專題35幾何綜合壓軸題（40題）

一、解答題

1

1．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知ABC是等腰三角形，ABAC，MANBAC，MAN

2

在BAC的內部，點M、N在BC上，點M在點N的左側，探究線段BM、NC、MN之間的數量關系．

（1）如圖①，當BAC90時，探究如下：

由BAC90，ABAC可知，將△ACN繞點A順時針旋轉90，得到ABP，則CNBP且PBM90，

連接PM，易證△AMP≌△AMN，可得MPMN，在Rt△PBM中，BM2BP2MP2，則有

BM2NC2MN2．

（2）當BAC60時，如圖②：當BAC120時，如圖③，分別寫出線段BM、NC、MN之間的數量關

系，并選擇圖②或圖③進行證明．

2．（2024·四川廣元·中考真題）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質發生折射時，入射角的正

sin

弦值與折射角的正弦值的比值叫做介質的“絕對折射率”，簡稱“折射率”．它表示光在介質中傳播時，

sin

介質對光作用的一種特征．

7

(1)若光從真空射入某介質，入射角為，折射角為，且cos，30，求該介質的折射率；

4

(2)現有一塊與（1）中折射率相同的長方體介質，如圖①所示，點A，B，C，D分別是長方體棱的中點，

若光線經真空從矩形A1D1D2A2對角線交點O處射入，其折射光線恰好從點C處射出．如圖②，已知60，

CD10cm，求截面ABCD的面積．

3．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，點F在邊AD上，ABAF，連接BF，

點O為BF的中點，AO的延長線交邊BC于點E，連接EE

(1)求證：四邊形ABEF是菱形：

(2)若平行四邊形ABCD的周長為22,CE1,BAD120，求AE的長．

4．（2024·四川甘孜·中考真題）如圖，AB為⊙O的弦，C為AB的中點，過點C作CD∥AB，交OB的延

長線于點D．連接OA，OC．

(1)求證：CD是⊙O的切線；

(2)若OA3，BD2，求OCD的面積．

5．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖1，在矩形ABCD中，點E為AD邊上不與端點重合的一動點，點F是

對角線BD上一點，連接BE，AF交于點O，且ABEDAF．

【模型建立】

（1）求證：AF⊥BE；

【模型應用】

1

（2）若AB2，AD3，DFBF，求DE的長；

2

【模型遷移】

1AF

（3）如圖2，若矩形ABCD是正方形，DFBF，求的值．

2AD

6．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖1，O是正方形ABCD對角線上一點，以O為圓心，OC長為半徑的

O與AD相切于點E，與AC相交于點F．

(1)求證：AB與O相切．

(2)若正方形ABCD的邊長為21，求O的半徑．

(3)如圖2，在（2）的條件下，若點M是半徑OC上的一個動點，過點M作MNOC交CE于點N．當

CM:FM1:4時，求CN的長．

7．（2024·內蒙古赤峰·中考真題）數學課上，老師給出以下條件，請同學們經過小組討論，提出探究問題．如

圖1，在ABC中，ABAC，點D是AC上的一個動點，過點D作DEBC于點E，延長ED交BA延長

線于點F．

請你解決下面各組提出的問題：

(1)求證：ADAF；

DFAD

(2)探究與的關系；

DEDC

AD1DF2AD4DF8

某小組探究發現，當時，；當時，．

DC3DE3DC5DE5

請你繼續探究：

AD7DF

①當時，直接寫出的值；

DC6DE

ADmDF

②當時，猜想的值（用含m，n的式子表示），并證明；

DCnDE

(3)拓展應用：在圖1中，過點F作FPAC，垂足為點P，連接CF，得到圖2，當點D運動到使ACFACB

ADmAP

時，若，直接寫出的值（用含m，n的式子表示）．

DCnAD

8．（2024·廣東·中考真題）【問題背景】

如圖1，在平面直角坐標系中，點B，D是直線yaxa0上第一象限內的兩個動點ODOB，以線段

k

BD為對角線作矩形ABCD，AD∥x軸．反比例函數y的圖象經過點A．

x

【構建聯系】

k

（1）求證：函數y的圖象必經過點C．

x

（2）如圖2，把矩形ABCD沿BD折疊，點C的對應點為E．當點E落在y軸上，且點B的坐標為1,2時，

求k的值．

【深入探究】

（3）如圖3，把矩形ABCD沿BD折疊，點C的對應點為E．當點E，A重合時，連接AC交BD于點P．以

點O為圓心，AC長為半徑作O．若OP32，當O與ABC的邊有交點時，求k的取值范圍．

9．（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，AB是O的直徑，AC是一條弦，點D是AC的中點，DNAB于

點E，交AC于點F，連結DB交AC于點G．

(1)求證：AFDF；

(2)延長GD至點M，使DMDG，連接AM．

①求證：AM是O的切線；

②若DG6，DF5，求O的半徑．

10．（2024·四川德陽·中考真題）已知O的半徑為5，B、C是O上兩定點，點A是O上一動點，且

BAC60,BAC的平分線交O于點D．

(1)證明：點D為BC上一定點；

(2)過點D作BC的平行線交AB的延長線于點F．

①判斷DF與O的位置關系，并說明理由；

②若ABC為銳角三角形，求DF的取值范圍．

11．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，ABC是O的內接三角形，AB是O的直徑，過點B作O的切

線與AC的延長線交于點D，點E在O上，ACCE，CE交AB于點F．

(1)求證：CAED；

(2)過點C作CGAB于點G，若OA3，BD32，求FG的長．

12．（2024·四川南充·中考真題）如圖，正方形ABCD邊長為6cm，點E為對角線AC上一點，CE2AE，

點P在AB邊上以1cm/s的速度由點A向點B運動，同時點Q在BC邊上以2cm/s的速度由點C向點B運

動，設運動時間為t秒（0t3）．

(1)求證：AEP∽CEQ．

(2)當△EPQ是直角三角形時，求t的值．

1

(3)連接AQ，當tanAQE時，求△AEQ的面積．

3

13．（2024·安徽·中考真題）如圖1，YABCD的對角線AC與BD交于點O，點M，N分別在邊AD，BC上，

且AMCN．點E，F分別是BD與AN，CM的交點．

(1)求證：OEOF；

(2)連接BM交AC于點H，連接HE，HF．

（?。┤鐖D2，若HE∥AB，求證：HF∥AD；

AC

（ⅱ）如圖3，若YABCD為菱形，且MD2AM，EHF60，求的值．

BD

14．（2024·江蘇揚州·中考真題）在綜合實踐活動中，“特殊到一般”是一種常用方法，我們可以先研究特殊

情況，猜想結論，然后再研究一般情況，證明結論．

如圖，已知ABC，CACB，O是ABC的外接圓，點D在O上（ADBD），連接AD、BD、CD．

【特殊化感知】

（1）如圖1，若ACB60，點D在AO延長線上，則ADBD與CD的數量關系為________；

【一般化探究】

（2）如圖2，若ACB60，點C、D在AB同側，判斷ADBD與CD的數量關系并說明理由；

【拓展性延伸】

（3）若ACB，直接寫出AD、BD、CD滿足的數量關系．（用含的式子表示）

15．（2024·山東·中考真題）一副三角板分別記作ABC和DEF，其中ABCDEF90，BAC45，

EDF30，ACDE．作BMAC于點M，ENDF于點N，如圖1．

(1)求證：BMEN；

(2)在同一平面內，將圖1中的兩個三角形按如圖2所示的方式放置，點C與點E重合記為C，點A與點D

重合，將圖2中的DCF繞C按順時針方向旋轉后，延長BM交直線DF于點P．

①當30時，如圖3，求證：四邊形CNPM為正方形；

②當3060時，寫出線段MP，DP，CD的數量關系，并證明；當60120時，直接寫出線段

MP，DP，CD的數量關系．

16．（2024·江西·中考真題）綜合與實踐

如圖，在Rt△ABC中，點D是斜邊AB上的動點（點D與點A不重合），連接CD，以CD為直角邊在CD

CECB

的右側構造Rt△CDE，DCE90，連接BE，m．

CDCA

特例感知

（1）如圖1，當m1時，BE與AD之間的位置關系是______，數量關系是______；

類比遷移

（2）如圖2，當m1時，猜想BE與AD之間的位置關系和數量關系，并證明猜想．

拓展應用

（3）在（1）的條件下，點F與點C關于DE對稱，連接DF，EF，BF，如圖3．已知AC6，設ADx，

四邊形CDFE的面積為y．

①求y與x的函數表達式，并求出y的最小值；

②當BF2時，請直接寫出AD的長度．

17．（2024·湖南·中考真題）【問題背景】

已知點A是半徑為r的O上的定點，連接OA，將線段OA繞點O按逆時針方向旋轉(090)得到OE，

連接AE，過點A作O的切線l，在直線l上取點C，使得CAE為銳角．

【初步感知】

（1）如圖1，當60時，CAE；

【問題探究】

（2）以線段AC為對角線作矩形ABCD，使得邊AD過點E，連接CE，對角線AC，BD相交于點F．

①如圖2，當AC2r時，求證：無論在給定的范圍內如何變化，BCCDED總成立：

4CE2AB

②如圖3，當ACr，時，請補全圖形，并求tan及的值．

3OE3BC

18．（2024·河南·中考真題）綜合與實踐

在學習特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經驗，請運用已有經驗，對“鄰等對補四邊形”進行研

究

定義：至少有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做鄰等對補四邊形．

(1)操作判斷

用分別含有30和45角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個四邊形，其中是鄰等對補四邊形的有

________（填序號）．

(2)性質探究

根據定義可得出鄰等對補四邊形的邊、角的性質．下面研究與對角線相關的性質．

如圖2，四邊形ABCD是鄰等對補四邊形，ABAD，AC是它的一條對角線．

①寫出圖中相等的角，并說明理由；

②若BCm，DCn，BCD2，求AC的長（用含m，n，的式子表示）．

(3)拓展應用

如圖3，在Rt△ABC中，DB=90°，AB3，BC4，分別在邊BC，AC上取點M，N，使四邊形ABMN

是鄰等對補四邊形．當該鄰等對補四邊形僅有一組鄰邊相等時，請直接寫出BN的長．

19．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與實踐：如圖1，這個圖案是3世紀我國漢代的趙爽在注解《周

髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，受這幅圖的啟發，數學興趣小組建立了“一線三直角模型”．如

圖2，在ABC中，A90，將線段BC繞點B順時針旋轉90得到線段BD，作DEAB交AB的延長線

于點E．

(1)【觀察感知】如圖2，通過觀察，線段AB與DE的數量關系是______；

(2)【問題解決】如圖3，連接CD并延長交AB的延長線于點F，若AB2，AC6，求BDF的面積；

BN

(3)【類比遷移】在(2)的條件下，連接CE交BD于點N，則______；

BC

2

(4)【拓展延伸】在(2)的條件下，在直線AB上找點P，使tanBCP，請直接寫出線段AP的長度．

3

1

20．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標系中，已知直線yx2與

2

x軸交于點A，與y軸交于點C，過A，C兩點的拋物線yax2bxca0與x軸的另一個交點為點B(1，0)，

點P是拋物線位于第四象限圖象上的動點，過點P分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線AC于點E，

點F．

(1)求拋物線的解析式；

(2)點D是x軸上的任意一點，若ACD是以AC為腰的等腰三角形，請直接寫出點D的坐標；

(3)當EFAC時，求點P的坐標；

(4)在（3）的條件下，若點N是y軸上的一個動點，過點N作拋物線對稱軸的垂線，垂足為M，連接NA，MP，

則NAMP的最小值為______．

21．（2024·四川廣元·中考真題）數學實驗，能增加學習數學的樂趣，還能經歷知識“再創造”的過程，更是

培養動手能力，創新能力的一種手段．小強在學習《相似》一章中對“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖

形（如圖1）產生了如下問題，請同學們幫他解決．

在ABC中，點D為邊AB上一點，連接CD．

(1)初步探究

如圖2，若ACDB，求證：AC2ADAB；

(2)嘗試應用

如圖3，在（1）的條件下，若點D為AB中點，BC4，求CD的長；

(3)創新提升

如圖4，點E為CD中點，連接BE，若CDBCBD30，ACDEBD，AC27，求BE的長．

22．（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，在YABCD中，ABC為銳角，點E在邊AD上，連接BE,CE，

且SABESDCE．

(1)如圖1，若F是邊BC的中點，連接EF，對角線AC分別與BE,EF相交于點G,H．

①求證：H是AC的中點；

②求AG:GH:HC；

(2)如圖2，BE的延長線與CD的延長線相交于點M，連接AM,CE的延長線與AM相交于點N．試探究線

段AM與線段AN之間的數量關系，并證明你的結論．

23．（2024·吉林·中考真題）如圖，在ABC中，C90，B30，AC3cm，AD是ABC的角平分

線．動點P從點A出發，以3cm/s的速度沿折線ADDB向終點B運動．過點P作PQ∥AB，交AC于

點Q，以PQ為邊作等邊三角形PQE，且點C，E在PQ同側，設點P的運動時間為tst0，VPQE與ABC

重合部分圖形的面積為Scm2．

(1)當點P在線段AD上運動時，判斷△APQ的形狀（不必證明），并直接寫出AQ的長（用含t的代數式

表示）．

(2)當點E與點C重合時，求t的值．

(3)求S關于t的函數解析式，并寫出自變量t的取值范圍．

24．（2024·吉林長春·中考真題）如圖，在ABC中，ABAC5，BC6．點D是邊BC上的一點（點D

不與點B、C重合），作射線AD，在射線AD上取點P，使APBD，以AP為邊作正方形APMN，使點M

和點C在直線AD同側．

(1)當點D是邊BC的中點時，求AD的長；

(2)當BD4時，點D到直線AC的距離為________；

(3)連結PN，當PNAC時，求正方形APMN的邊長；

(4)若點N到直線AC的距離是點M到直線AC距離的3倍，則CD的長為________．（寫出一個即可）

25．（2024·湖北·中考真題）如圖，矩形ABCD中，E,F分別在AD,BC上，將四邊形ABFE沿EF翻折，使

A的對稱點P落在CD上，B的對稱點為G，PG交BC于H．

(1)求證：△EDP∽△PCH．

(2)若P為CD中點，且AB2,BC3，求GH長．

(3)連接BG，若P為CD中點，H為BC中點，探究BG與AB大小關系并說明理由．

26．（2024·內蒙古通遼·中考真題）數學活動課上，某小組將一個含45的三角尺AEF利一個正方形紙板

ABCD如圖1擺放，若AE1，AB2．將三角尺AEF繞點A逆時針方向旋轉090角，觀察圖

形的變化，完成探究活動．

【初步探究】

如圖2，連接BE，DF并延長，延長線相交于點G,BG交AD于點M．

問題1BE和DF的數量關系是________，位置關系是_________．

【深入探究】

應用問題1的結論解決下面的問題．

問題2如圖3，連接BD，點O是BD的中點，連接OA，OG．求證OAODOG．

【嘗試應用】

問題3如圖4，請直接寫出當旋轉角從0變化到60時，點G經過路線的長度．

27．（2024·甘肅·中考真題）【模型建立】

（1）如圖1，已知ABE和△BCD，ABBC，ABBC，CDBD，AEBD．用等式寫出線段AE，

DE，CD的數量關系，并說明理由．

【模型應用】

（2）如圖2，在正方形ABCD中，點E，F分別在對角線BD和邊CD上，AEEF，AEEF．用等式寫

出線段BE，AD，DF的數量關系，并說明理由．

【模型遷移】

（3）如圖3，在正方形ABCD中，點E在對角線BD上，點F在邊CD的延長線上，AEEF，AEEF．用

等式寫出線段BE，AD，DF的數量關系，并說明理由．

28．（2024·湖南長沙·中考真題）對于凸四邊形，根據它有無外接圓（四個頂點都在同一個圓上）與內切圓

（四條邊都與同一個圓相切），

可分為四種類型，我們不妨約定：

既無外接圓，又無內切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形；

只有外接圓，而無內切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形；

只有內接圓，而無外接圓的四邊形稱為“內切型單圓”四邊形；

既有外接圓，又有內切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形．

請你根據該約定，解答下列問題：

(1)請你判斷下列說法是否正確（在題后相應的括號中，正確的打“√”，錯誤的打“×”，

①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形；（）

②內角不等于90的菱形一定是“內切型單圓”四邊形；（）

③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內切圓圓心重合，外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，則有

R2r．（）

(2)如圖1，已知四邊形ABCD內接于O，四條邊長滿足：ABCDBCAD．

①該四邊形ABCD是“______”四邊形（從約定的四種類型中選一種填入）；

②若BAD的平分線AE交O于點E，BCD的平分線CF交O于點F，連接EF．求證：EF是O的

直徑．

(3)已知四邊形ABCD是“完美型雙圓”四邊形，它的內切圓O與AB，BC，CD，AD分別相切于點E，F，

G，H．

①如圖2．連接EG，FH交于點P．求證：EGFH．

②如圖3，連接OA，OB，OC，OD，若OA2，OB6，OC3，求內切圓O的半徑r及OD的長．

29．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，等邊三角形OAB的邊OB在x軸上，

點A在第一象限，OA的長度是一元二次方程x25x60的根，動點P從點O出發以每秒2個單位長度

的速度沿折線OAAB運動，動點Q從點O出發以每秒3個單位長度的速度沿折線OBBA運動，P、Q

兩點同時出發，相遇時停止運動．設運動時間為t秒（0t3.6），△OPQ的面積為S．

(1)求點A的坐標；

(2)求S與t的函數關系式；

(3)在（2）的條件下，當S63時，點M在y軸上，坐標平面內是否存在點N，使得以點O、P、M、N

為頂點的四邊形是菱形．若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，說明理由．

30．（2024·重慶·中考真題）在Rt△ABC中，ACB90，ACBC，過點B作BD∥AC．

(1)如圖1，若點D在點B的左側，連接CD，過點A作AECD交BC于點E．若點E是BC的中點，求證：

AC2BD；

(2)如圖2，若點D在點B的右側，連接AD，點F是AD的中點，連接BF并延長交AC于點G，連接CF．過

2

點F作FMBG交AB于點M，CN平分ACB交BG于點N，求證：AMCNBD；

2

(3)若點D在點B的右側，連接AD，點F是AD的中點，且AFAC．點P是直線AC上一動點，連接FP，

將FP繞點F逆時針旋轉60得到FQ，連接BQ，點R是直線AD上一動點，連接BR，QR．在點P的運動

過程中，當BQ取得最小值時，在平面內將BQR沿直線QR翻折得到△TQR，連接FT．在點R的運動過

FT

程中，直接寫出的最大值．

CP

31．（2024·重慶·中考真題）在ABC中，ABAC，點D是BC邊上一點（點D不與端點重合）．點D關

于直線AB的對稱點為點E，連接AD,DE．在直線AD上取一點F，使EFDBAC，直線EF與直線AC

交于點G．

(1)如圖1，若BAC60,BDCD,BAD，求AGE的度數（用含的代數式表示）；

(2)如圖1，若BAC60,BDCD，用等式表示線段CG與DE之間的數量關系，并證明；

(3)如圖2，若BAC90，點D從點B移動到點C的過程中，連接AE，當△AEG為等腰三角形時，請直

CG

接寫出此時的值．

AG

32．（2024·江蘇連云港·中考真題）【問題情境】

（1）如圖1，圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內接正方形，那么大正方形面積是小正方形面

積的幾倍？小昕將小正方形繞圓心旋轉45°（如圖2），這時候就容易發現大正方形面積是小正方形面積的

__________倍．由此可見，圖形變化是解決問題的有效策略；

【操作實踐】

（2）如圖3，圖①是一個對角線互相垂直的四邊形，四邊a、b、c、d之間存在某種數量關系．小昕按所

示步驟進行操作，并將最終圖形抽象成圖4．請你結合整個變化過程，直接寫出圖4中以矩形內一點P為

端點的四條線段之間的數量關系；

【探究應用】

（3）如圖5，在圖3中“④”的基礎上，小昕將△PDC繞點P逆時針旋轉，他發現旋轉過程中DAP存在

最大值．若PE8，PF5，當DAP最大時，求AD的長；

（4）如圖6，在Rt△ABC中，C90，點D、E分別在邊AC和BC上，連接DE、AE、BD．若ACCD5，

BCCE8，求AEBD的最小值．

1

33．（2024·上海·中考真題）在梯形ABCD中，AD∥BC，點E在邊AB上，且AEAB．

3

1

如圖所示，點在邊CD上，且DFCD，聯結EF，求證：EF∥BC；

(1)1F3

(2)已知ADAE1；

①如圖2所示，聯結DE，如果VADE外接圓的心恰好落在B的平分線上，求VADE的外接圓的半徑長；

②如圖3所示，如果點M在邊BC上，聯結EM、DM、EC，DM與EC交于N，如果BC4，且

CD2DMDN，DMCCEM，求邊CD的長．

34．（2024·四川成都·中考真題）數學活動課上，同學們將兩個全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個

頂點，然后將其中一個紙片繞這個頂點旋轉，來探究圖形旋轉的性質．已知三角形紙片ABC和ADE中，

ABAD3，BCDE4，ABCADE90．

【初步感知】

BD

（1）如圖1，連接BD，CE，在紙片ADE繞點A旋轉過程中，試探究的值．

CE

【深入探究】

（2）如圖2，在紙片ADE繞點A旋轉過程中，當點D恰好落在ABC的中線BM的延長線上時，延長ED

交AC于點F，求CF的長．

【拓展延伸】

（3）在紙片ADE繞點A旋轉過程中，試探究C，D，E三點能否構成直角三角形．若能，直接寫出所有

直角三角形CDE的面積；若不能，請說明理由．

35．（2024·河北·中考真題）已知O的半徑為3，弦MN25，ABC中，ABC90,AB3,BC32．在

平面上，先將ABC和O按圖1位置擺放（點B與點N重合，點A在O上，點C在O內），隨后移

動ABC，使點B在弦MN上移動，點A始終在O上隨之移動，設BNx．

(1)當點B與點N重合時，求劣弧AN的長；

(2)當OA∥MN時，如圖2，求點B到OA的距離，并求此時x的值；

(3)設點O到BC的距離為d．

①當點A在劣弧MN上，且過點A的切線與AC垂直時，求d的值；

②直接寫出d的最小值．

36．（2024·四川樂山·中考真題）在一堂平面幾何專題復習課上，劉老師先引導學生解決了以下問題：

【問題情境】

如圖1，在ABC中，BAC90，ABAC，點D、E在邊BC上，且∠DAE45，BD3，CE4，

求DE的長．

解：如圖2，將△ABD繞點A逆時針旋轉90得到△ACD，連接ED．

由旋轉的特征得BADCAD，BACD，ADAD，BDCD．

∵BAC90，∠DAE45，

∴BADEAC45．

∵BADCAD，

∴CADEAC45，即EAD45．

∴DAEDAE．

在DAE和DAE中，

ADAD，DAEDAE，AEAE，

∴___①___．

∴DEDE．

又∵ECDECAACDECAB90，

∴在Rt△ECD中，___②___．

∵CDBD3，CE4，

∴DEDE___③___．

【問題解決】

上述問題情境中，“①”處應填：______；“②”處應填：______；“③”處應填：______．

劉老師進一步談到：圖形的變化強調從運動變化的觀點來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以

不變應萬變．

【知識遷移】

如圖3，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，滿足△CEF的周長等于正方形ABCD的周長的

一半，連結AE、AF，分別與對角線BD交于M、N兩點．探究BM、MN、DN的數量關系并證明．

【拓展應用】

如圖4，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且EAFCEF45．探究BE、EF、DF的

數量關系：______（直接寫出結論，不必證明）．

【問題再探