昆山震川高級中學2024-2025學年第二學期高二第一次模塊測試數學試卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分每小題給出的四個選項中只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上．1.若＝18，則m等于（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】D【解析】【分析】【詳解】由A＝m(m－1)(m－2)(m－3)＝18·，得m－3＝3，m＝6.2.設曲線在點處的切線與直線平行，則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】先對函數求導，計算出切點處的導數值及切線的斜率，在根據直線方程求出直線斜率，兩直線平行斜率相等即可求出的值.【詳解】由，得，又因為點在曲線上，所以曲線在點處的切線的斜率，易知直線的斜率為，又因為兩直線平行，所以即.故選：C3.函數的單調減區間為（）．A.， B.， C. D.，【答案】A【解析】【分析】對函數求導，令導數小于零，解不等式可求出此函數的單調減區間【詳解】由題意可得：令，即解得：或故該函數的單調減區間為和，故選：A【點睛】此題考查利用導數求函數的單調區間，考查高次不等式的解法，屬于基礎題.4.若函數有最大值，則實數的值是（）A.1 B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】通過導數確定為臨界點，由的符號分類討論求解即可.【詳解】，令，得臨界點（因，舍去），當時，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，此時無最大值，當時，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，又因為，所以，滿足題意，故選：.5.只用2，3，4，5四個數字組成一個五位數，規定這四個數字必須同時使用，且同一數字不能相鄰出現，這樣的五位數有（）A.96 B.144 C.240 D.288【答案】B【解析】【分析】由分步乘法計數原理分三步求解即可.【詳解】從2，3，4，5四個數字選個作為重復數字，共有種選法，將不重復的個數字全排列，有種排法，不重復的個數字排好后形成個空位，從中選個空位插入重復數字，共有種選法，根據分步乘法計數原理，可得，所以這樣的五位數有個.故選：.6.如圖，直線l和圓C，當l從l0開始在平面上繞點O按逆時針方向勻速轉到（轉到角不超過90°）時，它掃過的圓內陰影部分的面積S是時間t的函數，這個函數的圖像大致是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可知：S變化情況為“一直增加，先慢后快，過圓心后又變慢”，據此確定函數的大致圖像即可.【詳解】觀察可知面積S變化情況為“一直增加，先慢后快，過圓心后又變慢”，對應的函數的圖象是變化率先變大再變小，由此知D符合要求.故選D.【點睛】本題主要考查實際問題中的函數圖像，函數圖像的變化趨勢等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.7.設，，，則，，大小關系是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構造函數，根據的單調性可得（3），從而得到，，的大小關系．【詳解】考查函數，則，在上單調遞增，，（3），即，，故選：．【點睛】本題考查了利用函數的單調性比較大小，考查了構造法和轉化思想，屬基礎題．8.方程-lnx-2=0的根的個數為A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】令，利用導函數研究函數的單調性可知函數的單調區間，然后結合零點存在定理確定方程根的個數即可.【詳解】令，則，當時，單調遞減；當時，單調遞增；且：，，，結合函數零點存在定理可知函數在上存在一個零點，在區間上存在一個零點，方程-lnx-2=0的根的個數為2.本題選擇C選項.【點睛】本題主要考查導函數研究函數的單調性，函數零點存在定理及其應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.將和的圖象畫在同一個直角坐標系中，不正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】分析】根據函數的單調性與導函數符號之間的關系判斷各選項中和的圖象是否合乎要求，同時也要注意特殊點處的導數值作為切線的斜率，由此可得出結論.【詳解】對于A選項，由函數的圖象可知，，但函數在處的切線斜率不存在，不合乎題意；對于B選項，由函數圖象可知，函數存在增區間，但B選項的圖中，函數為減函數，不合乎題意；對于C選項，由函數的圖象可知，函數在上為增函數，合乎題意；對于D選項，由函數的圖象可知，函數有兩個單調區間，但D選項的圖中，函數有三個單調區間，不合乎題意.故選：ABD.【點睛】本題考查函數與導函數圖象之間的關系，在判斷時要注意導函數符號與函數單調性之間的聯系，考查推理能力，屬于中等題.10.回文數是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數，如22，121，3443，94249等，顯然兩位回文數有9個：11，22，33，…，99；三位回文數有90個：101，111，121，…，191，202，…，999.下列說法正確的是（）A.四位回文數有90個B.四位回文數有45個C.（）位回文數有個D.（）位回文數有個【答案】AC【解析】【分析】按照分步乘法計數原理計算可得.【詳解】根據題意，對于四位回文數，有1001、1111、1221、……、1991、2002、2112、2222、……、2992、……、9009、9119、9229、……、9999，其首位和個位有種選法，第二為和第三位有種選法，故共有個，則A正確，B錯誤；對于位回文數，首位和個位數字有9種選法，第二位和倒數第二位數字有10種選法，……，第個數字，即最中間的數字有10種選法，則共有種選法，即（）位回文數有個，故C正確，D錯誤故選：AC.11.定義在上的函數的導函數為，且對恒成立.下列結論正確的是（）A.B.若，，則C.D.若，，則【答案】CD【解析】【分析】構造函數，然后求導，可得到函數的單調性，然后根據單調性判斷所給選項的正誤.【詳解】構造函數，則因為對恒成立，所以在上恒成立，即在上遞減，所以，即，整理得：，故A錯；所以，即，整理得：，故C正確；對于B選項，若，，則在恒成立，所以整理得：，所以B錯；對于D選項，當時，，則可得，故D正確.故選：CD.【點睛】本題考查利用構造函數，利用函數的單調性判斷不等式是否成立的問題，難度一般.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分，請把答案填寫在答題卡相應位置上12.現有5名教師要帶3個興趣小組外出學習考察，要求每個興趣小組都有帶隊教師，且帶隊教師至多2人，但其中甲教師和乙教師均不能單獨帶隊，則不同的帶隊方案有___________種.(用數字作答)【答案】54【解析】【分析】根據題意，甲教師和乙教師帶不帶同一隊作為分類標準，分別計算兩種情況下不同帶隊方案，最后由分類加法計數原理計算結果即可；【詳解】根據題意可得：若甲教師和乙教師不帶同一隊，則共有種不同的帶隊方案；若甲教師和乙教師帶同一隊，則共有種不同的帶隊方案；由分類加法計數原理可得：共有54中不同的帶隊方案；故答案為：54.13.若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是________________．【答案】【解析】【分析】設出切點橫坐標，利用導數的幾何意義求得切線方程，根據切線經過原點得到關于的方程，根據此方程應有兩個不同的實數根，求得的取值范圍.【詳解】∵，∴，設切點為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：14.設，若函數在上單調遞增，則a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】原問題等價于恒成立，據此將所得的不等式進行恒等變形，可得，由右側函數的單調性可得實數的二次不等式，求解二次不等式后可確定實數的取值范圍.【詳解】由函數的解析式可得在區間上恒成立，則，即在區間上恒成立，故，而，故，故即，故，結合題意可得實數的取值范圍是.故答案為：.四、解答題；本大題共5小題，共計77分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15已知，．試問：（1）從集合A和B中各取一個元素作為直角坐標系中點的坐標，共可得到多少個不同的點?（2）從中取出三個不同的元素組成三位數，從左到右的數字要逐漸減小，這樣的三位數有多少個?【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可得集合，，分兩種情況求解即可；（2）由（1）可得，根據順序固定應用組合數計算求解.【小問1詳解】由題意可得，，所以，，中元素作為橫坐標，中元素作為縱坐標，有個，中元素作為橫坐標，中元素作為縱坐標，有個，其中重復的有，所以不同的點有個；【小問2詳解】因為，，所以，要滿足從中取出三個不同的元素組成三位數，從左到右的數字逐漸減小，即從個元素中選個元素的組合數，所以，所以滿足要求的三位數有個.16.已知函數．（1）當時，求的單調區間；（2）當時，，求實數a的取值范圍．【答案】（1）單調遞增區間為和，單調遞減區間為（2）【解析】【分析】（1）求導，利用導函數的正負判斷函數的單調性即可；（2）分和兩種情況，當時討論和，即可求解.【小問1詳解】當時，，所以，令，可得或；令，可得，所以函數的單調遞增區間為和，函數的單調遞減區間為；【小問2詳解】當時，恒成立，可以取任意實數；當時，令，則，當時，因為，所以，所以，所以在上單調遞增，所以gx>g0即fx當時，令，得，當時，，所以單調遞減，此時，即，不合題意；所以實數a的取值范圍為.17.用半徑為R的圓形鐵皮剪出一個圓心角為的扇形，制成一個圓錐形容器，設圓錐的高為h．（1）試將圓錐容積表示成關于高h的函數；（2）當扇形的圓心角為多大時，容器的容積最大?【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據題意，由錐體的體積公式代入計算，即可得到結果；（2）根據題意，求導可得，令，代入計算，即可得到結果.【小問1詳解】設圓錐的底面半徑為，高為，體積為，則，因此，即.【小問2詳解】由（1）可得，則，令，解得．

∴

當時容積最大，把代入得，由得，即圓心角為時容積最大．18.已知函數（1）當時，求函數在上的最值；（2）證明：對一切，都有成立.【答案】（1）最小值為，無最大值；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）當時，求得，根據導數的符號，求得函數在上單調遞減，在上單調遞增，進而求得最值；（2）當時，等價于，由（1）得到的最小值是，設，利用導數求得函數取得最大值，即可作差證明.【詳解】（1）由題意，函數的定義域為，當時，，則，令，即，解得，當時，；當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增.因此在處取得最小值，即，函數在上無最大值.（2）當時，等價于，由（1）知時，的最小值是，當且僅當時取等號，設，則，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減，所以當時，函數取得最大值，最大值為，所以對一切，都有，即.【點睛】本題主要考查導數在函數中的綜合應用，以及不等式的證明，著重考查了轉化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于此類問題，通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍；也可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．19.對于一個函數和一個點，令，若是取到最小值的點，則稱是在的“最近點”．（1）對于，求證：對于點，存在點，使得點是在的“最近點”；（2）對于，請判斷是否存在一個點，它是在的“最近點”，且直線與在點處的切線垂直；（3）已知在定義域R上存在導函數，且函數在定義域R上恒正，設點，．若對任意的，存在點同時是在的“最近點”，試判斷的單調性．【答案】（1）證明見解析（2）存在，（3）嚴格單調遞減【解析】【分析】（1）代入，利用基本不等式即可；（2）由題得，利用導函數得到其最小值，則得到，再證明直線與切線垂直即可；（3）根據題意得到，對兩等式化簡得，再利用“最近點”的定義得到不等式組，即可證明，最后得到函數單調性.【小問1詳解】當時，，當且僅當即時取等號，故對于點，存在點，使得該點是在的“最近點”．【小問2詳解】由題設可得，則，因為均為上單調遞增函數，則在上為嚴格增函數，而，故當時，