高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1甘肅省酒泉市瓜州縣2025屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得，則.故選：D.2.滿足的集合A的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.7 C.8 D.15【答案】B【解析】由，整理可得，解得或，則，設(shè)，所以＝，可得.故選：B.3.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，75成等比數(shù)列，且，則數(shù)列的公差（）A. B.2 C.5 D.2或5【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，75成等比數(shù)列可得，即，①，又，即②，由①②解得，，故選：B.4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】恒成立，故的定義域?yàn)镽，，故為奇函數(shù)，BD錯(cuò)誤；當(dāng)趨向于時(shí)，的增長(zhǎng)速度遠(yuǎn)大于的速度，故趨向于0，C錯(cuò)誤，A正確.故選：A5.已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圓的圓心，半徑，由雙曲線的離心率為，得，解得，于是雙曲線的漸近線方程為，即，當(dāng)漸近線為時(shí)，點(diǎn)到此直線距離，即直線與已知圓相離，不符合要求，當(dāng)漸近線為時(shí)，點(diǎn)到此直線距離，則直線與已知圓相交，所以弦長(zhǎng).故選：D6.某廠生產(chǎn)一批圓臺(tái)形臺(tái)燈燈罩，燈罩的上下底面都是空的，圓臺(tái)兩個(gè)底面半徑之比為，高為16cm，母線長(zhǎng)為20cm，如果要對(duì)100個(gè)這樣的臺(tái)燈燈罩外表面涂一層防潮涂料，每平方米需要100克涂料，則共需涂料（）A.克 B.克 C.克 D.克【答案】C【解析】作圓臺(tái)的軸截面如圖：梯形為等腰梯形，取上、下底面的中心分別為、，再取中點(diǎn)，連接，則中，因?yàn)椋裕?所以.所以燈罩的側(cè)面積為：.所以100個(gè)燈罩的外表面面積為：.又每平方米需要100克涂料，所以共需涂料克.故選：C7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，為圖象與軸的交點(diǎn)，為圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)，且.若實(shí)數(shù)，滿足，則（）A. B.0 C. D.2【答案】C【解析】由正弦函數(shù)的圖象可知，，則.已知，設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，因?yàn)椋裕矗獾茫ㄓ蓤D象可知點(diǎn)縱坐標(biāo)為負(fù)）.因?yàn)樵诘膱D象上，所以，即，又因?yàn)椋裕瑒t.因?yàn)樵诘膱D象上，所以，即，，，，.由圖象可知，（為函數(shù)周期），，又，所以，，當(dāng)時(shí)，滿足條件，所以.因?yàn)榈淖畲笾禐椋钚≈禐椋阎裕粋€(gè)為，一個(gè)為.不妨設(shè)，，則，，解得；，，解得.所以.將代入得：.故選：C.8.已知，.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得，，因?yàn)椋詢蛇吶?duì)數(shù)整理可得，，所以又，，，且，即，所以，，所以.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則（）A.曲線在處的切線方程為B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.在區(qū)間上有極小值D.在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】BC【解析】依題意，，對(duì)于A，，，所求切線方程為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，B正確；對(duì)于C，在上都單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，則存在唯一，使得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此在處取得極小值，C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，在上有唯一零點(diǎn)，又，當(dāng)時(shí)，，即，，因此在區(qū)間上有1零點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選：BC10.某校高三年級(jí)在一次考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，從中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的成績(jī)，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.為進(jìn)一步分析學(xué)生的成績(jī)分布情況，經(jīng)計(jì)算得到這200名學(xué)生中，成績(jī)位于的學(xué)生成績(jī)方差為13.75，成績(jī)位于的學(xué)生成績(jī)方差為7.75.則（）A.B.估計(jì)該年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)約為76.14C.估計(jì)該年級(jí)在80分及以上的學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為87.50D.估計(jì)該年級(jí)在80分及以上的學(xué)生成績(jī)的方差為31【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，在頻率分布直方圖中，各長(zhǎng)方形的面積之和為1，則，解得，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，前兩個(gè)矩形的面積之和為，前三個(gè)矩形的面積之和為，設(shè)該年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為，則，根據(jù)中位數(shù)的定義可得，解得，所以，估計(jì)該年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)約為77.14，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，估計(jì)成績(jī)?cè)?0分以上的同學(xué)的成績(jī)的平均數(shù)為分，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，估計(jì)該年級(jí)成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生成績(jī)的方差為，故D正確.故選：ACD.11.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為底面上的動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），則（）A.滿足平面的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為B.滿足的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度小于C.存在點(diǎn)P滿足D.存在點(diǎn)P滿足【答案】AC【解析】對(duì)A：如圖：取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則易證平面平面，此時(shí)平面，故平面時(shí)，點(diǎn)的軌跡為線段.因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為2，所以，故A正確；對(duì)B：如圖：因?yàn)椋遥裕藭r(shí)點(diǎn)軌跡為以為圓心，半徑為的圓在正方形內(nèi)的部分，易得分別為，中點(diǎn)，所以，故劣弧的長(zhǎng)度大于，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：如圖：當(dāng)為正方形中心時(shí)，，，，所以，所以，故C正確；對(duì)D：如圖：做點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，則在直線上，且，連接，則，且.故D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知單位向量，，滿足，則________.【答案】【解析】由題意，作等腰，且，記的中點(diǎn)為，連接，如下圖：設(shè)，，由圖可知，由為單位向量，則，等腰中，易知，在中，，則，即，所以.故答案為：.13.某校舉辦一年一度的田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中田賽含跳高、跳遠(yuǎn)、三級(jí)跳遠(yuǎn)、標(biāo)槍和鉛球等5個(gè)項(xiàng)目，徑賽含100米、110米欄、400米、1000米等4個(gè)項(xiàng)目.某班為選拔優(yōu)秀運(yùn)動(dòng)員，在班內(nèi)組織選拔賽，要求同學(xué)們積極報(bào)名參賽，每位同學(xué)田賽與徑賽各至少報(bào)名1個(gè)項(xiàng)目，且每人至多報(bào)3個(gè)項(xiàng)目，則每位同學(xué)的報(bào)名方案共有________種.（用數(shù)字作答）【答案】90【解析】當(dāng)只報(bào)兩個(gè)項(xiàng)目，由題意：；若報(bào)3個(gè)項(xiàng)目，由題意：；所以共有90中，故答案為：9014.已知，，若對(duì)任意，都存在，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.【答案】【解析】由得，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；所以.且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故的值域?yàn)椋辉O(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；所以，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故的值域?yàn)椋灰李}意，的值域是的值域的子集.顯然，若，則的值域?yàn)椋缓项}意，舍去；若，則的值域，則需的值域，則，解得.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.的內(nèi)角的對(duì)邊分列為，已知.（1）證明：；（2）若點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，平分，，且的面積是面積的2倍，求.（1）證明：因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫谥校校裕矗裕矗驗(yàn)椋裕颍ㄉ崛ィ?（2）解：平分，的面積是面積的2倍，，即，設(shè)AB邊上的高為h，又，即，，，，.以下有不同解法.解法一：，，即，.解法二：在中由余弦定理得，，即①由.則，又，，即②.由①②聯(lián)立得，.解法三：在中由正弦定理得，又，，，，又A為中較小的角，，，則，.16.如圖1所示，在平行四邊形EBCD中，，垂足為，，將沿折到的位置，使得二面角的大小為，如圖2所示，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）證明：；（3）若點(diǎn)在棱上，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.（1）證明：由題意可知，圖2中，，，平面，所以平面.又面，所以平面平面.（2）解法一：由平面幾何知識(shí)可知，在圖2中取AD中點(diǎn)O，連接MO，PO，因?yàn)镸為AB中點(diǎn)，所以，，因?yàn)椋詾槎娼堑钠矫娼牵裕瑒t為等邊三角形，所以.又平面平面ABCD，交線為AD，所以平面ABCD，所以.又，且平面PMO，所以平面PMO.又平面PMO，所以.解法二：因?yàn)椋詾槎娼堑钠矫娼牵裕訟為原點(diǎn)，AB，AD所在直線為x，y軸，平行于PO的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，則，，所以，所以.（3）解：以A為原點(diǎn)，AB，AD所在直線為x，y軸，平行于PO的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，設(shè)，面AMN的法向量為，，，則，取，則.又，所以因?yàn)橹本€PC與平面AMN所成角的正弦值為，所以解得，，，當(dāng)時(shí)，直線PC與平面AMN所成角的正弦值為.17.甲乙兩人輪流投擲質(zhì)地均勻的骰子，第一輪甲先后投擲兩次，接著乙先后投擲兩次，依此輪流每人連續(xù)投擲兩次.（1）甲先后投擲兩次，在第一次擲出偶數(shù)點(diǎn)的條件下，求甲兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和大于6的概率；（2）若第一輪甲連續(xù)兩次擲出的點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)，則甲獲勝.同時(shí)比賽結(jié)束；否則，由另一人繼續(xù)投擲，直到有人連續(xù)兩次擲出的點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)，則此人獲勝且比賽結(jié)束.求甲獲勝的概率.（注：若，當(dāng)時(shí)，看作0）解：（1）設(shè)事件“甲第一次擲出偶數(shù)點(diǎn)”，事件“甲兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和大于6”，樣本空間，樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為，且每個(gè)樣本點(diǎn)都是等可能的.，，，，則，，所以，（或）即在甲第一次擲出偶數(shù)點(diǎn)的條件下，兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和大于6的概率為.（2）若甲第一輪獲勝，概率為；若甲第二輪獲勝，即第一輪投擲后兩人的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)均不都為偶數(shù)，第二輪甲投擲后的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都為偶數(shù)，概率為；若甲第三輪獲勝，即前兩輪投擲后兩人的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)均不都為偶數(shù)，第三輪甲投擲后的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都為偶數(shù)，概率為；由以上可得，若甲第輪獲勝，即前輪投擲后兩人的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)均不都為偶數(shù)，第n輪甲投擲后的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都為偶數(shù).概率為；于是，，，，…，組成一個(gè)以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.所以.則當(dāng)時(shí)，，故甲獲勝的概率為.18.已知點(diǎn)，是圓與橢圓的公共點(diǎn)，且點(diǎn)M，N和橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形.（1）求r的值和橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)M的直線l分別交圓O和橢圓C于A，B兩點(diǎn).（i）若，求直線l的方程；（ii）P是C上一點(diǎn)，直線MP斜率為m，直線NA斜率為n，，求面積的最大值.解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)M，N是圓O與橢圓C的公共點(diǎn).所以，.又M，N和橢圓一個(gè)焦點(diǎn)是等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn).所以，，所以橢圓C的方程為.（2）如圖：（i）因?yàn)檫^點(diǎn)M的直線l交圓O和橢圓C分別于A，B兩點(diǎn)，所以直線的斜率存在，則可設(shè)直線l的方程為，由.得.則可得.同理，由，解得又已知點(diǎn)，則，，因?yàn)椋驗(yàn)椋裕灾本€的方程為或.（ii）解法一：根據(jù)題意可知，設(shè)，則，由，得出，由（i）可得，同理得由對(duì)稱性可得PB經(jīng)過y軸上一定點(diǎn)，由P，B，T三點(diǎn)共線可得：，從而，整理可得：化簡(jiǎn)可得：，因?yàn)椋裕灾本€PB過定點(diǎn).設(shè)，，則，顯然PB斜率存在，設(shè)由，得，，令，所以，所以.時(shí)單調(diào)遞增.，即時(shí)，三角形面積有最大值，綜上：當(dāng)PB斜率為0時(shí)三角形MPB面積有最大值.解法二：根據(jù)題意可知，設(shè)，則，由，得出，方程表示直線MP，MB，上式可化為由得，代入式，則有即則點(diǎn)P，B的坐標(biāo)滿足方程，又過點(diǎn)P，B的直線唯一，且，所以直線PB方程為.令，則直線PB過定點(diǎn).下同解法一.19.已知集合，設(shè)S的所有元素按一定順序排列得到數(shù)列和.若X和Y滿足，則稱X和Y關(guān)于S封閉.（1）若，，寫出兩個(gè)不同的數(shù)列Y，使得X和Y關(guān)于S封閉；（2）已知數(shù)列，和Z關(guān)于S封閉.（i）若隨機(jī)變量服從，，求；（ii）證明：存在不同于X的數(shù)列Y，使得Y和Z關(guān)于S封閉.（參考公式：）解：（1）數(shù)列Y可以為.（寫對(duì)兩個(gè)即可）（2）（i）由數(shù)列Z和X可以構(gòu)成數(shù)表1，012…………因?yàn)閄和Z