期中易錯題壓軸題專項復習【24大題型】（考試范圍：第6~8章）【滬科版2025】TOC\o"1-3"\h\u【易錯篇】 2【考點1平方根、立方根】 2【考點2無理數】 2【考點3實數與數軸】 3【考點4實數的運算】 4【考點5一元一次不等式】 4【考點6一元一次不等式組】 5【考點7冪的運算】 5【考點8單項式乘單項式】 6【考點9單項式乘多項式】 6【考點10多項式乘多項式】 7【考點11完全平方公式】 8【考點12平方差公式】 8【考點13因式分解】 9【壓軸篇】 9【考點14無理數的整數與小數部分的計算】 9【考點15不等式(組)的整數解問題】 10【考點16不等式組的有解或無解問題】 11【考點17利用不等式的基本性質求最值】 11【考點18方程與不等式（組）的實際應用】 12【考點19冪的運算的逆用】 13【考點20多項式乘積不含某項求字母的值】 13【考點21多項式乘多項式與圖形面積】 15【考點22整式乘法中的規律性問題】 17【考點23整式乘法中的恒成立問題】 19【考點24因式分解的應用】 19【易錯篇】【考點1平方根、立方根】【例1】（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·期末）下列說法中正確的是（

）A．?25有平方根 B．?64沒有立方根C．0.09的平方根是±0.03 D．?42【變式1-1】16+3?27【變式1-2】（24-25八年級上·江蘇揚州·期末）解方程：(1)2x+1(2)x?33【變式1-3】（24-25八年級上·湖北十堰·期末）已知x?1的平方根是±3，x+y的立方根是2，求x2【考點2無理數】【例2】（24-25七年級·安徽安慶·期中）滿足?3<x<310的整數【變式2-1】（24-25七年級·山東泰安·期末）在實數?3，0，A．2 B．3 C．4 D．5【變式2-2】（24-25七年級·甘肅天水·期末）因為22<5<32，可以肯定2<5<3，也就是5在2與3之間．依據這一方法，對2.22<5<2.32，可以肯定2.2<5A．3.15<10<3.16 C．3.17<10<3.18 【變式2-3】（24-25七年級·遼寧本溪·期末）解答題，在學習第二章第4節《估算》后，某數學愛好小組探究110的近似值的過程如下：∵∴10<∵面積為110的正方形的邊長是110∴設110=10+x，其中0<x<1畫出示意圖，如圖所示．根據示意圖，可得圖中正方形的面積為S正方形又∵S∴10當0<x<1時，可忽略x2，得100+20x≈110，解得x≈0.5∴110(1)求13.8的整數部分；(2)仿照該數學愛好小組的探究過程，求13.8的近似值（結果保留1位小數）．（要求：畫出示意圖，標注數據，并寫出求解過程）【考點3實數與數軸】【例3】（24-25七年級·浙江杭州·期中）實數a在數軸上對應點A的位置如圖所示，若b=a?

（1）b的值是．（2）10b+2的平方根是【變式3-1】（24-25七年級·山西長治·期中）數學課上，為了讓同學們更加直觀地理解無理數可以在數軸上表示，張老師作了如圖所示的演示，把直徑為1個單位長度的圓沿數軸從原點無滑動地順時針滾動一周，到達點A，此時點A表示的數是．【變式3-2】（24-25七年級·浙江杭州·期中）數軸上點A表示的數是?2，點B，C分別位于點A的兩側，且到點A的距離相等．若點B表示的數是3，則點C表示的數是．【變式3-3】（24-25七年級·廣東江門·期中）實數a、b在數軸上的位置如圖所示．化簡a2?【考點4實數的運算】【例4】（24-25七年級·河北邯鄲·期中）任意給出一個非零實數m，按如圖所示的程序進行計算．(1)當m=1時，輸出的結果為________．(2)當實數m的一個平方根是﹣3時，求輸出的結果．【變式4-1】（24-25七年級·重慶云陽·期末）計算：?12025+【變式4-2】（24-25七年級·湖北十堰·期末）計算：(1)25(2)2【變式4-3】（24-25七年級·山東煙臺·期末）（1）若m2=?72，（2）a是?27的立方根和16的算術平方根的和，b是比3?47大且最相鄰的整數，請求出5a+b【考點5一元一次不等式】【例5】關于x的不等式x+14?1>4x?a6的解集都是不等式x4【變式5-1】若k?(k+2)x|k|?1>0是關于xA．x<2 B．x>?2 C．x>?12 【變式5-2】已知關于x的方程4(x?2)=2(x?m)+4的解為負數，則m的取值范圍是（

）A．m<6 B．m>6 C．m<?6 D．m>?6【變式5-3】（24-25八年級·山東聊城·期中）若關于x的一元一次不等式x?a2+1>x+a的解集中每一個x的值都能使不等式1?2x2?1?5xA．a≤43 B．a≥43 C．【考點6一元一次不等式組】【例6】（24-25八年級·四川眉山·期末）若不等式組x+m>2n?x>?4的解集為1<x<2，則m+n2025的值為（A．－1 B．0 C．1 D．2【變式6-1】（24-25八年級·廣西貴港·期末）對一個實數x按如圖所示的程序進行操作，計算機運行從“輸入一個實數x”到“判斷結果是否大于190？”為一次操作，如果操作恰好進行兩次操作才停止，那么x的取值范圍是（）A．8<x≤22 B．22<x≤64 C．22<x≤62 D．8<x≤20【變式6-2】（24-25八年級·山東聊城·期中）若關于x的一元一次不等式組2x?1>3x?2x<m的解集是x<5，則m的取值范圍是（A．m≥5 B．m>5 C．m≤5 D．m<5【變式6-3】（24-25八年級·浙江紹興·期末）關于x的不等式組2a?x>32x+8>4a的解集中每一個值均不在?1≤x≤5的范圍中，則a的取值范圍是（

A．a<1或a>4.5 B．a≤1或a≥4.5C．a>4或a<1.5 D．a≥4或a≤1.5【考點7冪的運算】【例7】（24-25七年級·四川資陽·期末）計算?452024A．4 B．?4 C．5 D．?5【變式7-1】（24-25七年級·吉林白城·階段練習）下列計算正確的是（

）A．a5?aC．x2+x【變式7-2】（24-25七年級·四川成都·期末）已知4a?3b+1=0，則32×3【變式7-3】（24-25七年級·重慶渝北·期末）若4a=6，8b=16，a【考點8單項式乘單項式】【例8】（24-25七年級·四川遂寧·期末）設xm?1yn+2?xA．?18 B．?12 【變式8-1】（24-25七年級·四川成都·期末）先化簡，再求值：?2a2b3?【變式8-2】（24-25七年級·山東聊城·期末）若am+1bn+2??【變式8-3】（24-25七年級·浙江金華·期中）如圖，在正方形內，將2張①號長方形紙片和3張②號長方形紙片按圖1和圖2兩種方式放置（放置的紙片間沒有重疊部分），正方形中未被覆蓋的部分（陰影部分）的周長相等．

（1）若①號長方形紙片的寬為2厘米，則②號長方形紙片的寬為厘米；（2）若①號長方形紙片的面積為40平方厘米，則②號長方形紙片的面積是平方厘米．【考點9單項式乘多項式】【例9】（24-25七年級·四川成都·期末）如圖，將7張圖1所示的小長方形紙片按圖2的方式不重疊地放在矩形ABCD內，未被覆蓋的部分用陰影表示．如果當BC的長變化時，左上角與右下角的陰影部分的面積的差保持不變，那么b：a的值為．【變式9-1】（24-25七年級·廣東深圳·期中）若xx+a+3x?2b=x2【變式9-2】（24-25七年級·湖南邵陽·期末）數學課上，老師講了單項式與多項式相乘：先用單項式乘多項式中的每一項，再把所得的積相加，小麗在練習時，發現了這樣一道題：“?2x2（3x﹣■+1）＝?6x【變式9-3】（24-25七年級·湖南常德·期末）如圖，某校園的學子餐廳Wi?Fi密碼做成了數學題，小亮在餐廳就餐時，思索了會，輸入密碼，順利的連接到了學子餐廳的網絡．若他輸入的密碼是2842■，最后兩被隱藏了，那么被隱藏的兩位數是【考點10多項式乘多項式】【例10】（24-25七年級·山西臨汾·期末）有如圖所示的正方形和長方形卡片若干張，若要拼成一個長為2a+b、寬為a+2b的長方形，需要B類卡片（）A．2張 B．3張 C．4張 D．5張【變式10-1】（24-25七年級·河南省直轄縣級單位·期末）有一塊長為(m+6)米（m為正數），寬為(m+3)米的長方形土地，若把這塊地的長增加1米，寬減少1米，則與原來相比，這塊土地的面積（

）A．沒有變化 B．變大了 C．變小了 D．無法確定【變式10-2】（24-25七年級·四川成都·期末）先化簡，再求值：12b2a?4b?2a+b【變式10-3】（24-25七年級·福建福州·期末）發現規律：我們發現，x+px+q=x2+運用規律(1)如果x+3x?5=x2+mx+n(2)如果x+ax+b①求a?3b?3②求1a【考點11完全平方公式】【例11】（24-25七年級·甘肅蘭州·期中）已知a2+bA．4 B．?4 C．8 D．?8【變式11-1】（24-25七年級·上海閔行·期中）如果關于x的整式9x2?2m?1x+【變式11-2】（24-25七年級·福建漳州·期中）若x，y是自然數，且滿足x2+y2【變式11-3】（24-25七年級·湖南婁底·期中）已知(x?2023)2+(x?2025)2=24A．12 B．11 C．13 D．10【考點12平方差公式】【例12】（24-25七年級·河南新鄉·期中）某同學在計算3(4+1)(42+1)時，把3寫成4?1后，發現可以連續運用兩數和乘以這兩數差公式計算：3(4+1)(4【變式12-1】（24-25七年級·甘肅蘭州·期中）下列各式中能用平方差公式計算的是（）A．x+yx+y2 C．x+y?x?y D．【變式12-2】（24-25七年級·福建泉州·期中）為了美化校園，學校把一個邊長為ama>4的正方形跳遠沙池的一組對邊各增加1mA．變小 B．變大 C．沒有變化 D．無法確定【變式12-3】（24-25七年級·山西臨汾·期中）霍州鼓樓位于山西霍州市城內中心，明萬歷十一年（1583年）建，又稱文昌閣．其結構外表是明二假三層，它的間架結構復雜新穎、巧妙結合，采用了我國古建筑中的一種凹凸結合的連接方式——榫卯（sǔnmǎo）結構，精密謹嚴天衣無縫，行家里手驚佩它是工藝精湛超群絕倫．如圖①是一個榫卯結構的零部件，圖②是其截面圖，整體是一個長為2a+bcm，寬為2a?bcm的長方形，中間鑿掉一個邊長為acm

【考點13因式分解】【例13】（24-25八年級上·河南南陽·期末）把下列多項式分解因式(1)x2(2)9x(3)x3(4)xy+x+y+1．【變式13-1】（24-25八年級上·福建泉州·期末）若a?b=2，則a2【變式13-2】（24-25八年級上·河南開封·期末）下列因式分解正確的是（

）A．?x2+C．x2?2x+4=x?1【變式13-3】（24-25八年級上·湖北荊州·期末）計算12?2【壓軸篇】【考點14無理數的整數與小數部分的計算】【例14】（24-25七年級·浙江寧波·期中）19?35的整數部分為a，小數部分為b，則2a?b=【變式14-1】（24-25七年級·江蘇蘇州·階段練習）如圖1，把兩個面積為1dm2的小正方形沿對角線剪開，拼成一個面積為2dm2的大正方形，所得到的面積為2dm2的大正方形的邊長就是原先面積為1dm(1)某同學把長為2，寬為1的兩個長方形沿對角線剪開裁剪，拼成如圖2所示的一個大正方形.仿照上面的探究方法求空白部分正方形的面積及其邊長x的值；(2)若c為（1）中x的整數部分，求c的平方根．【變式14-2】（24-25七年級·甘肅蘭州·期中）大家知道2是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此2的小數部分我們不能全部地寫出來，于是小平用2?1來表示2的小數部分，你同意小平的表示方法嗎？事實上小平的表示方法是有道理的，因為2的整數部分是1，用這個數減去其整數部分，差就是小數部分．請解答：若15的整數部分為a，小數部分為b(1)求a，b的值；(2)求a2【變式14-3】（24-25七年級·浙江杭州·期中）以下是小明與老師之間的對話：小明：張老師，我們知道6是無理數，無理數就是無限不循環小數，那該如何表示出它的小數部分呢？老師：小明，因為6的整數部分是2，所以將這個數減去其整數部分，差就是小數部分，即6?2根據上述對話內容，解答下面的問題：已知7+11=x+y，其中x是整數，且(1)x=________；y=________；(2)求3x+11【考點15不等式(組)的整數解問題】【例15】（22-23八年級·重慶北碚·期中）若關于x的不等式組?2x?2?x<2k?x2≥?12+x最多有2個整數解，且關于A．13 B．18 C．21 D．26【變式15-1】已知關于x的不等式組2x+m≤0x+4>0的所有整數解的和為－5，則m的取值范圍為【變式15-2】（20-21八年級·上海虹口·期中）已知關于x的不等式組x?a≥18?2x>0的整數解共有5個，且關于y的不等式ay?1≤?y的解集為y≥1a+1，則a【變式15-3】（23-24八年級·北京·期中）（1）關于x的不等式?2<x<3有個整數解；（2）若關于x的不等式組x?k<4k+2x<2x?3k（k為常數，且為整數）恰有5個整數解，則k的取值為（3）若關于x的不等式3k<x<a+3k（k和a為常數，且為整數）恰有6個整數解，則共有組滿足題意的k和【考點16不等式組的有解或無解問題】【例16】（2021·湖北襄陽·一模）已知不等式組3x+a<2x,?13x<5【變式16-1】若不等式組{x≥ax≤b無解，則不等式組{x>3?aA．x>3?a B．x<3?b C．3?a<x<3?b D．無解【變式16-2】關于x的方程k?2x=3(k?2)的解為非負數，且關于x的不等式組x?2(x?1)≤32k+x3≥x有解，則符合條件的整數k【變式16-3】從－2，－1,0,1,2，3，5這七個數中，隨機抽取一個數記為m，若數m使關于x的不等式組x>m+2?2x?1≥4m+1無解，且使關于x的一元一次方程（m－2）x＝3有整數解，那么這六個數所有滿足條件的m的個數有（

A．1 B．2 C．3 D．4【考點17利用不等式的基本性質求最值】【例17】（20-21八年級·江西景德鎮·期中）已知非負數x，y，z滿足.3?x2=y+23=A．?2 B．?4 C．?6 D．?8【變式17-1】（23-24八年級·江蘇南通·期末）已知非負數a，b，c滿足條件3a+2b+c=4，2a+b+3c=5，設s=5a+4b+7c的最大值是m，最小值是n，則m+n的值為．【變式17-2】（20-21八年級·湖北黃石·期末）已知實數a，b，滿足1≤a+b≤4，0≤a?b≤1且a?2b有最大值，則8a+2021b的值是．【變式17-3】（23-24八年級·北京·期末）已知x1，x2，x3，x4，x5為正整數，且x1<【考點18方程與不等式（組）的實際應用】【例18】（22-23八年級·重慶九龍坡·階段練習）某家具店經銷A、B兩種品牌的兒童床，已知A品牌兒童床的售價為4200元，利潤率為20%，B品牌兒童床的成本價為4200元，而每張B品牌兒童床的售價在成本的基礎上增長了1(1)該店銷售記錄顯示，四月份銷售A、B兩種兒童床共20張，且銷售A品牌兒童床的總利潤與B品牌兒童床總利潤相同，求該店四月份售出(2)根據市場調研，該店五月份計劃購進這兩種兒童床共30張，要求購進B品牌兒童床張數不低于A品牌兒童床張數的70%(3)在（2）的條件下，該店打算將五月份按計劃購進的30張兒童床全部售出后，所獲得利潤的10%【變式18-1】（23-24八年級·廣東韶關·期末）快遞公司為提高快遞分揀的速度，決定購買機器人來代替人工分揀．已知購買甲型機器人1臺，乙型機器人2臺，共需7萬元；購買甲型機器人2臺，乙型機器人3臺，共需12萬元．(1)甲，乙兩種型號機器人的單價各為多少萬元?(2)已知1臺甲型和1臺乙型機器人每小時分揀快遞的數量分別是1400件和1200件，該公司計劃最多用16萬元購買6臺這兩種型號的機器人，且至少購買甲型機器人3臺，請問有哪幾種購買方案?哪種方案能使每小時的分揀量最大?【變式18-2】某手機經銷商計劃同時購進一批甲、乙兩種型號的手機，若購進2部甲型號手機和1部乙型號手機，共需要資金2800元；若購進3部甲型號手機和2部乙型號手機，共需要資金4600元．(1)求甲、乙型號手機每部進價為多少元？(2)該店計劃購進甲、乙兩種型號的手機銷售，預計用不多于1.8萬元且不少于1.74萬元的資金購進這兩種型號的手機共20臺，請問有幾種進貨方案？(3)售出一部甲種型號手機，利潤率為40%，乙型號手機的售價為1280元．為了促銷，公司決定每售出一臺乙型號手機，返還顧客現金m元，而甲型號手機售價不變，要使（2）中所有方案獲利相同，求m的值．【變式18-3】（23-24八年級·江蘇南通·期中）【綜合與實踐】根據以下信息1~3，探索完成設計購買方案的任務1~3．信息1：某校初一舉辦了科技比賽，學校為獲獎的40名同學每人購買一份獎品，獎品分為A，B，C三類．信息2：若購買2份A獎品和3份B獎品共需220元；購買3份A獎品和2份B獎品共需230元．單獨購買一份C獎品需要15元．信息3：計劃獲A獎品的人數要少于獲B獎品的人數．購買時有優惠活動：每購買1份A獎品就贈送一份C獎品．任務1：求A獎品和B獎品的單價；任務2：若獲A獎品的人數等于獲C獎品的人數，且獲得A獎品的人數超過10人，求此次購買A獎品有幾種方案；任務3：若購買獎品的總預算不超過1150元，要讓獲A獎品的人數盡量多，請你直接寫出符合條件的購買方案．【考點19冪的運算的逆用】【例19】（24-25七年級·湖北武漢·階段練習）若am=20，bn=20，ab=20，則m+nmn=【變式19-1】（24-25七年級·四川巴中·期中）已知2x+2?3x+2=【變式19-2】（24-25七年級·安徽滁州·期中）已知x=2（1）若x=m2，則自然數m=（2）若x+2n是一個完全平方數，則自然數n=【變式19-3】（24-25七年級·浙江溫州·期中）已知整數a、b、c、d滿足a＜b＜c＜d且【考點20多項式乘積不含某項求字母的值】【例20】（24-25七年級·湖北武漢·期中）如圖，一個長方形被分成四塊：兩個小長方形，面積分別為S1，S2，兩個小正方形，面積分別為S3，S4，若2S1－S2的值與AB的長度無關，則S3與S4之間的關系是.【變式20-1】（24-25七年級·福建泉州·期末）對于多項式x?a，x?b，x?c，x?d（a，b，c，d是常數），若x?a與x?b的積減去x?c與x?d的積，其差為常數，則a，b，c，d應滿足的關系是（

）A．a+b=?c?d B．a?b=c?dC．a+b=c+d D．ab=cd【變式20-2】（24-25七年級·四川巴中·期中）若(x2+nx+3)(x2?3x+m)的展開式中不含x【變式20-3】（24-25七年級·安徽淮北·期中）［知識回顧]有這樣一類題：代數式ax?y+6+3x?5y?1的值與x的取值無關，求a的值；通常的解題方法；把x，y看作字母，a看作系數合并同類項，因為代數式的值與x的取值無關，所以含x項的系數為0，即原式=a+3x?6y+5，所以a+3=0，即［理解應用](1)若關于x的多項式(2m?3)x+2m2?3m的值與x(2)已知3(2x+1)(x?1)?x(1?3y)+6(?x2+xy?1)(3)（能力提升）如圖1，小長方形紙片的長為a、寬為b，有7張圖1中的紙片按照圖2方式不重疊地放在大長方形ABCD內，大長方形中有兩個部分（圖中陰影部分）未被覆蓋，設右上角的面積為S1，左下角的面積為S2，當AB的長變化時，S1-S【考點21多項式乘多項式與圖形面積】【例21】（24-25七年級·云南迪慶·期中）【知識生成】用兩種不同方法計算同一圖形的面積，可以得到一個等式．(1)【知識探究】如圖1，是用長為2a，寬為2b的長方形，沿圖中虛線均分成四個小長方形，然后按照圖2拼成一個正方形，可以得到(a?b)2、(a+b)2、(2)【知識遷移】類似的，用兩種不同的方法計算同一個幾何體的體積，也可以得到一個等式，如圖3，觀察大正方體分割，寫出可以得到的等式_______________；若a+b=6，ab=7，求a3(3)【拓展探究】如圖4，兩個正方形ABCD、CEFG的邊長分別為x，yx>y若這兩個正方形的面積之和為34，且BE=8【變式21-1】（24-25七年級·北京·期中）長方形窗戶ABCD（如圖1），是由上下兩個長方形（長方形AEFD和長方形EBCF）的小窗戶組成，在這兩個小窗戶上各安裝了一個可以朝水平方向拉伸的遮陽簾，這兩個遮陽簾的高度分別是a和2b（即DF=a，BE=2b），其中a>b>0．當遮陽簾沒有拉伸時（如圖1），若窗框的面積不計，則窗戶的透光面積就是整個長方形窗戶（即長方形ABCD）的面積．如圖2，上面窗戶的遮陽簾水平向右拉伸2a至GH．當下面窗戶的遮陽簾水平向左拉伸2b時，恰好與GH在同一直線上（即點G、H、P在同一直線上）．(1)求長方形窗戶ABCD的總面積；（用含a、b的代數式表示）(2)如果上面窗戶的遮陽簾拉伸至AG=23AD，下面窗戶的遮陽簾拉伸至CP=25【變式21-2】（24-25七年級·福建福州·期中）我國著名數學家華羅庚先生曾經說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休．”可見，數形結合思想在解決數學問題，理解數學本質上發揮著重要的作用．在一節數學活動課上，老師帶領同學們在拼圖活動中探尋整式的乘法的奧秘．情境一如下圖，甲同學將4塊完全相同的等腰梯形木片拼成如下兩個圖形，請你用含a、b的式子分別表示圖1和圖2中陰影部分的面積，并說明由此可以得到什么樣的乘法公式；情境一

情境二乙同學用1塊A木片、4塊B木片和若干塊C木片拼成了一個正方形，請直接寫出所拼正方形的邊長（用含a、b的式子表示），并求所用C木片的數量；情境二

情境三丙同學聲稱自己用以上的A，B，C三種木片拼出了一個面積為2a你贊同哪位同學的說法，請求出該情況下所拼長方形的長和寬，并畫出相應的圖形．（要求：所畫圖形的長、寬與圖樣一致，并標注每一小塊的長與寬）．【變式21-3】（24-25七年級·黑龍江哈爾濱·期中）八年級數學老師在集體備課中，發現利用“面積法”說明整式的乘法有助于學生的理解，為此老師們用硬紙卡制作了如下的學具（a×a的正方形A，b×b的正方形B，a×b的長方形C），(1)在一節課的探究中，小高老師利用1張A和1張C拼出如圖1所示的長方形，利用“面積法”可以得出的整式乘法關系式為______(2)在隨后的探究中，小高老師在上課時則給同學們發了很多硬紙片(a×a的正方形A，b×b的正方形B，a×b的長方形C），并要求同學們用2張A，1張B和3張C拼成一個長方形，請你在框1中畫出對應的示意圖，并將利用面積法得出的整式乘法關系式補充完整；框1(_______)(_______)=2(3)小朱老師在設計本單元的階梯作業時，給出如圖2所示的示意圖，請結合圖例，在橫線上添加適當的式子，使等式成立；______+______=2(4)小威老師在培優群中布置了一道思考題：已知a+b2+a?b【考點22整式乘法中的規律性問題】【例22】（24-25七年級·四川眉山·期中）觀察下列各式：(x?1)(x+1)=x(x?1)(x(x?1)(x…根據規律計算：22022?2A．22023?23 B．2【變式22-1】（24-25七年級·廣西南寧·期中）閱讀：在計算x?1x(1)【觀察】①x?1x+1②x?1x③x?1x(2)【猜想】由此可得：x?1x(3)【應用】請運用上面的結論，解決下列問題：計算：52024【變式22-2】（24-25七年級·廣東湛江·期末）觀察并驗證下列等式：131313(1)續寫等式：13(2)我們已經知道1+2+3+???+n=12n(n+1)(3)利用（2）中得到的結論計算：33【變式22-3】（24-25七年級·河南商丘·期末）日歷與人們日常生活密切相關，日歷中蘊含著豐富的數學問題.如圖，在2025年1月份的日歷中，兩個長方形中四個角上的數字交叉相乘，再相減，例如7×20?6×21=________，11×16?9×18=________，不難發現，結果都是________．2025年1月(1)完成上面的填空．(2)請你再選擇兩個類似的長方形框試一試，看看是否符合這個規律．(3)若設每個方框的左上角數字設為n，請你利用整式的運算對以上的規律加以證明．【考點23整式乘法中的恒成立問題】【例23】（24-25七年級·上?！て谥校﹎、n為正整數，如果?amnA．m必為奇數 B．n必為奇數C．m、n必同為奇數 D．m、n必同為偶數【變式23-1】（24-25七年級·安徽安慶·階段練習）若不論x為何值時，等式x2x+a+4x?3b=2x2+5x+6恒成立，則a=【變式23-2】（24-25七年級·福建泉州·期中）若規定a、b兩數之間滿足一種運算：記作a,b．即：若ac=b，則a,b=c．我們叫這樣的數對稱為“一青一對”．例如:因為3（1）計算(4,2)+(4,3)=()；（2）在正整數指數冪的范圍內，若(42x?4,54k)≥(4,5)恒成立，且【變式23-3】（24-25七年級·浙江寧波·期末）對x，y定義一種新運算F，規定：F(x，y)=(mx+ny)(3x?y)（其中m，n均為非零常數）．例如：F(1,1)=2m+2n，F(?1,0)=3m．當F(1,?1)=?8，F(1,2)=13，則F(x,y)=；當x2≠y2時，F(x，y)=F(y，x)對任意有理數x，y都成立，則m，n滿足的關系式是【考點24因式分解的應用】【例24】解答下列各題：(1)分解因式：ab+a+b+1；(2)若a，b(a>b)都是正整數且滿足ab?a?b?4=0，求(3)若a，b為實數且滿足ab?a?b?5=0，S=2a2+3ab+【變式24-1】（24-25八年級上·陜西延安·期末）在學習完“因式分解”后，為了開拓學生的思維，宋老師在黑板上寫了題目：因式分解：x2解：x=x=xx?y=x?y請利用上述方法，解答下列各題：(1)因式分解：m2(2)已知△ABC的三邊a,b,c滿足a2?b【變式24-2】（24-25八年級上·江蘇南通·期末）若一個關于x的二次三項式能分解成ax?mx?n（其中a為實數，m，n為正整數）的形式，則稱這個多項式關于x=m+n2對稱．例如：2x(1)請寫出一個關于x的二次三項式，使它關于x=5對稱；(2)若x2+t?7x+t(3)若2x?bx?c=M，且M關于x=3對稱，求b，【變式24-3】（24-25七年級上·江蘇蘇州·期末）定義：如果一個三位數的百位數字與個位數字之和等于十位數字，則稱這個三位數為“和諧數”．如264，因為它的百位數字2與個位數字4之和等于十位數字6，所以264是“和諧數”．(1)最小的“和諧數”是______，最大的“和諧數”是______；(2)試說明“和諧數”一定能被11整除．

期中易錯題壓軸題專項復習【24大題型】（考試范圍：第6~8章）【滬科版2025】TOC\o"1-3"\h\u【易錯篇】 2【考點1平方根、立方根】 2【考點2無理數】 3【考點3實數與數軸】 6【考點4實數的運算】 8【考點5一元一次不等式】 10【考點6一元一次不等式組】 13【考點7冪的運算】 15【考點8單項式乘單項式】 16【考點9單項式乘多項式】 18【考點10多項式乘多項式】 21【考點11完全平方公式】 24【考點12平方差公式】 26【考點13因式分解】 28【壓軸篇】 30【考點14無理數的整數與小數部分的計算】 30【考點15不等式(組)的整數解問題】 33【考點16不等式組的有解或無解問題】 36【考點17利用不等式的基本性質求最值】 38【考點18方程與不等式（組）的實際應用】 41【考點19冪的運算的逆用】 47【考點20多項式乘積不含某項求字母的值】 50【考點21多項式乘多項式與圖形面積】 53【考點22整式乘法中的規律性問題】 61【考點23整式乘法中的恒成立問題】 65【考點24因式分解的應用】 68【易錯篇】【考點1平方根、立方根】【例1】（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·期末）下列說法中正確的是（

）A．?25有平方根 B．?64沒有立方根C．0.09的平方根是±0.03 D．?42【答案】A【分析】本題考查了立方根、平方根及算術平方根的知識，注意一個正數的平方根有兩個，算術平方根只有一個，且為正數．根據立方根及平方根、算術平方根的定義，結合各選項進行判斷即可．【詳解】解：A、?25=25，25有平方根，故選項AB、?64的立方根為?4，故選項B錯誤；C、0.09的平方根是±0.3，故選項C錯誤；D、?42=16=4，4的算術平方根是故選：A．【變式1-1】16+3?27【答案】1【分析】根據算術平方根和立方根的定義進行計算．【詳解】解：16故答案為1．【點睛】本題考查算術平方根和立方根，正確掌握算術平方根和立方根的意義是解題關鍵．【變式1-2】（24-25八年級上·江蘇揚州·期末）解方程：(1)2x+1(2)x?33【答案】(1)x=1或x=?3(2)x=6【分析】本題考查了平方根，立方根，熟練掌握這兩個定義是解題的關鍵．（1）根據平方根的定義解方程即可；（2）根據立方根的定義解方程即可．【詳解】（1）解：2x+1∴x+12∴x+1=±2，∴x=1或x=?3；（2）解：x?33∴x?33∴x?3=3，∴x=6．【變式1-3】（24-25八年級上·湖北十堰·期末）已知x?1的平方根是±3，x+y的立方根是2，求x2【答案】104【分析】本題主要考查了平方根、立方根、代數式求值等知識點，掌握平方根和立方根的定義是解題的關鍵．根據平方根的定義求出x的值，根據立方根的定義求出y的值，再根據有理數的乘方法則、加法法則計算即可．【詳解】解：∵x?1的平方根是±3，∴x?1=9，∴x=10，∵x+y的立方根是2，∴x+y=8，∴y=?2，∴x【考點2無理數】【例2】（24-25七年級·安徽安慶·期中）滿足?3<x<310的整數【答案】?1、0、1、2【分析】本題考查估算無理數的大小，理解算術平方根、立方根的意義是解題關鍵．根據算術平方根、立方根的意義估算?3，3【詳解】解：∵12=1，2∴1<3∴?2<?3∵23=8，3∴2<3∴滿足?3<x<310的整數x有?1、0、故答案為：?1、0、1、2．【變式2-1】（24-25七年級·山東泰安·期末）在實數?3，0，A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】此題主要考查了立方根和無理數的定義，熟知無理數的常見形式是解題的關鍵．首先計算3?64【詳解】解：3?64∴根據無理數的定義可知：7，π2，0.131331331…∴無理數的個數是3個．故選：B．【變式2-2】（24-25七年級·甘肅天水·期末）因為22<5<32，可以肯定2<5<3，也就是5在2與3之間．依據這一方法，對2.22<5<2.32，可以肯定2.2<5A．3.15<10<3.16 C．3.17<10<3.18 【答案】B【分析】本題考查了估算無理數的大小，能估算出10的范圍是解答本題的關鍵．利用估算無理數大小的方法即可求得答案．【詳解】解：∵3.16∴3.16<10故選：B．【變式2-3】（24-25七年級·遼寧本溪·期末）解答題，在學習第二章第4節《估算》后，某數學愛好小組探究110的近似值的過程如下：∵∴10<∵面積為110的正方形的邊長是110∴設110=10+x，其中0<x<1畫出示意圖，如圖所示．根據示意圖，可得圖中正方形的面積為S正方形又∵S∴10當0<x<1時，可忽略x2，得100+20x≈110，解得x≈0.5∴110(1)求13.8的整數部分；(2)仿照該數學愛好小組的探究過程，求13.8的近似值（結果保留1位小數）．（要求：畫出示意圖，標注數據，并寫出求解過程）【答案】(1)3(2)13.8【分析】本題主要考查了估計無理數的大小，理解示例并合理解答是解題關鍵．（1）判斷出9<（2）仿造示例畫出圖形，可得S正方形【詳解】（1）解：∵9∴3<13.8∴13.8（2）解：根據題意畫出示意圖，標注數據如下：∵面積為13.8的正方形的邊長是13.8，且3<13.8<4∴設13.8=3+x，其中0<x<1根據示意圖，可得圖中正方形的面積S正方形又∵S∴3當0<x<1時，可忽略x2，得9+6x≈13.8，解得x≈0.8∴13.8【考點3實數與數軸】【例3】（24-25七年級·浙江杭州·期中）實數a在數軸上對應點A的位置如圖所示，若b=a?

（1）b的值是．（2）10b+2的平方根是【答案】10?2【分析】本題主要考查了實數與數軸、平方根及實數的性質，熟知數軸上的點所表示數的特征及平方根的定義是解題的關鍵．（1）根據數軸上點A的位置，得出數a的取值范圍，再結合絕對值的性質即可解決問題．（2）根據（1）中求出的b的值，結合平方根的定義即可解決問題．【詳解】解：（1）由所給數軸可知，2<a<3，所以a?10<0，則b=10（2）由（1）知，10b+2所以10b+2的平方根是±故答案為：（1）10?2；（2）±【變式3-1】（24-25七年級·山西長治·期中）數學課上，為了讓同學們更加直觀地理解無理數可以在數軸上表示，張老師作了如圖所示的演示，把直徑為1個單位長度的圓沿數軸從原點無滑動地順時針滾動一周，到達點A，此時點A表示的數是．【答案】π【分析】本題考查用數軸上的點表示實數，數軸上兩點間的距離，根據題意，直徑為單位1的圓從數軸上的原點沿著數軸無滑動地順時針滾動一周到達點A，則OA的長為圓的周長，求圓的周長即可．明確OA長度的實際意義是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，∵直徑為單位1的圓從數軸上的原點沿著數軸無滑動地順時針滾動一周到達點A，∴OA=π×1∴點A表示的數是π．故答案為：π．【變式3-2】（24-25七年級·浙江杭州·期中）數軸上點A表示的數是?2，點B，C分別位于點A的兩側，且到點A的距離相等．若點B表示的數是3，則點C表示的數是．【答案】?4?3/【分析】本題考查了實數與數軸，熟練掌握數軸的性質是解題關鍵．先畫出圖形，再求出AC,AB的長，然后根據數軸的性質求解即可得．【詳解】解：由題意，畫出數軸如下：∵數軸上點A表示的數是?2，點B表示的數是3，∴AB=3∵點B,C分別位于點A的兩側，且到點A的距離相等,∴AC=AB=3∴點C表示的數是?2?3故答案為：?4?3【變式3-3】（24-25七年級·廣東江門·期中）實數a、b在數軸上的位置如圖所示．化簡a2?【答案】?2a【分析】本題考查了利用絕對值和二次根式的性質進行化簡，掌握性質是解題的關鍵．由數軸可得a<0<b，a?b<0，根據a2【詳解】解：由數軸知：a<0<b，∴a?b<0，∴a==?a?b+b?a=?2a，故答案為：?2a．【考點4實數的運算】【例4】（24-25七年級·河北邯鄲·期中）任意給出一個非零實數m，按如圖所示的程序進行計算．(1)當m=1時，輸出的結果為________．(2)當實數m的一個平方根是﹣3時，求輸出的結果．【答案】(1)0(2)-2【分析】（1）將m=1代入流程圖，逐步計算即可；（2）根據題意求出m的值，代入流程圖計算即可求出值．【詳解】（1）解：當m=1時，12（2）根據題意得：m=?3∴32【點睛】此題考查了實數的運算，以及平方根，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【變式4-1】（24-25七年級·重慶云陽·期末）計算：?12025+【答案】3?2/【分析】本題考查實數的運算，根據乘方和絕對值運算法則進行計算即可．【詳解】解：?1=?1+=3故答案為：3【變式4-2】（24-25七年級·湖北十堰·期末）計算：(1)25(2)2【答案】(1)4(2)π【分析】本題主要考查了實數的混合運算、乘方、立方根、算術平方根等知識點，靈活運用相關運算法則成為解題的關鍵．（1）先根據算術平方根、乘方、立方根化簡，然后再計算即可；（2）先根據乘方、絕對值化簡，然后再計算即可．【詳解】（1）解：25=5?4+3=4．（2）解：2=2+π?3+1=π．【變式4-3】（24-25七年級·山東煙臺·期末）（1）若m2=?72，（2）a是?27的立方根和16的算術平方根的和，b是比3?47大且最相鄰的整數，請求出5a+b【答案】（1）4或?10；（2）?2【分析】本題考查平方根和立方根，理解平方根和立方根定義是解答的關鍵．（1）先根據平方根和立方根定義求得m=7或?7，n=?3，再代值求解即可；（2）先求得a=?1，再根據無理數的估算方法求解b=?3，然后代值求解5a+b=?8，進而利用立方根定義求解即可．【詳解】解：（1）∵m2=?7∴m=7或?7，n=?3，當m=7時，m+n=7+?3當m=?7時，m+n=?7+?3∴m+n的值為：4或?10；（2）∵a是?27的立方根和16的算術平方根的和，∴a=?3+2=?1，∵?4=3?64<3?47∴b=?3，∴5a+b=5×?1∴5a+b的立方根是?2．【考點5一元一次不等式】【例5】關于x的不等式x+14?1>4x?a6的解集都是不等式x4【答案】a≤【分析】此題考查了解一元一次不等式．先求出每個不等式的解集，再根據兩個不等式解集的關系得到2a?95≤4，即可求出【詳解】解：x去分母得，x?4<8?2x，移項合并同類項得，3x<12，系數化為1得，x<4．x+14去分母得，3x+1去括號得，3x+3?12>8x?2a，移項合并同類項得，?5x>9?2a，解得x<2a?9由題意可知2a?95解得a≤29故答案為：a≤【變式5-1】若k?(k+2)x|k|?1>0是關于xA．x<2 B．x>?2 C．x>?12 【答案】D【分析】本題主要考查了一元一次不等式的定義及解一元一次不等式，先根據一元一次不定式的定義求出k的值，再代入解不等式即可．【詳解】解：∵k?(k+2)x|k|?1>0∴|k|?1=1且k+2≠0，解得k=2，∴原不等式為2?4x>0，解得x<1故選：D．【變式5-2】已知關于x的方程4(x?2)=2(x?m)+4的解為負數，則m的取值范圍是（

）A．m<6 B．m>6 C．m<?6 D．m>?6【答案】B【分析】本題主要考查了一元一次方程的解和求不等式的解集．先解方程4(x?2)=2(x?m)+4可得x=6?m，再建立不等式求解即可．【詳解】解：∵4(x?2)=2(x?m)+4，∴4x?8=2x?2m+4，∴2x=12?2m，解得：x=6?m．∵關于x的方程4(x?2)=2(x?m)+4的解是負數，∴6?m<0，解得m>6．故選：B．【變式5-3】（24-25八年級·山東聊城·期中）若關于x的一元一次不等式x?a2+1>x+a的解集中每一個x的值都能使不等式1?2x2?1?5xA．a≤43 B．a≥43 C．【答案】B【分析】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握不等式的解法是解題關鍵．先求出兩個不等式的解集分別為x<?3a+2和x<?2，再根據題意可得?3a+2≤?2，解不等式即可得．【詳解】解：x?a2x?a+2>2x+2a，?x>3a?2，x<?3a+2；1?2x231?2x3?6x?1+5x>4，?x>2，x<?2；∵關于x的一元一次不等式x?a2+1>x+a的解集中每一個x的值都能使不等式∴?3a+2≤?2，解得a≥4故選：B．【考點6一元一次不等式組】【例6】（24-25八年級·四川眉山·期末）若不等式組x+m>2n?x>?4的解集為1<x<2，則m+n2025的值為（A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】本題考查了解一元一次不等式組，按照解一元一次不等式組的步驟，進行計算可得2?m<x<n+4，從而可得2?m=1，n+4=2，然后求出m，n的值，再代入式子中，進行計算即可解答．【詳解】解：x+m>2①解不等式①得：x>2?m，解不等式②得：x<n+4，∴原不等式組的解集為：2?m<x<n+4，∵不等式組的解集為1<x<2，∴2?m=1，∴m=1，∴m+n==?1，故選：A．【變式6-1】（24-25八年級·廣西貴港·期末）對一個實數x按如圖所示的程序進行操作，計算機運行從“輸入一個實數x”到“判斷結果是否大于190？”為一次操作，如果操作恰好進行兩次操作才停止，那么x的取值范圍是（）A．8<x≤22 B．22<x≤64 C．22<x≤62 D．8<x≤20【答案】B【分析】本題考查了程序流程圖，一元一次不等式組的應用，根據程序運行一次的結果小于等于190，運行兩次的結果大于190，可得出關于x的一元一次不等式組，求解即可，正確列出一元一次不等式組是解題的關鍵．【詳解】解：根據題意可得，3x?2≤1903解得：22<x≤64，故選：B．【變式6-2】（24-25八年級·山東聊城·期中）若關于x的一元一次不等式組2x?1>3x?2x<m的解集是x<5，則m的取值范圍是（A．m≥5 B．m>5 C．m≤5 D．m<5【答案】A【分析】本題考查了解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，根據“同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到”，據此即可確定m的取值范圍．【詳解】解：解不等式2x?1>3x?2，得x<5∵不等式組的解集為x<5，∴m≥5，故選：A．【變式6-3】（24-25八年級·浙江紹興·期末）關于x的不等式組2a?x>32x+8>4a的解集中每一個值均不在?1≤x≤5的范圍中，則a的取值范圍是（

A．a<1或a>4.5 B．a≤1或a≥4.5C．a>4或a<1.5 D．a≥4或a≤1.5【答案】B【分析】本題考查了不等式的解集，先求出不等式的解集，然后根據不等式組2a?x>32x+8>4a的解集中每一個值均不在?1≤x≤5的范圍中，得出2a?4≥5或2a?3≤?1，然后關于a【詳解】解：解不等式2a?x>3，得x<2a?3，解不等式2x+8>4a，得x>2a?4，∴不等式組的解集為2a?4<x<2a?3，∵不等式組2a?x>32x+8>4a的解集中每一個值均不在?1≤x≤5∴2a?3≤?1或2a?4≥5，解得a≤1或a≥4.5，故選：B．【考點7冪的運算】【例7】（24-25七年級·四川資陽·期末）計算?452024A．4 B．?4 C．5 D．?5【答案】A【分析】本題主要考查積的乘方，同底數冪相乘，解答的關鍵是掌握積的乘方，同底數冪相乘法則的逆用．先逆用同底數冪相乘將?452024【詳解】解：?===1×=1×=4．故選：A．【變式7-1】（24-25七年級·吉林白城·階段練習）下列計算正確的是（

）A．a5?aC．x2+x【答案】D【分析】本題考查了同底數冪的乘除法運算，積的乘方，熟悉掌握運算法則是解題的關鍵．根據運算法則逐一運算判斷即可．【詳解】解：A：a5B：?5aC：x2D：?m故選：D．【變式7-2】（24-25七年級·四川成都·期末）已知4a?3b+1=0，則32×3【答案】3【分析】本題考查了代數式求值，同底數冪乘除法，冪的乘方的逆運算，掌握相關運算法則是解題關鍵．由題意可得4a?3b=?1，再將32×3【詳解】解：∵4a?3b+1=0，∴4a?3b=?1，∴3故答案為：3．【變式7-3】（24-25七年級·重慶渝北·期末）若4a=6，8b=16，a【答案】9【分析】本題考查了同底數冪除法的逆運算，積的乘方的逆運算，由同底數冪除法的逆運算可得24a?3b【詳解】解：24a?3b故答案為：94【考點8單項式乘單項式】【例8】（24-25七年級·四川遂寧·期末）設xm?1yn+2?xA．?18 B．?12 【答案】A【分析】本題主要考查了單項式乘單項式、一元一次方程的應用等知識點，熟練掌握同底數冪的乘法法則是解題關鍵．先根據單項式乘單項式法則列出關于m、n的方程，進而求得m、n的值，最后代入計算即可．【詳解】解：∵xm?1∴6m?1=5,n+4=7，解得：m=1,n=3，∴?1故選：A．【變式8-1】（24-25七年級·四川成都·期末）先化簡，再求值：?2a2b3?【答案】?a【分析】先化簡，再把a=2，b=1代入求解即可．【詳解】解：原式=?2a當a=2，b=1時，原式=?a【點睛】本題考查了整式的化簡求值，解題的關鍵是正確的化簡．【變式8-2】（24-25七年級·山東聊城·期末）若am+1bn+2??【答案】2【分析】先把左邊根據單項式的乘法法則化簡，再與右邊比較，求出m、n的值，然后代入m+n計算即可.【詳解】∵am+1∴?a∴m+2n=32m+n+2=5解之得m=1n=1∴m+n=1+1=2.【點睛】本題考查了單項式的乘法，以及二元一次方程組的解法，根據題意列出關于m、n的二元一次方程組是解答本題的關鍵.【變式8-3】（24-25七年級·浙江金華·期中）如圖，在正方形內，將2張①號長方形紙片和3張②號長方形紙片按圖1和圖2兩種方式放置（放置的紙片間沒有重疊部分），正方形中未被覆蓋的部分（陰影部分）的周長相等．

（1）若①號長方形紙片的寬為2厘米，則②號長方形紙片的寬為厘米；（2）若①號長方形紙片的面積為40平方厘米，則②號長方形紙片的面積是平方厘米．【答案】480【分析】（1）根據正方形中未被覆蓋的部分（陰影部分）的周長相等可得②號長方形紙片的寬為①號長方形紙片的寬的2倍，進而計算即可；（2）觀察圖形，②號長方形紙片的寬為①號長方形紙片的寬的2倍，②號長方形紙片的長的3倍是①號長方形紙片的長，進而計算即可．【詳解】解：（1）由圖知，②號長方形紙片的寬為2×2=4（厘米），故答案為：4；（2）設①長方形紙片的長為a，寬為b，則ab=40，由圖知，②長方形紙片的長為13a，寬為∴②號長方形紙片的面積是13故答案為：803【點睛】本題考查整式的乘法運算的應用，利用圖形，正確列出式子是解答的關鍵．【考點9單項式乘多項式】【例9】（24-25七年級·四川成都·期末）如圖，將7張圖1所示的小長方形紙片按圖2的方式不重疊地放在矩形ABCD內，未被覆蓋的部分用陰影表示．如果當BC的長變化時，左上角與右下角的陰影部分的面積的差保持不變，那么b：a的值為．【答案】1：3【分析】根據題意和圖形，設BC的長為x，則可以表示出左上角與右下角的陰影部分的面積的差，然后再根據左上角與右下角的陰影部分的面積的差保持不變，即可得到b：a的值．【詳解】設BC的長為x，左上角與右下角的陰影部分的面積的差為：（x﹣a）?3b﹣（x﹣4b）?a＝3bx﹣3ab﹣ax+4ab＝（3b﹣a）x+ab，∵左上角與右下角的陰影部分的面積的差保持不變，∴3b﹣a＝0，解得a=3b，∴b：a=1：3故答案為：1：3．【點睛】本題考查整式的加減，關鍵是表示出兩個陰影部分的面積，并能正確進行整式的加減運算．【變式9-1】（24-25七年級·廣東深圳·期中）若xx+a+3x?2b=x2【答案】0【分析】將等式左邊按照單項式乘以多項式，再合并同類項，整理后形式和等式右邊一致，即可求出a，b的值，代入求值即可求出答案．【詳解】解：根據題意可得：∵等式左邊=x∴x2∴a+3=5,?2b=4，解得：a=2,b=?2，∴a+b=2+?2故答案為：0【點睛】本題主要考查的是整式的運算，掌握單項式與多項式的乘法運算，合并同類項即可求出結果，也是解題的關鍵．【變式9-2】（24-25七年級·湖南邵陽·期末）數學課上，老師講了單項式與多項式相乘：先用單項式乘多項式中的每一項，再把所得的積相加，小麗在練習時，發現了這樣一道題：“?2x2（3x﹣■+1）＝?6x【答案】2y【分析】利用多項式除以單項式法則計算?6x【詳解】解：∵?6=?6=3x?2y即?2x∴“■”中的一項是2y．故答案為：2y．【點睛】此題考查了單項式乘多項式和多項式除以單項式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．【變式9-3】（24-25七年級·湖南常德·期末）如圖，某校園的學子餐廳Wi?Fi密碼做成了數學題，小亮在餐廳就餐時，思索了會，輸入密碼，順利的連接到了學子餐廳的網絡．若他輸入的密碼是2842■，最后兩被隱藏了，那么被隱藏的兩位數是【答案】70【分析】本題考查了數字類規律探索、單項式乘多項式的應用，正確發現一般規律是解題關鍵．先根據已知等式找出規律，再設等式左邊三個數分別為a,b,c，則ab=28，ac=42，據此求出ab+c【詳解】解：由第1個等式可知，15=5×3，10=5×2，25=5×3+2由第2個等式可知，18=9×2，36=9×4，54=9×2+4由第3個等式可知，48=8×6，24=8×3，72=8×6+3由第4個等式可知，14=7×2，35=7×5，49=7×2+5設等式左邊三個數分別為a,b,c，則ab=28，ac=42，所以被隱藏的兩位數是ab+c故答案為：70．【考點10多項式乘多項式】【例10】（24-25七年級·山西臨汾·期末）有如圖所示的正方形和長方形卡片若干張，若要拼成一個長為2a+b、寬為a+2b的長方形，需要B類卡片（）A．2張 B．3張 C．4張 D．5張【答案】D【分析】本題考查了多項式乘多項式的應用、單項式除以單項式的應用，熟練掌握多項式乘多項式的運算法則是解題關鍵．根據多項式乘多項式法則求出拼成的長方形的面積，從而可得所用的B類卡片的總面積，由此即可得．【詳解】解：由題意得：拼成的長方形的面積為：2a+b=2=2a∵1張B類卡片的面積為ab，∴需要B類卡片的張數為5ab÷ab故選：D．【變式10-1】（24-25七年級·河南省直轄縣級單位·期末）有一塊長為(m+6)米（m為正數），寬為(m+3)米的長方形土地，若把這塊地的長增加1米，寬減少1米，則與原來相比，這塊土地的面積（

）A．沒有變化 B．變大了 C．變小了 D．無法確定【答案】C【分析】本題考查了整式乘法和加減的運用，由題意得，新長方形的長為m+7米，寬為m+2米，分別求出新長方形和原長方形的面積，再用作差法比較即可求解，掌握整式的運算法則是解題的關鍵．【詳解】解：由題意得，新長方形的長為m+7米，寬為m+2米，∴新長方形的面積為m+7m+2原長方形的面積為m+6m+3∵m2∴與原來相比，這塊土地的面積變小了，故選：C．【變式10-2】（24-25七年級·四川成都·期末）先化簡，再求值：12b2a?4b?2a+b【答案】?b2【分析】本題考查了整式的乘法，求代數式的值，同類項的定義；先按照整式乘法法則展開，再合并同類項，得?b2?2a2?2，結合單項式xa+3y與【詳解】解：1=ab?2=ab?2=ab?2=?b∵xa+3y與∴a+3=1，b=1，即a=?2，∴?b【變式10-3】（24-25七年級·福建福州·期末）發現規律：我們發現，x+px+q=x2+運用規律(1)如果x+3x?5=x2+mx+n(2)如果x+ax+b①求a?3b?3②求1a【答案】(1)?2，?15(2)①?2；②13【分析】（1）根據多項式的乘法法則計算即可求解；（2）①由多項式的乘法法則可得a+b=3，ab=?2，再把值代入a?3b?3本題考查了分式的求值，整式的運算，掌握分式和整式的運算法則是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵x+3x?5∴m=3+?5=?2，故答案為：?2，?15；（2）解：①∵x+ax+b∴a+b=3，ab=?2，∴a?3=ab?3a?3b+9=ab?3=?2?3×3+9=?2；②1=====13【考點11完全平方公式】【例11】（24-25七年級·甘肅蘭州·期中）已知a2+bA．4 B．?4 C．8 D．?8【答案】D【分析】本題考查了完全平方公式的應用，偶次方的非負性等，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．先將a2+b2+c2=2a?4b+6c?14變形化為【詳解】解：∵a2∴aa?12∵a?12∴a?1=0,b+2=0,c?3=0，解得：a=1,b=?2,c=3，∴abc故選：D．【變式11-1】（24-25七年級·上海閔行·期中）如果關于x的整式9x2?2m?1x+【答案】2或?1【分析】本題考查完全平方式，根據9x2?【詳解】解：∵9x∴9x∴2m?1=±2×3×1∴m=2或m=?1；故答案為：2或?1．【變式11-2】（24-25七年級·福建漳州·期中）若x，y是自然數，且滿足x2+y2【答案】2或4【分析】本題考查了完全平方公式，代數式求值，熟練掌握完全平方公式是解答本題的關鍵．先根據完全平方公式變形，再結合x，y是自然數討論即可．【詳解】解：∵x2∴x2∴x2∴x?22∵x，y是自然數，∴x?22=0y?12=1或∴x?2=0，y?1=1，或x?2=0，y?1=?1，x?2=1，y?1=0，或x?2=?1，y?1=0，．當x?2=0，y?1=1，時，解得：x=2，y=2，x+y=2+2=4，當x?2=0，y?1=?1，時，解得：x=2，y=0，x+y=2+0=2，當x?2=1，y?1=0，時，解得：x=3，y=1，x+y=3+1=4，當x?2=?1，y?1=0，時，解得：x=1，y=1，x+y=1+1=2，故答案為：2或4．【變式11-3】（24-25七年級·湖南婁底·期中）已知(x?2023)2+(x?2025)2=24A．12 B．11 C．13 D．10【答案】B【分析】本題考查完全平方公式的應用，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵，根據題意巧妙構造(x?2024)2【詳解】解：已知(x?2023)2則[(x?2024)+1]2那么(x?2024)2整理得：2(x?2024)則(x?2024)2故選：B．【考點12平方差公式】【例12】（24-25七年級·河南新鄉·期中）某同學在計算3(4+1)(42+1)時，把3寫成4?1后，發現可以連續運用兩數和乘以這兩數差公式計算：3(4+1)(4【答案】2【分析】本題考查平方差公式，將原式乘以2×1?【詳解】解：1+=2×=2×=2?=2，故答案為：2．【變式12-1】（24-25七年級·甘肅蘭州·期中）下列各式中能用平方差公式計算的是（）A．x+yx+y2 C．x+y?x?y D．【答案】B【分析】本題考查了平方差公式的運用，根據整式乘法及平方差公式逐項判斷即可求解，掌握平方差公式的結構特點是解題的關鍵．【詳解】解：A、x+yx+yB、x+yy?xC、x+y?x?yD、?x+yy?x故選：B．【變式12-2】（24-25七年級·福建泉州·期中）為了美化校園，學校把一個邊長為ama>4的正方形跳遠沙池的一組對邊各增加1mA．變小 B．變大 C．沒有變化 D．無法確定【答案】A【分析】本題考查平方差公式的幾何背景，用代數式表示變化前后的面積是正確解答的前提．用代數式表示變化前后的面積，比較得出答案．【詳解】解：由題意得正方形跳遠沙池的面積為a2m2因為a2所以沙池的面積會變?。蔬x：A．【變式12-3】（24-25七年級·山西臨汾·期中）霍州鼓樓位于山西霍州市城內中心，明萬歷十一年（1583年）建，又稱文昌閣．其結構外表是明二假三層，它的間架結構復雜新穎、巧妙結合，采用了我國古建筑中的一種凹凸結合的連接方式——榫卯（sǔnmǎo）結構，精密謹嚴天衣無縫，行家里手驚佩它是工藝精湛超群絕倫．如圖①是一個榫卯結構的零部件，圖②是其截面圖，整體是一個長為2a+bcm，寬為2a?bcm的長方形，中間鑿掉一個邊長為acm

【答案】3【分析】本題考查了整式混合運算和平方差公式的應用，熟練掌握運算法則是解題的關鍵；根據零部件體積=（長方形的面積?和小正方形的面積）×零件的高，列式，然后運用整式混合運算法則和平方差公式即可解答．【詳解】由題意得，這個零部件的體積是a=a=a=3答：這個零件體積為3a【考點13因式分解】【例13】（24-25八年級上·河南南陽·期末）把下列多項式分解因式(1)x2(2)9x(3)x3(4)xy+x+y+1．【答案】(1)xy(2)m?2(3)x(4)x+1【分析】本題考查了提公因式法和公式法分解因式，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．（1）用提取公因式法直接求解即可；（2）先提取公因式，再利用平方差公式即可得到結果；（3）先提取公因式，再利用完全平方公式即可得到結果；（4）用兩次提取公因式法直接求解即可．【詳解】（1）解：x2（2）解：9=9==m?2（3）解：x3（4）解：xy+x+y+1=xy+1【變式13-1】（24-25八年級上·福建泉州·期末）若a?b=2，則a2【答案】4【分析】本題考查了公式法分解因式的應用，熟練掌握公式法分解因式是解決問題的關鍵．先得到(a+b)(a?b)?4b，然后代入a?b=2合并，然后再提取公因式即可得解．【詳解】解：∵a?b=2，∴a2=(a+b)(a?b)?4b，=2(a+b)?4b，=2a+2b?4b，=2a?2b，=2a?b=2×2，=4．故答案為：4．【變式13-2】（24-25八年級上·河南開封·期末）下列因式分解正確的是（

）A．?x2+C．x2?2x+4=x?1【答案】B【分析】本題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應用公式是解題關鍵．直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，進而分析即可得解．【詳解】解：A、?xB、a3C、x2D、ax故選：B．【變式13-3】（24-25八年級上·湖北荊州·期末）計算12?2【答案】?5050【分析】本題考查了平方差公式進行計算，掌握平方差公式是解題的關鍵．根據平方差公式因式分解即可求解．【詳解】解：原式==?=?101×50=?5050．故答案為：?5050．【壓軸篇】【考點14無理數的整數與小數部分的計算】【例14】（24-25七年級·浙江寧波·期中）19?35的整數部分為a，小數部分為b，則2a?b=【答案】20+【分析】先確定?6<?35<?5，由此得到13<19?35【詳解】∵25<∴5<35∴?6<∴13<19?35∴19?35小數部分為19?35∴a=13，b=6?352a?b=2×13?=26?6+=20+35故答案為：20+35【點睛】此題考查實數的大小比較，已知字母的值求代數式的值，實數的混合運算，確定?6<【變式14-1】（24-25七年級·江蘇蘇州·階段練習）如圖1，把兩個面積為1dm2的小正方形沿對角線剪開，拼成一個面積為2dm2的大正方形，所得到的面積為2dm2的大正方形的邊長就是原先面積為1dm(1)某同學把長為2，寬為1的兩個長方形沿對角線剪開裁剪，拼成如圖2所示的一個大正方形.仿照上面的探究方法求空白部分正方形的面積及其邊長x的值；(2)若c為（1）中x的整數部分，求c的平方根．【答案】(1)5，x=(2)±【分析】（1）空白部分面積=大正方形面積?4個直角三角形的面積；（2）通過估算得出x=5的整數部分是2，即求得c=2【詳解】（1）解：空白部分面積=3×3?4×1∴空白部分正方形的邊長x=5（2）解：∵2<∴x=5∴c=2，c的平方根為±2【點睛】本題考查圖形的拼剪，平方根，估算無理數的大小，正方形的性質，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．【變式14-2】（24-25七年級·甘肅蘭州·期中）大家知道2是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此2的小數部分我們不能全部地寫出來，于是小平用2?1來表示2的小數部分，你同意小平的表示方法嗎？事實上小平的表示方法是有道理的，因為2的整數部分是1，用這個數減去其整數部分，差就是小數部分．請解答：若15的整數部分為a，小數部分為b(1)求a，b的值；(2)求a2【答案】(1)a=3，b=15(2)6【分析】本題考查了估算無理數的大小，實數的運算，掌握夾逼法估算無理數的大小是解題的關鍵．（1）先估算15的范圍，即可得出a，b的值；（2）把a，b的值代入，再根據實數的運算法則計算即可．【詳解】（1）解：∵9∴3<∴15的整數部分a為3，小數部分b為15（2）解：由(1)得a=3,b=15∴a=3=9?3，=6．【變式14-3】（24-25七年級·浙江杭州·期中）以下是小明與老師之間的對話：小明：張老師，我們知道6是無理數，無理數就是無限不循環小數，那該如何表示出它的小數部分呢？老師：小明，因為6的整數部分是2，所以將這個數減去其整數部分，差就是小數部分，即6?2根據上述對話內容，解答下面的問題：已知7+11=x+y，其中x是整數，且(1)x=________；y=________；(2)求3x+11【答案】(1)10；11(2)33【分析】此題主要考查了二次根式的計算，估算無理數的大小，正確得出各無理數的整數部分和小數部分是解題的關鍵．（1）根據3<11<4得出10<7+11<11，得出（2）把x，y的值代入計算即可．【詳解】（1）解：∵3<11∴10<7+11∴7+11的整數為x=10∵7+11∴y=7+11故答案為：10；11?3（2）解：原式=3×10+11=30+3，=33．【考點15不等式(組)的整數解問題】【例15】（22-23八年級·重慶北碚·期中）若關于x的不等式組?2x?2?x<2k?x2≥?12+x最多有2個整數解，且關于A．13 B．18 C．21 D．26【答案】B【分析】分別求出不等式組的解集，一元一次方程的解，根據題意，求出符合條件的所有整數k，再將它們相加，即可得出結果．【詳解】解：由?2x?2?x<2k?x∵關于x的不等式組?2x?2∴23∵不等式組的整數解最多時為：1，2，∴k+13<3，解得：解3y?1?2y?k∵方程的解為非正數，∴10?2k≤0，解得：k≥5，綜上：5≤k<8，符合條件的k的整數值為：5,6,7，和為5+6+7=18；故選B．【點睛】本題考查由不等式組的解集和方程的解的情況求參數的值．正確的求出不等式組的解集和方程的解，是解題的關鍵．【變式15-1】已知關于x的不等式組2x+m≤0x+4>0的所有整數解的和為－5，則m的取值范圍為【答案】?4<m≤?2或2<m≤4【分析】首先確定不等式組的解集，先利用含m的式子表示，根據整數解的個數就可以確定有哪些整數解，根據解的情況可以得到關于m的不等式，從而求出m的范圍．【詳解】解：∵不等式組有解，∴不等式組的解集為－4＜x＜?m∵不等式組的所有整數解的和為－5，∴不等式組的整數解為－3、－2或－3、－2、－1、0、1．當不等式組的整數解為－3、－2時，有－2＜?m2≤－1，m的取值范圍為2≤當不等式組的整數解為－3、－2、－1、0、1時，有1＜?m2≤2，m的取值范圍為－4≤故答案為：?4<m≤?2或2<m≤4【點睛】此題考查了解一元一次不等式組和不等式組的整數解，正確解出不等式組的解集，并會根據整數解的情況確定m的取值范圍是解決本題的關鍵．【變式15-2】（20-21八年級·上海虹口·期中）已知關于x的不等式組x?a≥18?2x>0的整數解共有5個，且關于y的不等式ay?1≤?y的解集為y≥1a+1，則a【答案】?3<a≤?2【分析】先求于x的不等式組的解集，根據整數解的個數求a的取值范圍，然后根據關于y的不等式的解集求a的取值范圍，最后作答即可．【詳解】解：x?a≥1①解不等式①得，x≥1+a，解不等式②得，x<4，∵不等式組有5個整數解，∴?2<1+a≤?1，解得，?