第1頁（共1頁）2025年湖南省湘西州鳳凰縣中考數學模擬試卷（1）一、單選題（本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求）1．（3分）下列四個數中，是負整數的是（）A．﹣4 B． C．0 D．12．（3分）如圖是由3個相同的小正方體搭成的幾何體，那么這個幾何體的俯視圖是（）A． B． C． D．3．（3分）《淮南萬畢術》是世界上最早記載潛望鏡原理的古書，潛望鏡內部通常包含兩個互相平行的平面鏡，基于光的反射，這是潛望鏡工作原理的示意圖，它所依據的數學定理是（）A．兩點之間，線段最短 B．兩點確定一條直線 C．內錯角相等，兩直線平行 D．同旁內角互補，兩直線平行4．（3分）下列運算正確的是（）A．a6÷a＝a6 B．（xy2）3＝xy6 C．（）﹣1＝﹣2 D．20160＝15．（3分）在同一平面直角坐標系中，一次函數y＝ax﹣b和二次函數y＝﹣ax2﹣b的大致圖象是（）A． B． C． D．6．（3分）為建設平安校園，某校開展安全宣講周活動，每個志愿者都可以從以下三個項目中任遺項參加：①交通安全宣講；③預防溺水宣講，則小明和小麗選擇參加同一項目的概率是（）A． B． C． D．7．（3分）下列命題是真命題的是（）A．三角形的內心到三角形三個頂點的距離相等 B．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 C．有兩邊及一角對應相等的兩個三角形全等 D．對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形8．（3分）我們知道，一元二次方程x2＝﹣1沒有實數根，即不存在一個實數的平方等于﹣1，若我們規定一個新數“i”2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一個根為i）．并且進一步規定：一切實數可以與新數進行四則運算，且原有運算律和運算法則仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2?i＝（﹣1）?i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，從而對于任意正整數n，我們可以得到i4n+1＝i4n?i＝（i4）n?i＝i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值為（）A．0 B．1 C．﹣1 D．i9．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M、N，大于MN的長為半徑畫弧，連接AP并延長交BC于點D，則下列說法：①AD是∠BAC的平分線；③點D在AB的垂直平分線上；④BD＝2CD．其中正確的個數是（）A．4 B．3 C．2 D．110．（3分）圓錐的母線長為9cm，底面圓的直徑為10cm，那么這個圓錐的側面展開圖的圓心角度數是（）A．150° B．200° C．180° D．240°二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）11．（3分）一直以來，我國科技工作者努力攻關，在高溫超導研究領域處于世界領先地位，溫度零下173℃可記為℃．12．（3分）若m為任意實數，則|m+2019|的最小值是．13．（3分）已知直線y＝2x+1經過P1（3，y1）、P2（﹣2，y2）兩點，則y1y2．（填“＞”“＜”或“＝”）14．（3分）若使式子在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是．15．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，CD＝3cm，點P在邊AB上運動（不與端點A，B重合）．16．（3分）如圖，四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1是以點O為位似中心的位似圖形，若OA：OA1＝：2，則四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1的面積比為．17．（3分）我國古代數學的許多創新和發展都位居世界前列，如南宋數學家楊輝（約13世紀）所著的《詳解九章算術》一書中（a+b）n的展開式的各項系數，此三角形稱為“楊輝三角”．根據“楊輝三角”請計算（a+b）2025的展開式中第二項的系數為．18．（3分）如圖，矩形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上，頂點D、G分別在邊AB、AC上．已知AC＝6，BC＝10，設EF＝x，則y關于x的函數關系式為．（不必寫出定義域）三、解答題（本題共8小題，共66分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（6分）解方程組：．20．（6分）先化簡再求值：，其中a＝3．21．（8分）為了提高學生對毒品危害性的認識，我縣公安部門每個月都要對學生進行“禁毒知識應知應會”測評．為了激發學生的積極性，某校對達到一定成績的學生授予“禁毒小衛士”的榮譽稱號．為了確定一個適當的獎勵目標整理、描述數據：成績/分888990919596979899學生人數21a321b21數據分析：樣本數據的平均數、眾數和中位數如下表平均數眾數中位數93cd應用數據（1）由上表填空：a＝，b＝，c＝，d＝；（2）根據所給數據，如果該校想確定九年級前50%的學生為“良好”等次，你認為“良好”等次的測評成績至少定為分；（3）根據數據分析，該校決定在九年級授予測評成績前30%的學生“禁毒小衛士”榮譽稱號．請估計評選該榮譽稱號的最低分數，并說明理由．22．（8分）如圖，升降平臺由三個邊長為1.2米的菱形和兩個腰長為1.2米的等腰三角形組成，其中平臺AM與底座A0N平行，長度均為2.4米，B，B0分別在AM和A0N上滑動，且始終保持點B0，C1，A1成一直線．（1）這種升降平臺的設計原理是利用了四邊形的性；（2）為了安全，該平臺在作業時∠B1不得超過40°，求平臺高度（AA0）的最大值．（參考數據：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，結果保留小數點后一位）．23．（9分）“雙減”政策倡導學生合理使用電子產品，控制使用時長，防止網絡沉迷．某品牌學習機商店，減少庫存，決定對該品牌學習機進行降價銷售，當學習機的售價為每臺1800元時，每天可售出4臺，售價每降低50元，每天將多售出1臺，該商店需要將每臺學習機售價定為多少元？24．（9分）如圖，以AB為直徑的⊙O經過點C，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點P，且弧BC＝弧CD，弦AD的延長線交切線PC于點E（1）求∠E的度數；（2）若⊙O的半徑為3，sinP＝，求AE的長．25．（10分）我們定義：在一個圖形上畫一條直線，若這條直線既平分該圖形的面積，又平分該圖形的周長（1）如圖1，在△ABC中，AB＝BC，請你在圖1中作出△ABC的一條“等分積周線”；（2）在圖1中，過點C能否畫出一條“等分積周線”？若能，說出確定的方法，請說明理由．（3）如圖2，四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，垂足為F，交BC于點E，BC＝10，CD＝6．求證：直線EF為四邊形ABCD的“等分積周線”；（4）如圖3，在△ABC中，AB＝BC＝7cm，請你不過△ABC的頂點，畫出△ABC的一條“等分積周線”26．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（3，0），與y軸交點B（0，﹣3），連接AB．若點P是直線AB下方拋物線上一動點（1）求該拋物線的解析式；（2）連接OP交AB于點G，當OG＝2PG時，求點P的坐標；（3）設該拋物線在點B與點P之間（包含點B和點P）的部分的最高點和最低點到x軸的距離分別為d，n，設F＝d﹣n．求出F關于m的函數解析式．

2025年湖南省湘西州鳳凰縣中考數學模擬試卷（1）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案ABCDAADDAB一、單選題（本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求）1．（3分）下列四個數中，是負整數的是（）A．﹣4 B． C．0 D．1【答案】A【分析】根據負整數的定義即可求解．【解答】解：A．﹣4為負整數．B．﹣為負分數．C.0既不是正數也不是負數，故C項不符合題意．D．1為正整數．故選：A．2．（3分）如圖是由3個相同的小正方體搭成的幾何體，那么這個幾何體的俯視圖是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】找到從上面看所得到的圖形即可．【解答】解：從上面可看，可得如圖形，故選：B．3．（3分）《淮南萬畢術》是世界上最早記載潛望鏡原理的古書，潛望鏡內部通常包含兩個互相平行的平面鏡，基于光的反射，這是潛望鏡工作原理的示意圖，它所依據的數學定理是（）A．兩點之間，線段最短 B．兩點確定一條直線 C．內錯角相等，兩直線平行 D．同旁內角互補，兩直線平行【答案】C【分析】根據內錯角相等，兩直線平行進行判斷作答即可．【解答】解：由題意知，所依據的數學定理是內錯角相等，故選：C．4．（3分）下列運算正確的是（）A．a6÷a＝a6 B．（xy2）3＝xy6 C．（）﹣1＝﹣2 D．20160＝1【答案】D【分析】根據同底數冪的除法法則：底數不變，指數相減；積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘；負整數指數冪：a﹣p＝（a≠0，p為正整數）；零指數冪：a0＝1（a≠0）分別進行計算．【解答】解：A、a6÷a＝a5，故原題計算錯誤；B、（xy7）3＝x3y2，故原題計算錯誤；C、（）﹣4＝2，故原題計算錯誤；D、20160＝6，故原題計算正確；故選：D．5．（3分）在同一平面直角坐標系中，一次函數y＝ax﹣b和二次函數y＝﹣ax2﹣b的大致圖象是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】可先根據一次函數的圖象判斷a、b的符號，再判斷二次函數圖象與實際是否相符，判斷正誤．【解答】解：A、由一次函數y＝ax﹣b的圖象可得：a＞0，此時二次函數y＝﹣ax2﹣b的圖象應該開口向下，頂點的縱坐標﹣b大于零；B、由一次函數y＝ax﹣b的圖象可得：a＜5，此時二次函數y＝﹣ax2﹣b的圖象應該開口向上，頂點的縱坐標﹣b大于零；C、由一次函數y＝ax﹣b的圖象可得：a＜0，此時二次函數y＝﹣ax2+b的圖象應該開口向上，故C錯誤；D、由一次函數y＝ax﹣b的圖象可得：a＞0，此時拋物線y＝﹣ax2﹣b的頂點的縱坐標大于零，故D錯誤；故選：A．6．（3分）為建設平安校園，某校開展安全宣講周活動，每個志愿者都可以從以下三個項目中任遺項參加：①交通安全宣講；③預防溺水宣講，則小明和小麗選擇參加同一項目的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】列表得出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數，再根據概率公式求解即可．【解答】解：列表如下：①②③①（①，①）（②，①）（③，①）②（①，②）（②，②）（③，②）③（①，③）（②，③）（③，③）由表知，共有9種等可能結果，所以小明和小麗選擇參加同一項目的概率為＝，故選：A．7．（3分）下列命題是真命題的是（）A．三角形的內心到三角形三個頂點的距離相等 B．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 C．有兩邊及一角對應相等的兩個三角形全等 D．對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形【答案】D【分析】利用三角形的內心的性質、平行四邊形的判定方法、全等三角形的判定方法及菱形的判定方法分別判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：A、三角形的內心到三角形三邊的距離相等，是假命題；B、一組對邊平行，也可能是等腰梯形，是假命題；C、有兩邊及夾角對應相等的兩個三角形全等，是假命題；D、對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，是真命題．故選：D．8．（3分）我們知道，一元二次方程x2＝﹣1沒有實數根，即不存在一個實數的平方等于﹣1，若我們規定一個新數“i”2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一個根為i）．并且進一步規定：一切實數可以與新數進行四則運算，且原有運算律和運算法則仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2?i＝（﹣1）?i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，從而對于任意正整數n，我們可以得到i4n+1＝i4n?i＝（i4）n?i＝i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值為（）A．0 B．1 C．﹣1 D．i【答案】D【分析】i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2?i＝（﹣1）?i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，i5＝i4?i＝i，i6＝i5?i＝﹣1，從而可得4次一循環，一個循環內的和為0，計算即可．【解答】解：由題意得，i1＝i，i2＝﹣8，i3＝i2?i＝（﹣8）?i＝﹣i，i4＝（i2）8＝（﹣1）2＝4，i5＝i4?i＝i，i5＝i5?i＝﹣1，故可發現8次一循環，一個循環內的和為0，∵＝503…8，∴i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013＝i．故選：D．9．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M、N，大于MN的長為半徑畫弧，連接AP并延長交BC于點D，則下列說法：①AD是∠BAC的平分線；③點D在AB的垂直平分線上；④BD＝2CD．其中正確的個數是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】利用基本作圖得到AD平分∠CAB，則可對①進行判斷；再計算出∠CAD＝∠BAD＝30°，則∠ADC＝60°，則可對②進行判斷；接著根據∠BAD＝∠B＝30°得到DA＝DB，則利用線段垂直平分線的性質定理的逆定理可對③進行判斷；過D作DE⊥AB于E，根據角平分線的性質得到點D到AC和AB的距離相等，則可對④進行判斷．【解答】解：①根據作圖的過程可知，AD是∠BAC的平分；②∴∠CAD＝∠BAD，∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∴∠CAD＝∠BAD＝30°，∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝60°，所以②正確；③∵∠1＝∠B＝30°，∴AD＝BD．∴點D在AB的中垂線上．故③正確；④如圖，過D作DE⊥AB于E，在Rt△BDE中，∠B＝30°，∴BD＝2DE，又∵AD是角平分線，∴CD＝DE，∴DB＝8CD，故④正確；綜上所述，正確的結論是：①②③④．故選：A．10．（3分）圓錐的母線長為9cm，底面圓的直徑為10cm，那么這個圓錐的側面展開圖的圓心角度數是（）A．150° B．200° C．180° D．240°【答案】B【分析】設這個圓錐的側面展開圖的圓心角為n°，利用圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到10π＝，然后解關于n的方程即可．【解答】解：設這個圓錐的側面展開圖的圓心角為n°，根據題意得10π＝，解得n＝200，即這個圓錐的側面展開圖的圓心角度數為200°．故選：B．二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）11．（3分）一直以來，我國科技工作者努力攻關，在高溫超導研究領域處于世界領先地位，溫度零下173℃可記為﹣173℃．【答案】﹣173．【分析】根據正數和負數的意義解答．在一對具有相反意義的量中，先規定其中一個為正，則另一個就用負表示，“正”和“負”相對．【解答】解：我們把高于0℃的溫度記為正數，溫度零下173℃可記為﹣173℃．故答案為：﹣173．12．（3分）若m為任意實數，則|m+2019|的最小值是0．【答案】0．【分析】根據絕對值具有非負性可得答案．【解答】解：|m+2019|的最小值是0，故答案為：0．13．（3分）已知直線y＝2x+1經過P1（3，y1）、P2（﹣2，y2）兩點，則y1＞y2．（填“＞”“＜”或“＝”）【答案】＞．【分析】由k＝2＞0，利用一次函數的性質，可得出y隨x的增大而增大，結合3＞﹣2，即可得出y1＞y2．【解答】解：∵一次函數y＝2x+1中k＝2＞0，∴y隨x的增大而增大，又∵直線y＝2x+3經過P1（3，y5）、P2（﹣2，y6）兩點，且3＞﹣2，∴y2＞y2．故答案為：＞．14．（3分）若使式子在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是x≥﹣3且x≠0．【答案】見試題解答內容【分析】根據二次根式的性質和分式的意義，被開方數大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范圍．【解答】解：根據題意得：x+3≥0且x≠7，解得：x≥﹣3且x≠0．故答案為：x≥﹣4且x≠0．15．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，CD＝3cm，點P在邊AB上運動（不與端點A，B重合）3≤DP＜6．【答案】3≤DP＜6．【分析】根據角平分線的定義得到∠CAD＝∠BAD＝30°，根據直角三角形的性質得到AD＝2CD＝6（cm），過D作DP⊥AB于P，PD＝AD＝3（cm），于是得到結論．【解答】解：如圖，∵∠CAB＝60°，∴∠CAD＝∠BAD＝30°，∵∠ACB＝90°，CD＝3cm，∴AD＝2CD＝6（cm），過D作DP⊥AB于P，∴∠APD＝90°，∴PD＝AD＝2（cm），∴線段DP的長度范圍為3≤DP＜6，故答案為：3≤DP＜6．16．（3分）如圖，四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1是以點O為位似中心的位似圖形，若OA：OA1＝：2，則四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1的面積比為3：4．【答案】見試題解答內容【分析】直接利用位似圖形的性質結合相似圖形的性質得出面積比．【解答】解：∵四邊形ABCD和四邊形A1B1C8D1是以點O為位似中心的位似圖形，OA：OA1＝：2，∴四邊形ABCD與四邊形A1B8C1D1的面積比為：（）2：26＝3：4．故答案為：7：4．17．（3分）我國古代數學的許多創新和發展都位居世界前列，如南宋數學家楊輝（約13世紀）所著的《詳解九章算術》一書中（a+b）n的展開式的各項系數，此三角形稱為“楊輝三角”．根據“楊輝三角”請計算（a+b）2025的展開式中第二項的系數為2025．【答案】2025．【分析】根據楊輝三角中的數與（a+b）n的展開式的各項系數的對應關系，依次求出（a+b）n的展開式中第二項的系數，發現規律即可解決問題．【解答】解：由題知，因為（a+b）1＝a+b，所以（a+b）1展開式中第二項的系數為4；因為（a+b）2＝a2+4ab+b2，所以（a+b）2展開式中第二項的系數為8；因為（a+b）3＝a3+7a2b+3ab5+b3，所以（a+b）3展開式中第二項的系數為5；…，以此類推，（a+b）n的展開式中第二項的系數為n．當n＝2025時，（a+b）2025的展開式中第二項的系數為2025．故答案為：2025．18．（3分）如圖，矩形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上，頂點D、G分別在邊AB、AC上．已知AC＝6，BC＝10，設EF＝x，則y關于x的函數關系式為y＝4.8x﹣0.48x2．（不必寫出定義域）【答案】見試題解答內容【分析】易證得△ADG∽△ABC，那么它們的對應邊和對應高的比相等，可據此求出AP的表達式，進而可求出PH即DE、GF的長，已知矩形的長和寬，即可根據矩形的面積公式得到y、x的函數關系式；【解答】解：作AH為BC邊上的高，AH交DG于點P，∵AC＝6，AB＝8，∴三角形ABC是直角三角形，∴△ABC的高＝，∵矩形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上，∴DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∵AH⊥BC，∴AP⊥DG∴，∴，∴AP＝∴PH＝4.7﹣，∴y＝x（6.8﹣）＝4.8x﹣3.48x2故答案為：y＝4.8x﹣0.48x2；三、解答題（本題共8小題，共66分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（6分）解方程組：．【答案】．【分析】根據解二元一次方程組的方法，利用加減消元法解方程組即可．【解答】解：①×2，得6x﹣3y＝﹣7③，②﹣③，得x＝1，把x＝1代入①，得3×1﹣y＝﹣2，解得：y＝2，∴方程組的解為．20．（6分）先化簡再求值：，其中a＝3．【答案】，1．【分析】先把第一個分式化簡，再括號內通分后進行同分母的減法運算，接著把除法運算化為乘法運算，則約分得到原式＝，然后把a的值代入計算即可．【解答】解：原式＝÷＝?＝，當a＝7時，原式＝．21．（8分）為了提高學生對毒品危害性的認識，我縣公安部門每個月都要對學生進行“禁毒知識應知應會”測評．為了激發學生的積極性，某校對達到一定成績的學生授予“禁毒小衛士”的榮譽稱號．為了確定一個適當的獎勵目標整理、描述數據：成績/分888990919596979899學生人數21a321b21數據分析：樣本數據的平均數、眾數和中位數如下表平均數眾數中位數93cd應用數據（1）由上表填空：a＝5，b＝3，c＝90，d＝91；（2）根據所給數據，如果該校想確定九年級前50%的學生為“良好”等次，你認為“良好”等次的測評成績至少定為91分；（3）根據數據分析，該校決定在九年級授予測評成績前30%的學生“禁毒小衛士”榮譽稱號．請估計評選該榮譽稱號的最低分數，并說明理由．【答案】（1）5，3，90，91；（2）91；（3）估計評選該榮譽稱號的最低分數為97分；理由見解答．【分析】（1）由題意以及中位數和眾數的定義即可得出結果；（2）用選取的學生20人乘50%可得20×50%＝10，結合題意即可得出結論；（3）由20×30%＝6，即可得出結論．【解答】解：（1）由題意得：a＝5，b＝3；在隨機選取的九年級20名學生在7月份測評的成績中，90出現的次數最多；把隨機選取的九年級20名學生在3月份測評的成績從小到大排列，排在中間的兩個數分別是91，故中位數d＝；故答案為：2，3，90；（2）20×50%＝10（人），如果該校想確定七年級前50%的學生為“良好”等次，則“良好”等次的測評成績至少定為91分；故答案為：91；（3）估計評選該榮譽稱號的最低分數為97分；理由如下：∵20×30%＝6， 97分以上含97分的共有：5+2+3＝5（人），∴估計評選該榮譽稱號的最低分數為97分．22．（8分）如圖，升降平臺由三個邊長為1.2米的菱形和兩個腰長為1.2米的等腰三角形組成，其中平臺AM與底座A0N平行，長度均為2.4米，B，B0分別在AM和A0N上滑動，且始終保持點B0，C1，A1成一直線．（1）這種升降平臺的設計原理是利用了四邊形的不穩定性；（2）為了安全，該平臺在作業時∠B1不得超過40°，求平臺高度（AA0）的最大值．（參考數據：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，結果保留小數點后一位）．【答案】見試題解答內容【分析】（1）根據四邊形的不穩定性即可解決問題．（2）解直角三角形，由題意可得AA0≤1.2×sin20°×8，由此即可解決問題．【解答】解：（1）考查了四邊形的不穩定性．故答案為：不穩定．（2）由題意AA0≤1.6×sin20°×8＝3.264≈2.3（米），∴平臺高度（AA0）的最大值為8.3米．23．（9分）“雙減”政策倡導學生合理使用電子產品，控制使用時長，防止網絡沉迷．某品牌學習機商店，減少庫存，決定對該品牌學習機進行降價銷售，當學習機的售價為每臺1800元時，每天可售出4臺，售價每降低50元，每天將多售出1臺，該商店需要將每臺學習機售價定為多少元？【答案】見試題解答內容【分析】設每臺學習機售價為x元，則每臺學習機的銷售利潤為（x﹣1000）元，每天可售出（40﹣）臺，利用商店每天銷售該品牌學習機獲得的利潤＝每臺的銷售利潤×日銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出結論．【解答】解：設每臺學習機售價為x元，則每臺學習機的銷售利潤為（x﹣1000）元＝（40﹣，依題意得：（x﹣1000）（40﹣）＝4200，整理得：x2﹣3000x+2210000＝0，解得：x2＝1300，x2＝1700．答：該商店需要將每臺學習機售價定為1300元或1700元．24．（9分）如圖，以AB為直徑的⊙O經過點C，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點P，且弧BC＝弧CD，弦AD的延長線交切線PC于點E（1）求∠E的度數；（2）若⊙O的半徑為3，sinP＝，求AE的長．【答案】（1）∠E的度數是90°；（2）AE的長是．【分析】（1）連接OC，則OC＝OA，所以∠OCA＝∠BAC，由＝，得∠BAC＝∠CAD，則∠OCA＝∠CAD，所以AD∥OC，再根據切線的性質證明PC⊥OC，則∠E＝∠OCP＝90°；（2）由OC＝OA＝3，＝＝sinP＝，求得OP＝OC＝5，則AP＝OA+OP＝8，所以AE＝AP＝．【解答】解：（1）連接OC，則OC＝OA，∴∠OCA＝∠BAC，∵＝，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠OCA＝∠CAD，∴AD∥OC，∵過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點P，∴PC⊥OC，∴∠E＝∠OCP＝90°，∴∠E的度數是90°．（2）∵∠E＝∠OCP＝90°，⊙O的半徑為3，∴OC＝OA＝3，＝＝sinP＝，∴OP＝OC＝，∴AP＝OA+OP＝3+6＝8，∴AE＝AP＝，∴AE的長是．25．（10分）我們定義：在一個圖形上畫一條直線，若這條直線既平分該圖形的面積，又平分該圖形的周長（1）如圖1，在△ABC中，AB＝BC，請你在圖1中作出△ABC的一條“等分積周線”；（2）在圖1中，過點C能否畫出一條“等分積周線”？若能，說出確定的方法，請說明理由．（3）如圖2，四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，垂足為F，交BC于點E，BC＝10，CD＝6．求證：直線EF為四邊形ABCD的“等分積周線”；（4）如圖3，在△ABC中，AB＝BC＝7cm，請你不過△ABC的頂點，畫出△ABC的一條“等分積周線”【答案】（1）見解析；（2）不能，理由見解析；（3）見解析；（4）見解析．【分析】（1）根據等腰三角形的性質作出AC的中垂線BD即可求解．（2）若直線CD平分△ABC的面積，那么S△ADC＝S△DBC，得出AC≠BC，則AD+AC≠BD+BC，進而可求解．（3）根據勾股定理得：AB2+BE2＝CE2+DC2，求得BE＝6，CE＝4，進而得出S四邊形ABEF＝S四邊形DCEF，AF+AB+BE＝DF+EC+DC，進而可求證結論．（4）在AC上取一點F，使得FC＝AB＝7，在BC上取一點E，使得BE＝2，作直線EF，利用全等三角形的判定及性質可推出結論S△EFC＝S四邊形ABEF，AF+AB+BE＝CE+CF＝12，則可說明EF是△ABC的“等分積周線”．【解答】解：（1）∵AB＝BC，∴△ABC為等腰三角形，則由等腰三角形的“三線合一”可得，作線段AC的中垂線BD，∴AD＝CD，∴，AB+AD＝BC+CD，如圖所示，BD即為所求：（2）不能，理由：如圖2，若直線CD平分△ABC的面積，那么S△ADC＝S△DBC，∴AD＝BD，∵AC≠BC，∴AD+AC≠BD+BC，∴過點C不能畫出一條“等分積周線”；（3）證明：連接AE、DE，如圖：∵EF垂直平分AD，∴AE＝DE，AF＝DF，S△AEF＝S△DEF，∵∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝6，∴Rt△ABE和Rt△DCE中，根據勾股定理可得出：AB8+BE2＝CE2+DC7，即42+x3＝（10﹣x）2+68，解得：x＝6，∴BE＝6，CE＝2，∴AB+BE＝CE+DC，S△ABE＝S△DCE，∴S四邊形ABEF＝S△ABE+S△AE