4/20/2025第1講函數

-10-9第1頁4/20/2025一函數概念二函數表示方法三分段函數四反函數五初等函數六函數幾個性質第2頁4/20/2025一函數概念

常量與變量定義設在某個改變過程中有兩個變量x和y，變量y伴隨x改變而改變，當x在一個非空數集D上任取一值時，y依照某一對應規則f總有一個確定數值與之對應，則稱變量y是變量x函數。記為第3頁4/20/2025其中,x叫做自變量，y叫做因變量或函數。數集D稱為這個函數定義域，記為D（f）。當自變量x在其定義域內取某確定值x0時，因變量y按照所給函數關系（對應法則），求出對應值y0，稱做當x=x0時函數值。記為

對應地，y值集合稱為函數y=f(x）值域。

或第4頁4/20/2025注意

1.函數定義有兩個要素，即定義域(D)與對應規則(f)。所以，只有當兩個函數定義域和對應規則完全相同時，他們才是同一個函數。

2.函數定義域D，要符合客觀要求。如：身高、體重等不能小于0;……

第5頁4/20/20253.求函數定義域時，要注意：分式中分母不為0;根式中負數不能開偶次根；對數中真數大于0…

4.對于特殊函數——反三角函數(arcsinx等)，除定義域與法則以外，數學上同時也要求了它值域。第6頁4/20/2025第7頁4/20/2025二函數表示方法慣用表示方法有三種：解析法（公式法）、表格法和圖示法。

(1)解析法是指用解析表示式（或公式）去表示函數關系。比如

第8頁4/20/2025

(2)表格法是用列表方法來表示函數關系，比如水文監測站統計了某河流內平均月流量V，如表1.1所表示。

表1.1

這是用表格表示函數，當自變量x取1～12之間任意一個整數時，從表格里可得出y一個對應值。x月份123456789101112y平均月流量V/億m0.320.290.470.640.330.774.14.23.71.90.90.72第9頁4/20/2025(3)圖示法是用直角坐標系x0y平面上曲線表示函數關系

第10頁4/20/2025三分段函數例它們圖形以下：-110第11頁4/20/2025寫出下面函數關系表示式例：學校外超市，因為期假貨物積壓，現物價促銷，可樂原價2.50元/罐，現促銷以下：10罐以上（含）8折，20罐以上（含）7折。請寫出此時可樂銷售量（Q）與銷售收入（R）之間關系函數。第12頁4/20/2025四反函數定義設給定y是x函數，，假如對其值域R中任一值y，都可經過關系式在其定義域D中確定唯一一個x與之對應，則得到一個定義在R上以y為自變量，x為因變量函數，我們稱其為反函數。記為

第13頁4/20/2025第14頁4/20/2025Oxyxy=f(x)yOxy-xxy=f(x)y

單調函數反函數是單值函數

什么樣函數存在單值反函數？第15頁4/20/2025Oxy-xxy=x2yy=x2反函數是多值函數：x=

。把x限制在區間[0,)，則y=x2反函數是單值，即x=。它稱為函數y=x2反函數一個單值分支。反函數單值分支：

另一個單值分支為x=-

。第16頁4/20/2025

在數學中，習慣上自變量用x表示，因變量用y

表示。按此習慣，我們把函數y=f(x)反函數x=j(y)改寫成y=j(x)。比如y=x2反函數寫為y=

。反函數圖形：反函數圖形與直接函數圖形關于直線y=x對稱。Oxyy=xy=f(x)y=j(x)P(a,b)Q(b,a)關于反函數變量符號：第17頁4/20/2025五初等函數

1.5.1基本初等函數及其圖形以下函數稱為基本初等函數常量：y=c（C為常數）(2)冪函數：(3)指數函數：(4)對數函數：(5)三角函數：(6)反三角函數：第18頁4/20/20251.5.2復合函數定義，函數值域全部或一部分包含在函數定義域內，則對定義域內一些x，有

此函數稱函數與函數復合而成復合函數，其中u稱為中間變量。重點掌握復合函數分解第19頁4/20/2025注意

不是任何兩個函數都能夠復合成一個復合函數，比如，，就不能復合成一個復合函數，因為定義域中任何值x所對應u值都大于或等于2，即全部落在定義域之外。第20頁4/20/2025例已知求表示式。解：令解出

將u換成x，得出

例

設，求復合函數定義域。解：已知定義域為，即[-3，3]；定義域為。由得定義域為[-4，2]。第21頁4/20/20251.5.3初等函數定義由基本初等函數經過有限次四則運算及有限次復合過程所組成函數，叫作初等函數。

比如

等等。第22頁4/20/2025六函數幾個性質

1.6.1函數單調性定義設函數定義在D上：第23頁4/20/20251.6.2函數奇偶性定義3設函數在D上有定義，（1）若對于任意恒有則稱f(x)為偶函數。（2）對于任意恒有，則稱f(x)為奇函數。注意

當函數含有奇偶性時，其定義域必定是關于原點對稱，即若,則。偶函數圖象關于y軸對稱，奇函數圖象關于原點對稱。第24頁4/20/2025Oxy-xxf(-x)=f(x)y=f(x)偶函數舉例：y=x2，y=cosx都是偶函數

偶函數圖形關于y軸對稱。

設函數f(x)定義域D關于原點對稱。假如對于任意x

D，有f(-x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數。第25頁4/20/2025奇偶函數舉例：

y=x3，y=sinx都是奇函數。101x-22y

假如對于任意x

D，有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)為奇函數。奇函數圖形關于原點對稱。第26頁4/20/2025例判定函數奇偶性第27頁4/20/20251.6.3函數周期性定義

若存在常數，對任意x，恒有，則稱為周期函數。使得上述等式成立最小正數T，稱為最小正周期，簡稱函數周期。例，就是一個周期函數，它周期為。第28頁4/20/20251.6.4函數有界性定義設函數在區間（a，b）內有定義，若存在正數使得對于任意，恒有，則稱函數在（a，b）內是有界。不然，稱函數在（a，b）內是無界。比如

函數在