平行線的性質與判定典例精練【例1】如圖,在平行四邊形ABCD中,點E,F分別在BC,AD上,AC與EF相交于點O,且AO=CO.(1)求證:△AOF≌△COE;(2)連接AE，CF.請添加一個條件，使四邊形AECF為菱形(不需要說明理由).【例2】(2023武漢)如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠D,點E在BA的延長線上，連接CE.(1)求證:∠E=∠ECD;(2)若∠E=60°,CE平分∠BCD,直接寫出△BCE的形狀.針對訓練1.(2024湖北)如圖,直線AB∥CD,已知∠1=120°,則∠2=()A.50°B.60°C.70°D.80°2.(2024河南)如圖，乙地在甲地的北偏東50°方向上，則∠1的度數為()A.60°B.50°C.40°D.30°3.(2024北京)如圖,直線AB和CD相交于點O,OE⊥OC,若∠AOC=58°,則∠EOB的大小為()A.29°B.32°C.45°D.58°4.(2024陜西)如圖,AB∥DC,BC∥DE,∠B=145°,則∠D的度數為()A.25°B.35°C.45°D.55°5.(2024齊齊哈爾)將一個含30°角的三角尺和直尺如圖放置，若∠1=50°，則∠2的度數是()A.30°B.40°C.50°D.60°6.如圖,AB與CD相交于點O,若∠A=∠B=30°,∠C=50°,則∠D=()A.20°B.30°C.40°D.50°7.如圖，C島在A島的北偏東50°方向，C島在B島的北偏西35°方向，則∠ACB的大小是.8.如圖,點A,B,C,D在同一條直線上,CE與BF交于點G,∠A=∠1,CE∥DF.求證:∠E=∠F.9.如圖,在四邊形ABCD中,AD‖BC,∠B=8(1)求∠BAD的度數；(2)AE平分∠BAD交BC于點E,∠BCD=5010.如圖,在△ABC中,∠ABC的平分線交AC于點D,過點D作.DE‖BC交AB于點E.(1)求證:BE=DE;(2)若∠A=80C11.如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠CDA,BE平分∠ABC交AD于點E,DF平分∠CDA交BC于點F.求證:BE∥DF.12.如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=110°,BE平分∠ABC交AD于點E,DF‖BE交BC于點F.(1)求∠ABC的大小;(2)求∠CDF的大小.13.如圖,在矩形ABCD中,M,N分別是AD,BC的中點,P,Q分別是BM,DN的中點.(1)求證:BM=DN;(2)矩形ABCD的邊AB與AD滿足什么長度關系時，四邊形MPNQ是正方形?(不需要說明理由)平行線的性質與判定參考答案典例精練【例1】如圖,在平行四邊形ABCD中,點E,F分別在BC,AD上,AC與EF相交于點O,且AO=CO.(1)求證:△AOF≌△COE;(2)連接AE，CF.請添加一個條件，使四邊形AECF為菱形(不需要說明理由).解：(1)證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC.∴∠FAO=∠ECO.在△AOF和△COE中,{∠FAO=∠ECO,∴△AOF≌△COE.(2)AE=EC.(答案不唯一)【例2】(2023武漢)如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠D,點E在BA的延長線上，連接CE.(1)求證:∠E=∠ECD;(2)若∠E=60°,CE平分∠BCD,直接寫出△BCE的形狀.解:(1)證明:∵AD∥BC,∴∠EAD=∠B.又∵∠B=∠D,∴∠EAD=∠D.∴BE∥CD,∴∠E=∠ECD.(2)等邊三角形.針對訓練1.(2024湖北)如圖,直線AB∥CD,已知∠1=120°,則∠2=(B)A.50°B.60°C.70°D.80°2.(2024河南)如圖，乙地在甲地的北偏東50°方向上，則∠1的度數為(B)A.60°B.50°C.40°D.30°3.(2024北京)如圖,直線AB和CD相交于點O,OE⊥OC,若∠AOC=58°,則∠EOB的大小為(B)A.29°B.32°C.45°D.58°4.(2024陜西)如圖,AB∥DC,BC∥DE,∠B=145°,則∠D的度數為(B)A.25°B.35°C.45°D.55°5.(2024齊齊哈爾)將一個含30°角的三角尺和直尺如圖放置，若∠1=50°，則∠2的度數是(B)A.30°B.40°C.50°D.60°6.如圖,AB與CD相交于點O,若∠A=∠B=30°,∠C=50°,則∠D=(D)A.20°B.30°C.40°D.50°7.如圖,C島在A島的北偏東50°方向,C島在B島的北偏西35°方向,則∠ACB的大小是85°.8.如圖,點A,B,C,D在同一條直線上,CE與BF交于點G,∠A=∠1,CE∥DF.求證:∠E=∠F.證明:∵∠A=∠1,∴AE∥BF.∴∠E=∠2.又∵CE∥DF,∴∠2=∠F.∴∠E=∠F.9.如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠B=80°.(1)求∠BAD的度數;(2)AE平分∠BAD交BC于點E,∠BCD=50°.求證:AE∥DC.解:(1)∵AD∥BC,∴∠B+∠BAD=180°.∵∠B=80°,∴∠BAD=100°.(2)證明:∵AE平分∠BAD,∴∠DAE=50°.∵AD∥BC,∴∠AEB=∠DAE=50°.∵∠BCD=50°,∴∠BCD=∠AEB.∴AE∥DC.10.如圖,在△ABC中,∠ABC的平分線交AC于點D,過點D作DE∥BC交AB于點E.(1)求證:BE=DE;(2)若∠A=80°,∠C=40°,求∠BDE的度數.解:(1)證明:在△ABC中,∠ABC的平分線交AC于點D,∴∠ABD=∠CBD.∵DE∥BC,∴∠EDB=∠CBD.∴∠ABD=∠EDB,∴BE=DE.(2)∵∠A=80°,∠C=40°,∴∠ABC=60°.∵∠ABC的平分線交AC于點D,∴∠ABD=∠CBD=∴∠BDE=∠CBD=30°.11.如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠CDA,BE平分∠ABC交AD于點E,DF平分∠CDA交BC于點F.求證:BE∥DF.證明:∵BE平分∠ABC,DF平分∠CDA,∴∠EBC=1∵∠ABC=∠CDA,∴∠EBC=∠ADF.∵AD∥BC,∴∠EBC=∠AEB.∴∠AEB=∠ADF.∴BE∥DF.12.如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=110°,BE平分∠ABC交AD于點E,DF∥BE交BC于點F.(1)求∠ABC的大小;(2)求∠CDF的大小.解:(1)∵AB∥CD,∴∠BCD+∠ABC=180°.∵∠BCD=110°,∴∠ABC=70°.(2)∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∵DF∥BE,∴∠CFD=∠CBE=35°.∴∠CDF=1813.如圖,在矩形ABCD中,M,N分別是AD,BC的中點,P,Q分別是BM,DN的中點.(1)求證