選項D,是空集沒有元素，有元素為0，所以不是相等集合.故選：BC.5.（多選）下列集合中，可以表示為的是（

）A． B．C． D．不等式組的解集【答案】AB【分析】將各集合用列舉法表示，判斷集合是否與相等，即可得答案.【詳解】由，A符合；由，B符合；由表示點集合，不是數集，C不符合；由，解集為，D不符合.故選：AB6．（多選）下列各組中M，P表示相同集合的是（）A．M={x∣x=2n，n∈Z}，P={x∣x=2（n+1），n∈Z}B．M={y∣y=x2+1，x∈R}，P={x∣x=t2+1，t∈R}C．M={x∣∈Z，x∈N}，P={x∣x=2k，1≤k≤4，k∈N}D．M={y∣y=x2－1，x∈R}，P={（x，y）∣y=x2－1，x∈R}【答案】ABC【分析】根據相同集合的意義，逐項分析判斷作答.【詳解】對于A，因為n∈Z，則n+1∈Z，因此集合M，P都表示所以偶數組成的集合，A正確，對于B，M={y∣y=x2+1，x∈R}，P={x∣x=t2+1，t∈R}，即B正確，對于C，M，P因此C正確，對于D，集合M的元素是實數，集合P的元素是有序實數對，因此D不正確.故選：ABC7.已知集合，則下列與相等的集合為．（填序號）①

；②；③

；④．【答案】①②【分析】解方程組可化簡①，由偶次根式有意義可計算②，分別研究為奇數、為偶數可計算③，由N的定義可得④，依次判斷即可求得結果．【詳解】對于①，；對于②，中解得，故；對于③，當為奇數時，；當為偶數時，，所以；對于④，．故答案為：①②.【題型4根據集合相等求參數】1.已知集合，，且，則（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【分析】根據集合相等結合集合的互異性可得的值，即可得結果.【詳解】，，若，則，或，解得，或，或，經驗證，當時，不滿足集合中元素的互異性，舍去，所以當時，；當時，，故選：C.2．已知集合，，若，則（

）A．或2 B．或1 C． D．1【答案】D【分析】由集合相等即可求得結果.【詳解】集合，，因為，所以，解得，故選：D.3.已知，若，則．【答案】1【分析】先根據分式有意義可得到的值，再根據相等集合以及集合元素的互異性得到的值，即可求得結果.【詳解】由已知得，則，所以，于是，即或，又由集合中元素的互異性知應舍去，故，所以．故答案為：1.4．已知集合，集合，若，則實數的值是．【答案】【分析】根據集合相等解方程即可求得結果.【詳解】因為，所以；依題意可得且.即實數的值是.故答案為：5．已知集合，若，則.【答案】【分析】根據建立方程，求解出參數，得到答案即可.【詳解】因為集合，所以，解得，從而故答案為：【題型5空集的概念判斷以及性質與應用】1.下列四個集合中是空集的是（

）A． B．C．，或 D．【答案】B【分析】根據空集的定義進行判斷可得答案.【詳解】對于A，不是空集，故A錯誤；

對于B，無解，所以集合是空集，故B正確；對于C，集合，或不是空集，故C錯誤；對于D，集合不是空集，故D錯誤.故選：B.2.下列四個集合中是空集的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據空集的定義，結合選項即可求解.【詳解】對于A,集合中有一個元素，故不是空集，對于B,方程無實數解，∴集合為空集，對于C，是無限集，所以不是空集，對于D,，不是空集.故選：B．3.下列集合中為的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據集合的表示方法，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由集合中有一個元素，不符合題意；對于B中，由集合中有一個元素，不符合題意；對于C中，由方程，即，此時方程無解，可得，符合題意；對于D中，不等式，解得，，不符合題意.故選：C.4.下列四個說法中，正確的有（

）①空集沒有子集；②空集是任何集合的真子集；③若，則；④任何集合至少有兩個子集．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【分析】根據空集的性質判斷即可.【詳解】①空集是任何集合的子集，所以①錯；②空集是任何非空集合的真子集，所以②錯；③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③錯；④空集只有自己本身一個子集，所以④錯.故選：A.5．下列命題中正確的是（

）A．空集沒有子集B．空集是任何一個集合的真子集C．任何一個集合必有兩個或兩個以上的子集D．設集合，那么，若，則【答案】D【解析】根據集合的相關概念，逐項判斷，即可得出結果【詳解】A選項，空集是其本身的子集，A錯；B選項，空集是任一非空集合的真子集，B錯；C選項，空集只有一個子集，即是空集本身；C錯；D選項，若，則中元素都在中，中沒有的元素，則中也沒有；故D正確.故選：D.6.（多選）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】由題意得，根據相等集合和子集的定義即可判斷.【詳解】由題意得，，則且，可得A，C，D正確.故選：ACD.7.若集合是空集，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據給定條件，利用空集的意義，結合一元二次方程根的情況求得答案.【詳解】集合是空集，則關于的方程無實根，當時，方程為有兩個不等實根，不符合要求，當時，，方程無實根，所以的取值范圍是.故選：B8.若集合有且僅有1個子集，則a的值可以為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據子集個數確定是空集，然后由方程無實數解得參數范圍，確定正確選項．【詳解】由集合A有且僅有1個子集可知，A是，當時，，不符合題意；當時，由可得．故選：C．9.已知a是實數，若集合是任何集合的子集，則a的取值范圍值是.【答案】【分析】根據題意分析可知方程無解，結合判別式分析求解.【詳解】由題意可知：集合是空集，即方程無解，則，解得，所以a的取值范圍值是.故答案為：.10．已知集合，則實數k的取值范圍是.【答案】【分析】根據空集的定義，要使集合，則，解之即可求解.【詳解】∵，∴，解得，因此實數k的取值范圍是.故答案為：.【題型6Venn圖表示集合的關系】1.下列表示集合和的關系的Venn圖正確的是．A． B．C． D．【答案】B【分析】先用列舉法表示,根據與的關系判斷Venn圖即可【詳解】由,即,可知,故選B【點睛】本題考查列舉法表示集合,Venn圖表示集合之間的關系2．已知集合，則M與N的關系可用Venn圖表示為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由集合關系與Venn圖的關系判斷．【詳解】由已知，選項D符合．故選：D．3．能正確表示集合和集合的關系的Venn圖是()A． B．C． D．【答案】B【分析】本題先解出中的一元二次方程，再利用集合間關系的判斷以及用venn圖表示集合的關系即可得出答案.【詳解】根據題意，易得為方程的解集，解可得或，則，而，易得；分析選項可得，B符合；故選：B.4．下列Venn圖能正確表示集合和關系的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】確定集合，的關系，然后選擇合適的圖象即可.【詳解】，又，所以，選項B符合，故選：B.【題型7判斷元素與集合，集合與集合的包含關系】1.下列集合之間關系正確的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】化簡各選項中的集合，利用集合相等和集合的包含關系逐項判斷即可.【詳解】對于A選項，，，故，A錯；對于B選項，，，故，B對；對于C選項，為數集，為點集，則、無包含關系，C錯；對于D選項，，故，D錯.故選：B.2．下列各式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據元素與集合、集合與集合的關系逐項判斷即可.【詳解】對于A選項，，A錯；對于B選項，，B錯；對于C選項，，C錯；對于D選項，，D對.故選：D.3．已知集合，則（

）A． B．C．? D．?【答案】C【分析】由集合，即可判斷集合間的關系.【詳解】由，顯然為奇數，而，所以?.故選：C4．下列六個關系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正確的個數為（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】①根據子集的定義判斷；②根據集合中的元素的特征判斷；③根據集合中有一個元素0判斷；④根據元素與集合的關系判斷；⑤根據集合與集合的關系判斷；⑥根據空集是任意集合的子集判斷.【詳解】依據子集定義，任何集合都是自身的子集，①正確；集合中的元素具有無序性，②正確；集合中有一個元素0，不是空集，③正確；0是集合中的元素，所以，④正確；空集和集合兩個集合的關系為包含關系不是屬于關系，⑤錯誤；由于空集是任意集合的子集，則，⑥正確；故選：C5．若，則以下正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據元素與集合、集合與集合間的關系判斷即可【詳解】對于A，為元素，為集合，所以，故A錯誤；對于B，為集合，為集合，且，所以，故B正確；對于C，為集合，是有序數對，故C錯誤；對于D，為集合，為集合，且，故，故D錯誤.故選：B6.已知集合，，則集合M與N的關系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解方程確定集合，然后由子集、真子集的定義判斷．【詳解】解方程，得或，則，因為且，且，所以．又因為但，所以．故選：C．7.．，A、B、C之間有什么關系？【答案】（子集符號也可以寫出真子集）.【分析】根據包含關系分析判斷.【詳解】因為，可知，所以（子集符號也可以寫出真子集）.8．指出下列各對集合之間的關系：(1)，；(2)，；(3)為正整數}，，為正整數}．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據已知條件，結合子集的定義，舉例即可求解；（2）根據已知條件，結合子集的定義，理解的倍數一定是的倍數，的倍數不一定是的倍數，即可求解；（3）根據已知條件，結合子集的定義，注意奇數1即可求解．【詳解】（1）解：的唯一元素，又，；（2）解：，，，，的倍數一定是的倍數，的倍數不一定是的倍數，例如：，；（3）解：為正整數}正奇數，，為正整數}不小于3的正奇數，．【題型8根據集合的包含關系求參】1.已知集合，若，則的值為（

）A．1 B． C． D．2或【答案】A【分析】由集合包含關系，分，兩類情況討論即可.【詳解】.當時，，則，不符合題意；當時，，則，即，符合題意.故選：A2．已知集合，，若，則（

）A．0 B． C．1 D．0或1【答案】C【分析】根據集合的包含關系，分類討論，即可求解a的值．【詳解】因為集合，，，所以，所以或，若，則，此時，滿足題意；若，則，此時集合不滿足集合元素的互異性，舍去．綜上，．故選：C．3.已知集合，，若，則（

）A．1 B． C．1或0 D．1或【答案】D【分析】由得或求出值，并根據集合元素互異性檢驗得解.【詳解】因為，當，即時，，，符合題意；當，即時，，，符合題意．綜上，或．故選：D．4．已知集合，，若，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用集合間的包含關系求解.【詳解】因為，，且，所以，所以實數的取值范圍是，故選:D.5.已知，，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據集合的基本關系分類討論計算求參即可.【詳解】因為，所以當，即時，，滿足，即；當，即時，，滿足，即；當，即時，由，得，，即；綜上，．故選：C．6.已知集合，，若，則實數的取值范圍是．【答案】【分析】根據集合的包含關系列不等式求結論即可.【詳解】因為，，，所以，所以．故答案為：7．已知集合，，且，則實數的值為.【答案】【分析】由集合包含關系得到即可求解；【詳解】由題意可知，解得：，故答案為：8.若集合，，且，求實數的值.【答案】或0【分析】根據，可分類討論，，時的值，從而可求解.【詳解】由題意知，當時，，符合題意；當時，；當時，，綜上，的值為或.9.已知集合.(1)若，求實數的取值集合.(2)若的子集有兩個，求實數的取值集合.(3)若且，求實數的取值集合.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據，可得，再分和兩種情況討論即可；（2）由題意可得集合中只有一個元素，再分和兩種情況討論即可；（3）先根據求出，進而求出集合，再分和兩種情況討論即可.【詳解】（1）因為，所以，當時，則，與題意矛盾，當時，則，解得，綜上所述，實數的取值集合為；（2）因為的子集有兩個，所以集合中只有一個元素，當時，則，符合題意，當時，則，解得，綜上所述，實數的取值集合為；（3）因為，所以，解得，所以，當時，，當時，，因為，所以或，解得或，綜上所述，實數的取值集合為.10.已知集合，，且，求實數的取值范圍．【答案】【分析】根據集合的基本關系得出不等式組計算即可.【詳解】由于，在數軸上表示A，B，如圖，可得解得所以的取值范圍是．11．已知集合，，若，求實數的取值范圍．【答案】．【分析】先將集合化簡，再分與討論，即可得到結果.【詳解】由解得，所以，且，當時，符合，則，解得，當時，即時，要使，則，解得，綜上所述，實數的取值范圍為.12．已知關于的一元二次方程有實根對應的取值構成集合，集合.(1)求集合；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據判別式求解出結果；（2）分類討論和，列出不等式組求解出的取值范圍.【詳解】（1）因為有實根，所以，解得，所以.（2）因為，當時，滿足，此時，解得；當時，因為，所以，解得，綜上所述，的取值范圍是或.13．設集合．(1)當時，求A的非空真子集的個數；(2)若，求實數m的取值范圍．【答案】(1)(2){或}【分析】（1）先解不等式確定集合A，再由元素個數計算非空真子集即可；（2）根據集合間的基本關系，分類討論B是否為空集計算即可.【詳解】（1）由知，且可得，所以A的非空真子集的個數為；（2）因為，若，則，可得；若，則，解之得；綜上所述：實數m的取值范圍為{或}.【題型9集合關系的新定義】1.對于非空集合（，），其所有元素的幾何平均數記為，即．若非空數集滿足下列兩個條件：①?；②，則稱為的一個“保均值真子集”，則集合的“保均值真子集”的個數為（

）A．2 B．4C．6 D．8【答案】C【分析】先求出，再結合“保均值真子集”的概念列舉集合的“保均值真子集”即可得到答案.【詳解】因為集合，則，所以集合的“保均值真子集”有：,,,,,，共6個．故選：C2.（多選）已知，記為集合中元素的個數，為集合中的最小元素．若非空數集，且滿足，則稱集合為“階完美集”．記為全部階完美集的個數，下列說法中正確的是（

）A．B．將階完美集的元素全部加1，得到的新集合，是階完美集C．若為階完美集，且，滿足條件的集合的個數為D．若為階完美集，且，滿足條件的集合的個數為【答案】ABD【分析】通過對不同階數完美集的子集情況進行分析來確定集合個數，同時依據完美集的性質判斷相關結論的正確性.【詳解】當非空數集是子集中含個元素的子集時，.根據“n階完美集”的定義，中大于等于的數有、、、共個，所以此時可以是、、、.當非空數集是子集中含個元素的子集時，.中大于等于的數有、、共個，所以此時可以是、、.當非空數集是子集中含個元素的子集時，.中大于等于的數有、共個，不滿足“n階完美集”的定義，所以中個元素的子集不滿足.同理，中含個元素的子集也不滿足.綜上，4階完美集有、、、、、、，所以，故A正確.若將“n階完美集”中元素全部加，中元素個數不變，但加變大，均不違背“階完美集”的定義，所以得到的新集合是一個“階完美集”，故B正確.若，滿足條件的集合的個數為7，而,C錯誤；對于滿足“階完美集”的所有，不屬于所有，可視為退化為“階完美集”的情況，總個數為.又因為，所以滿足條件的集合要排除掉“階完美集”中只含有個元素的情形（排除個單元素集合），因此滿足條件的集合的個數均為，D正確.故選：ABD.【點睛】關鍵點點睛：新定義題型，關鍵就是讀懂題意，將陌生的概念轉化為熟悉的知識，再借助舊知解題即可.3.設集合，對和，定義：．已知集合是的子集，對任意，滿足：當，時，為偶數，否則為奇數，則中元素個數的最大值為．【答案】【分析】先列舉出兩個元素和的取值，再結合條件，進行分類討論，即可求解.【詳解】集合中任取兩個元素和對應坐標計算結果如下表：000010100111因為當，時，為偶數，所以集合中任一元素含有1的個數為0，2或4，分別如下：①；②，，，，，；③，根據題意，可知集合中至多含以上8個元素．當和不同時，因為為奇數，所以和的四個對應位置都為1的恰有1個或3個，若中不含第②類元素，則中至多1個元素，若中含第②類元素，不妨設，則第①和③類的兩個元素不在中，對于第②類元素中，不在中，其余都可以是的元素，所以集合中元素個數的最大值為5，故答案為：.4.對非空數集及實數，定義，，已知．(1)當時，若集合為單元素集，求；(2)當時，若集合，求的所有取值構成的集合；(3)若中有3個元素，求實數的取值范圍．【答案】(1)或(2)(3)【分析】（1）代入，根據列出方程求解出的值，則結果可知；（2）代入，根據列出方程組，化簡方程組結合韋達定理求解出結果；（3）根據進行分類討論，結合方程組解的情況進行分類討論，由此求解出結果.【詳解】（1）時，設，由，得，所以，即，得或1，故或.（2）時，，由，得，得或，即或，當時，是方程的兩根，故，當時，兩式相減得，由集合中元素的互異性得，所以，故，即，同理，故是方程的兩根，所以，故ab的所有取值構成的集合為.（3）設，由，得，①若，故是方程的三個不等的實數根，而此方程最多有兩個實數根，不可能有三個實數根，故不成立；②若，當時，，令，得，對，，兩式相減得，因為，所以，代入，得，同理，故為方程的兩個不相等的實根，令，得，當時，與均有兩個不相等的實根，且這兩個方程的根不完全相同，故符合題意；③若，則，由得，則，，，得，因為，所以，令,則由上式得,，，所以，即此種情況下，綜上，實數k的取值范圍是.【點睛】關鍵點點睛：本題屬于集合中的新定義問題，解答問題的關鍵在于對定義的理解；前兩問通過將新定義的集合中元素關系轉化為方程問題進行直接求解；第三問需要對可能成立的方程組進行是否有解的分析與判斷，注意元素的不同對應關系.5.對于給定的集合，若存在滿足如下條件的集合：①，若，則；②，若，則，則稱為的共軛集合．(1)若，求的存在共軛集合；(2)若，，存在恰有個元素的共軛集合，求證：；(3)若集合存在共軛集合，且，求集合中的元素個數的最大值．【答案】(1)；(2)證明見詳解；(3)4.【分析】（1）根據共軛集合的定義，以及，可知，再說明集合中沒有第4個元素即可得解；（2）設，假設，由條件①結合條件②推出矛盾，假設不成立，即可得證；（3）由題意設，由條件①和條件②逐步分析得即可由得解.【詳解】（1）因為，由題意可得：，即，此時，滿足題意；假設集合中還有第4個元素，則由題意知：若，即或，此時，故不成立，若，則，所以或4或8，這與元素的互異性矛盾，綜上所述，集合中沒有第4個元素，所以的共軛集合.（2）不妨設，恰有個元素的共軛集合為，假設，即，則，，且，由條件②，因為，故有，即，所以，則.因為集合有4個元素，故設，若，則或，此時，矛盾.若，則，所以或或，即或或，這與集合元素的互異性矛盾.故假設不成立，即.（3）不妨設，的共軛集合為，.所以，，又因為，所以.同理.若，由（2）可知：，從而.對于任意的，有，即，所以，解得.若，即，，故，所以，故，從而，對任意的，必有，即，所以，解得.綜上所述，的最大值為4.當時，，符合題意.【點睛】思路點睛：在理解相關新概念、新定義時，運用學過的知識，結合已掌握的技能，通過推理、運算等解決問題.在新環境下研究“舊”性質，主要是將新性質應用在“舊”性質上，創造性地證明更新的性質，此題的落腳點仍然是集合中元素的互異性，確定性，無序性.鞏固練習【選擇題】1.設集合，，則B的非空子集個數為（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【分析】根據集合的含義得到集合的元素，然后求非空子集個數即可【詳解】要使，，則，故B中含有三個元素，所以B的非空子集有，，，，，，共7個．故選：C.2.下列選項錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用集合與集合的關系逐項判斷即可.【詳解】對于A，集合中的元素在集合中，，A正確；對于B，集合與集合中的元素相同，，B正確；對于C，集合中的元素都在集合中，，C正確；對于D，集合中的元素不是空集，不正確，D錯誤.故選：D3.已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意可得，結合選項逐項分析即可.【詳解】由題意可得：，所以，，，，即不是集合M的子集，故B正確，ACD錯誤.故選：B.4.下列四個命題：①空集沒有子集；②空集是任何一個集合的真子集；③?＝{0}；④任何一個集合必有兩個或兩個以上的子集．其中正確命題的個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根據空集的定義和性質判斷即可.【詳解】因為空集是其本身的子集，故①錯誤；空集只有本身一個子集，故②④錯誤；空集沒有元素，而集合{0}含有一個元素0，故③錯誤．故正確命題個數為0.答案：A.5.已知空集，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據二次方程無解等價于判別式小于0計算即可.【詳解】由題意，二次方程無解，故，解得.故選：D6.設集合，，且，則（

）A．1 B．2 C．1或2 D．1或2【答案】B【分析】利用集合間的包含關系列出方程，求解檢驗即得.【詳解】由題意，，則有或，解得或，顯然當時，集合中的元素出現重復，與集合元素的互異性矛盾，而時，，，滿足.故選：B.7.已知集合，，若，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據集合的包含關系即可求解.【詳解】由題意，因為，即集合是集合的子集，所以.故選：D.8.（多選）下列關于空集的說法中，正確的有（

）A． B．? C． D．【答案】CD【分析】根據空集的定義以及元素與集合、集合與集合之間的基本關系逐一判斷即可求得結果.【詳解】不含有任何元素的集合是空集，所以A錯誤；任一集合是它自身的子集，即，所以B錯誤；集合有一個元素為，即，所以C正確；空集任何集合的子集，所以，即D正確.故選：CD【填空題】1.集合的非空子集的個數為.【答案】7【分析】利用集合中的元素個數即可求得對應集合的子集個數，再去除空集即可得出結果.【詳解】易知集合中有3個元素，根據元素個數與子集個數之間的關系可得，集合的非空子集的個數為個.故答案為：7.2.下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的實數解組成的集合.其中，是空集的所有序號為.【答案】②④⑥【分析】根據空集的定義逐項判斷即可.【詳解】①集合中含有一個元素，故不是空集；②因為，，故是空集；③集合中含有一個元素，故不是空集；④是空集；⑤集合中含有一個元素，故不是空集；⑥因為方程沒有實數解，故是空集；故答案為：②④⑥.3.已知集合的所有非空子集的所有元素之和為10，則．【答案】5【分析】寫出集合的所有非空子集，然后根據題意列出等式，化簡即可求解.【詳解】集合的非空子集有，依題意,所以故答案為：5.4.集合的子集有；其中真子集有．【答案】【分析】根據子集和真子集的定義求解即可.【詳解】集合{a，b，c}的子集有：；真子集有：.故答案為：；5．已知集合，，若，則實數的取值范圍是．【答案】【分析】根據集合的包含關系列不等式求結論即可.【詳解】因為，，，所以，所以．故答案為：6．已知集合，，且，則實數的值為.【答案】【分析】由集合包含關系得到即可求解；【詳解】由題意可知，解得：，故答案為：【解答題】1.已知集合．(1)若，寫出集合A的所有子集；(2)若集合A中僅含有一個元素，求實數a的值．【答案】(1)(2)0或【分析】（1）求出集合A，進而求出其子集即得.（2）按a的值是否為0，分類求解即得.【詳解】（1）若，則，所以集合A的所有子集是：，（2）當時，方程，符合題意，因此，當時，集合A中僅含有一個元素，則，解得，所以實數a的值為0或.2.已知集合，.(1)若是的真子集，求的取值范圍；(2)若是的子集，求的取值范圍；(3)若，求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由真子集的定義，確定的取值范圍；（2）由子集的定義，確定的取值范圍；（3）由集合相等求出的值.【詳解】（1）

若是的真子集，則由圖知，，故的取值范圍為.（2）

若是的子集，已知，則，則由圖知，，故的取值范圍為.（3）若，則.3.集合，，若，求的值．【答案】6【分析】根據集合相等的定義，由根與系數關系求解．【詳解】由題意，，則，所以，解得．4.若由一元二次方程的實數根組成的集合是空集，求實數a的取值范圍.【答案】【分析】利用根的判別式可解.【詳解】依題意，一元二次方程無實根，則，即，解得.5.已知集合，其中是關于的方程的兩個不同的實數根.(1)若，求出實數的值；(2)若，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據得到，結合方程的兩根得到方程，求出；（2），故，結合方程的兩根得到不等式，求出.【詳解】（1）因為，故，又的兩根