內蒙古自治區錫林郭勒盟三縣聯考2024-2025學年八年級下學期4月月考數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．下列計算正確的是（

）A． B． C． D．2．若代數式在實數范圍內有意義，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．下列式子一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．4．如下是小明的作業，他判斷正確的個數是（

）（√）（√）（×）（√）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．如圖，小明想用彩色膠帶裝飾他的筆筒，這條膠帶沿著這個圓柱的表面，從點A粘貼到點C，再從圓柱另外一面粘貼到A，已知它的底面直徑為6，圓柱高為4，最少要用到的膠帶長度為（

）A． B． C． D．6．下列選項中，化簡正確的是（

）A． B． C． D．7．實數和在數軸上的位置如圖所示，化簡的結果是（

）A． B． C． D．8．如圖，在平面直角坐標系中，，，，，點E在x軸上，滿足，則點E的坐標為（

）A． B． C． D．或9．如圖，已知為等腰直角三角形，則，，三者的關系為（

）A． B．C． D．10．如圖，為等腰直角三角形，平分，交于點，交的延長線于點，交的延長線于點，于點；下列結論：①；②；③；④．其中正確的有（）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④二、填空題11．要使代數式有意義，則x應滿足的條件是．12．比較大小：（填“”“”或“”）．13．觀察下列分母有理化運算，尋找規律．，，利用上面的規律計算：．14．如圖，，，，，當時，的長為．

15．已知如圖，點、、，設為線段上一點（不含端點），連接，一動點從點出發，沿線段以每秒個單位的速度運動到，再沿線段以每秒個單位的速度運動到后停止，當點的坐標是時，點在整個運動過程中用時最少．16．邊長為2的等邊中，是上中線，點D在上，連接，在的右側作等邊，連接，則周長的最小值是．三、解答題17．計算：(1)；(2)．18．如圖，爺爺家有一塊長方形空地，空地的長為，寬為，爺爺準備在空地中劃出一塊長，寬的小長方形地種植香菜（即圖中陰影部分），其余部分種植青菜．

(1)求出長方形的周長；（結果化為最簡二次根式）(2)求種植青菜部分的面積．19．先閱讀下列材料：材料一：像，…這種兩個含二次根式的代數式相乘，積不含二次根式，我們稱這兩個代數式互為有理化因式．例如：，…，那么與，與等都是互為有理化因式，化簡一個分母含有二次根式的式子時要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．進而將二次根式化為最簡，例如：，．材料2：小剛利用知識材料一的內容解決了問題：已知，求的值．他是這樣解答的：∵，∴，∴，∴∴．請你根據上述知識和解題過程，解決如下問題：(1)請用以上方法化簡：________；（直接填空）(2)計算：（沒有過程不給分）(3)若，求的值．20．如圖1，是的角平分線，、分別是邊、上的點，滿足，連結交于點，且，連結、．(1)求證：四邊形是菱形．(2)如圖2，若，，，求菱形的邊長．21．梯形在平面直角坐標系中的位置如圖，已知，點，，，其中滿足．(1)直接寫出___________；(2)求點，的坐標；(3)若在第二象限有一點，連接，，已知的面積是面積的一半，求點的坐標．22．綜合與實踐【模型建立】（1）如圖1，在與中，D是邊上的動點，，，，連接．①求的最小值；②判斷，，之間的數量關系，并證明．【模型應用】（2）如圖2，已知是等邊三角形，，，求的最小值．23．如圖①，小紅在學習了三角形相關知識后，對等腰直角三角形進行了探究，在等腰直角三角形中，，過點作射線，垂足為，點在上．

(1)【動手操作】如圖②，若點在線段上，畫出射線，并將射線繞點逆時針旋轉與交于點，根據題意在圖中畫出圖形，圖中的度數為_______度；(2)【問題探究】根據（1）所畫圖形，探究線段與的數量關系，并說明理由；(3)【拓展延伸】如圖③，若點在射線上移動，將射線繞點逆時針旋轉與交于點，探究線段之間的數量關系，并說明理由．《內蒙古自治區錫林郭勒盟三縣聯考2024-2025學年八年級下學期4月月考數學試題》參考答案1．B解：A.，故該選項運算錯誤；B.，故該選項運算正確；C.，故該選項運算錯誤；D.，故該選項運算錯誤；故選：B．2．B由題意得：，解得：，故選B．3．B解：A．當時，無意義，不是二次根式；B．，一定是二次根式；C．當時，無意義，不是二次根式；D．當時，無意義，不是二次根式；故選：B．4．C解：，原判斷錯誤，，原判斷正確，，原判斷正確，，原判斷正確，小明判斷正確3個，故選：C．5．D解：如圖，∵圓柱的底面半徑為6，∴側面展開后，∴，又高為4，∴∴最少要用到的膠帶長度為．故選：D．6．B解：A、，故此選項錯誤，不符合題意；B、，故此選項正確，符合題意；C、，故此選項錯誤，不符合題意；D、，故此選項錯誤，不符合題意．故選：B．7．B解：根據題意，則，∴，，∴===；故選：B．8．D解：由題意可得：，，，軸，軸，如圖，連接，∵，，軸，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∵軸，∴，∴，∴，∴當點E與點A重合時有，此時點E的坐標為，當點當點E不與A重合時，如圖，連接，過D作于H，

∵，，∴，在Rt和Rt中，∴RtRt(HL)，∴，∵，，∴，∴,設，則，，根據勾股定理可得：即，解得：，∴點E的坐標為，綜上所述：點E的坐標為或，故選：D9．C解：如圖，過點C作，使，連接，，是等腰直角三角形，，，，，在和中，，，，，是等腰直角三角形，，在中，，，故選C．10．D解：如圖，過點作于點，過點作于點．

，，，平分，，，，，，，，故①正確，，，，故②正確，平分，，，，，，，，，故③正確，在和中，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，在和中，，，，，故④正確，故選：D．11．解：代數式有意義，可得：，解得，故答案為：．12．解：，，∵，∴，即，故答案為：．13．2021解：原式故答案為：．14．2解：如圖，作，，而，

∴，∴，在與中，，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴（負根舍去）．故答案為：215．解：在整個過程共用時：如圖分別作軸，軸，使、交于，

的坐標為，，，，，，為等腰直角三角形，如圖過點作于點，連接，也是等腰直角三角形，，，當時，取得最小值，即，，此時，與交于點，的橫坐標等于點的橫坐標，，設直線的解析式為，將點，代入解析式得，解得，∴解析式為，將代入，得，∴當的坐標為，點M在整個運動過程中用時最少，故答案為．16．/如圖，連接，∵，是等邊三角形，∴，，,∴，∴，∴．∵是上中線，∴，，∴∴點E在射線上運動（）．作點A關于直線的對稱點M，連接交于，連接，即有：，∴，當F、E、M三點共線時，有最小值，最小為，根據圖形可知：當點E與點重合時，滿足要求，此時的值最小，最小為,則有最小，即周長的最小值，最小值為：，根據對稱性可知，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，周長的最小值為：，故答案為：﹒17．(1)(2)（1）解：；（2）解：．18．(1)(2)（1）長方形ABCD的周長為：；（2）種植青菜部分的面積為：．答：種植青菜部分的面積是．19．(1)(2)(3)4（1）解：，故答案為：．（2）解：原式（3）解：∵，∴，∴．20．(1)見解析(2)（1）證明：，平分，，，四邊形是平行四邊形，又，平行四邊形是菱形；（2）解：由（1）可知，四邊形是菱形，，，，，，，設，則，，，，解得：，，即菱形的邊長為．21．(1)；(2)點的坐標為，點的坐標為；(3)．（1）解：∵，∴，則，故答案為：；（2）解：由（）得，，∴，∴，∴，∴，∴，，∴點的坐標為，點的坐標為；（3）解：∵，，∴，∴，∵，的面積是面積的一半，∴，∴，∴點的坐標為．22．（1）①2；②，理由見解析（2）解：（1）①∵，，，∴，，．要使最小，則最小，當時，最小．由等腰直角三角形的性質，可得此時，∴．②．證明：∵，∴，∴．在和中，∴，∴，，∴．在中，由勾股定理得．∵，，．（2）如圖，延長到點，使．∵是等邊三角形，∴，．∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴，，∴，∴是等邊三角形，∴．當時，最短，由等邊三角的性質可知，．由勾股定理得，∴的最小值為．23．(1)作圖見解析；135(2)；理由見解析(3)或；理由見解析（1）解：如圖所示：

∵，∴，∵，∴，∴；故答案為：135．（2）解：；理由如下：連接，如圖所示：

根據旋轉可知，，∵，∴、P、B、E四點共圓，∴，