重難點15幾何壓軸突破三幾何最值問題之將軍飲馬模型與逆等線模型（2種模型講解+14種題型匯總+專題訓練+真題訓練）【題型匯總】類型一將軍飲馬模型場景總結：當題目中構圖滿足“求點到直線上動點距離和的最小值”的條件時,則一定存在將軍飲馬模型.解題大招：(1)最值問題基本原理:①兩點之間線段最短;②點到直線,垂線段最短.(2)將軍飲馬解題步驟:第一步,明確動點、定點；第二步,明確問題屬于哪種將軍飲馬模型,要求哪些線段和的最小值(注意去掉長度固定的線段)；第三步,利用平移、對稱等方法,將問題轉化為基本原理①或②.模型詳解：類型一兩定一動型（四種）圖形條件如圖，A，B兩定點分布在直線m兩側，點D為直線上一動點，求AD+BD的最小值.如圖，A，B兩定點分布在直線m同側，點D為直線上一動點，求AD+BD的最小值.結論當A，D，B三點共線時，AD+BD取得最小值，最小值為AB的長.當A，D，B'三點共線時，AD+BD取得最小值，最小值為AB'的長.解題方法1）連:連接AB；2）求:AB長度即為AD+BD的最小值;1）找:找一個定點關于直線m的對稱點B'；2）連:連接對稱點B'和另外一個定點A；3）求:AB'長度即為AD+BD的最小值.圖形條件如圖，A，B兩點分布在直線m同側，點D為直線m上一動點,求|AD-BD|的最大值.如圖，A，B兩點分布在直線m兩側，點D為直線m上一動點,求|AD-BD|的最大值.結論當A，B，D三點共線時，|AD-BD|取得最大值，最大值為AB的長當A、B'、D三點共線時，|AD-BD|取得最大值，最大值為AB'的長解題方法1）連:連接AB并延長交直線m于D’；2）求:當點D和點D’重合時，|AD-BD|的值最大，AB的長度即為|AD-BD|的最大值.1）找:找一個定點關于直線的對稱點；2）連:連接另外一個定點和對稱點，并延長交直線于一點;3）求:另外一個定點和對稱點間的距離即為所求.【補充】圖形條件如圖，點A，B為定點，點P為直線m上一動點，求|AP-BP|取得最小值.結論當PA=PB時，|AP-BP|取得最小值,最小值為0.類型二：一定兩動型（三種）圖形條件如圖，點P為直線m1上一動點，點Q為直線m2上一動點，點A為定點，求PA+PQ的最小值.如圖，點P為直線m1上一動點，點Q為直線m2上一動點，點A為定點，求PA+PQ的最小值.圖形條件如圖，點M，N分別為m1，m2上的動點，點P為定點，求PM+PN+MN的最小值.結論做點P關于m1，m2的對稱點P',P''，那么當P'，M，N，P''四點共線時，PM+PN+MN取得最小值，最小值為的距離.類型三：兩動兩定型（兩種）圖形條件如圖，點C，D分別為OM，ON上的動點，點A，B為∠MON內的兩個定點，求AC+CD+BD+AB的最小值.如圖，點C，D分別為OM，ON上的動點，點A，B分別為OM，ON上的定點，求AD+CD+BC的最小值.結論做A點關于OM的對稱點A'，做B點關于ON的對稱點B'，當A'，C，D，B'四點共線時，AC+CD+BD取得最小值，最小值為A'B'的長.所以，AC+CD+BD+AB的最小值就是A'B'+AB.做A點關于ON的對稱點A'，做B點關于OM的對稱點B'，當A'，C，D，B'四點共線時，AD+CD+BC取得最小值，最小值為A'B'的長.所以，AD+CD+BC的最小值就是A'B'的長.類型四:平移線段型（兩種）圖形條件如圖，A，B為定點，M，N分別為m，n上的動點，MN⊥n，m∥n，且MN為定值，求AM+MN+NB的最小值.如圖，A，B為定點，M，N分別為m上的動點，且MN為定值，求AM+MN+NB最小值.結論如圖，將點A向下平移MN的單位長度得到點A'，連接A'B，交n于點N，過點N作MN⊥m，垂足為點M，點M和點N即為所求，當A'，N，B三點共線時AM+MN+NB取得最小值，最小值為A'B+MN.如圖，將點A向右平移MN個單位長度得點A'，作B關于直線m的對稱點B’，連接A'B'，交直線m于點N，將點N向左平移MN個單位長度得點M，點M和點N即為所求，當A'，N，B'三點共線時AM+MN+NB取得最小值，最小值為A'B'+MN.題型01兩定一動型1．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知A3,0，B0,2，過點B作y軸的垂線l，P為直線l上一動點，連接PO，PA，則PO+PA的最小值為2．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，在?ABCD中，AB=4，AD=5，∠ABC=30°，點M為直線BC上一動點，則MA+MD的最小值為．3．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在邊BC上，且BE=1，F為對角線BD上一動點，連接CF，EF，則CF+EF的最小值為．

4．（2024·甘肅·中考真題）如圖1，拋物線y=ax??2+k交x軸于O，A4,0兩點，頂點為B2,2(1)求拋物線y=a(x??)(2)過點C作CH⊥OA，垂足為H，交拋物線于點E．求線段CE的長．(3)點D為線段OA上一動點（O點除外），在OC右側作平行四邊形OCFD．①如圖2，當點F落在拋物線上時，求點F的坐標；②如圖3，連接BD，BF，求BD+BF的最小值．5．（2022·廣東深圳·三模）某課題組在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數學模型：直線l同旁有兩個定點A、B，在直線l上存在點P，使得PA+PB的值最小．解法：作點A關于直線l的對稱點A'，連接A'B，則A'B與直線l的交點即為P請利用上述模型解決下列問題：（1）幾何應用：如圖1，等腰直角三角形ABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點，P是AC邊上的一動點，則PB+PE的最小值為；（2）幾何拓展：如圖2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一點M、N使BM+MN的值最小，求這個最小值；（3）代數應用：求代數式x2+1+題型02線段差最值6．（2023·陜西西安·模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，對角線AC、BD交于點O，BD=8，點E為OD的中點，點F為AB上一點，且AF=3BF，點P為AC上一動點，連接PE、PF，則PF?PE的最大值為．

7．（21-22八年級上·河北承德·期末）如圖，點A，B在直線MN的同側，點A到MN的距離AC=8，點B到MN的距離BD=5，已知CD=4，P是直線MN上的一個動點，記PA+PB的最小值為a，PA?PB的最大值為b．（1）a=；（2）a2?8．（2023·山東菏澤·二模）如圖，直線y1=kx+2與反比例函數y2=3x的圖象交于點

(1)若y1>y(2)動點Pn,0在x軸上運動．當n為何值時，PA?PC9．（2024·西藏·中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+3a≠0與x軸交于A?1,0，B3,0兩點，與(1)求拋物線的解析式；(2)如圖（甲），設點C關于直線l的對稱點為點D，在直線l上是否存在一點P，使PA?PD有最大值？若存在，求出PA?PD的最大值；若不存在，請說明理由；(3)如圖（乙），設點M為拋物線上一點，連接MC，過點M作MN⊥CM交直線l于點N．若tan∠MCN=23題型03垂線段最短型10．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，⊙M的圓心為M4，0，半徑為2，P是直線y=x+4上的一個動點，過點P作⊙M的切線，切點為Q，則11．（2022·山東菏澤·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，M是對角線BD上的一個動點，CF=BF，則MA+MF的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．212．（20-21七年級下·福建漳州·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠CAB交BC于點D，點E、F分別是AD、AC邊上的動點，則CE+EF的最小值為

13．（2020·四川內江·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BC=10，∠ABD=30°，若點M、N分別是線段DB、AB上的兩個動點，則AM+MN的最小值為．

題型04兩定一動/兩定動型14．（22-23八年級下·江蘇連云港·期中）如圖，在邊長為8的正方形中，點G是邊的中點，E、F分別是和邊上的點，則四邊形周長的最小值為．15．（2022·山東棗莊·二模）如圖，點P是內任意一點，，點M和點N分別是射線和射線上的動點，，則周長的最小值是．16．（2023·陜西西安·二模）如圖，在四邊形中，，，，，、分別是邊、上的動點，連接，，，則周長的最小值為．

17．（20-21九年級上·廣東廣州·階段練習）如圖，在平行四邊形中，對角線相交于點O，點E、F分別是邊上的點，連接，若，，，則周長的最小值是．

18．（2020九年級·全國·專題練習）如圖，拋物線與軸交于、，與軸交于點，點為的中點，點、分別為軸正半軸和拋物線對稱軸上的動點，連接、、，求四邊形周長最小時點、的坐標．19．（2022·天津·中考真題）已知拋物線（a，b，c是常數，）的頂點為P，與x軸相交于點和點B．(1)若，①求點P的坐標；②直線（m是常數，）與拋物線相交于點M，與相交于點G，當取得最大值時，求點M，G的坐標；(2)若，直線與拋物線相交于點N，E是x軸的正半軸上的動點，F是y軸的負半軸上的動點，當的最小值為5時，求點E，F的坐標．題型05造橋選址型20．（2020九年級·全國·專題練習）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AB=4，BC=12，∠ABC=60°，點E、F是AD邊上的動點，且EF=2，則四邊形BEFC周長的最小值為．

21．（2023·陜西咸陽·一模）【問題提出】（1）如圖1，點A、B在直線l的同側，點A到直線l的距離AC=2，點B到直線l的距離BD=4，A、B兩點的水平距離CD=8，點P是直線l上的一個動點，則AP+BP的最小值是________；【問題探究】（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中點，線段EF在邊AB上左右滑動，若EF=1，求GE+CF的最小值；【問題解決】（3）如圖3，某公園有一塊形狀為四邊形ABCD的空地，管理人員規劃修兩條小路AC和BD（小路的寬度忽略不計，兩條小路交于點P），并在AD和BC上分別選取點M、N，沿PM、PN和MN修建地下水管，為了節約成本，要使得線段PM、PN與MN之和最小．已測出∠ACB=45°，∠ADB=60°，∠CPD=75°，PD=40m，PC=502m

22．（2024·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+4a≠0經過點?1,6，與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點（(1)求拋物線的表達式；(2)點P是射線CA上方拋物線上的一動點，過點P作PE⊥x軸，垂足為E，交AC于點D．點M是線段DE上一動點，MN⊥y軸，垂足為N，點F為線段BC的中點，連接AM，NF．當線段PD長度取得最大值時，求(3)將該拋物線沿射線CA方向平移，使得新拋物線經過（2）中線段PD長度取得最大值時的點D，且與直線AC相交于另一點K．點Q為新拋物線上的一個動點，當∠QDK=∠ACB時，直接寫出所有符合條件的點Q的坐標．23．（2021·廣西·中考真題）如圖，已知點A(3,0)，B(1,0)，兩點C(?3,9)，D(2,4)在拋物線y=x2上，向左或向右平移拋物線后，C，D的對應點分別為C'，D'，當四邊形題型06與將軍飲馬有關的角度探究問題24．（2022·河北石家莊·模擬預測）如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE=α（∠BAE為鈍角），∠B=∠E=90°，在BC，DE上分別找一點M，N，當△AMN周長最小時，∠MAN的度數為（

）A．12α B．α?90° C．2α?180° 25．（2023·山東淄博·一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠DAB=140°，M，N分別是邊DC，BC上的動點，當△AMN的周長最小時，∠MAN=°．26．（2021鼓樓區二模）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別取一點M、N，使△AMN的周長最小，則∠AMN+∠ANM=°．27．（21-22八年級上·貴州黔南·期中）如圖，∠AOB＝α，點P是∠AOB內的一定點，點M，N分別在OA，OB上移動，當△PMN的周長最小時，∠MPN的度數為．題型07與將軍飲馬有關的作圖問題28．（21-22八年級上·河南新鄉·期末）如圖，在方格中，水平方向的數軸我們叫x軸，豎直方向的數軸我們叫y軸，△ABC的三個頂點我們可以分別表示為A?3,4，B?4,1，(1)畫出與△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1（點A，B，C的對應點分別為點A1，B1，(2)點D在x軸上，使得BD=CD，尺規作出點D；（不寫作法，保留作圖痕跡）(3)點P在y軸上，使得△ACP的周長最小，作出點P．（不寫作法，保留作圖痕跡）29．（2022·吉林長春·一模）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點均在格點上．只用無刻度的直尺，在給定的網格中，分別按下列要求畫圖，保留適當的畫圖痕跡．(1)在圖①中畫出AC邊上的中線BD．(2)在圖②中畫出AC邊上的高線BE．(3)在圖③中，若點P、Q分別為線段AB、AC上的動點，連結PC、PQ，當PC+PQ取得最小值時，畫出點P、點Q的位置．30．（2023·河南南陽·二模）綜合與實踐問題提出（1）如圖①，請你在直線l上找一點P，使點P到兩個定點A和B的距離之和最小，即PA+PB的和最小（保留作圖痕跡，不寫作法）；

思維轉換（2）如圖②，已知點E是直線l外一定點，且到直線l的距離為4，MN是直線l上的動線段，MN=6，連接ME，NE，求ME+NE的最小值．小敏在解題過程中發現：“借助物理學科的相對運動思維，若將線段MN看作靜線段，則點E在平行于直線l的直線上運動”，請你參考小敏的思路求

拓展應用（3）如圖③，在矩形ABCD中，AD=2AB=25，連接BD，點E、F分別是邊BC、AD上的動點，且BE=AF，分別過點E、F作EM⊥BD，FN⊥BD，垂足分別為M、N，連接AM、AN

31．（2021·江蘇常州·二模）閱讀并解答下列問題：老師給出了以下思考題：如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，3），B（5，1），C（a，0），D（a+2，0），連接AC、CD、DB，求AC+CD+DB的最小值．【思考交流】小明：如圖2，先將點A向右平移2個單位長度到點A1，作點B關于x軸的對稱點B1，連接A1B1交x軸于點D，將點D向左平移2個單位長度得到點C，連接AC、BD．此時AC+CD+DB的最小值等于A1B1+CD．小穎：如圖3，先將點A向右平移2個單位長度到點A1，作點A1關于x軸的點A2，連接A2B可以求解．小亮：對稱和平移還可以有不同的組合…【嘗試解決】在圖2中AC+CD+DB的最小值是________________________；【靈活運用】如圖4，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，3），B（5，1），C（a，1)，D（a+2，0），連接AC、CD、DB，則AC+CD+DB的最小值是___________，此時a=__________．并請在圖5中用直尺和圓規作出AC+CD+DB最小時CD的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）．【拓展提升】如圖6，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，3），C是一次函數y=x圖像上一點，CD與y軸垂直且CD=2（點D在點C右側），連接AC、CD、AD，直接寫出AC+CD+DA的最小值是________________，此時點C的坐標是________________．題型08相對運動平移型將軍飲馬32．（2023·山東泰安·三模）如圖，在菱形ABCD中，BC=4,∠ABC=60°，在BC邊上有一線段EF由B向C運動，點F到達點C后停止運動，E在F的左側，EF=1，連接AE,AF，則△AEF周長的最小值為（A．43+1 B．43+233．（2023·河南周口·三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=15，BC=20，把邊AB沿對角線BD平移，點A'，B'分別對應點

34．（23-24九年級下·廣東深圳·開學考試）如圖，在菱形ABCD中，AB=23，∠BCD=120°，M為對角線BD上一點（M不與點B、D重合），過點MN∥CD，使得MN=CD，連接CM、AM、BN、AN，則AM+AN35．（2023九年級·全國·專題練習）如圖，拋物線y=?x2+bx+c上的點A，C坐標分別為0,2，4,0，拋物線與x軸負半軸交于點B，點M為y軸負半軸上一點，且OM=2，連接AC

(1)求點M的坐標及拋物線的解析式；(2)點P是拋物線位于第一象限圖像上的動點，連接AP，CP，當S△PAC=S(3)點D是線段BC（包含點B，C)上的動點，過點D作x軸的垂線，交拋物線于點Q，交直線CM于點N，若以點Q，N，C為頂點的三角形與△COM相似，請直接寫出點Q的坐標；(4)將拋物線沿x軸的負方向平移得到新拋物線，點A的對應點為點A'，點C的對應點為點C'，在拋物線平移過程中，當MA'+MC'題型09通過瓜豆得出軌跡后將軍飲馬36．（2023·湖北鄂州·模擬預測）如圖1，對于平面內的點A、P，如果將線段PA繞點P逆時針旋轉90°得到線段PB，就稱點B是點A關于點P的“放垂點”．如圖2，已知點A(4,0)，點P是y軸上一點，點B是點A關于點P的“放垂點”，連接AB、OB，則OB+AB的最小值是（

）

A．4 B．45 C．8 D．37．（2022·四川成都·二模）在Rt△ABC中，斜邊AB=2，∠A=30°，點D是AC邊上的一個動點，連接BD，將線段BD繞點B順時針旋轉60°得到BE，連接CE，則BE＋CE的最小值為38．（2023·江蘇徐州·模擬預測）等邊△ABC邊長為6，D是BC中點，E在AD上運動，連接BE，在BE下方作等邊△BEF，則△BDF周長的最小值為．39．（2021·陜西榆林·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，M為BC上一點，連接MA，將線段MA繞點M順時針90°得到線段MN，連接CN、DN，則CN+DN的最小值為．題型10三動點問題40．（23-24九年級上·山東濟南·期末）如圖，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=45°，E，F，P分別是AB，BC，AC上的動點，PE+PF的最小值等于（）A．1 B．2 C．3 D．541．（2021·江蘇蘇州·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分別是邊AB、AC、BC上的動點，連接PM、PN和MN，則PM+PN+MN的最小值是．42．（2019·陜西西安·模擬預測）如圖，已知AD//BC，∠B=90°，∠C=60°，BC=2AD=4，點M為邊BC中點，點E、F在線段AB、CD上運動，點P在線段MC上運動，連接EF、EP、PF，則ΔEPF周長的最小值為43．（23-24八年級上·廣東深圳·期中）如圖，已知正比例函數y=kxk>0的圖象與x軸相交所成的銳角為70°，定點A的坐標為0,4，P為y軸上的一個動點，M、N為函數y=kxk>0的圖象上的兩個動點，則AM+MP+PN的最小值為

44．（2021·湖北武漢·模擬預測）已知如圖，AB=4,AC=2,∠BAC=60°,BC?所在圓的圓心是點O,∠BOC=60°，分別在BC、線段AB和AC上選取點P、E、F，則PE+EF+FP的最小值為【真題訓練】45．（2021·西藏·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，點P是線段AC上一動點，點M在線段AB上，當AM＝13AB時，PB＋PM的最小值為（

A．33 B．27 C．23＋2 D．33＋346．（2023·安徽·一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，點E是矩形ABCD內部一動點，且∠BEC=90°，點P是AB邊上一動點，連接PD、PE，則PD+PE的最小值為（

）A．8 B．45 C．10 D．47．（22-23八年級下·湖北武漢·期末）探究式子x2+1+x?42+1x≥0的最小值.小胖同學運用“數形結合”的思想：如圖，取AB=4，作AC⊥AB于A．BD⊥AB于B，且AC=1，BD=1，點E在AB上，設AE=x，則BE=4?x，于是，x2+1=CE，x?42

48．（2022·湖北黃石·中考真題）如圖，等邊△ABC中，AB=10，點E為高AD上的一動點，以BE為邊作等邊△BEF，連接DF，CF，則∠BCF=，FB+FD的最小值為．49．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，已知∠AOB=50°，點P為∠AOB內部一點，點M為射線OA、點N為射線OB上的兩個動點，當△PMN的周長最小時，則∠MPN=．50．（2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點E為高BD上的動點．連接CE，將CE繞點C順時針旋轉60°得到CF．連接AF，EF，DF，則△CDF周長的最小值是．

51．（2021·湖北恩施·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD為正方形，點A，B在x軸上，拋物線y=x2+bx+c經過點B，D?4,5兩點，且與直線（1）求拋物線的解析式；（2）F為拋物線對稱軸上一點，Q為平面直角坐標系中的一點，是否存在以點Q，F，E，B為頂點的四邊形是以BE為邊的菱形．若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；（3）P為y軸上一點，過點P作拋物線對稱軸的垂線，垂足為M，連接ME，BP．探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，請求出這個最小值及點M的坐標；若不存在，請說明理由．52．（2020·江蘇南京·中考真題）如圖①，要在一條筆直的路邊l上建一個燃氣站，向l同側的A、B兩個城鎮分別發鋪設管道輸送燃氣，試確定燃氣站的位置，使鋪設管道的路線最短．（1）如圖②，作出點A關于l的對稱點A'，線A'B與直線l的交點C的位置即為所求，即在點C處建氣站，所得路線ACB是最短的，為了讓明點C的位置即為所求，不妨在l直線上另外任取一點C'，連接AC（2）如果在A、B兩個城鎮之間規劃一個生態保護區，燃氣管道不能穿過該區域請分別始出下列兩種情形的鋪設管道的方案（不需說明理由），①生市保護區是正方形區域，位置如圖③所示②生態保護區是圓形區域，位置如圖④所示．類型二逆等線模型逆等線模型的介紹：兩個動點分別在直線上運動，且它們各自到某一定點的距離始終相等，那么這兩條始終相等的線段稱為逆等線段.解題方法：1）找三角形.找一條逆等線段，一條動線段構成的三角形.(圖中本身就有的三角形不要添加輔助線以后構成的三角形)2.確定該三角形的不變量.在動點移動過程中，該三角形有一個邊長度不變，有一個角的大小不變.3.從另一逆等線段的定點引一條線.使得線段長度等于第二步中的那個不變的邊長,與這個逆等線段的夾角等于第二步中那個不變的角.4.問題轉化為將軍飲馬問題求最值.【模型解讀】△ABC中，D、E分別是AB、AC上的動點，且AD=CE，即逆向相等，則稱AD和CE為逆等線，就是怎么別扭怎么來。觀察圖形，我們很容易發現，AD和CE沒有首尾相連，所以，一般通過平移或者作平行等方法構造全等三角形來實現線段轉移，從而使逆等線段產生關系，最終解決問題。備注：一般情況下，題目中有兩個沒有首尾相連的線段相等，即兩定兩動，也歸為逆等線問題。例：如上圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC=8，AC=10，點D、E分別是AB、AC上的動點，且AD=CE，求CD+BE的最小值。解題策略：①AD在△ADC中，那么我們就以CD為一邊構造另一個三角形與之全等，這個也叫做一邊一角造全等.②即過點C作CF//AB，且CF=AC.（構造一邊一角，得全等）③構造出△ADC≌△CEF(SAS),證出EF=CD.④CD+BE=EF+BE，根據兩點之間，線段最短，連接BF，則BF即為所求.此時，B、E、F三點共線，本題中，也可以利用三角形三邊關系去求最值.⑤求BF題型01構造SAS型全等拼接線段53．（21-22九年級上·陜西寶雞·期中）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E、F分別是邊BC、CD上的動點．且BE=CF，連接BF、DE，則BF+DE的最小值為．

54．（22-23八年級上·浙江寧波·期中）如圖，等腰Rt△ABC的直角邊長為4，D、E分別為邊AB、AC上兩個動點，且AE=BD，則55．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，在邊長為5的菱形ABCD中，∠BAD=120°，E，F分別是AD，BD上的動點，DE=BF，連接AF，CE，則AF+CE的最小值為56．（2024·貴州黔南·模擬預測）如圖，在△ABC中，AC=BC=3，過點A作直線AD⊥BC于點D，E，F分別是直線AD，邊AC上的動點，且AE=CF，則BF+CE的最小值為

57．（2023·陜西西安·模擬預測）如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點E、F分別是邊BC和對角線BD上的動點，且BE=DF，則AE+AF的最小值是．題型02平移，對稱或構造平行四邊形58．（2021·安徽宿州·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，點P在AD上，點Q在BC上，且AP＝CQ，連接CP，QD，則PC+QD的最小值為（）A．10 B．11 C．12 D．1359．（2022·四川內江·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點E、F分別是AB、DC上的動點，EF∥BC，則AF+CE的最小值是．60．（2022·山東濱州·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=5,AD=10．若點E是邊AD上的一個動點，過點E作EF⊥AC且分別交對角線AC，直線BC于點O、F，則在點E移動的過程中，AF+FE+EC的最小值為．61．（23-24八年級下·江蘇蘇州·階段練習）如圖，正方形ABCD的邊長為2，M是BC的中點，N是AM上的動點，過點N作EF⊥AM分別交AB，CD于點E，F．則EM+AF的最小值為．題型03加權逆等線62．（24-25九年級上·陜西西安·階段練習）如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=6，E、F分別為BC、CD上的動點，且BE=2DF，則DE+2AF的最小值為．63．（2021·四川成都·二模）如圖，平行四邊形ABCD，AB>AD，AD=4，∠ADB=60°，點E、F為對角線BD上的動點，DE=2BF，連接AE、CF，則AE+2CF的最小值為．64．（2024·吉林·模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，點E，F分別是BD，CD上的點，若BE=2CF，則AF+12AE65．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于兩點A?3,0,B

(1)求此拋物線的解析式；(2)已知拋物線上有一點Px0,y0，其中y(3)若點D，E分別是線段AC，AB上的動點，且AE=2CD，求CE+2BD的最小值．題型04取到最小值時對其它量進行計算66．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，正方形ABCD的邊長為2，M是BC的中點，N是AM上的動點，過點N作EF⊥AM，分別交AB、CD于點E、F，若EM+AF的值為10，則DF的長為．67．如圖，已知直線AB：y=553x+55分別交x軸、y軸于點B、A兩點，C(3,0)，D、E分別為線段AO和線段AC上一動點，BE交y軸于點H，且AD=CE．當A．(0,552) B．(0,5) C．(0,4)68．（23-24八年級上·山東·期末）如圖，AD為等邊△ABC的高，M、N分別為線段AD，AC上的動點，且AM=BN，當BM+CN取得最小值時，∠ANC=．69．（2022·陜西西安·一模）如圖，已知Rt△ABC，∠C＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，點M，N分別為CB，CA上的動點，且始終保持BM＝CN，則當AM+BN取最小值時，CN＝．重難點15幾何壓軸突破三幾何最值問題之將軍飲馬模型與逆等線模型（2種模型講解+14種題型匯總+專題訓練+真題訓練）【題型匯總】類型一將軍飲馬模型場景總結：當題目中構圖滿足“求點到直線上動點距離和的最小值”的條件時,則一定存在將軍飲馬模型.解題大招：(1)最值問題基本原理:①兩點之間線段最短;②點到直線,垂線段最短.(2)將軍飲馬解題步驟:第一步,明確動點、定點；第二步,明確問題屬于哪種將軍飲馬模型,要求哪些線段和的最小值(注意去掉長度固定的線段)；第三步,利用平移、對稱等方法,將問題轉化為基本原理①或②.模型詳解：類型一兩定一動型（四種）圖形條件如圖，A，B兩定點分布在直線m兩側，點D為直線上一動點，求AD+BD的最小值.如圖，A，B兩定點分布在直線m同側，點D為直線上一動點，求AD+BD的最小值.結論當A，D，B三點共線時，AD+BD取得最小值，最小值為AB的長.當A，D，B'三點共線時，AD+BD取得最小值，最小值為AB'的長.解題方法1）連:連接AB；2）求:AB長度即為AD+BD的最小值;1）找:找一個定點關于直線m的對稱點B'；2）連:連接對稱點B'和另外一個定點A；3）求:AB'長度即為AD+BD的最小值.圖形條件如圖，A，B兩點分布在直線m同側，點D為直線m上一動點,求|AD-BD|的最大值.如圖，A，B兩點分布在直線m兩側，點D為直線m上一動點,求|AD-BD|的最大值.結論當A，B，D三點共線時，|AD-BD|取得最大值，最大值為AB的長當A、B'、D三點共線時，|AD-BD|取得最大值，最大值為AB'的長解題方法1）連:連接AB并延長交直線m于D’；2）求:當點D和點D’重合時，|AD-BD|的值最大，AB的長度即為|AD-BD|的最大值.1）找:找一個定點關于直線的對稱點；2）連:連接另外一個定點和對稱點，并延長交直線于一點;3）求:另外一個定點和對稱點間的距離即為所求.【補充】圖形條件如圖，點A，B為定點，點P為直線m上一動點，求|AP-BP|取得最小值.結論當PA=PB時，|AP-BP|取得最小值,最小值為0.類型二：一定兩動型（三種）圖形條件如圖，點P為直線m1上一動點，點Q為直線m2上一動點，點A為定點，求PA+PQ的最小值.如圖，點P為直線m1上一動點，點Q為直線m2上一動點，點A為定點，求PA+PQ的最小值.圖形條件如圖，點M，N分別為m1，m2上的動點，點P為定點，求PM+PN+MN的最小值.結論做點P關于m1，m2的對稱點P',P''，那么當P'，M，N，P''四點共線時，PM+PN+MN取得最小值，最小值為的距離.類型三：兩動兩定型（兩種）圖形條件如圖，點C，D分別為OM，ON上的動點，點A，B為∠MON內的兩個定點，求AC+CD+BD+AB的最小值.如圖，點C，D分別為OM，ON上的動點，點A，B分別為OM，ON上的定點，求AD+CD+BC的最小值.結論做A點關于OM的對稱點A'，做B點關于ON的對稱點B'，當A'，C，D，B'四點共線時，AC+CD+BD取得最小值，最小值為A'B'的長.所以，AC+CD+BD+AB的最小值就是A'B'+AB.做A點關于ON的對稱點A'，做B點關于OM的對稱點B'，當A'，C，D，B'四點共線時，AD+CD+BC取得最小值，最小值為A'B'的長.所以，AD+CD+BC的最小值就是A'B'的長.類型四:平移線段型（兩種）圖形條件如圖，A，B為定點，M，N分別為m，n上的動點，MN⊥n，m∥n，且MN為定值，求AM+MN+NB的最小值.如圖，A，B為定點，M，N分別為m上的動點，且MN為定值，求AM+MN+NB最小值.結論如圖，將點A向下平移MN的單位長度得到點A'，連接A'B，交n于點N，過點N作MN⊥m，垂足為點M，點M和點N即為所求，當A'，N，B三點共線時AM+MN+NB取得最小值，最小值為A'B+MN.如圖，將點A向右平移MN個單位長度得點A'，作B關于直線m的對稱點B’，連接A'B'，交直線m于點N，將點N向左平移MN個單位長度得點M，點M和點N即為所求，當A'，N，B'三點共線時AM+MN+NB取得最小值，最小值為A'B'+MN.題型01兩定一動型1．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知，，過點作軸的垂線，為直線上一動點，連接，，則的最小值為．【答案】5【分析】本題考查軸對稱—最短問題以及勾股定理和軸對稱圖形的性質．先取點A關于直線的對稱點，連交直線于點C，連，得到，，再由軸對稱圖形的性質和兩點之間線段最短，得到當三點共線時，的最小值為，再利用勾股定理求即可．【詳解】解：取點A關于直線的對稱點，連交直線于點C，連，則可知，，∴，即當三點共線時，的最小值為，∵直線垂直于y軸，∴軸，∵，，∴，∴在中，，故答案為：52．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，在中，，，，點為直線上一動點，則的最小值為．【答案】【分析】如圖，作關于直線的對稱點，連接交于，則，，，當重合時，最小，最小值為，再進一步結合勾股定理求解即可.【詳解】解：如圖，作關于直線的對稱點，連接交于，則，，，∴當重合時，最小，最小值為，∵，，在中，∴，，∴，，∵，∴，故答案為：【點睛】此題考查了平行四邊形的性質，勾股定理，軸對稱的性質，求最小值問題，正確理解各性質及掌握各知識點是解題的關鍵．3．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，正方形的邊長為4，點E在邊上，且，F為對角線上一動點，連接，，則的最小值為．

【答案】【分析】連接交于一點F，連接，根據正方形的對稱性得到此時最小，利用勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖，連接交于一點F，連接，∵四邊形是正方形，∴點A與點C關于對稱，∴，∴，此時最小，∵正方形的邊長為4，∴，∵點E在上，且，∴，即的最小值為故答案為：．

【點睛】此題考查正方形的性質，熟練運用勾股定理計算是解題的關鍵．4．（2024·甘肅·中考真題）如圖1，拋物線交x軸于O，兩點，頂點為．點C為的中點．(1)求拋物線的表達式；(2)過點C作，垂足為H，交拋物線于點E．求線段的長．(3)點D為線段上一動點（O點除外），在右側作平行四邊形．①如圖2，當點F落在拋物線上時，求點F的坐標；②如圖3，連接，，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)①②【分析】（1）根據頂點為．設拋物線，把代入解析式，計算求解即可；（2）根據頂點為．點C為的中點，得到，當時，，得到．結合，垂足為H，得到的長．（3）①根據題意，得，結合四邊形是平行四邊形，設，結合點F落在拋物線上，得到，解得即可；②過點B作軸于點N，作點D關于直線的對稱點G，過點G作軸于點H，連接，，，利用平行四邊形的判定和性質，勾股定理，矩形判定和性質，計算解答即可．【詳解】（1）∵拋物線的頂點坐標為．設拋物線，把代入解析式，得，解得，∴．（2）∵頂點為．點C為的中點，∴，∵，∴軸，∴E的橫坐標為1，設，當時，，∴．∴．（3）①根據題意，得，∵四邊形是平行四邊形，∴點C，點F的縱坐標相同，設，∵點F落在拋物線上，∴，解得，(舍去)；故．②過點B作軸于點N，作點D關于直線的對稱點G，過點G作軸于點H，連接，，，則四邊形是矩形，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，故當三點共線時，取得最小值，∵，∴的最小值，就是的最小值，且最小值就是，延長交y軸于點M，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故的最小值是．【點睛】本題考查了待定系數法求函數的解析式，中點坐標公式，平行四邊形的判定和性質，矩形的判定和性質，勾股定理，利用軸對稱的性質求線段和的最小值，熟練掌握平行四邊形的性質，軸對稱的性質是解題的關鍵．5．（2022·廣東深圳·三模）某課題組在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數學模型：直線同旁有兩個定點、，在直線上存在點，使得的值最小．解法：作點關于直線的對稱點，連接，則與直線的交點即為，且的最小值為．請利用上述模型解決下列問題：（1）幾何應用：如圖，等腰直角三角形的直角邊長為，是斜邊的中點，是邊上的一動點，則的最小值為；（2）幾何拓展：如圖，中，，，若在、上各取一點、使的值最小，求這個最小值；（3）代數應用：求代數式的最小值．【答案】5【分析】（1）作點B關于AC的對稱點，連接，交AC于點P，連接，根據軸對稱的性質可得AB==，PB=，∠ABC=∠=45°，最后根據=+PE=即可求解；（2）作點B關于AC的對稱點，過點作⊥AB于點N，交AC于點M，連接交AC于點O，根據BM=可知=+MN=，根據軸對稱的性質和含30°角的直角三角想30°角所對的邊等于斜邊的一半，分別求出和BN的長度即可；（3）根據題意，構造兩個直角三角形，斜邊分別等于和，用勾股定理進行即可進行證明．【詳解】（1）解：如圖，作點B關于AC的對稱點，連接，交AC于點P，連接∵點B和點關于AC對稱，∴AB==，PB=，∠ABC=∠=45°，∴在△中，∠=90°，∵點E為AB中點，∴AE=，∴，∵PB=，∴=+PE=，故答案為：．（2）作點B關于AC的對稱點，過點作⊥AB于點N，交AC于點M，連接交AC于點O，根據軸對稱的性質可知，⊥AC，∵，，∠AOB=90°，∴BO=，∠=60°，∴=2BO=2，在Rt△中，∠=60°，∴∠=30°，∴NB=，∴，∵BM=，∴=+MN=，故答案為：．（3）如圖，構造圖形，點P是AB邊上一點，其中AB=4，AP=x，AC=1，BD=2，作點C關于AB的對稱點，連接交AB于點P，延長DB，過點作⊥BD，垂足為O，根據軸對稱的性質可知，AC==1，CP=，∵AB=4，=1，∴=4，BO==1，∴DO=3，在Rt△中，，∵AB=4，AP=x，AC=1，BD=2，∴，，∵CP+DP=+DP==5，∴的最小值為5．故答案為：5．【點睛】本題主要考查了利用勾股定理求最短路徑問題，熟練掌握勾股定理的內容，利用軸對稱的性質構造直角三角形是解題的關鍵．題型02線段差最值6．（2023·陜西西安·模擬預測）如圖，在菱形中，，對角線交于點，，點為的中點，點為上一點，且，點為上一動點，連接，則的最大值為．

【答案】【分析】作的對稱點，連接并延長交于點，根據三角形三邊關系可得到，最后根據等邊三角形的性質及菱形的性質即可解答．【詳解】解：作的對稱點，連接并延長交于點，∴，∴，當在同一條直線上時，有最大值，∵在菱形中，，∴，，∴是等邊三角形，∴，，，∵，∴，∵，∴，∵點為的中點，∴為的中點，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，故答案為；

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質與判定，菱形的性質，中點的定義，三角形的三邊關系，掌握等邊三角形的性質及菱形的性質是解題的關鍵．7．（21-22八年級上·河北承德·期末）如圖，點A，B在直線的同側，點A到的距離，點B到的距離，已知，P是直線上的一個動點，記的最小值為a，的最大值為b．（1）；（2）．【答案】【分析】作點A關于直線MN的對稱點A，連接AB交直線MN于點P，過點A作直線AE⊥BD的延長線于點E，再根據勾股定理求出AB的長就是PA＋PB的最小值；延長AB交MN于點P，此時PA?PB＝AB，由三角形三邊關系可知AB＞|PA?PB|，故當點P運動到P點時|PA?PB|最大，作BE⊥AM，由勾股定理即可求出AB的長就是|PA?PB|的最大值．進一步代入求得答案即可．【詳解】解：如圖，作點A關于直線MN的對稱點A，連接AB交直線MN于點P，則點P即為所求點．過點A作直線AE⊥BD的延長線于點E，則線段AB的長即為PA＋PB的最小值．∵AC＝8，BD＝5，CD＝4，∴AC＝8，BE＝8＋5＝13，AE＝CD＝4，∴AB＝，即PA＋PB的最小值是a＝．如圖，延長AB交MN于點P，∵PA?PB＝AB，AB＞|PA?PB|，∴當點P運動到P點時，|PA?PB|最大，∵BD＝5，CD＝4，AC＝8，過點B作BE⊥AC，則BE＝CD＝4，AE＝AC?BD＝8?5＝3，∴AB＝＝5．∴|PA?PB|＝5為最大，即b＝5，∴a2?b2＝185?25＝160．故答案為：160．【點睛】本題考查的是最短線路問題及勾股定理，熟知兩點之間線段最短及三角形的三邊關系是解答此類問題的關鍵．8．（2023·山東菏澤·二模）如圖，直線與反比例函數的圖象交于點，與坐標軸分別交于B，C兩點．

(1)若，求自變量x的取值范圍；(2)動點在x軸上運動．當n為何值時，的值最大？并求最大值．【答案】(1)(2)當為時，的值最大，最大值為【分析】（1）由點的縱坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出點的坐標，再根據兩函數圖象的上下位置關系，即可得出當時，自變量的取值范圍；（2）由點的坐標利用待定系數法即可求出直線的函數解析式，利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點、的坐標，再根據三角形的三邊關系即可確定當點與點重合時，的值最大，利用兩點間的距離公式即可求出此最大值．【詳解】（1）解：當時，，點的坐標為，觀察函數圖象，可知：當時，直線在雙曲線上方，若，自變量的取值范圍為．（2）解：將代入中，，解得：，直線的解析式為，當時，，點的坐標為，，當時，，點的坐標為．當點與點重合時，的值最大，此時，．當為時，的值最大，最大值為．【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、一次（反比例）函數圖象上點的坐標特征、待定系數法求一次函數解析式以及三角形的三邊關系，解題的關鍵是：（1）利用反比例函數圖象上點的坐標特征求出點的坐標；（2）利用三角形的三邊關系確定點的位置．9．（2024·西藏·中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于C點，設拋物線的對稱軸為直線l．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖（甲），設點C關于直線l的對稱點為點D，在直線l上是否存在一點P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由；(3)如圖（乙），設點M為拋物線上一點，連接，過點M作交直線l于點N．若，求點M的坐標．【答案】(1)(2)存在最大值；最大值為(3)點M的坐標為或或或【分析】（1）把，代入拋物線求出a、b的值，即可得出拋物線的解析式；（2）先求出點C的坐標為，連接、、，根據軸對稱的性質得出，，得出當最大時，最大，根據當點A、C、P三點在同一直線上時，最大，即當點P在點時，最大，求出最大值即可；（3）過點M作軸，過點C作于點D，過點N作于點E，設點M的坐標為：，得出，，證明，得出，從而得出，分四種情況：當時，當時，當時，當時，分別求出點M的坐標即可．【詳解】（1）解：把，代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為：；（2）解：存在最大值；把代入得：，∴點C的坐標為，∵，∴拋物線的對稱軸為直線，連接、、，如圖所示：∵點C關于直線l的對稱點為點D，點P在直線l上，∴，∴，∴當最大時，最大，∴當點A、C、P三點在同一直線上時，最大，即當點P在點時，最大，∴最大值為：．（3）解：過點M作軸，過點C作于點D，過點N作于點E，如圖所示：∵，∴，∴，設點M的坐標為：，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，當時，，，則：，解得：，（舍去），此時點M坐標為：；當時，，，則：，解得：（舍去），此時點M坐標為：；當時，，，則：，解得：，（舍去），此時點M坐標為：；當時，，，則：，解得：，（舍去），此時點M坐標為：；綜上分析可知：點M坐標為：或或或．【點睛】本題主要考查了二次函數的綜合應用，求二次函數解析式，軸對稱的性質，兩點間距離公式，解直角三角形的相關計算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是數形結合，熟練掌握相關的判定和性質，注意進行分類討論．題型03垂線段最短型10．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，的圓心為，半徑為，是直線上的一個動點，過點作的切線，切點為，則的最小值為【答案】【分析】記直線與x，y軸分別交于點A，K，連接；由直線解析式可求得點A、K的坐標，從而得均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：，由，則當最小時，最小，點P與點K重合，此時最小值為，由勾股定理求得的最小值，從而求得結果．【詳解】解：記直線與x，y軸分別交于點A，K，連接，當，，當，即，解得：，即；而，∴，∴均是等腰直角三角形，∴，∴，∵與相切，∴，∴，∵，∴當最小時即最小，∴當時，取得最小值，即點P與點K重合，此時最小值為，在中，由勾股定理得：，∴，∴最小值為．【點睛】本題考查了圓的切線的性質，勾股定理，一次函數與坐標軸的交點問題，垂線段最短，正確添加輔助線是解題的關鍵．11．（2022·山東菏澤·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，，M是對角線BD上的一個動點，，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】連接AF，則AF的長就是AM+FM的最小值，證明△ABC是等邊三角形，AF是高線，利用三角函數即可求解．【詳解】解：連接AF，則AF的長就是AM+FM的最小值．∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∵∴F是BC的中點，∴AF⊥BC．則AF＝AB?sin60°＝2．即的最小值是．故選：C【點睛】本題考查了菱形的性質，等邊三角形以及三角函數，確定AF的長就是的最小值是關鍵．12．（20-21七年級下·福建漳州·期末）如圖，在中，，，，，平分交于點，點、分別是、邊上的動點，則的最小值為．

【答案】【分析】在上取一點，使，連接，判斷出，得出，進而得出當點C，E，在同一條線上，且時，最小，即最小，其值為，最后用面積法，即可求出答案．【詳解】解：如圖，在上取一點，使，連接，作，

平分，，，∴，，，∴當點C，E，在同一條線上，且時，最小，即最小，其值為，，，即的最小值為，故答案為：．【點睛】此題主要考查了角平分線的定義，全等三角形的判定和性質，點到直線的距離，垂線段最短，三角形的面積公式，作出輔助線構造出全等三角形是解本題的關鍵．13．（2020·四川內江·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，，，若點M、N分別是線段DB、AB上的兩個動點，則的最小值為．

【答案】【分析】如圖，過A作于，延長，使，過作于，交于，則最短，再利用矩形的性質與銳角三角函數求解即可得到答案．【詳解】解：如圖，過A作于，延長，使，過作于，交于，則最短，四邊形為矩形，，，即的最小值為故答案為：【點睛】本題考查的是矩形的性質，銳角三角函數的應用，同時考查利用軸對稱與垂線段最短求線段和的最小值問題，解題的關鍵是掌握以上知識．題型04兩定一動/兩定動型14．（22-23八年級下·江蘇連云港·期中）如圖，在邊長為8的正方形中，點G是邊的中點，E、F分別是和邊上的點，則四邊形周長的最小值為．【答案】24【分析】作點G關于的對稱點，作點B關于的對稱點，連接、、，根據對稱的性質可得，，再由，，可得當時，四邊形的周長有最小值，最小值為，再利用勾股定理求得，最后利用即可求解．【詳解】解：如圖，作點G關于的對稱點，作點B關于的對稱點，連接、、，∵，，∴，∵，

∴當時，四邊形的周長有最小值，最小值為，∵，，∴，，∴，∴，∴四邊形的周長的最小值為24，故答案為：24．【點睛】本題考查了正方形的性質、軸對稱的性質、勾股定理，三角形的三邊關系，熟練掌握軸對稱的性質，構造三角形是解題的關鍵．15．（2022·山東棗莊·二模）如圖，點P是內任意一點，，點M和點N分別是射線和射線上的動點，，則周長的最小值是．【答案】【分析】分別作點P關于的對稱點C、D，連接，分別交于點M、N，連接，當點M、N在上時，的周長最小．【詳解】解：分別作點P關于的對稱點C、D，連接，分別交于點M、N，連接．∵點P關于的對稱點為C，關于的對稱點為D，∴；∵點P關于的對稱點為D，∴，∴，，∴是等邊三角形，∴．∴的周長的最小值．故答案為：．【點睛】本題主要考查最短路徑問題和等邊三角形的判定．作點P關于OA、OB的對稱點C、D是解題的關鍵所在．16．（2023·陜西西安·二模）如圖，在四邊形中，，，，，、分別是邊、上的動點，連接，，，則周長的最小值為．

【答案】【分析】如圖，由，作關于對稱的點，作關于對稱的點，連接，與交點為，與交點為，連接，，由對稱的性質可得，，，，則，可知當四點共線時，的周長最小為，如圖，過作的延長線于，由，可得，則，，，根據，計算求解即可．【詳解】解：如圖，由，作關于對稱的點，作關于對稱的點，連接，與交點為，與交點為，連接，，

由對稱的性質可得，，，，∴，∴當四點共線時，的周長最小為，如圖，過作的延長線于，∵，∴，∴，，∴，由勾股定理得，故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱的性質，正弦、余弦，勾股定理等知識．解題的關鍵在于確定周長最小的情況．17．（20-21九年級上·廣東廣州·階段練習）如圖，在平行四邊形中，對角線相交于點O，點E、F分別是邊上的點，連接，若，，，則周長的最小值是．

【答案】【分析】作點O關于的對稱點M，點O關于的對稱點N，連接，則的周長，故當四點共線時，即此時的周長最小，最小值為的長，證明是等邊三角形，得到；過D作交直線于P，由平行四邊形的性質得到，，由含30度角的直角三角形的性質得到，則，，即可得到點P與點B重合，則，由此即可得到答案．【詳解】解：作點O關于的對稱點M，點O關于的對稱點N，連接，由作圖得：，，∴的周長，∴當四點共線時，即此時的周長最小，最小值為的長，∵，∴，∴是等邊三角形，∴；過D作交直線于P，∵四邊形是平行四邊形，∴，，在中，，∴，∴，，∴，∴點P與點B重合，∴，∴∴的周長最小值為，

故答案為：．【點睛】此題主要考查軸對稱--最短路線問題，平行四邊形的性質，等腰三角形的性質的判定和性質，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關鍵．18．（2020九年級·全國·專題練習）如圖，拋物線與軸交于、，與軸交于點，點為的中點，點、分別為軸正半軸和拋物線對稱軸上的動點，連接、、，求四邊形周長最小時點、的坐標．【答案】當四邊形周長最小時，點的坐標，點的坐標為．【分析】作點關于軸的對稱點，作點關于拋物線對稱軸的對稱點，連接，交對稱軸于點，交軸于點．求出直線的解析為，進一步可得出結論．【詳解】如圖，作點關于軸的對稱點，作點關于拋物線對稱軸的對稱點，連接，交對稱軸于點，交軸于點．由對稱知，，此時四邊形的周長為．此時四邊形的周長最小，最小值為．，，拋物線對稱軸為直線．．為的中點，．．設直線的解析式為．將點、的坐標代入可得解得直線的解析為．令，則，點的坐標為．令，則，點的坐標為．當四邊形周長最小時，點的坐標，點的坐標為．【點睛】此題考查了待定系數法求函數解析式，四邊形與二次函數的結合，線段的和差最值與二次函數的結合，將不共線的線段轉化為共線為解題關鍵．19．（2022·天津·中考真題）已知拋物線（a，b，c是常數，）的頂點為P，與x軸相交于點和點B．(1)若，①求點P的坐標；②直線（m是常數，）與拋物線相交于點M，與相交于點G，當取得最大值時，求點M，G的坐標；(2)若，直線與拋物線相交于點N，E是x軸的正半軸上的動點，F是y軸的負半軸上的動點，當的最小值為5時，求點E，F的坐標．【答案】(1)①；②點M的坐標為，點G的坐標為；(2)點和點；【分析】（1）①將b、c的值代入解析式，再將A點坐標代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出頂點坐標即可；②先令y=0得到B點坐標，再求出直線BP的解析式，設點M的坐標為，則點G的坐標為，再表示出MG的長，配方求出最值得到M、G的坐標；（2）根據，解析式經過A點，可得到解析式：，再表示出P點坐標，N點坐標，接著作點P關于y軸的對稱點，作點N關于x軸的對稱點，再把和的坐標表示出來，由題意可知，當取得最小值，此時，將字母代入可得：，求出a的值，即可得到E、F的坐標；【詳解】（1）①∵拋物線與x軸相交于點，∴．又，得．∴拋物線的解析式為．∵，∴點P的坐標為．②當時，由，解得．∴點B的坐標為．設經過B，P兩點的直線的解析式為，有解得∴直線的解析式為．∵直線（m是常數，）與拋物線相交于點M，與相交于點G，如圖所示：∴點M的坐標為，點G的坐標為．∴．∴當時，有最大值1．此時，點M的坐標為，點G的坐標為．（2）由（1）知，又，∴．∴拋物線的解析式為．∵，∴頂點P的坐標為．∵直線與拋物線相交于點N，∴點N的坐標為．作點P關于y軸的對稱點，作點N關于x軸的對稱點，如圖所示：得點的坐標為，點的坐標為．當滿足條件的點E，F落在直線上時，取得最小值，此時，．延長與直線相交于點H，則．在中，．∴．解得（舍）．∴點的坐標為，點的坐標為．則直線的解析式為．∴點和點．【點睛】本題考查二次函數的幾何綜合運用，熟練掌握待定系數法求函數解析式、配方法求函數頂點坐標、勾股定理解直角三角形等是解決此類問題的關鍵．題型05造橋選址型20．（2020九年級·全國·專題練習）如圖，四邊形是平行四邊形，，，，點、是邊上的動點，且，則四邊形周長的最小值為．

【答案】【分析】根據題意，將點沿向右平移2個單位長度得到點，作點關于的對稱點，連接，交于點，在上截取，連接，，此時四邊形的周長為，則當點、、三點共線時，四邊形的周長最小，進而計算即可得解．【詳解】如下圖，將點沿向右平移2個單位長度得到點，作點關于的對稱點，連接，交于點，在上截取，連接，，∴，，此時四邊形的周長為，當點、、三點共線時，四邊形的周長最小，，，，經過點，，，，，，，四邊形周長的最小值為，故答案為：．

【點睛】本題主要考查了四邊形周長的最小值問題，涉及到含的直角三角形的性質，勾股定理等，熟練掌握相關軸對稱作圖方法以及線段長的求解方法是解決本題的關鍵．21．（2023·陜西咸陽·一模）【問題提出】（1）如圖1，點A、B在直線l的同側，點A到直線l的距離，點B到直線l的距離，A、B兩點的水平距離，點P是直線l上的一個動點，則的最小值是________；【問題探究】（2）如圖2，在矩形中，，，G是的中點，線段在邊上左右滑動，若，求的最小值；【問題解決】（3）如圖3，某公園有一塊形狀為四邊形的空地，管理人員規劃修兩條小路和（小路的寬度忽略不計，兩條小路交于點P），并在和上分別選取點M、N，沿、和修建地下水管，為了節約成本，要使得線段、與之和最小．已測出，，，，，管理人員的想法能否實現，若能，請求出的最小值，若不能，請說明理由．

【答案】（1）10；（2）；（3）能實現，最小值為．【分析】（1）作點A關于直線l的對稱點，連接交直線l于P，則的值最小，且的最小值，根據矩形的性質得到，，根據勾股定理即可得到結論；（2）如圖，作G關于的對稱點，在上截取，連接，，，則，根據平行四邊形的性質得到，根據三角形的三邊關系得到，根據勾股定理即可得到結論；（3）作點P關于、的對稱點E、F，連接，分別交、于點O、H，則，，連接，與、的交點即為點M、N的位置，連接，，此時，，的長就是的最小值，過點E作交的延長線于點G，根據勾股定理即可得到結論．【詳解】.解：（1）如圖，作點A關于直線l的對稱點，連接交直線l于P，則的值最小，且的最小值，過作于E，則，，

∴，∴即的最小值是10；（2）如圖，作G關于的對稱點，在上截取，連接，，，則，

，，四邊形是平行四邊形，，，，，G為的中點，，，由勾股定理得，，即的最小值為：；（3）管理人員的想法能實現，作點P關于、的對稱點E、F，連接，分別交、于點O、H，，，連接，與、的交點即為點M、N的位置，連接，，此時，，的長就是的最小值，過點E作交的延長線于點G，

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.在中，，的最小值為.【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了軸對稱-最短路線問題及矩形的性質，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．22．（2024·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點，與軸交于點，與軸交于兩點（在的左側），連接．(1)求拋物線的表達式；(2)點是射線上方拋物線上的一動點，過點作軸，垂足為，交于點．點是線段上一動點，軸，垂足為，點為線段的中點，連接．當線段長度取得最大值時，求的最小值；(3)將該拋物線沿射線方向平移，使得新拋物線經過（2）中線段長度取得最大值時的點，且與直線相交于另一點．點為新拋物線上的一個動點，當時，直接寫出所有符合條件的點的坐標．【答案】(1)；(2)的最小值為；(3)符合條件的點的坐標為或．【分析】（1）利用正切函數求得，得到，再利用待定系數法即可求解；（2）求得，利用待定系數法求得直線的解析式，設，求得最大，點，再證明四邊形是平行四邊形，得到，推出當共線時，取最小值，即取最小值，據此求解即可；（3）求得，再利用平移的性質得到新拋物線的解析式，再分兩種情況討論，計算即可求解．【詳解】（1）解：令，則，∴，∴，∵，∴，∴，∴，將和代入得，解得，∴拋物線的表達式為；（2）解：令，則，解得或，∴，設直線的解析式為，代入，得，解得，∴直線的解析式為，設（），則，∴，∵，∴當時，最大，此時，∴，，，∴，，連接，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴當共線時，取最小值，即取最小值，∵點為線段的中點，∴，∴，∴的最小值為；（3）解：由（2）得點的橫坐標為，代入，得，∴，∴新拋物線由向左平移2個單位，向下平移2個單位得到，∴，過點作交拋物線于點，∴，同理求得直線的解析式為，∵，∴直線的解析式為，聯立得，解得，，當時，，∴，作關于直線的對稱線得交拋物線于點，∴，設交軸于點，由旋轉的性質得到，過點作軸，作軸于點，作于點，當時，，解得，∴∵，，∴，∴，∵軸，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，同理直線的解析式為，聯立，解得或，當時，，∴，綜上，符合條件的點的坐標為或．【點睛】本題是二次函數綜合問題，考查二次函數的圖象及性質，待定系數法確定函數關系式，熟練掌握二次函數的圖象及性質，軸對稱的性質，直角三角形的性質，數形結合是解題的關鍵．23．（2021·廣西·中考真題）如圖，已知點，，兩點，在拋物線上，向左或向右平移拋物線后，，的對應點分別為，，當四邊形的周長最小時，拋物線的解析式為．【答案】．【分析】先通過平移和軸對稱得到當B、E、三點共線時，的值最小，再通過設直線的解析式并將三點坐標代入，當時，求出a的值，最后將四邊形周長與時的周長進行比較，確定a的最終取值，即可得到平移后的拋物線的解析式．【詳解】解：∵，，，，∴，，由平移的性質可知：,∴四邊形的周長為；要使其周長最小，則應使的值最小；設拋物線平移了a個單位，當a>0時，拋物線向右平移，當a<0時，拋物線向左平移；∴，，將向左平移2個單位得到，則由平移的性質可知：，將關于x軸的對稱點記為點E，則，由軸對稱性質可知，,∴，當B、E、三點共線時，的值最小，設直線的解析式為：，∴，當時，∴∴，將E點坐標代入解析式可得：，解得：，此時，此時四邊形的周長為；當時，，，，，此時四邊形的周長為：；∵，∴當時，其周長最小，所以拋物線向右平移了個單位，所以其解析式為：；故答案為：．【點睛】本題綜合考查了平移、軸對稱、一次函數的應用、勾股定理、拋物線的解析式等內容，解決本題的關鍵是理解并確定什么情況下該四邊形的周長最短，本題所需綜合性思維較強，對學生的綜合分析和計算能力要求都較高，本題蘊含了數形結合與分類討論的思想方法等．題型06與將軍飲馬有關的角度探究問題24．（2022·河北石家莊·模擬預測）如圖，在五邊形ABCDE中，（為鈍角），，在BC，DE上分別找一點M，N，當周長最小時，的度數為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別延長AB、AE到點、，使，，連接，分別交BC和DE于點M，N，連接AM，AN，此時周長最小，可求得，，由三角形的內角和求得即可解答.【詳解】解：∵，∴如圖，分別延長AB、AE到點、，使，，連接，分別交BC和DE于點M，N，連接AM，AN，此時周長最小，∵BM垂直平分，EN垂直平分，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴，故選C．【點睛】本題考查平面內最短路徑問題，涉及兩點之間線段最短、線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質、三角形的內角和定理，熟練掌握平面內最短路徑的求解方法是解答的關鍵.25．（2023·山東淄博·一模）如圖，在四邊形中，，，，分別是邊，上的動點，當的周長最小時，°．【答案】100【分析】作點A關于的對稱點E、F，連接分別交于點H、G，連接、，則當點M與點H重合，點N與點G重合時，的周長最小，則易得的大小．【詳解】解：如圖，作點A關于的對稱點E、F，連接分別交于點H、G，連接、，由對稱性知：，，，∴當點M與點H重合，點N與點G重合時，的周長最小；∵，∴，∴∵，∴，∵，∴，即，故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱的性質，三角形內角和定理，等腰三角形的性質，兩點間線段最短等知識，對稱的應用是解題的關鍵．26．（2021鼓樓區二模）如圖，在四邊形中，，，在、上分別取一點、，使的周長最小，則°．【答案】100【分析】作點A關于BC的對稱點A′，關于CD的對稱點A″，根據軸對稱確定最短路線問題，連接A′A″與BC、CD的交點即為所求的點M、N，利用三角形的內角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根據軸對稱的性質和三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），然后計算即可得解．【詳解】解：如圖，作點A關于BC的對稱點A′，關于CD的對稱點A″，連接A′A″與BC、CD的交點即為所求的點M、N，此時，AM+AN+MN=A′M+A″N+MN=A′A″，即周長最小值即為A′A″，∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，∴∠A′+∠A″=180°-∠130°=50°，由軸對稱的性質得：∠A′=∠A′AM，∠A″=∠A″AN，∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°．故答案為：100．【點睛】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，軸對稱的性質，三角形的內角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，確定出點M、N的位置是解題的關鍵，要注意整體思想的利用．27．（21-22八年級上·貴州黔南·期中）如圖，∠AOB＝，點P是∠AOB內的一定點，點M，N分別在OA，OB上移動，當△PMN的周長最小時，∠MPN的度數為．【答案】【分析】要求的度數，要在中進行，根據軸對稱的性質和等腰三角形的性質可證，，然后證明，利用四邊形內角和可得答案．【詳解】解：作P關于OB、OA的對稱點C、D，連接CD交OB、OA于N、M．此時周長有最小值；∵P關于OB、OA的對稱點C、D，∴OB垂直平分PC，OA垂直平分PD，∴∴∵，∴∵∴∴∴在四邊形中，可得：，∴，∴故答案為【點睛】此題考查了軸對稱的性質發現等腰三角形，涉及了三角形和四邊形的內角和性質，解題的關鍵是根據軸對稱的性質構造出等腰三角形．題型07與將軍飲馬有關的作圖問題28．（21-22八年級上·河南新鄉·期末）如圖，在方格中，水平方向的數軸我們叫軸，豎直方向的數軸我們叫軸，的三個頂點我們可以分別表示為，，．并稱之為它們的坐標(1)畫出與關于軸對稱的（點，，的對應點分別為點，，，），并仿照上面表示方法寫出點，，三點的坐標；(2)點在軸上，使得，尺規作出點；（不寫作法，保留作圖痕跡）(3)點在軸上，使得的周長最小，作出點．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】(1)詳見解析，，，(2)詳見解析(3)詳見解析【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化—軸對稱，軸對稱最短路徑問題，線段垂直平分線的性質和尺規作圖：（1）根據關于y軸對稱的點橫坐標互為相反數，縱坐標相同得到A、B、C對應點，，的坐標，再在坐標系中描出，，，最后順次連接，，即可；（2）作線段的垂直平分線，其與x軸交于點D，點D即為所求；（3）連接交y軸于P，點P即為所求．【詳解】（1）如圖，即為所求；∴，，；（2）解：如圖所示，作線段的垂直平分線，其與x軸交于點D，點D即為所求；（3）解：如圖，連接交y軸于P，點P即為所求．29．（2022·吉林長春·一模）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱