高二數學必修4課時提升習題

任意角

一、選擇題（每小題4分，共12分）

1.在①160°；②480°；③-960°；@15300這四個角中，屬于第二象限角的

是（）

A.①B,①②C.①②③D.①②③④

【解析】選C.①160°角是第二象限角；

②480°=360°+120°,其終邊與120°角終邊相同，是第二象限角；③-960°

=-3X360°+120°,其終邊與120°角終邊相同，是第二象限角.④1530°=4義

360°+90°,其終邊與90°角終邊相同，不是第二象限角，故屬于第二象限角

的是①②③.

2.與-457°角終邊相同的角的集合是（）

A.{a|a=k?360°+457°,kez}

B.{a|a=k?360°+97°,kez}

C.{a|a=k?360°+263°,kez}

D.{a|a=k?360°-263°,kez}

【解析】選C.與-457°角終邊相同的角是a=k?360°-457°,kez,而a=

k?360°+263°=（k+2）?360°+263°-720°=（k+2）?360°-457°,k￡乙所以

與-457°角終邊相同的角的集合是選項C.

3.手表時針走過2小時，時針轉過的度數為（）

A.60°B.-60°C.30°D.-30°

【解析】選B.手表的指針是順時針旋轉的，所以形成負角，當時針走過2小時

時，時針轉過的度數為-60°.

二、填空題(每小題4分，共8分)

4.與角-1560°終邊相同的角的集合中，最小正角是,最大負角是

【解析】與角T560°終邊相同的角的集合可表示為{a|a=240°+k?360°,k

eZ},令k=0得最小正角為240°,令k=T,得最大負角為-120°.

答案：240°-120°

5.若角a是第三象限角，則角180°-a是第象限角.

【解析】因為角a是第三象限角，所以180°+k?360°<a<270°+k?360°(k

所以一90°-k?360°<180°-a<-k?360°(keZ),

所以角180°-a為第四象限角.

答案：四

【補償訓練】若a是第二象限角，則90°-&是()

A.第一象限角B,第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【解析】選D,因為a是第二象限角，所以k?360°+90°<a<k?360°+180°

(kGZ),所以—k?360°-90°<90°-a<-k?360°(k￡Z).所以90°-a為第四

象限角.

三、解答題

6.(10分)在與角10030°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角.

⑴最大的負角.(2)最小的正角.

(3)360°?720。的角.

【解析】(1)與10030°終邊相同的角的一般形式為B=k?360°+10030°(keZ),

由-360°<k?360°+10030°<0°(kGZ),得一10390°<k?360°<-10030°(ke

Z),解得k=-28,故所求的最大負角8=-50°.

(2)由0°<k?360°+10030°<360°(keZ),得一10030°<k?360°<-9670°(k

eZ),解得k=-27,故所求的最小正角B=310°.

⑶由360°Wk?360°+10030°<720°(keZ),得一9670°Wk?360°<-

9310°(kEZ),解得k=-26,故所求的角B=670°.

一、選擇題(每小題5分，共10分)

1.下列說法中，正確的是()

A.鈍角必是第二象限角，第二象限角必是鈍角

B.第三象限的角必大于第二象限的角

C.小于90°的角是銳角

D.-95°20',984°40',264°40'是終邊相同的角

【解析】選D.A錯誤.鈍角必是第二象限角，但是第二象限角不一定是鈍角.例

如：-181°是第二象限角但不是鈍角.

B錯誤.例如：-120°是第三象限的角，120°是第二象限的角，但是720°<

120°.

C錯誤.例如：70°小于90°,但不是銳角.

D正確.984°40'=-95°207+3X360°,

264°40'=-95°20'+360°,所以

-95°20',984°40',264°40'是終邊相同的角.

2.若A={a|a=k?360°,keZ},B={a|a=k?180°,keZ},C={a|a=

k-90°,kez},則下列關系中正確的是（）

A.A=B=CB.A=BnC

C.AUB=CD.AGBGC

【解析】選D.因為90°GC,90°邨，90°新，所以選項A,C錯誤；又因為

180°ec,180°eB,180°4A,所以選項B錯誤.

二、填空題（每小題5分，共10分）

3.若a,B兩角的終邊互為反向延長線，且a=T20°,貝ljB.

【解析】先求出B的一個角，0=a+18O°=60°.

再由終邊相同角的概念知：0=k?360°+60°,女金乙

答案：k?360°+60°,keZ

4.若角e的終邊與60°角的終邊相同，則在0°?360°內終邊與上角的終邊相

3

同的角為.

0

【解析】0=k?360°+60°（k￡Z）,所以二二k?120°+20°（keZ）,由0°W

2

k?120°+20°<360°,得」Wk<E,又k￡Z,所以k=0或1或2.所以在0°?

66

360°內終邊與-角的終邊相同的角為20°,140°,260°.

3

答案：20°,140°,260°

三、解答題

5.（10分）如圖，已知直線東y='x及直線人：y=-V3x,請表示出終邊落在直線

或上的角.

【解析】由題意知，終邊落在直線上的角的集合為M尸{aIa=30°+k,*360°,

k,eZ}U(a|a=210°+k2-360°,k2GZ}={a|a=30°+k?180°,keZ}.

終邊落在直線4上的角的集合為M2={a|a=120°+k1?360°,k,eZ}U{a|a

=300°+k2?360°,k2eZ}={a|a=120°+k?180°,kez}.

所以終邊落在直線人或人上的角的集合為M=MUM2={a|a=30°+k?180°,k￡

Z}U{a|a=120°+k?180°,k￡Z}={a|a=30°+2k?90°,keZ}U{a|a

=30°+(2k+1)?90°,k￡Z}={a|a=30°+n-90°,nGZ}.

弧度制

一、選擇題(每小題4分，共12分)

1.將-1485°化成a+2kn(0Wa〈2n,k￡Z)的形式是

()

A.---8B.二加-8n

44.

7

C.—10JiD.-31-10Ji

44

【解題指南】將T485°化成-5X360°+315°,再利用弧度與角度之間的換算

將角度化為弧度.

【解析】選D.因為7485°=-5X360°+315°,

又2nrad=360°,315°二nrad.故將-1485°化成a+2kn(0Wa<2n,k￡Z)

的形式是二n-10n.

4.

2.設角a=-2弧度，則a所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【解題指南】解答本題有以下兩種方法：（1）先將弧度化為角度，再判斷角所在

象限；（2）分析角的大小.

【解析】選C.方法一：-2^-114.6°,故為第三象限角.

方法二：由-得-2為第三象限角.

2

3.已知扇形的圓心角的弧度數為2,其弧長也是2,則該扇形的面積為（）

A.1B.2

C.sinlD.2sinl

【解析】選A.設扇形的半徑為R,則±2=2,所以R=1.故該扇形的面積S，1/1R/X2

R22

X1=1.

【補償訓練】如圖，已知圓的半徑為5,圓內陰影部分的面積是（）

175n口125Tt

3618

、25nn34n

，?----l).------

69

【解析】選A.因為40°=40X^-=-,30°=30X二=二所以S」一?空?匚

180918062926

二、填空題(每小題4分，共8分)

4.若a￡(0,n),且a與角-弓終邊相同，則。=.

【解析】由題意得a=2kn-三(k￡Z),

當k=0時，a=-^,

當k=1時，a=2n

32

當k=2時，a=4TT-三二三.

33

又因為Q￡(0,n),所以a』.

3

答案：-

3

【延伸探究】將本題中“(0,6”改為“[0,2汨"，“-史”改為“-二”，結果

33

又如何？

【解析】由題意得a=2kn3(k￡Z),

3

當k=0時，a

3

當k=1時，Q=2n一工吧，

33

當k=2時，a=4n,

33

又因為a￡[0,2n],所以a二三.

3

%5TT

合案：一

3

5.已知扇形的周長是6cm,面積為2cm之，則扇形的圓心角的弧度數是.

【解析】設圓心角為a,半徑為r,弧長為/,

Z/+2r=6,

則j1_，,

此”=2。解得,1=4或r=2,1=2,

所以a=—二1或4.

r

答案：1或4

三、解答題

6.（10分）如圖所示，用弧度制表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負半軸,

終邊落在陰影部分的角的集合.

【解析】（1）將陰影部分看成是由0A逆時針旋轉到0B所形成.故滿足條件的角

的集合為｛a+2kn<a<^-+2kn,kEzj.

⑵若將終邊為0A的一個角改寫為此時陰影部分可以看成是0A逆時針旋轉

6

到0B所形成，故滿足條件的角的集合為1a--+2kir<a<-+2kn,kGZ）.

IA17J

⑶將題干圖中x軸下方的陰影部分看成是由x軸上方的陰影部分旋轉nrad而

得到，所以滿足條件的角的集合為｛a|krr<a<^+krr,kezj.

⑷與第⑶小題的解法類似，將第二象限陰影部分旋轉nrad后可得到第四象限

的陰影部分.所以滿足條件的角的集合為｛a件+knVaV*+kn,k￡Z>

一、選擇題(每小題5分，共10分)

1.集合P={a|2kJiWaW(2k+1)Ji,kGZ},Q={a|-4WaW4},則PGQ=()

A.0

B.{a|-4Wan或0WaW耳}

C.{a|-4WaW4}

D.{aOWQW弘}

【解析】選B.如圖.

-2兀-4-7T0兀4

PClQ={a|-4WaW-n或OWaWn}.

A=AnH--^VzV/n-l—Gz|.

【補償訓練】集(42'集合B={x[6+x-x220},則AG

B=.

【解析】B={x|6+x-x2》0}={x12WxW3},

又因為A=|xkir+三VxVkrr+y,k€z},

所以當k=O時，AC1B={xg<xV；},

當k=1,2,3,…時AAB=0,

當k=T時，AnB=(x|-2<x<-^},

當k=-2,-3,-4,…時AAB=0,

綜上可知，

AflB={x—2<x<-?或E<xV?}.

答案：{x—2<x<—：或？<x<

2.已知圓。與直線/相切于點A,點P,Q同時從A點出發(fā)，P沿著直線/向右、

Q沿著圓周按逆時針以相同的速度運動，當Q運動到點A時，點P也停止運動,

連接OQ,OP（如圖），則陰影部分面積S”S2的大小關系是（）

A.Si-S2

B.SWS2

C.SR

D.先SKS2,再S1=S2,最后S〉S2

【解析】選A.如圖所示，因為直經/與圓0相切，所以OAJ_AP,所以S扇形AOQ=

7

1,AQ?r=1?AQ?OA,SA,W=7?OA?AP,因為瓶=AP,所以S扇形AOQ=SZKAOP,Rj

222

S扇形AOQ—S扇般AOB=Sz\AOp—S扇形AOB,所以SFS2.

【補償訓練】如圖是一個半徑為R的扇形，它的周長為4R,則這個扇形所含弓

形（陰影區(qū)域）的面積是（）

A.-(2-sinlcosl)R2

2

B.-R2sinlcosl

2

C.-R2

2

D.(1-sinlcosl)R"

【解析】選D.設扇形的弧長為/,圓心角為a,

=_L=2R=o

/=4R-2R=2R,&RR-

S扇形=1/R=LX2RXR=R2,

22

S二南彭/XZRsinIXRcosl=sin1cos1R*2,3

2

S弓產S扇形—S三角形二R?一sin1cos1R2

=(1-sin1cos1)R2.

二、填空題(每小題5分，共10分)

3.下列命題中，正確的命題是(填序號).

①1°的角是周角的」Irad的角是周角的,；

3602n

②Irad的角等于1度的角；

③180°的角一定等于nrad的角；

④“度”和“弧度”是度量角的兩種單位.

【解析】對于①，因為1°,1=—,所以①正確；對于③，由弧度制規(guī)定知

3602TT

nrad=180°,故③正確；對于④，“度”與“弧度”是度量角的兩種不同單位，

故④正確.

答案：①③④

4.若角a的終邊與角三的終邊關于直線y=x對稱，且a￡(-4R,4冗)，則a

6

【解析】由題意可得與a終邊相同的角的集合為{a|a=2kn+；,kGz}.因為a

e(-4n,4n),

所以一4n<2kn+-<4n(k￡Z),

2

化簡得：-丑

66

因為kez,所以k二一2,-1,0,1,

所以Q=_UTI,--n,-n.

3333

答案：一U11,--n,-n

3333

三、解答題

5.（1。分）如圖所示的圓中,已知圓心角NAOB=g,半徑℃與弦AB垂直,垂足

為點D.若CD的長為a,求。的長及其與弦AB所圍成的弓形ACB的面積.

【解析】設圓半徑為r,而由的長為m,由題意，得嗎空而NAOD』,所以OD=OA=L

r3327

所以CD』OC二二a.所以r=2a.

27

d乙八,4ira「14na2

所以m二——,S扇彩OACB二一r?m=---.

323

又AB=2AD=2\3a,

S-AB=4D?AB=1?a?2\曰a=\3a：

22

所以S弓形ACB=(9-V3ja2.

任意角的三角函數(一)

一、選擇題(每小題4分，共12分)

l.coslllO0的值為()

A」B.-C.--D.-火

2222

【解析】選B.coslllO。=cos(1080°+30°)=cos(3X360°+30°)=cos30°=—.

2

2.已知點A(4\01),將0A繞坐標原點。逆時針旋轉三至0B,設C(l,0),Z

6

COB=a,貝ljtana=()

A.—B.—C.—D.朝

1221111

【解析】選D.由題意，設直線°A的傾斜角為9,則

_TT.-

(Arr\tan0+tan-5.3

tana=tan9+-)=-------

V6/l-tan0tan—11

【補償訓練】若角。的終邊與單位圓相交于點—則sina的值為（)

A.三B.-必C.-D.-1

92

【解析】選B.x二,y=-—,貝"sina=y=--.

297

3.已矢口sin9<0,且tan9<0,則。為()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角.

【解析】選D.設角e終邊上一點p的坐標為（x,y）,點P到坐標原點0的距離

|0P|二r,

因為sinQ比0,所以y<0,

r

因為tane=、0,所以x>0,

y

故角e為第四象限角.

二、填空題（每小題4分，共8分）

4.求值：cos^^+tan（-/）=

【解析】原式二COS（2TT+二）+tan（一2冗+；

TTTT

=cos-+tan-

63

=-+V,3=^.

27

答案：—

5.如果角a的終邊經過點(2sin30°,-2cos30°),則sina=

【解析】因為2sin30°=2X^1,-2cos30°=-2X芋二-所以角a的終邊經過

點(1,-\3),

所以sina=，一'?

-一”2.

卜+(一、到

答案：-4

2

【補償訓I練】已知角a的終邊經過點M(*、②，貝I」sin2a+cos2a=.

【解析】X=TT,y=~\2,r=(TT+2,

所以sin2a+cos2a=(，+g)

2

=--2-+--TT-=1..

2

n+2TT2+2

答案：1

三、解答題

6.(10分)在平面直角坐標系中，角a的終邊在直線3x+4y=0上，求sina-

3cosa+tana的值.

【解析】當角a的終邊在射線y=工x(x>0)上時，取終邊上一點P(4,-3),所以

4

點P到坐標原點的距離r=|0P|=5,

所以sina—^=--,

r55

cosa二X々一4,

r5

t,ana二。y一3?

x4

一一

所以sina-3ncosa+tana二_一一3—12一3-=一1一5.

5544

當角a的終邊在射線y=工x(x<0)上時，取終邊上一點P'(-4,3),

4

所以點P'到坐標原點的距離r=|OP'|=5,

所以sina=一，cosa

r5r5

t」ana=。y一3^一一3.

x—44

所以sina-3cosa+tana=三一3X(-一二

5544

一、選擇題(每小題5分，共10分)

1.已知角a的終邊經過點P(m,-3),且cosa=-±,則m等于()

5

A.--B.-C.-4D.4

44

【解析】選C.由三角函數定義可得r=\'m2+9,

所以cosa..m

Vm2+95

解得m二一4.

【補償訓練】若角a的終邊在直線y=3x上且sina<0,又P(m,n)是a終邊上

一點，且|OP|=?而，則m-n=()

A.2B.-2C.4D.-4

【解析】選A.因為P(m,n)在直線y=3x上，

且sina<0,所以P位于第三象限，所以m<0,n<0.

IOP|=\：m2+(3m)2=、’而薩'寺,

所以m2=1,所以m=-1,n=-3,

所以m-n=2.

2.設角a是第二象限角，且卜8個-cos；,則角三是()

A.第一象限角B,第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【解析】選C.因為角a是第二象限角，

所以2kn+l<a<2kn+n(keZ),

2

所以kn+2%kn+?(k￡Z),

422

當k=2n(n￡Z)時,-是第一象限角,

2

當k=2n+1(n￡Z)時，三是第三象限角，

2

匚a_0

而cos-=_COS-,

72

所以cos-<0,

2

所以士是第三象限角.

【延伸探究】將本題中“二”改為“三”，“cos巴"改為"sin-",其他條件不變,

22

結果又如何？

【解析】選D.因為角a是第三象限角，

所以2kn+n<a<2kn+—(k￡Z),

2

所以kn+-<-<kn+t(k￡Z),

224

當k=2n(n￡Z)時,士是第二象限角，

2

當k=2n+1(n￡Z)時,2是第四象限角,

2

又因為sin±<0,所以+是第四象限角.

22

二、填空題(每小題5分，共10分)

3.已知角a的終邊經過點P(3,-4t),且sin(2kn+a)=-三，其中k￡Z,貝It的

5

值為.

【解析】因為sin(2kIT+a)=-3所以sina

又角a的終邊經過點P(3,-4t),

故sina=-^^=-m,解得t二老.

V9+16t2516

答案：-

16

4.如果cosx=|cosx|,那么角x的取值范圍是.

【解析】因為cosx=|cosx|,所以cosx2O,所以角x的終邊落在y軸或其右側,

從而角x的取值范圍是,kn—三2kn+m(k￡Z).

答案：［2kn—5,2kn+E|(k￡Z)

三、解答題

5.(10分)已知一-~~=二-,且lgcosa有意義.

sinasina

⑴試判斷角a所在的象限.

(2)若角a的終邊上一點是且10M|=1(0為坐標原點)，求m的值及

sina的值.

【解析】⑴由一‘-」一可知sina<0,

sinasina

所以a是第三或第四象限角或終邊在y軸的負半軸上的角.

由Igcosa有意義可知cosa>0,

所以a是第一或第四象限角或終邊在x軸的正半軸上的角.

綜上可知角a是第四象限的角.

⑵因為|0M|=1,

2

所以(T)+m2=1,解得m=±7-

A

又a是第四象限角，故m<0,從而m二-三

由正弦函數的定義可知

,ym一二4

Sina=-.........

rOM15

任意角的三角函數（二）

一、選擇題（每小題4分，共12分）

1.sin1°,sin1,sinJi°的大小順序是（）

A.sin10<sinKsin°B.sin10〈sin冗°<sin1

C.sinn°<sin10<sin1D.sinKsin1°〈sinn

【解析】選B.因為1弧度757.3°,1°<1,觀察三角

正弦線方向始終向上，且角越大正弦線越長，所以sin10<sinn°<sin1.

2.使sinxWcosx成立的x的一個變化區(qū)間是（）

MHB.卜羽

C.D.[0,JI

I4.4.]

【解析】選A.如圖，畫出三角函數線sinx二MP,cosx=0M,

由于sin（-1卜。s（一力,

為使sinxWcosx成立，則由圖可得可0<￡

【補償訓練】已知sina>sinB,那么下列命題成立的是（）

A.若a,B是第一象限角,則cosa>cosB

B.若a,B是第二象限角,則tana>tanB

C.若a,B是第三象限角,則cosa>cosB

D.若a,B是第四象限角,貝tana>tan6

【解析】選D如圖（1）,a,B的終邊分別為OP,OQ,sina=MP>NQ=sinP,此

時OM<ON,

所以cosa<cos3,故A錯;

如圖⑵，OP,0Q分別為角a,B的終邊，MP>NQ,即sina>sinB,

所以AC<AB,即tana<tan3,故B錯;

如圖⑶，角a,B的終邊分別為OP,0Q,MP>NQ即sina>sinB,所以ON>OM,

即cos3>cosa,故C錯，所以選D.

nn

3.已知函數f(x)=sinx——<X<-,則滿足f（x）《的x的取值范圍是（）

22.

，

A.B.nn\

(-分)k2,6/

C.D.嗎

(-M)k393)

【解析】選B.作上角的正弦線MP,如圖所示，為使x滿足-2x〈二且f（x）＜」，x

6222

的終邊所在區(qū)域如圖陰影所示（不包含邊界），

故力（一9一5

二、填空題（每小題4分，共8分）

4.若9陪，于》則9的取值范圍是.

【解題指南】觀察e在區(qū)間（三乎）上變化時，角6的正弦線的變化情況.

【解析】sin/sin詈喀

觀察角的正弦線的變化可知:

sin。的取值范圍是（一￥，i

答案：（.*1）

5.若x￡［0,2H），且-三WcosxWL則x的取值范圍是

92

【解析】在單位圓中畫出余弦線0M和0M',其中0M=-—,0Mz

7

=-,它們在［0,2n）內所對應的角分別為二n,-n-n,則滿

24433

足-gWcosxW」的區(qū)域是圖中陰影部分，則在［0,2n）內所求x

72

的取值范圍是？；nUpn,-ir'.

34]U5

答案：-,-TTU-IT,-IT

34A'a

三、解答題

6.（10分）利用三角函數線，求滿足下列條件的角a的集合：

⑴tana=T.⑵sina

2

【解析】（1）如圖①所示，過點（1,T）和原點作直線交單位圓于點P和P',則

0P和。P'就是角a的終邊，所以40P夸nfNxOP,/

所以滿足條件的所有角a的集合是

{aa=-：+kn,k6z}.

⑵如圖②所示，過點（0,-力作x軸的平行線，交單位圓于點P和P，,

則sinZxOP=sinZxOP7

2

所以NxOP二=\NxOP，,

66

所以滿足條件的所有角Q的集合是

|Q|--+2kirVaV——+2kir,kGz}.

一、選擇題(每小題5分，共10分)

1.記a=sin(cos2016°),b=sin(sin2016°),c=cos(sin2016°),

d=cos(cos2016°)，則()

A.d>c>b>aB.d>c>a>b

C.c>d>b>aD.a>b>d>c

【解析】選C.因為2016°=360°X5+180°+36°,

所以cos2016°=-cos36°,sin2016°=-sin36°,

因為1>cos36°>sin36°>0,

所以a=sin(cos2016°)=-sin(cos36°),

b=sin(sin2016°)=-sin(sin36°),

c=cos(sin2016°)=cos(sin360),

d=cos(cos2016°)=cos(cos36°),

即cos(sin36°)>cos(cos36°)>0,sin(cos36°)>sin(sin36°),

-sin(cos36°)<-sin(sin36°)<0,

所以c>d>b>a.

【補償訓練】已知出的正弦線為MP,正切線為AT,則有()

6

A.MP與AT的方向相同

B.|MP|=|AT|

C.MP>0,AT<0

D.MPCO,AT>0

【解析】選A.三角函數線的方向和三角函數值的符號是一致的.MP=sir)U^<0,

6

AT=tan—<0.

6

2.已知函數f(x)=2asin(2x+］)+b的定義域為［o,；］,值域為［-5,1］,則函數

8&)=@"7在壯,a］±()

A.有最大值2B.有最小值2

C.有最大值1D.有最小值1

【解析】選B.因為已知函數￡&)=225皿2*+3)+1)的定義域為［0,；］,值域為［-5,

1］,

所以不妨設t=2x+:xe［o,y］,

那么二三，

66

所以h(t)=f(x)=2asint+b,a>b,

:::=

所以f(x)maxh^—^2asin—+b—1,①

f(x)min=h(—^)=2asin—+b=-5,②

由①②解得，

a—2,b——3.

又因為g(x)=2*7在［—3,2］上單調遞減，

所以g(X)min=g(2)=2.

即函數g(x)=a""在［b,a］上有最小值2.

二、填空題(每小題5分，共10分)

3.sinl,cosl,tanl的大小關系是.

【解析】作出1弧度角的正弦線、余弦線和正切線如圖所示:

觀察圖可知：cos1<sin1<tan1.

答案：cos1<sin1<tan1

【延伸探究】將本題中的“1”改為“-1”，結果又如何?

【解析】作出T弧度角的正弦線、余弦線和正切線如圖所示:

觀察圖可知：tan(-1)<sin(-1)<cos(-1).

答案：tan(T)<sin(7)<cos(T)

4.設0Wa<2n,若sina>\'3cosci,則a的取值范圍是

【解題指南】可分以下三種情況討論：(1)cosa=0.

(2)cosa>0.(3)cosa<0.

【解析】(1)當cosa=0時，sina=±1,為使sina>\3cosa,須有sina=1,

又0Wa<2n,所以a』.

2

⑵當cosa>0時，原不等式可化為tana>\3

解得Y32a

⑶當cosa<0時，原不等式可化為tana<\3,

解得Ya.

23

綜上可知，a的取值范圍是

答案:

三、解答題

5.（10分）利用三角函數線證明：若0〈a〈B〈二，則有B-a>sinB-sina.

2

【證明】如圖，單位圓0與X軸正半軸交于點A,與角a,B的終邊分別交于點

Q,P,過P,Q分別作0A的垂線，設垂足分別為點M,N,則由三角函數線定義

可知:

sina=NQ,sinB=MP,過點Q作QH_LMP于點H,于是MH二NQ,則HP二MP-MH二

sin3-sina.

由圖可知HP<PQ=AP-AQ=3-a,

即B-a>sinB-sina.

同角三角函數的基本關系

一、選擇題（每小題5分，共25分）

1.sina=—,則sir?a-cos2a的值為（）

【解析】選B.因為sina=工所以cos2ci=l-sin2a=),則原式三■土=、.

55555

【延伸探究】本題條件下，求sin%-cos"a的值.

【解析】由sir?a-cos4a

=(sin2a+cos2a)(sin2a-cos2a)=sin2a-cos2a

__3

2.已知a是第二象限角，sina=—,則cosa=()

13

A.--B.--C.—D.-

13131313

【解析】選A.因為a是第二象限角，所以cosa<0,又因為sina=￡,所以

3.已矢口sina—cosa=—三，貝！Jsina,cosa等于()

4.

A.—B.--C.--D.-

4163232

【解析】選C.將所給等式兩邊平方，得l-2sinacosQ二空，故sinacosa=一2

1632

.-4-i-sin0+2cos0cniti.八n/\

4.右------=2,貝!！sm9?cos9=()

sin9-cos9

A.--B.-C.±-D.-

1751717

ri<.i'且nLsin0+2cos9Sin0cos9tan04

L解析】選D.由--------二2o,得tann9=4,smn0cos9n=--------=--——.

sin0-cos0sin20+cos20tan20+117

5.若冗<a〈史，乒E+近后的化簡結果為()

2yj1+cosa、1-cosa

A.—2B.--2C.—2D.--2

tanatanasinasina

【解題指南】將根號里面的式子化成含有平方的形式，再根據n〈a〈四進行開方

2

運算，得出結論.

【解析】選D.原式=過+但金叱

1—cos2a1-cos2a

_1-cosa1+cosa2

sinasinasina

因為n<a<生，所以原式:—

2sina

二、填空題(每小題5分，共15分)

6.15AABC中，若tanA=—,貝!jsinA=

a

sin2A+cos2A=L

【解析】因為tanA;上>0,則NA是銳角，則sinA>0,解方程組sinA\'r2

2

9

krnsA2

得sinA*.

11

答案:V22

TT

7.已知A為銳角，lg(l+cosA)=m,Ig——=n,則IgsinA的值為_______

1-cosA

【解題指南】求m-n,并將其變形為lg(l+cosA)+lg(l-cosA),利用對數的運算

進行求解.

【解析】因為m-n=Ig(1+cosA)+1g(1-cosA)

=lg(1-cos2A)=Igsin2A=21gsinA,

所以IgsinA=-(m-n).

2

答案:-2(m-n)

8.已知sinx=3cosx,則sinxcosx的值是.

【解析】將sinx=3cosx代入析Ix+cos'n中得

9COS2X+COS2X=1,即cos2x=—,

io

所以sin2x=1-cos2x=—,

io

因為sinx與cosx同號，所以sinxcosx>0,

貝sinxcosx=\sin2xcos2X=^.

答案：-

10

三、解答題(每小題10分，共20分)

9.已知tana=3.

(1)求sina和cosa的值.

(2)求竺必3的值.

2cosa+sina

(3)求sin」a-3sinacosa+1的值.

【解析】(1)tana=3=—>0,

cosa

所以a是第一或第三象限角.

當a是第一象限角時,結合sir?a+cos?a=1,有

3V10

sma=——

10

V10

cosa=——;

10

當a是第三象限角時，結合sinZ+cos2a=1,有

3V10

sma=————■

10

V10

cosa=-------.

10

?,?3sina-cosa3tana-18

⑵因為tana=3,所以-----------=--------二一.

2cosa+sina2+tana5

(3)因為tana=3,sin2a+cos2a=1,

所以原式二Sin%-3sinacosa+l

_2sin2a-3sinacosa+cos2a

sin2a+cos2a

=2tan2a-3tana+l=2x323x3+l=i

tan2a+l32+l

【補償訓練】已知2cos,a+3cosasina-3sin2a=1.

求：⑴tana.

(2)2sina-3cosa

4sina-9cosa

【解析】(1)2cos2a+3cosasina-3sin2a

_2cos2a+3cosasina-3sin2a

sin2a+cos2a

_2+3tana-3tan2a

tan2a+l

貝1]2+3tana-3tan2

tan2a+l

即4tan2a-3tana-1=0.

解得tana二」或tana=1.

4

2sina_3cosac

(?)盾犬—cosacosa_2tana-3

\")/小八一ssina-cosa2日，

-------------------4tana-9

cosacosa

當tana=」時，原式二工；

420

當tana=1時,原式」.

5

10.化簡下列各式：

(])V1-2sinl30:cosl30:

sinl303+v1-sin21302

(2)Il-2sin-cos-+Il+2sin-cos-

722、22

(°<a<3

【解析】（1）原式

Sin2130=-2sinl30:cosl30:+cos2130:

sinl30=+xcos2130:

_sinl30：-cosl30l_Sini30：-cosl30：T

------------------------------------------------------------------|

sinl30=+|cosl30=sinl30=-cosl30:

(cos三+sin?

a,.a

-cos-sin|+cos-4-sin-

777?

因為a￡（05）,所以:

所以cos-sin=>0,sin-+cos->0,

2222

a.a

i—-2cos-.

22

一、選擇題(每小題5分，共10分)

［化簡sin2a+cos4a+sin2acos2a的結果是()

［解析］選C.原式=$111'a+cos2a(cos-a+sin2a)

=si?n2a+.cos2a=1l.

【補償訓練】若sina+sin2a=1,則cos2a+cos'a等于.

【解析］因為sina+為n2a=1,sin2a+cos2a=1,

所以sina=cos2a,

所以cos2a+cos4a=sina+sin2a=1.

答案：1

2.已知tana=-2,則2sinQcosa的值是()

A.-B.3C.--D.-3

2sinacosa2tana2x(-2)4

【解析】選c.原式

sin2a+cos2atan2a+l(-2)2+l5

二、填空題(每小題5分，共10分)

3.