2024-2025學年八年級（下）期中數學試卷【北師大版】考試時間：120分鐘；滿分：120分；考試范圍：第1~3章姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共25題，單選10題，填空6題，解答9題，滿分120分，限時120分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學生掌握本章內容的具體情況！第Ⅰ卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（24-25八年級·浙江杭州·期中）不等式組x+9<5x+1x>m+1的解集是x>2，則m的取值范圍是（

A．m<2 B．m≥2 C．m≤1 D．m>12．（3分）（24-25八年級·湖南婁底·期中）如圖，∠ABC的平分線BF，與△ABC的外角∠ACG的平分線相交于點F，過點F作DF∥BC交AB于點D，交AC于點E，若BD=8，CE=6，則DE的長為（A．4 B．2.5 C．2 D．1.53．（3分）（24-25八年級·河南周口·期中）如圖，AB=AC，把△ABC繞點B順時針旋轉一個角度得到△DBE，點C在DE邊上，若∠A的度數為α，則∠DBC的度數為（）A．90°?3α2 B．180°?3α2 C．90°?α24．（3分）（24-25八年級·山東泰安·期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，沿過點A的直線折疊，再次折疊，使點C與點D重合，則AE的長度為（

）A．176 B．136 C．1565．（3分）（24-25八年級·江蘇無錫·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A,C在x軸上，點C的坐標為(?1,0),AC=2.將RtΔABC先繞點C順時針旋轉90°，再向右平移3個單位長度，則變換后點A的對應點坐標是(

)A．(?1,2) B．(?4,2) C．(3,2) D．(2,2)6．（3分）（24-25八年級·浙江·期中）對于正整數數x，符號x表示不大于x的最大整數．若3x+a2=3有正整數解，則正數a的取值范圍是（A．0<a<2或2<a≤3 B．0<a<5或6<a≤7C．1<a≤2或3≤a<5 D．0<a<2或3≤a<57．（3分）（24-25八年級·重慶·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，CH為△ABC的角平分線，D為AC邊上的中點，E為BC邊上一點，將△DCE沿DE翻折，使點C的對應點C′恰好落在角平分線CH上，連接AC′并延長交BC于點F，若BF=7，則點C′到A．73 B．74 C．758．（3分）（24-25八年級·江西景德鎮·期中）已知非負數x，y，z滿足.3?x2=y+23=A．?2 B．?4 C．?6 D．?89．（3分）（24-25八年級·安徽安慶·階段練習）如圖,在4×4的正方形網格中,每個小正方形的頂點稱為格點,左上角陰影部分是一個以格點為頂點的正方形(簡稱格點正方形).若再作一個格點正方形,并涂上陰影,使這兩個格點正方形無重疊,且組成的圖形既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,則這個格點正方形的作法共有(

)A．2種 B．3種 C．4種 D．5種10．（3分）（24-25八年級·遼寧阜新·期中）如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，點C，D，E在同一條直線上，連接B、D和B，E，下列四個結論：①∠BDE=90°；②BD=CE；③∠ACE+∠DBC=30°④BEA．1 B．2 C．3 D．4二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（24-25八年級·黑龍江佳木斯·期中）如圖，∠ABC=90°，∠BCA=30°，將△ABC繞點B逆時針旋轉a0°<a<90°，得到△DEB，設BD與AC交于點F，連接ED，當△CDF為等腰三角形時，a=12．（3分）（24-25八年級·安徽亳州·期中）已知直線y=?x+2與直線y=2x+6相交于點A，兩直線分別與x軸交于B，C兩點，若點Da,12a+1（1）點A的坐標是；（2）a的取值范圍是．13．（3分）（24-25八年級·廣東深圳·期中）如圖，在銳角三角形ABC中，∠BAC=60°，BE，CD分別為△ABC的角平分線．BE，CD相交于點F，FG平分∠BFC，已知BD=3，CE=2，△BFC的面積=2.5，求△BCD的面積=．14．（3分）（24-25八年級·江蘇揚州·期中）如圖，AB⊥BC，∠ACB=20°，∠CBD=40°，AC=4，BD=2，則∠BCD=°．15．（3分）（24-25八年級·重慶萬州·階段練習）一個四位正整數M，如果千位數字與十位數字之和的兩倍等于百位數字與個位數字之和，則稱M為“共進退數”，并規定FM等于M的前兩位數所組成的數字與后兩位數所組成的數字之和，GM等于M的前兩位數所組成的數字與后兩位數所組成的數字之差，如果FM=60，那么M各數位上的數字之和為；有一個四位正整數N=1101+1000x+10y+z（0≤x≤4,0≤y≤9,0≤z≤8，且為整數）是一個“共進退數”，且FN是一個平方數，G16．（3分）（24-25八年級·浙江杭州·期中）如圖，在△ABE中，AB=BE=4，∠BEA=30°，F為AE的中點，C為BF延長線上一點，D為EB延長線上一點，且CA=CD．則∠EDC?∠EAC=，四邊形CADB的面積是．第Ⅱ卷三．解答題（共9小題，滿分72分）17．（6分）（24-25八年級·山東青島·期中）如圖所示，點A，B的坐標分別為0,2，1,0，直線y1=12x?3(1)求直線AB:y2=kx+b與CD(2)請直接寫出當y1>y(3)求四邊形OBEC的面積．18．（6分）（24-25八年級·黑龍江哈爾濱·期末）圖1，圖2均為正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，各個小正方形的頂點叫做格點，請在下面的網格中按要求分別畫圖，使得每個圖形的頂點均在格點上．（1）畫一個邊長均為整數的等腰三角形，且面積等于12；（2）畫一個直角三角形，且三邊長為5，2519．（6分）（24-25八年級·江蘇南通·期中）【綜合與實踐】根據以下信息1~3，探索完成設計購買方案的任務1~3．信息1：某校初一舉辦了科技比賽，學校為獲獎的40名同學每人購買一份獎品，獎品分為A，B，C三類．信息2：若購買2份A獎品和3份B獎品共需220元；購買3份A獎品和2份B獎品共需230元．單獨購買一份C獎品需要15元．信息3：計劃獲A獎品的人數要少于獲B獎品的人數．購買時有優惠活動：每購買1份A獎品就贈送一份C獎品．任務1：求A獎品和B獎品的單價；任務2：若獲A獎品的人數等于獲C獎品的人數，且獲得A獎品的人數超過10人，求此次購買A獎品有幾種方案；任務3：若購買獎品的總預算不超過1150元，要讓獲A獎品的人數盡量多，請你直接寫出符合條件的購買方案．20．（8分）（24-25八年級·湖北武漢·階段練習）如圖，在8×8的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1，A、B兩點都在格點上，僅用無刻度的直尺在給定網格中按要求畫圖（畫圖過程用虛線表示，畫圖結果用實線表示）．(1)在圖1中，C為格點．①先將線段CA繞點C逆時針旋轉90°得到線段CD②再畫線段EF，使線段EF與線段AD關于點B成中心對稱（其中E點對應A點，F點對應D點）；(2)在圖2中，以格點O為坐標原點建立平面直角坐標系，其中B點坐標為2,2．①先畫格點G，使OG⊥AB，且OG=AB；②已知線段AB繞平面內的點P旋轉一個特定的度數可與線段OG重合，請在圖中畫出旋轉中心P；③請直接寫出P點的坐標為_____________．21．（8分）（24-25八年級·遼寧阜新·期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+2與x軸、y軸分別交A、B兩點，與直線y=?56x+b(1)求m和b的值；(2)若直線y=?56x+b與x軸相交于點D，動點P從點D開始，以每秒1個單位的速度向x軸負方向運動，設點P①若點P在線段DA上，且△ACP的面積為10，求t的值；②當△ACP為等腰三角形時，直接寫出t的值．22．（10分）（24-25八年級·江西吉安·期中）（1）如圖①．在Rt△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，連接EC，試探索線段BC，DC，EC（2）如圖②，在Rt△ABC與Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，將△ADE繞點A旋轉，使點D落在BC邊上，試探索線段AD，BD，（3）聯想：如圖③，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若BD=3，CD=1，則AD的長為______．23．（10分）（24-25八年級·江蘇蘇州·期中）如圖1，已知長方形ABCD，AB=4,BC=5，點P是射線BC上的動點，連接AP，△AQP是由△ABP沿AP翻折所得到的圖形．(1)當點Q落在邊AD上時，QC=_____；(2)當直線PQ經過點D時，求BP的長；(3)如圖2，點M是DC的中點，連接MP、MQ．①MQ的最小值為_____；②當△PMQ是以PM為腰的等腰三角形時，請直接寫出BP的長．24．（12分）（24-25八年級·遼寧本溪·階段練習）【概念引入】對于給定的一次函數y=kx+b（其中k，b為常數，且k≠0），則稱函數y=?kx+bx≥0kx+b例如：一次函數y=3x?4，它的伴隨函數為y=【理解運用】（1）對于一次函數y=2x+2，寫出它的伴隨函數的表達式．（2）為了研究函數y=2x+2的伴隨函數的圖象某位同學制作了如下表格：x…?2?1012…y…?2_________20_________…①補全表格中橫線部分的數據并根據表中的結果在圖1所給的坐標系中畫出函數y=2x+2的伴隨函數的圖象；②已知直線y=x?1與y=2x+2的伴隨函數的圖象交于A，B兩點（點A在點B的下方），點P0,m在y軸上，當△ABP的面積為8時，求m【拓展提升】（3）在平面直角坐標系中，點M，N的坐標分別為?1,?4，2,?2，連接MN，當一次函數y=2x+b的伴隨函數的圖象與線段MN的交點有且只有1個時，直接寫出b的取值范圍．25．（12分）（24-25八年級·江蘇無錫·期中）若△ABC和△ADE均為等腰三角形，且AB=AC=AD=AE，當∠ABC和∠ADE互余時，稱△ABC與△ADE互為“底余等腰三角形”，△ABC的邊BC上的高AH叫做△ADE的“余高”．(1)如圖1，△ABC與△ADE互為“底余等腰三角形”．若連接BD，CE，判斷△ABC與△ADE是否互為“底余等腰三角形”：（填“是”或“否”）；(2)如圖1，△ABC與△ADE互為“底余等腰三角形”．當0°<∠BAC<180°時，若△ADE的“余高”是AH．①請用直尺和圓規作出AH（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）；②求證：DE=2AH．(3)如圖2，當∠BAC=90°時，△ABC與△ADE互為“底余等腰三角形”，連接BD、CE，若BD=6，CE=8，請直接寫出BC的長．

2024-2025學年八年級（下）期中數學試卷【北師大版】參考答案與試題解析第Ⅰ卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（24-25八年級·浙江杭州·期中）不等式組x+9<5x+1x>m+1的解集是x>2，則m的取值范圍是（

A．m<2 B．m≥2 C．m≤1 D．m>1【答案】C【分析】本題考查了解一元一次不等式組，解題的關鍵是熟練掌握解不等式組的方法和步驟．先求解不等式x+9<5x+1，結合原不等式組的解集是x>2，得出關于m的不等式，求解即可．【詳解】解：解不等式x+9<5x+1，可得：x>2，∵原不等式組x+9<5x+1x>m+1的解集是x>2∴m+1≤2，解得：m≤1，故答案為：C．2．（3分）（24-25八年級·湖南婁底·期中）如圖，∠ABC的平分線BF，與△ABC的外角∠ACG的平分線相交于點F，過點F作DF∥BC交AB于點D，交AC于點E，若BD=8，CE=6，則DE的長為（A．4 B．2.5 C．2 D．1.5【答案】C【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質以及平行線的性質，根據已知條件，BF、CF分別平分∠ABC、∠ACG，且DF∥BC，可得∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，根據等角對等邊得出BD=FD=8，EF=CE=6，根據【詳解】解：∵BF、CF分別平分∠ABC、∠ACG，∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，∵DF∥∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，∴BD=FD=8，EF=CE=6，∴DE=DF?EF=2，故選：C．3．（3分）（24-25八年級·河南周口·期中）如圖，AB=AC，把△ABC繞點B順時針旋轉一個角度得到△DBE，點C在DE邊上，若∠A的度數為α，則∠DBC的度數為（）A．90°?3α2 B．180°?3α2 C．90°?α2【答案】B【分析】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，解題的關鍵在于確定角度之間的數量關系．由旋轉性質得BC=BE，∠ABC=∠DBE=∠E=∠ACB=180°?α2，在△BCE中由三角形內角和求得【詳解】解：∵AB=AC，∠A=α∴∠ABC=∠ACB=∵△ABC繞點B順時針旋轉一個角度得到△DBE，∴BC=BE，∠ABC=∠DBE=∠E=∠ACB=180°?α∴∠BCE=∠E=180°?α∴∠CBE=180°?∠BCE?∠E=α，∴∠DBC=∠DBE?∠CBE=180°?α故選：B．4．（3分）（24-25八年級·山東泰安·期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，沿過點A的直線折疊，再次折疊，使點C與點D重合，則AE的長度為（

）A．176 B．136 C．156【答案】B【分析】此題重點考查直角三角形的兩個銳角互余、軸對稱的性質、勾股定理等知識，證明∠ADE=90°是解題的關鍵．由折疊得∠ADB=∠B，∠EDC=∠C，AD=AB=2，DE=CE，則∠ADB+∠EDC=∠B+∠C=90°，所以∠ADE=90°，由勾股定理得22+3?AE【詳解】解：∵∠BAC=90°，AB=2，∴∠B+∠C=90°，由折疊得∠ADB=∠B,∠EDC=∠C,DE=CE，∴∠ADB+∠EDC=∠B+∠C=90°，∴∠ADE=180°?∠ADB+∠EDC∵AD2+DE2∴22∴AE=13故選：B．5．（3分）（24-25八年級·江蘇無錫·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A,C在x軸上，點C的坐標為(?1,0),AC=2.將RtΔABC先繞點C順時針旋轉90°，再向右平移3個單位長度，則變換后點A的對應點坐標是(

)A．(?1,2) B．(?4,2) C．(3,2) D．(2,2)【答案】D【分析】先求出A點繞點C順時針旋轉90°后所得到的坐標A′，再求出A′向右平移3個單位長度后得到的坐標A′′，【詳解】將RtΔABC先繞點C順時針旋轉90°，得到點坐標為A′(-1,2),再向右平移3個單位長度，則A′點的縱坐標不變，橫坐標加上3個單位長度，故變換后點A的對應點坐標是【點睛】本題考查點的坐標的變換及平移.6．（3分）（24-25八年級·浙江·期中）對于正整數數x，符號x表示不大于x的最大整數．若3x+a2=3有正整數解，則正數a的取值范圍是（A．0<a<2或2<a≤3 B．0<a<5或6<a≤7C．1<a≤2或3≤a<5 D．0<a<2或3≤a<5【答案】D【分析】根據[x]所表示的含義，結合題意可得出3?3x+a2<4，繼而可解出x【詳解】解：∵[3x+a∴3?3x+a即6?3x+a<8，6?a?3x<8?a，∴6?a3∵x是正整數，a為正數，∴x<83，即①當x取1時，∵6?3x+a<8，6?3x?a<8?3x，∴3?a<5；②當x取2時，∵6?3x+a<8，6?3x?a<8?3x，∴0<a<2；綜上可得a的范圍是：0<a<2或3?a<5．故選：D．【點睛】此題考查了取整函數的知識，解答本題需要理解[x]所表示的意義，另外也要求我們熟練不等式的求解方法，有一定難度．7．（3分）（24-25八年級·重慶·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，CH為△ABC的角平分線，D為AC邊上的中點，E為BC邊上一點，將△DCE沿DE翻折，使點C的對應點C′恰好落在角平分線CH上，連接AC′并延長交BC于點F，若BF=7，則點C′到A．73 B．74 C．75【答案】B【分析】本題考查了折疊的性質，等腰三角形的判定及性質，全等三角形的判定及性質，直角三角形的特征等.掌握這些判定方法及性質，能根據題意作出恰當的輔助線是解題的關鍵．解法一：過C′作C′G⊥AB于G，連接HF；由折疊的性質及等腰三角形的性質證明∠AC′C=∠AC′D+∠DC′C=90°，再由ASA可判定△FC′C≌△AC′C，由全等三角形的性質得FC解法二：過C′作C′G⊥AB于G，過F作FM⊥AB于M，連接C′M，在BF上截取FN=FM，由等邊三角形的定義得△FMN是等邊三角形，從而可得FM=12BF=72，由由折疊的性質及等腰三角形的判定方法得△AMF和【詳解】解：解法一：如圖，過C′作C′G⊥AB交于G∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=180°?∠BAC2∵CH為△ABC的角平分線，∴∠DCC′=∠FC由翻折得：CD=C∴∠DC∴∠ADC′=∠D∵D是AC的中點，∴AD=CD=C∴∠C′AD=∠DAC′∴∠AC′C=∠A在△FC′C∠FC∴△FC∴FC∴HC′是∴AH=FH，∵∠BAF=∠BAC?∠DAC′=120°?75°∴∠AFH=∠HAF=45°，∠AC∴∠FHA=∠FHB=90°，AG=C′G∴△AHF和△AGC′是等腰直角三角形，∴C∵∠B=30°，∠BHF=90°，∴FH=1∴C故選B；解法二：如圖，過C′作C′G⊥AB于G，過F作FM⊥AB于M，連接C′M∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=180°?∠BAC2∴∠MFN=90°?∠ABC=60°，∴∠MNF=∠FMN=180°?∠MFN2∴∠MNF=∠FMN=∠MFN，∴△FMN是等邊三角形，∴FM=MN=FN，∴∠BMN=90°?∠FMN=30°，∴∠ABC=∠BMN，∴△NBM是等腰三角形，∴BN=MN，∴FM=1∵CH為△ABC的角平分線，∴∠DCC′=∠FC由翻折得：CD=C∴∠DC∴∠ADC′=∠D∵D是AC的中點，∴AD=CD，∴AD=C∴∠C′AD=∠DAC′∴∠AC′C=∠A∠BAF=∠BAC?∠DAC′=120°?75°∴∠AFM=∠MAF=45°，∠AC∴△AMF和△AGC∴AM=FM=72，在△FC′C∠FC∴△FC∴FC∴MC∴∠AMC∴△AMC∴C′G=AG故選：B．8．（3分）（24-25八年級·江西景德鎮·期中）已知非負數x，y，z滿足.3?x2=y+23=A．?2 B．?4 C．?6 D．?8【答案】C【分析】首先設3?x2=y+23=z+54=k，求得x=?2k+3，y=3k?2，z=4k?5，又由x，【詳解】解：設3?x2則x=?2k+3，y=3k?2，z=4k?5，∵x，y，z均為非負實數，∴?2k+3?03k?2?0解得54于是W=3x?2y+z=3(?2k+3)?2(3k?2)+(4k?5)=?8k+8，∴?8×3即?4?W??2．∴W的最大值是?2，最小值是?4，∴W的最大值與最小值的和為?6，故選：C．【點睛】此題考查了最值問題．解此題的關鍵是設比例式：3?x2=y+29．（3分）（24-25八年級·安徽安慶·階段練習）如圖,在4×4的正方形網格中,每個小正方形的頂點稱為格點,左上角陰影部分是一個以格點為頂點的正方形(簡稱格點正方形).若再作一個格點正方形,并涂上陰影,使這兩個格點正方形無重疊,且組成的圖形既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,則這個格點正方形的作法共有(

)A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【答案】C【詳解】試題分析：利用軸對稱圖形的性質以及中心對稱圖形的性質分析得出符合題意的圖形即可．解：如圖所示：組成的圖形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，則這個格點正方形的作法共有4種．故選C．點評：此題主要考查了利用軸對稱以及旋轉設計圖案，正確把握相關定義是解題關鍵．10．（3分）（24-25八年級·遼寧阜新·期中）如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，點C，D，E在同一條直線上，連接B、D和B，E，下列四個結論：①∠BDE=90°；②BD=CE；③∠ACE+∠DBC=30°④BEA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據“邊角邊”，得出△BAD≌△CAE，再根據全等三角形的性質，得出BD=CE，即可判斷結論②；再根據全等三角形的性質，得出∠ABD=∠ACE，再根據等腰直角三角形的性質，得出∠ABC=∠ACB=45°，進而得出∠ABD+∠DBC=45°，再根據等量代換，得出∠ACE+∠DBC=45°，再根據角之間的數量關系，得出∠DBC+∠DCB=90°，再根據三角形的內角和定理，得出∠BDC=90°，即可判斷結論①；再根據等腰直角三角形的性質，得出∠ABD+∠DBC=45°，再根據∠ABD=∠ACE，得出∠ACE+∠DBC=45°，即可判斷結論③；根據勾股定理，得出BD2=BC2?CD2，再根據等腰直角三角形的性質，得出BC【詳解】解：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE．∵在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE(SAS∴BD=CE．故結論②正確；∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，∴∠BDC=∠BDE=90°，故結論①正確．∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°，∵∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC=45°，故結論③錯誤．∵∠BDC=∠BDE=90°，即BD⊥CE，∴在Rt△BCD中，利用勾股定理得：B∵△ABC為等腰直角三角形，∴BC∴BD∵BD⊥CE，∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：B∵△ADE為等腰直角三角形，∴DE∴BE∴BE綜上所述，正確的結論為①②④．故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、三角形的內角和定理、勾股定理等知識點，解本題的關鍵在熟練掌握相關的性質定理．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（24-25八年級·黑龍江佳木斯·期中）如圖，∠ABC=90°，∠BCA=30°，將△ABC繞點B逆時針旋轉a0°<a<90°，得到△DEB，設BD與AC交于點F，連接ED，當△CDF為等腰三角形時，a=【答案】40°或20°【分析】本題考查了旋轉的性質，等邊對等角的性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．根據旋轉的性質可得BC=BD，根據等腰三角形的兩底角相等求出∠CDF=∠DCB，再表示出∠DCF，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和表示出∠CFD，然后分①∠CDF=∠DCF，②∠CDF=∠CFD，③∠DCF=∠CFD三種情況討論求解．【詳解】解：∵將△ABC繞點B逆時針旋轉α0°<α<90°，得到△EBD，∴BC=BD,∠DBC=α，∴∠CDF=∠DCB=1∴∠DCF=∠DCB?∠BCA=1根據三角形的外角性質，∠CFD=∠BCA+∠DBC=30°+α，△CDF是等腰三角形，分三種情況討論，①∠CDF=∠DCF時，12②∠CDF=∠CFD時，12解得：α=40°，③∠DCF=∠CFD時，12解得：α=20°，綜上所述，旋轉角α度數為40°或20°．故答案為：40°或20°．12．（3分）（24-25八年級·安徽亳州·期中）已知直線y=?x+2與直線y=2x+6相交于點A，兩直線分別與x軸交于B，C兩點，若點Da,12a+1（1）點A的坐標是；（2）a的取值范圍是．【答案】?43【分析】本題是考查一次函數圖象的性質，一次函數圖象交點，利用圖象求解的問題，根據題意得出圖形示意圖對于解題有幫助，能將其轉化為不等式組來解是本題的關鍵．聯立兩函數解析式，求出方程組的解，即可得到兩函數圖象交點坐標；利用一次函數函數圖象的性質可以得兩個函數的圖象示意圖，從而得到△ABC的位置，若點Da,12a+1落在△ABC內，則【詳解】解：聯立得y=?x+2y=2x+6解得：x=?4∴A?一次函數圖象的性質，可以得到示意圖，如圖．對于直線y=?x+2，令y=0，則?x+2=0，解得x=2，∴C對于直線y=2x+6，令y=0，則2x+6=0，解得x=?3，∴B?3,0∵點Da,12∴列不等式組a>?3解得：?2<a<故答案為：?43,13．（3分）（24-25八年級·廣東深圳·期中）如圖，在銳角三角形ABC中，∠BAC=60°，BE，CD分別為△ABC的角平分線．BE，CD相交于點F，FG平分∠BFC，已知BD=3，CE=2，△BFC的面積=2.5，求△BCD的面積=．【答案】4【分析】本題主要考查了三角形面積計算，三角形全等的判定和性質，角平分線的性質，三角形內角和定理應用，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形全等的判定方法．過點F作FN⊥BC于點N，FM⊥AB于點M，證明△BDF≌△BGFASA，得出BD=BG，同理可得△CEF≌△CGFASA，得出CE=CG，求出BC=BG+CG=BD+CE，得出BC=5，根據△BFC的面積=2.5，得出FN=1，求出【詳解】解：如圖，過點F作FN⊥BC于點N，FM⊥AB于點M，∵∠BAC=60°，BE，CD分別為△ABC的角平分線，∴∠EBC+∠DCB=12∠ABC+∴∠BFC=180°?∠EBC+∠DCB∴∠BFD=60°，∵FG平分∠BFC，∴∠BFG=1在△BDF和△BGF中，∠BFD=∠BFGBF=BF∴△BDF≌△BGFASA∴BD=BG，同理可得△CEF≌△CGFASA∴CE=CG，∴BC=BG+CG=BD+CE，∵BD=BG=3，CE=CG=2，∴BC=5，∵△BFC的面積=2.5，∴1∴FN=1，∴FM=1，∴S∴△BCD的面積=S故答案為：4．14．（3分）（24-25八年級·江蘇揚州·期中）如圖，AB⊥BC，∠ACB=20°，∠CBD=40°，AC=4，BD=2，則∠BCD=°．【答案】30【分析】本題考查等邊三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，三角形的外角與內角，在AC上取一點E，使CE=BE，連接ED，得到∠ACB=∠EBC=20°，再由垂直得到∠A=∠EBA，推出CE=BE=AE=BD=2，再結合∠EBD=∠CBD+∠EBC=60°得到△BDE是等邊三角形，則DE=BD=2=CE，∠DEB=60°，由外角及等邊對等角得到∠ECD=∠EDC=50°，最后根據∠BCD=∠ECD?∠ECB求解即可．【詳解】解：在AC上取一點E，使CE=BE，連接ED，如圖，∵∠ACB=20°，∴∠ACB=∠EBC=20°，∴∠AEB=∠ACB+∠EBC=40°，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠ACB+∠A=90°=∠EBC+∠EBA，∴∠A=∠EBA，∴BE=AE，∴CE=BE=AE，∵AC=4=AE+BE，∴CE=BE=AE=2，∴CE=BE=AE=BD=2，∵∠CBD=40°，∴∠EBD=∠CBD+∠EBC=40°+20°=60°，∴△BDE是等邊三角形，∴DE=BD=2=CE，∠DEB=60°，∴∠AED=∠AEB+∠DEB=60°+40°=100°，∠ECD=∠EDC，∵∠AED=∠ECD+∠EDC，∴∠ECD=∠EDC=50°，∴∠BCD=∠ECD?∠ECB=50°?20°=30°，故答案為：30．15．（3分）（24-25八年級·重慶萬州·階段練習）一個四位正整數M，如果千位數字與十位數字之和的兩倍等于百位數字與個位數字之和，則稱M為“共進退數”，并規定FM等于M的前兩位數所組成的數字與后兩位數所組成的數字之和，GM等于M的前兩位數所組成的數字與后兩位數所組成的數字之差，如果FM=60，那么M各數位上的數字之和為；有一個四位正整數N=1101+1000x+10y+z（0≤x≤4,0≤y≤9,0≤z≤8，且為整數）是一個“共進退數”，且FN是一個平方數，G【答案】153105【分析】由四位正整數M為“共進退數”推出2a+c=b+d，由FM=60推出10(a+c)+(b+d)=60，從而解得a+c=5，b+d=2(a+c)=10，繼而得解；由N=1101+1000x+10y+z=1000x+1+100×1+10y+z+1推出N的各位數字，繼而表示出FN與GN，由N是一個“共進退數”推出z=2x+2y，利用FN是一個平方數推出【詳解】解：設M的千位數字是a，百位數字是b，十位數字是c，個位數字是d，則M=1000a+100b+10c+d，∵四位正整數M為“共進退數”，∴2a+c又∵FM∴(10a+b)+(10c+d)=60，即10(a+c)+(b+d)=60，∴10(a+c)+2(a+c)=60，∴a+c=5，∴b+d=2(a+c)=10，∴a+b+c+d=15，即M各數位上的數字之和為15．∵N=1101+1000x+10y+z=1000x+1即N的千位數字是x+1，百位數字是1，十位數字是y，個位數字是z+1，∴F(N)=10(x+1)+1+10y+(z+1)=10x+10y+z+12，G(N)=10(x+1)+1?[10y+(z+1)]=10x?10y?z+10，又∵N是一個“共進退數”，∴2[(x+1)+y]=1+(z+1)，化簡得：z=2x+2y，∴F(N)=10x+10y+2x+2y+12=12(x+y+1)，∵0≤z≤8，z=2x+2y，∴0≤2x+2y≤8，∴0≤x+y≤4，1≤x+y+1≤5，又∵FN是一個平方數，F∴x+y+1=3，即x+y=2，∴z=2x+2y=4，y=2?x∵0≤x≤4，0≤y≤9，∴0≤x≤4，0≤2?x≤9，解得：0≤x≤2，∴G(N)=10x?10y?z+10=10x?10(2?x)?4+10=20x?14，∴GN又∵GN∴20x?14是13的倍數，∴x=2，y=2?x=0，∴N=1000x+1故答案為：15；3105【點睛】本題考查整式的加減，一元一次方程的應用，解不等式組等知識，讀懂題意，推導出x+y=2與z=2x+2y是解題的關鍵．16．（3分）（24-25八年級·浙江杭州·期中）如圖，在△ABE中，AB=BE=4，∠BEA=30°，F為AE的中點，C為BF延長線上一點，D為EB延長線上一點，且CA=CD．則∠EDC?∠EAC=，四邊形CADB的面積是．【答案】30°4【分析】本題考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性質，勾股定理，構造全等三角形是解題關鍵．過A作AM⊥ED，由AB=BE，∠BEA=30°，得∠BEA=∠BAE=30°，∠EBA=120°由AB=BE，F為AE的中點，得BC為AE的垂直平分線，設∠CED=∠CDE=α，換算得∠CEA=∠CED?∠BEA=α?30°，由∠CEA=∠CAE=α?30°，換算出∠DCA=∠ECA?∠ECD=60°，故△DCA為等邊三角形，證明△AMD≌△AFC，得它們面積相等.故四邊形CADB的面積=四邊形AFBM的面積=△AEM面積【詳解】解：過A作AM⊥ED，交ED延長線于M，∵AB=BE，∠BEA=30°，∴∠BEA=∠BAE=30°，∠EBA=120°.∵AB=BE，F為AE的中點，∴BC為AE的垂直平分線，∴CE=CA.∵CA=CD，∴CE=CD，∴設∠CED=∠CDE=α，∴∠CEA=∠CED?∠BEA=α?30°，∵CE=CA，∴∠EAC=∠CEA=∠CED?30°=∠EDC?30°，∴∠EDC?∠EAC=30°；∵∠CBA=∠ABM=60°，AF⊥BC，AM⊥EM，∴AF=AM，∵∠CEA=∠CAE=α?30°，∴∠ECA=180°?∠CEA=∠CAE=240°?2α，∵∠CED=∠CDE=α，∴∠ECD=180°?∠CED=∠CDE=180?2α，∴∠DCA=∠ECA?∠ECD=60°，∴△DCA為等邊三角形，∴AC=AD，在△AMD和△AFC中，AM=AFAD=AC∴△AMD≌∴△AMD面積=△AFC面積，∵∠ABM=60°，AM⊥EM，∴∠BAM=30°，∴BM=1∴AM=A∵∠BEF=30°，∴BF=1∴EF=3∴四邊形CADB的面積=△CAF面積+四邊形AFBD的面積=△ADM面積+四邊形AFBD的面積=四邊形AFBM的面積=△AEM面積?△EFB面積=1故答案為：30°，43第Ⅱ卷三．解答題（共9小題，滿分72分）17．（6分）（24-25八年級·山東青島·期中）如圖所示，點A，B的坐標分別為0,2，1,0，直線y1=12x?3(1)求直線AB:y2=kx+b與CD(2)請直接寫出當y1>y(3)求四邊形OBEC的面積．【答案】(1)2,?2(2)x>2(3)4【分析】本題考查一次函數與一元一次不等式，解二元一次方程組，用待定系數法求一次函數的解析式，一次函數圖象上點的坐標等知識點，（1）先求出直線AB的解析式，與y=1（2）根據E點的坐標和函數的圖象即可得解；（3）求出點C、D的坐標，再求出△DOC和△BDE的面積，即可求出答案．【詳解】（1）解：∵直線AB：y=kx+b過點A0,2，B∴b=2k+b=0解得：k=?2b=2∴直線AB的解析式是y=?2x+2，解方程組y=?2x+2y=得：x=2y=?2∴點E的坐標是2,?2；（2）由圖象可知：當x>2時，y1=1∴不等式y1>y（3）對于直線y=1當x=0時，y=?3；當y=0∴C0,?3，D∴OC=3，OD=6，∵B1,0，E∴OB=1，點E到x軸的距離為2，∴S四邊形∴四邊形OBEC的面積為4．18．（6分）（24-25八年級·黑龍江哈爾濱·期末）圖1，圖2均為正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，各個小正方形的頂點叫做格點，請在下面的網格中按要求分別畫圖，使得每個圖形的頂點均在格點上．（1）畫一個邊長均為整數的等腰三角形，且面積等于12；（2）畫一個直角三角形，且三邊長為5，25【答案】（1）見解析；（2）見解析，5【分析】（1）根據勾股定理得到3、4、5得等腰三角形的腰為整數5，再連接圖形即可得到滿足條件的等腰三角形；（2）根據勾股定理得到：直角邊為1與2的斜邊為5，直角邊為2與4的斜邊為25，再連接圖形即可得到滿足條件的三角形，利用勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形再利用面積公式求出答案即可.【詳解】解：（1）如圖1所示，ΔABC即為所求：（2）如圖2所示，ΔDEF即為所求：∵DE∴△DEF是直角三角形，∴SΔDEF【點睛】此題考查等腰三角形的性質，勾股定理，勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，熟練掌握一些無理數線段的作圖方法是解題的關鍵.19．（6分）（24-25八年級·江蘇南通·期中）【綜合與實踐】根據以下信息1~3，探索完成設計購買方案的任務1~3．信息1：某校初一舉辦了科技比賽，學校為獲獎的40名同學每人購買一份獎品，獎品分為A，B，C三類．信息2：若購買2份A獎品和3份B獎品共需220元；購買3份A獎品和2份B獎品共需230元．單獨購買一份C獎品需要15元．信息3：計劃獲A獎品的人數要少于獲B獎品的人數．購買時有優惠活動：每購買1份A獎品就贈送一份C獎品．任務1：求A獎品和B獎品的單價；任務2：若獲A獎品的人數等于獲C獎品的人數，且獲得A獎品的人數超過10人，求此次購買A獎品有幾種方案；任務3：若購買獎品的總預算不超過1150元，要讓獲A獎品的人數盡量多，請你直接寫出符合條件的購買方案．【答案】任務1：A獎品單價50元，B獎品單價為40元；任務2：此次購買A獎品共有3種購買方案；任務3：購買11份A獎品，12份B獎品，6份C獎品．【分析】本題考查了二元一次方程組和不等式的實際應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，列出方程組或不等式．任務1：設A獎品單價x元，B獎品單價y元．根據題意列方程組解答即可；任務2：設獲A獎品的人數為a人，則獲B獎品的人數為(40?2a)人，根據題意列不等式組解答即可；任務2：設購買A獎品m份，C獎品n份，則B獎品(40?2m?n)份，根據題意列出不等式組，解得關于m、n的不等式，由m、n都是正整數，即可得到答案．【詳解】任務1：設A獎品單價為x元，B獎品單價為y元，得：2x+3y=220解得：x=50答：A獎品單價為50元，B獎品單價為40元．任務2：設購買A獎品a份，則購買B獎品(40?2a)份，得a>10a<40?2a解得：10<a<40∵a為正整數，∴a可取的值有11，12，13．答：此次購買A獎品共有3種購買方案．任務3：設購買A獎品m份，C獎品n份，則B獎品份數為：40?m?(m+n)=40?2m?n，依題意得：50m+40（解得：n≥18?65m∴18?∴m<∵m、n均為正整數，∴m可以取的值有：12，11，10，9，8，7，6，5，3，4，2，1當m=12時，18?65×12≤n<40?3×12當m=11時，18?65×11≤n<40?3×11，即∴m=11，n=6，此時A獎品人數最多方案為：購買A獎品11份，C獎品6份，B獎品12份，此時預算為11×50+6×15+12×40=1120（元），符合題意．故答案為：購買11份A獎品，12份B獎品，6份C獎品．20．（8分）（24-25八年級·湖北武漢·階段練習）如圖，在8×8的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1，A、B兩點都在格點上，僅用無刻度的直尺在給定網格中按要求畫圖（畫圖過程用虛線表示，畫圖結果用實線表示）．(1)在圖1中，C為格點．①先將線段CA繞點C逆時針旋轉90°得到線段CD②再畫線段EF，使線段EF與線段AD關于點B成中心對稱（其中E點對應A點，F點對應D點）；(2)在圖2中，以格點O為坐標原點建立平面直角坐標系，其中B點坐標為2,2．①先畫格點G，使OG⊥AB，且OG=AB；②已知線段AB繞平面內的點P旋轉一個特定的度數可與線段OG重合，請在圖中畫出旋轉中心P；③請直接寫出P點的坐標為_____________．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②見解析；③0,2【分析】本題考查旋轉作圖，作中心對稱圖形，作對稱中心．（1）根據網格特點即可作出線段CD，作出點A，D關于點B的對稱點E，F，連接EF即可；（2）①將線段AB繞點B順時針旋轉90°得到線段BH，作平行四邊形OBHG，即可得到所求的點G②作線段OB的垂直平分線IJ，作線段AG的垂直平分線MN，IJ與MN交于點P，則點P為所求的對稱中心；③由圖直接得到點P的坐標．【詳解】（1）解：所求圖形，如圖所示；（2）解：①如圖，點G為所求，將線段AB繞點B順時針旋轉90°得到線段BH，則BH⊥AB，BH=AB作平行四邊形OBHG，則OG∥BH，∴OG⊥AB，且OG=AB，即點G為所求．②如圖，點P為所求．作線段OB的垂直平分線IJ，作線段AG的垂直平分線MN，IJ與MN交于點P，則PB=PO，PA=PG，∴點P為所求的旋轉中心．③由題可得，點P的坐標為0,2．故答案為：0,221．（8分）（24-25八年級·遼寧阜新·期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+2與x軸、y軸分別交A、B兩點，與直線y=?56x+b(1)求m和b的值；(2)若直線y=?56x+b與x軸相交于點D，動點P從點D開始，以每秒1個單位的速度向x軸負方向運動，設點P①若點P在線段DA上，且△ACP的面積為10，求t的值；②當△ACP為等腰三角形時，直接寫出t的值．【答案】(1)m=4(2)①t=195；②t的值為45，245【分析】本題考查一次函數的綜合應用，正確的求出函數解析式，利用數形結合的思想進行求解，是解題的關鍵．（1）將點C(2,m)代入y=x+2，求出m的值，再代入y=?56x+b（2）①利用面積公式列出方程進行求解即可；②三種情況：當AC=PC時；當AP=AC時；當PC=PA時；分別求出t的值即可．【詳解】（1）解：在y=x+2中，當x=0時，y=2；當y=0時，x=?2；∴A(?2,0),B(0,2)；∵點C在直線y=x+2上，∴m=2+2=4，又∵點C(2,4)也在直線y=?5∴?5解得：b=17（2）解：①在y=?56x+173∴D(34∴OD=34∵A(?2,0)，∴OA=2，∴AD=OA+OD=44設PD=t，則AP=12?t，過C作CE⊥AP于E，如圖1所示：則CE=4，∵△ACP的面積為10，∴1解得：t=19②存在，理由如下：過C作CE⊥AP于E，如圖1所示：則CE=4,OE=2，∴AE=OA+OE=4，∴AC=A當AC=PC時，AP=2AE=8，∴PD=AD?AP=44∴t=4當AP=AC時，如圖2所示：則AP∴DP∴t=445+4當PC=PA時，如圖3所示：設EP=m，則CP∴m解得：m=0，∴P與E重合，AP=4，∴PD=44∴t=24綜上，t的值為45或245或44522．（10分）（24-25八年級·江西吉安·期中）（1）如圖①．在Rt△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，連接EC，試探索線段BC，DC，EC（2）如圖②，在Rt△ABC與Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，將△ADE繞點A旋轉，使點D落在BC邊上，試探索線段AD，BD，（3）聯想：如圖③，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若BD=3，CD=1，則AD的長為______．【答案】（1）BC=DC+EC，見解析；（2）BD【分析】（1）證明△BAD≌（2）連接CE，根據全等三角形的性質得到BD=CE，∠ACE=∠B，得到（3）過點A作AE⊥AD，使AE=AD，連接CE，DE，證明△BAD≌【詳解】解：（1）BC=DC+EC，理由如下：連接DE，由題意得：AD=AE,∠DAE=90°∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE，∴BC=BD+CD=EC+CD，（2）BD理由如下：連接CE，由（1）得，△BAD≌∴BD=CE，∴∠DCE=90°，∴CE在Rt△ADE中，AD2∴BD（3）過點A作AE⊥AD，使AE=AD，連接CE，∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE=3，∵∠ADC=45°，∴∠EDC=90°，∴DE=C∵∠DAE=90∴AD=AE=2【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質、勾股定理以及旋轉變換的性質，二次根式的乘法等，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．23．（10分）（24-25八年級·江蘇蘇州·期中）如圖1，已知長方形ABCD，AB=4,BC=5，點P是射線BC上的動點，連接AP，△AQP是由△ABP沿AP翻折所得到的圖形．(1)當點Q落在邊AD上時，QC=_____；(2)當直線PQ經過點D時，求BP的長；(3)如圖2，點M是DC的中點，連接MP、MQ．①MQ的最小值為_____；②當△PMQ是以PM為腰的等腰三角形時，請直接寫出BP的長．【答案】(1)17；(2)BP=2或BP=8；(3)①29?4；②BP=2.9或BP=4或BP=10【分析】本題考查折疊問題，全等三角形的判定和性質，勾股定理，等腰三角形的判定和性質，綜合性強，難度大，屬于壓軸題．利用數形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．（1）根據折疊的性質和勾股定理進行求解即可；（2）分點P在線段BC上，點P在線段BC的延長線上，兩種情況，進行討論求解；（3）①連接AM，勾股定理求出AM的長，折疊求出AQ的長，根據MQ≥AM?AQ，求出最小值即可；②分PM=MQ和PM=PQ兩種情況，再分點P在線段BC上，點P在線段BC的延長線上，進行討論求解即可．【詳解】（1）解：當點Q落在邊AD上時，如圖所示，∵長方形ABCD，AB=4，BC=5，∴CD=AB=4,AD=BC=5，∠BAD=∠B=∠BCD=∠ADC=90°，∵翻折，∴AQ=AB=4,∠AQP=∠B=90°，∴DQ=AD?AQ=1，在Rt△CDQ中，CQ=故答案為：17；（2）當直線PQ經過點D時，分兩種情況：當點P在線段BC上時，如圖：∵翻折，∴AQ=AB=4，∠AQP=∠B=90°，BP=PQ，∴∠AQD=90°，∴DQ=A設BP=PQ=x，則：PC=BC?BP=5?x，DP=DQ+PQ=3+x，在Rt△PCD中，DP2∴x=2；∴BP=2；②當P在線段BC的延長線上時：∵翻折，∴AQ=AB=4,∠Q=∠B=90°，BP=PQ，∴DQ=A設BP=PQ=x，則：PC=BP?BC=x?5，DP=PQ?DQ=x?3，在Rt△PCD中，DP2∴x=8；∴BP=8；綜上：BP=2或BP=8；（3）①連接AM，∵M是CD的中點，∴DM=CM=1∴AM=A∵翻折，∴AQ=AB=4，∵MQ≥AM?AQ，∴當A,Q,M三點共線時，MQ的值最小，即：MQ=AM?AQ=29故答案為：29?4②當PM=PQ時，如圖：∵翻折，∴BP=PQ=PM，設BP=x，則：PM=x,CP=BC?BP=5?x，在Rt△PCM中，PM2解得：x=2.9，即：BP=2.9；當PM=QM，點P在線段BC上時，如圖：∵QM=PM,DM=CM，∠D=∠C=90°，∴△MDQ≌△MCPHL∴CP=DQ，點Q在AD上，由（1）知：DQ=1，∴CP=DQ=1，∴BP=BC?CP=4；當點P在BC的延長線上時：如圖：此時點M在AP上，連接BM，∵翻折，∴BM=MQ=PM，∵MC⊥BP，∴BP=2BC=10；綜上：BP=2.9或BP=4或BP=10．24．（12分）（24-25八年級·遼寧本溪·階段練習）【概念引入】對于給定的一次函數y=kx+b（其中k，b為常數，且k≠0），則稱函數y=?kx+bx≥0kx+b例如：一次函數y=3