24-25學年高二下學期第一次月考數學試卷注意事項：1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2.請將答案正確填寫在答題卡上一、單選題（本題共計8小題，每小題5分，共計40分）1.設函數，則（）A.0 B.1 C.2 D.-1【答案】B【解析】【分析】根據極限運算法則，直接計算得出結果.【詳解】.故選：B2.已知函數，求A. B.5 C.4 D.3【答案】B【解析】【分析】求得函數的導數，代入即可求解的值，得到答案.【詳解】由題意，函數，則，所以.故答案為：B.【點睛】本題主要考查了導數的運算及求解，其中解答中熟記基本初等函數的導數公式表，準確運算是解答的關鍵，著重考查了計算能力.3.已知函數，且，則曲線在處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先對已知函數f(x)求導，由可得a的值，由此確定函數和其導函數的解析式，進而可得x=0處的切線方程．【詳解】，，解得，即，，則，，曲線在點處的切線方程為，即.【點睛】本題考查求函數某點處的切線方程，解題關鍵是先由條件求出函數f(x)中的未知量a．4.若函數不是單調函數，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用有正有負列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】的定義域為，，令解得.由于函數在上不是單調函數，所以，解得.故選：D【點睛】本小題主要考查利用導數研究函數的單調性，屬于基礎題.5.函數的圖像大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由對數函數的性質，分別得到和時，函數的正負，排除錯誤選項即可.【詳解】當時，，∴函數，則圖像在軸下方，排除A，B選項；當時，，∴函數圖像在上方，排除C選項.故選：D.6.已知函數，則（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】對函數求導，令，可求出，即可得到函數的表達式，進而求出即可.【詳解】由題意，，所以，解得，故.故選：C.【點睛】本題考查求函數值，考查導數的計算，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.7.有3名防控新冠肺炎疫情的志愿者，每人從2個不同的社區中選擇1個進行服務，則不同的選擇方法共有（）A.12種 B.9種 C.8種 D.6種【答案】C【解析】【分析】根據分步計數原理可求.【詳解】每名防控新冠肺炎疫情的志愿者都有2種不同的選擇方法，根據分步計數原理可知，不同的選擇方法共有（種）．故選：C．8.如圖是函數的導函數的圖象，下列關于函數的極值和單調性的說法中，正確的個數是（）①，，都是函數的極值點；②，都是函數的極值點；③函數在區間，上是單調的；④函數在區間上，上是單調的．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】結合函數的圖象，得到函數的單調區間，從而求出函數的極值點．【詳解】解：由圖象得：在遞增，在，遞減，在，遞增，故，都是函數的極值點，故②③④正確，故選：C．【點睛】本題考查了函數的單調性，函數的極值問題，考查導數的應用，數形結合思想，屬于基礎題．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若直線是函數圖象的一條切線，則函數可以是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】依次對各項函數求導，根據導數的幾何意義，及已知切線的斜率判斷是否存在導數值為，即可得答案.【詳解】直線的斜率為，由的導數為，故A錯；由的導數為，令，解得，故B對；由的導數為，而有解，故C對；由的導數為，令，解得，故D對．故選：BCD10.已知函數的導函數的圖像如圖，則下列敘述正確的是（）A.函數只有一個極值點B.函數滿足，且在處取得極小值C.函數在處取得極大值D.函數在內單調遞減【答案】AC【解析】【分析】通過觀察導函數的圖像及導函數的正負表示原函數的增減，依次判斷即可得出結果.【詳解】由導函數的圖像可得，當x<2時，，函數單調遞增；當x>2時，，函數單調遞減.所以函數的單調遞減區間為,只有當x=2時函數取得極大值，無極小值.故選:AC.【點睛】本題考查利用導函數的圖像研究函數的性質,考查數形結合的能力，屬于基礎題.11.已知函數是定義在上的奇函數，當時，.則下列結論正確的是（）.A.當時，B.函數有五個零點C.若關于的方程有解，則實數的取值范圍是D.，恒成立【答案】AD【解析】【分析】根據函數是奇函數，求出時的解析式，可判斷A；利用導數求出函數在上的單調區間及極值，再結合是奇函數，可作出函數在上的大致圖象，從而可逐項判斷B，C，D.【詳解】因為函數是定義在上的奇函數，設，則，所以，所以當時，，故A正確；當時，，所以，令，解得，當時，；當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，故當時，函數取得極小值，當時，，又，由零點存在定理知函數在僅有一個零點1；當時，，所以函數在沒有零點，所以函數在上僅有一個零點，又因為函數是定義在上的奇函數，故函數在上僅有一個零點，又，所以函數在定義域上有3個零點，故B錯誤；作出函數的大致圖象，如圖：若關于的方程有解，則實數的取值范圍是，故C錯誤；由圖可知，對，，故D正確．故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知某種新產品的編號由1個英文字母和1個數字組成，且英文字母在前，數字在后.已知英文字母是，，，，這5個字母中的1個，數字是1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數字中的一個，則共有__________個不同的編號（用數字作答）.【答案】45【解析】【分析】通過分步乘法原理即可得到答案.【詳解】對于英文字母來說，共有5種可能，對于數字來說，共有9種可能，按照分步乘法原理，即可知道共有個不同的編號.【點睛】本題主要考查分步乘法原理的相關計算，難度很小.13.已知函數則的最小值為________，最大值為_______.【答案】①.②.【解析】【分析】由函數，求導，先求導函數的極大值和極小值，再與比較即可.【詳解】則當時，，當時，，所以上單調遞減，在上單調遞增，則當時，又，所以故答案為：；.【點睛】本題主要考查導數與函數的最值，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.14.若函數有且只有一個零點，則實數值為_______.【答案】1【解析】【分析】求出導函數，利用導數與函數單調性的關系求出單調區間，由題意，只需即可求解.【詳解】由，（），則，令，解得，令，解得，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以在時取得極小值.所以函數有且只有一個零點，只需，即，解得.故答案為：1四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求的單調區間.【答案】（1）；（2）的單調增區間是，無減區間；【解析】【分析】（1）先求和，則切線方程為即可求解；（2）先求函數的定義域，利用導數求單調區間即可.【小問1詳解】由題意有，，所以，所以的切線方程為；【小問2詳解】函數的定義域為，所以，所以在上為增函數，所以函數的增區間為，無減區間；16.現有3名醫生，5名護士、2名麻醉師.（1）從中選派1名去參加外出學習，有多少種不同的選法?（2）從這些人中選出1名醫生、1名護士和1名麻醉師組成1個醫療小組，有多少種不同的選法？【答案】（1）10（2）30【解析】【分析】（1）分類計數，分別計算出醫生、護士、麻醉師選派1名選派方法數，然后相加即可；（2）分步計數，分別計算出第一步選醫生、第二步選護士、第三步選麻醉師的選派方法數，然后相乘即可；【小問1詳解】如果選派的是醫生則有3種選派方法；如果選派的是護士則有5種選派方法；如果選派的是麻醉師則有2種選派方法.由分類計數可知，總的選派方法有種.【小問2詳解】第一步選派的是醫生有3種選派方法；第二步選派的是護士有5種選派方法；第三步選派的是麻醉師有2種選派方法.由分步計數可知，總的選派方法有種.17.已知函數在處取得極值.（1）求實數的值；（2）求函數在上的最大值和最小值.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）求出導數，令導數在極值點處為0，得到，在驗證在左右兩邊導函數異號，即可的結論；（2）由（1）中結論得到導數，然后令導數大于0，求得函數的增區間，從而得到函數的減區間，由此知道函數在已知區間上的單調性，由單調性求出最大值與最小值.【小問1詳解】，∵函數在處取得極值，∴，即，即，當時，，當時，，符合題意，∴.【小問2詳解】由（1）知，則，令，解得或；令，解得；∴函數在上單調遞增，在上單調遞減，則極大值，而，.故函數在上的最大值和最小值分別為，，.18.已知函數（1）求函數的單調區間；（2）若方程＝0有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍.【答案】（1）的單調遞增區間是，單調遞減區間是.（2）【解析】【分析】（1）首先求出函數的導函數，再解不等式即可得到函數的單調區間；（2）由得，將此方程的根看作函數與的圖象交點的橫坐標，結合（1）中相關性質得到函數的圖象，數形結合即可得到參數的取值范圍；【詳解】解：（1）∵所以∴當時，，當時，；即的單調遞增區間是，單調遞減區間是.（2）由得，將此方程的根看作函數與的圖象交點的橫坐標，由（1）知函數在時有極大值，作出其大致圖象，∴實數的取值范圍是.【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性及函數的零點問題，屬于基礎題.19.已知，函數，（1）求的最小值；（2）若在上為單調增函數，求實數的取值范圍；【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）利用導數求得的最小值.（2）由的導函數恒為非負數分離參數利用構造函數法，結合基本不等式求得的取值范圍.【