自動控制系統仿真Thesimulationofautomaticcontrolsystem第五章控制系統CAD第五章控制系統CAD控制系統根軌跡分析控制系統穩定性分析控制系統時域分析控制系統頻域分析控制系統設計方法現代控制理論CAD第13次控制系統穩定性分析對于連續時間系統，如果閉環極點全部在S平面左半平面，則系統是穩定的。對于離散時間系統，如果系統全部極點都位于Z平面的單位圓內，則系統是穩定的。若連續時間系統的全部零極點都位于S左半平面；或若離散時間系統的全部零極點都位于Z平面單位圓內，則系統是最小相位系統。一、系統穩定及最小相位系統判據控制系統穩定性分析2、直接判別MATLAB提供了直接求取系統所有零極點的函數，因此可以直接根據零極點的分布情況對系統的穩定性及是否為最小相位系統進行判斷。二、系統穩定及最小相位系統的判別方法1、間接判別（工程方法）勞斯判據：勞斯表中第一列各值嚴格為正，則系統穩定，如果勞斯表第一列中出現小于零的數值，系統不穩定。赫爾維茨判據：當且僅當由系統分母多項式構成的赫爾維茨矩陣為正定矩陣時，系統穩定。控制系統穩定性分析例exp5_1.m已知某系統的模型如右所示：要求判斷系統的穩定性及系統是否為最小相位系統。%n1>0,實部大于零的零點個數大于0，則為非最小相位系統%n2>0,實部大于零的極點個數大于0，則系統不穩定，求出不穩定極點ii=find(條件式)用來求取滿足條件的向量的下標向量，以列向量表示。例如exp5_1.m中的條件式為jj=find(real(p)>0)，其含義就是找出極點向量p中滿足實部的值大于0的所有元素下標，并將結果返回到jj向量中去。這樣如果找到了實部大于0的極點，則會將該極點的序號返回到jj下。如果最終的結果里jj的元素個數大于0，則認為找到了不穩定極點，因而給出系統不穩定的提示，若產生的jj向量的元素個數為0，則認為沒有找到不穩定的極點，因而得出系統穩定的結論。控制系統穩定性分析

例exp5_2.m系統模型如下所示，判斷系統的穩定性，以及系統是否為最小相位系統。第五章控制系統CAD控制系統根軌跡分析控制系統穩定性分析控制系統時域分析控制系統頻域分析控制系統設計方法現代控制理論CAD控制系統時域分析一個動態系統的性能常用典型輸入作用下的響應來描述。響應是指零初始值條件下某種典型的輸入函數作用下對象的響應，控制系統常用的輸入函數為單位階躍函數和脈沖激勵函數（即沖激函數）。在MATLAB的控制系統工具箱中提供了求取這兩種輸入下系統響應的函數。一、時域分析的一般方法求取系統單位階躍響應：step()求取系統的沖激響應：impulse()控制系統時域分析求取系統單位階躍響應：step()求取系統的沖激響應：impulse()控制系統時域分析1、step()函數的用法控制系統時域分析2、impulse()函數的用法控制系統時域分析控制系統時域分析控制系統時域分析3、仿真時間t的選擇：對于典型二階系統根據其響應時間的估算公式可以確定。對于高階系統往往其響應時間很難估計，一般采用試探的方法，把t選大一些，看看響應曲線的結果，最后再確定其合適的仿真時間。一般來說，先不指定仿真時間，由MATLAB自己確定，然后根據結果，最后確定合適的仿真時間。在指定仿真時間時，步長的不同會影響到輸出曲線的光滑程度，一般不易取太大。控制系統時域分析例exp5_6_.m控制系統時域分析二、常用時域分析函數

時間響應探究系統對輸入和擾動在時域內的瞬態行為，系統特征如：上升時間、調節時間、超調量和穩態誤差都能從時間響應上反映出來。MATLAB除了提供前面介紹的對系統階躍響應、沖激響應等進行仿真的函數外，還提供了大量對控制系統進行時域分析的函數，如：covar()：連續系統對白噪聲的方差響應initial()：連續系統的零輸入響應lsim()：連續系統對任意輸入的響應

gensig()

：產生信號對于離散系統只需在連續系統對應函數前加d就可以，如dstep，dimpulse等。它們的調用格式與step、impulse類似，可以通過help命令來察看自學。控制系統時域分析例：繪制下列系統的零輸入響應，初始狀態x0=[1;0]。控制系統時域分析例：繪制下列系統的方波響應，其中方波的周期為4秒，持續時間為10秒，采樣周期為0.01秒。控制系統時域分析三、時域分析應用實例MATLAB的step()和impulse()函數本身可以處理多輸入多輸出的情況，因此編寫MATLAB程序并不因為系統輸入輸出的增加而變得復雜。控制系統時域分析控制系統時域分析pos=40,tp=0.8例exp5_8.m控制系統時域分析alph=0.5,wn=5pos=16.1301tp=0.3313tr=1.6123ts2=0.7288%退出循環%退出循環%退出循環第五章控制系統CAD控制系統根軌跡分析控制系統穩定性分析控制系統時域分析控制系統頻域分析控制系統設計方法現代控制理論CAD控制系統頻域分析頻率響應是指系統對正弦輸入信號的穩態響應，從頻率響應中可以得出帶寬、增益、轉折頻率、閉環穩定性等系統特征。頻率特性是指系統在正弦信號作用下，穩態輸出與輸入之比對頻率的關系特性。頻率特性函數與傳遞函數有直接的關系，記為：一、頻域分析的一般方法求取系統對數頻率特性圖（波特圖）：bode()求取系統奈奎斯特圖（幅相曲線圖或極坐標圖）：nyquist()頻域分析法是應用頻率特性研究控制系統的一種典型方法。采用這種方法可直觀地表達出系統的頻率特性，分析方法比較簡單，物理概念比較明確，對于諸如防止結構諧振、抑制噪聲、改善系統穩定性和暫態性能等問題，都可以從系統的頻率特性上明確地看出其物理實質和解決途經。通常將頻率特性用曲線的形式進行表示，包括對數頻率特性曲線和幅相頻率特性曲線簡稱幅相曲線，MATLAB提供了繪制這兩種曲線的函數。控制系統頻域分析1、對數頻率特性圖（波特圖）bode()2、奈奎斯特圖（幅相頻率特性圖）nyquist()Figure(1)Figure(2)控制系統頻域分析二、常用頻域分析函數MATLAB除了提供前面介紹的基本頻域分析函數外，還提供了大量在工程實際中廣泛應用的庫函數，由這些函數可以求得系統的各種頻率響應曲線和特征值。如：margin：求幅值裕度和相角裕度及對應的轉折頻率freqs：模擬濾波器特性nichols：求連續系統的尼科爾斯頻率響應曲線（即對數幅相曲線）ngrid：尼科爾斯方格圖控制系統頻域分析margin()函數margin函數可以從頻率響應數據中計算出幅值裕度、相角裕度以及對應的頻率。幅值裕度和相角裕度是針對開環SISO系統而言，它指示出系統閉環時的相對穩定性。當不帶輸出變量引用時，margin可在當前圖形窗口中繪制出帶有裕量及相應頻率顯示的Bode圖，其中幅值裕度以分貝為單位。幅值裕度是在相角為-180度處使開環增益為1的增益量，如在-180度相頻處的開環增益為g，則幅值裕度為1/g；若用分貝值表示幅值裕度，則等于：-20*log10(g)。類似地，相角裕度是當開環增益為1.0時，相應的相角與180度角的和。margin(mag,phase,w)：由bode指令得到的幅值mag（不是以dB為單位）、相角phase及角頻率w矢量繪制出帶有裕量及相應頻率顯示的bode圖。margin(num,den)：可計算出連續系統傳遞函數表示的幅值裕度和相角裕度并繪制相應波特圖。margin(a,b,c,d):可以計算出連續狀態空間系統表示的幅值裕度和相角裕度并繪制相應波特圖。[gm,pm,wcg,wcp]=margin(mag,phase,w)：由幅值mag（不是以dB為單位）、相角phase及角頻率w矢量計算出系統幅值裕度和相角裕度及相應的相角交界頻率wcg、截止頻率wcp，而不直接繪出Bode圖曲線。控制系統頻域分析freqs()函數freqs用于計算由矢量a和b構成的模擬濾波器H(s)=B(s)/A(s)的幅頻響應。h=freqs(b,a,w)用于計算模擬濾波器的幅頻響應，其中實矢量w用于指定頻率值，返回值h為一個復數行向量，要得到幅值必須對它取絕對值，即求模。[h,w]=freqs(b,a)自動設定200個頻率點來計算頻率響應，這200個頻率值記錄在w中。[h,w]=freqs(b,a,n)設定n個頻率點計算頻率響應。不帶輸出變量的freqs函數，將在當前圖形窗口中繪制出幅頻和相頻曲線，其中幅相曲線對縱坐標與橫坐標均為對數分度。控制系統頻域分析三、頻域分析應用實例Nyquist曲線是根據開環頻率特性在復平面上繪出的幅相軌跡，根據開環的Nyquist曲線，可以判斷閉環系統的穩定性。系統穩定的充要條件為：Nyquist曲線按逆時針包圍臨界點(-1,j0)的圈數R，等于開環傳遞函數位于s右半平面的極點數P，否則閉環系統不穩定，閉環正實部特征根個數Z=P-R。若剛好過臨界點，則系統臨界穩定。例exp5_15.m線性時不變系統如下所示：要求繪制系統的波特圖和奈奎斯特圖，判斷系統穩定性，如果系統穩定，求出系統穩定裕度，并繪制系統的單位沖激響應以驗證判斷結論。控制系統頻域分析Pade函數可以近似表示延時環節e^(-st)，它的調用格式為：(num,den)=pade(t,n)，產生最佳逼近時延t秒的n階傳遞函數形式。(a,b,c,d)=pade(t,n)，則產生的是n階SISO的狀態空間模型。10G(s)R(s)C(s)__例exp5_17.m系統結構圖如下所示，試用nyquist頻率曲線判斷系統的穩定性。第五章控制系統CAD控制系統根軌跡分析控制系統穩定性分析控制系統時域分析控制系統頻域分析控制系統設計方法現代控制理論CAD控制系統根軌跡分析所謂根軌跡是指，當開環系統某一參數從零變到無窮大時，閉環系統特征方程的根在s平面上的軌跡。一般來說，這一參數選作開環系統的增益K，而在無零極點對消時，閉環系統特征方程的根就是閉環傳遞函數的極點。根軌跡分析方法是分析和設計線性定常控制系統的圖解方法，使用十分簡便。利用它可以對系統進行各種性能分析。一、根軌跡分析方法的概念控制系統根軌跡分析（1）穩定性當開環增益K從零到無窮大變化時，圖中的根軌跡不會越過虛軸進入右半s平面，因此這個系統對所有的K值都是穩定的。如果根軌跡越過虛軸進入右半s平面，則其交點的K值就是臨界穩定開環增益。（2）穩態性能開環系統在坐標原點有一個極點，因此根軌跡上的K值就是靜態速度誤差系數，如果給定系統的穩態誤差要求，則可由根軌跡確定閉環極點容許的范圍。（3）動態性能當0<K<0.5時，所有閉環極點位于實軸上，系統為過阻尼系統，單位階躍響應為非周期過程；當K=0.5時，閉環兩個極點重合，系統為臨界阻尼系統，單位階躍響應仍為非周期過程，但速度更快；當K>0.5時，閉環極點為復數極點，系統為欠阻尼系統，單位階躍響應為阻尼振蕩過程，且超調量與K成正比。控制系統根軌跡分析二、根軌跡分析函數 通常來說，繪制系統的根軌跡是很繁瑣的事情，因此在教科書中介紹的是一種按照一定規則進行繪制的概略根軌跡。在MATLAB中，專門提供了繪制根軌跡的有關函數。pzmap：繪制線性系統的零極點圖rlocus：求系統根軌跡。rlocfind：計算給定一組根的根軌跡增益。sgrid：在連續系統根軌跡圖和零極點圖中繪制出阻尼系數和自然頻率柵格。控制系統根軌跡分析1、零極點圖繪制MATLAB提供了函數pzmap()來繪制系統的零極點圖，其用法如下：[p,z]=pzmap(a,b,c,d)：返回狀態空間描述系統的極點矢量和零點矢量，而不在屏幕上繪制出零極點圖。[p,z]=pzmap(num,den)：返回傳遞函數描述系統的極點矢量和零點矢量，而不在屏幕上繪制出零極點圖。pzmap(a,b,c,d)或pzmap(num,den)：不帶輸出參數項，則直接在s復平面上繪制出系統對應的零極點位置，極點用×表示，零點用o表示。pzmap(p,z)：根據系統已知的零極點列向量或行向量直接在s復平面上繪制出對應的零極點位置，極點用×表示，零點用o表示。控制系統根軌跡分析2、根軌跡圖繪制MATLAB提供了函數rlocus()來繪制系統的根軌跡圖，其用法如下：rlocus(a,b,c,d)或者rlocus(num,den)：根據SISO開環系統的狀態空間描述模型和傳遞函數模型，直接在屏幕上繪制出系統的根軌跡圖。開環增益的值從零到無窮大變化。rlocus(a,b,c,d,k)或rlocus(num,den,k)：通過指定開環增益k的變化范圍來繪制系統的根軌跡圖。r=rlocus(num,den,k)或者[r,k]=rlocus(num,den)：不在屏幕上直接繪出系統的根軌跡圖，而根據開環增益變化矢量k，返回閉環系統特征方程1＋k*num(s)/den(s)=0的根r，它有length(k)行，length(den)-1列，每行對應某個k值時的所有閉環極點。或者同時返回k與r。若給出傳遞函數描述系統的分子項num為負，則利用rlocus函數繪制的是系統的零度根軌跡。（正反饋系統或非最小相位系統）控制系統根軌跡分析3、rlocfind()函數MATLAB提供了函數rlocfind()來找出給定的一組根（閉環極點）對應的根軌跡增益。其用法如下：[k,p]=rlocfind(a,b,c,d)或者[k,p]=rlocfind(num,den)它要求在屏幕上先已經繪制好有關的根軌跡圖。然后，此命令將產生一個光標以用來選擇希望的閉環極點。命令執行結果：k為對應選擇點處根軌跡開環增益；p為此點處的系統閉環特征根。

不帶輸出參數項[k,p]時，同樣可以執行，只是此時只將k的值返回到缺省變量ans中。4、sgrid()函數sgrid：在現存的屏幕根軌跡或零極點圖上繪制出自然振蕩頻率wn、阻尼比矢量z對應的格線。sgrid(‘new’)：是先清屏，再畫格線。sgrid(z,wn)：則繪制由用戶指定的阻尼比矢量z、自然振蕩頻率wn的格線。控制系統根軌跡分析三、根軌跡分析應用實例控制系統根軌跡分析例exp5_22.m某開環系統傳遞函數如下所示：要求繪制系統的閉環根軌跡，分析其穩定性，并繪制出當k=55和k=56時系統的閉環沖激響應。k=55.6381控制系統根軌跡分析控制系統根軌跡分析系統開環傳遞函數為G(s)=k/s(s+1)(s+2)試尋找一個合適的k值使得閉環系統具有較理想的階躍響應。例exp5_23.m控制系統根軌跡分析例exp5_24.m某控制系統的開環傳遞函數，G(s)=k(s+1)/s^2(s+2)(s+4)要求分別繪制正反饋系統和負反饋系統的根軌跡指出它們的穩定性情況有什么不同控制系統根軌跡分析控制系統的分析是進行控制系統設計的基礎，同時也是工程實際當中解決問題的主要方法，因而對控制系統的分析在控制系統仿真中具有舉足輕重的作用。通過求取系統的零極點增益模型直接獲得系統的零極點，從而可以直接對控制系統的穩定性及是否為最小相位系統作出判斷。控制系統的經典分析方法（時域、頻域分析）是目前控制系統界進行科學研究的主要方法，是進行控制系統設計的基礎，要求熟練掌握單位階躍響應、波特圖等常用命令的使用。根軌跡分析是求解閉環特征方程根的簡單的圖解方法，要求熟練掌握根軌跡的繪制。本章小結第五章控制系統CAD控制系統根軌跡分析控制系統穩定性分析控制系統時域分析控制系統頻域分析控制系統設計方法現代控制理論CAD第14次控制系統設計方法（一）超前校正：超前校正是用超前相角對系統實現校正的，可改善系統的動態性能，即加寬系統頻帶，提高系統的響應速度。超前校正會使系統的相角裕量增加，從而提高系統的相對穩定性，致使閉環系統的頻帶擴寬。系統頻帶的加寬也會帶來一定的噪聲信號，這是系統所不希望的。

在頻域法中，采用伯德圖進行設計是最常見的。其基本思想是：改變原有系統開環頻率特性的形狀，使其具有希望的低頻增益、希望的增益穿越頻率和充分的穩定裕量。為方便起見，常常選用如下形式的傳遞函數的校正裝置：超前校正超前校正超前校正——頻率響應法1.根據穩態誤差要求確定開環增益K2.繪制待校正系統對數頻率特性，計算相角裕度3.根據截止頻率要求，計算超前網絡參數和

選，由確定

或由期望相角裕度得出確定

再由確定得4.繪制校正后對數頻率特性5.驗算已校正系統的相角裕度，若不滿足要求，重選控制系統設計方法解：（1）根據給定的系統穩態指標，確定系統的開環增益kc，使速度誤差常數為10例4-4已知被控對象的傳函為速度誤差常數為10，相角裕量為45°

系統的設計指標要求如下：控制系統設計方法

(2)繪制未校正系統的伯德圖，并計算其相角裕量>>num=2000;>>den=[1302000];>>margin(num,den)控制系統設計方法（3)根據給定的相角裕量要求，計算所需的相角超前量（4）計算系數（5）計算校正后系統的剪切頻率，即未校正系統增益為處的頻率，由圖可知由圖可知控制系統設計方法（6）確定超前校正裝置（7）畫出校正后的系統伯德圖，校正裝置的傳遞函數為控制系統設計方法num=2000*[0.151];den=conv([0.081],[1302000]);margin(num,den)控制系統設計方法控制系統設計方法（二）滯后校正：

由于滯后校正裝置給系統加入了滯后的相角，因而將會使得系統的動態穩定性變差。滯后校正可降低系統穩態誤差，并使得閉環系統的帶寬降低，從而使系統的動態響應速度變慢，這有利于減小外部噪聲信號對系統的影響。校正裝置中零點出現在極點之后，可降低系統的穩態誤差，改善系統的穩態性能，但同時會使系統的動態穩定性變差，因滯后相位使系統的頻帶有所減小，降低了系統的動態響應速度，然而卻增加了系統的抗干擾的能力。滯后校正β>1滯后校正校正后校正前-90°0°90°-180°滯后校正——頻率響應法根據穩態誤差要求確定開環增益K繪制待校正系統對數頻率特性，確定剪切頻率和幅值裕度，相角裕度根據相角裕度要求，選擇由控制系統設計方法例4-5已知單位負反饋系統固有的傳遞函數為若要求系統滿足如下性能指標：開環放大倍數相角裕量，幅值裕量解：原有系統的伯德圖如圖，試設計校正裝置。系統不穩定。滯后校正裝置傳遞函數查表r=50°時w=0.4877，mag=8.9526num=5;den=conv([110],[0.51]);[mag,phase,w]=bode(num,den);r=180+phase;margin(num,den)控制系統設計方法校正后的系統伯德圖控制系統設計方法控制系統設計方法滯后超前單純采用超前校正或滯后校正均只能改善系統暫態或穩態一個方面的性能。若未校正系統不穩定，并且對校正后系統的穩態和暫態都有較高要求時，宜于采用串聯滯后-超前校正裝置。利用校正網絡中的超前部分改善系統的暫態性能，而校正網絡的滯后部分則可提高系統的穩態精度。用頻率特性法設計串聯校正裝置除可按本節前述分析方法和步驟之外，還可以按期望特性法去設計。滯后超前[-20][+20]滯后-超前校正例4-6要求開環放大倍數Kv=10，相角裕量≥40°，幅值裕量≥10dB解：num=10;den=conv([110],[0.51]);

margin(num,den)求得相角裕量為-28°，幅值裕量為-10.5dB，Wg=1.41rad/s，系統不穩定。取期望剪切頻率wc=1.4rad/s此時相角=-180°滯后-超前校正r=40°，滯后校正裝置傳函：超前校正裝置傳函：控制系統設計方法例5-6（三）滯后-超前校正：控制系統設計方法例5-7（四）反饋校正：基于雙閉環PID控制的一階倒立擺控制系統設計如圖所示的“一階倒立擺控制系統”中，通過檢測小車位置與擺桿的擺動角，來適當控制驅動電動機拖動力的大小，控制器由一臺工業控制計算機（IPC）完成。一階倒立擺控制系統控制系統設計方法1系統模型2模型驗證3雙閉環PID控制器設計4仿真實驗5結論基于雙閉環PID控制的一階倒立擺控制系統設計

一階倒立擺系統模型問題的提出：獨輪自行車，機器人行走過程中的平衡控制，火箭發射中的垂直度控制，衛星飛行中的姿態控制，海上鉆井平臺的穩定控制，飛機的安全著陸控制。單一剛性鉸鏈，兩自由度動力學問題一階倒立擺系統模型1）擺桿繞其重心的轉動方程2）擺桿重心的水平運動方程3）擺桿重心的垂直運動方程4）小車的水平運動方程一階倒立擺系統模型在平衡點附近線性化：對上述微分方程模型通過上一節的變換可以得到一階直線倒立擺系統的微分方程，傳遞函數和狀態方程三種形式。由得：基于雙閉環PID控制的一階倒立擺控制系統設計（一）對象模型一階倒立擺的精確模型為：代入具體參數后，得到模型為：1系統模型基于雙閉環PID控制的一階倒立擺控制系統設計1系統模型若只考慮在其工作點附近的細微變化，這時可以將模型線性化，得到近似模型為其等效動態結構圖如下圖所示：基于雙閉環PID控制的一階倒立擺控制系統設計1系統模型（二）電動機、驅動器及機械傳動裝置的模型若忽略電動機的空載轉矩和系統摩擦，就可認為驅動器和機械傳動裝置均為純比例環節，并假設這兩個環節的增益為和.對于交流伺服電動機，其傳遞函數可近似為由于選擇小慣性電動機，其時間常數相對都很小，這樣就可以將電動機模型近似等效為比例環節。綜上所述，電動機、驅動器及機械傳動裝置三個環節就可以合成一個比例環節，。基于雙閉環PID控制的一階倒立擺控制系統設計2模型驗證（一）SIMULINK子系統子系統通過將大的復雜的模型分割成幾個小的模型系統，使得整個系統模型更加簡捷，可讀性更高。把已存在的Simulink模型中的某個部分或全部“封裝”成子系統的操作程序如下：1、首先使用范圍框將要“封裝”成子系統的部分選中，包括模塊和信號線。為了使范圍框圈住所需要的模塊，常常需要事先重新安排各模塊的位置（注意：這里只能用范圍框，而不能用Shift逐個選定）。2、在模塊窗口菜單選項中選擇[Edit>>CreateSubsystem],

Simulink將會用一個子系統模塊代替選中的模塊組。基于雙閉環PID控制的一階倒立擺控制系統設計2模型驗證（一）SIMULINK子系統3、所得子系統模塊將有默認的輸入和輸出端口。輸入端口和輸出端口的默認名稱分別為In1和Out1。調整子系統和模型窗口的大小使之更加美觀。若想查看子系統的內容或對子系統進行再編輯，可以雙擊子系統模塊，則會出現一個顯示子系統內容的新窗口。在窗口內除了原始模塊外，Simulink自動添加輸入模塊和輸出模塊，分別代表子系統的輸入端口和輸出端口。改變其標簽會使子系統的輸入輸出端口的標簽也隨之變化。基于雙閉環PID控制的一階倒立擺控制系統設計（二）仿真驗證

1模型封裝我們采用仿真實驗的方法在Matlab的Simulink圖形仿真環境下進行模型驗證實驗。其原理如下圖所示。其中，上半部分為精確模型仿真圖，下半部分為簡化模型仿真圖。2模型驗證基于雙閉環PID控制的一階倒立擺控制系統設計（二）仿真驗證

1模型封裝利用前面介紹的Simulink壓縮子系統功能可將原理圖更加簡捷的表示為如下形式:2模型驗證基于雙閉環PID控制的一階倒立擺控制系統設計（二）仿真驗證

2實驗設計假定使倒立擺在（）初始狀態下突加微小沖擊力作用，則依據經驗知：小車將向前移動，擺桿將倒下。下面利用仿真實驗來驗證正確數學模型的這一“必要性質”。

3繪制繪圖子程序

具體程序請參見課本。

4仿真實驗2模型驗證基于雙閉環PID控制的一階倒立擺控制系統設計4仿真實驗從下圖中可見：在0.1N的沖擊力作用下，擺桿倒下（由零逐步增大），小車位置逐漸增加；這一結果符合前述的實驗設計，故可以在一定程度上確認該“一階倒立擺系統”的數學模型是有效的。（二）仿真驗證

2模型驗證基于雙閉環PID控制的一階倒立擺控制系統設計從一階倒立擺系統動態結構圖中不難看出，該系統為“自不穩定的非最小相位系統”。由于“一階倒立擺系統位置伺服控制”的核心是“在保證擺桿不倒的條件下，使小車位置可控,因此依據“負反饋閉環控制原理”，將系統小車位置作為“外環”，而將擺桿擺角作為“內環”，則擺角作為外環內的一個擾動，能夠得到閉環系統的有效抑制。綜上，設計“一階倒立擺位置伺服控制系統”如下圖所示,剩下的問題就是如何確定控制器的結構與參數。3雙閉環PID控制器設計基于雙閉環PID控制的一階倒立擺控制系統設計（一）內環控制器的設計

1、控制器結構的選擇下圖為采用反饋校正控制的系統內環框圖,反饋控制器選用PD形式。

3雙閉環PID控制器設計基于雙閉環PID控制的一階倒立擺控制系統設計（一）內環控制器的設計

2、控制器參數的整定首先暫定比例環節的增益,又已知。這樣我們可以求出內環的傳遞函數為：

3雙閉環PID控制器設計基于雙閉環PID控制的一階倒立擺控制系統設計（一）內環控制器的設計

2、控制器參數的整定對于這一典型的二階系統我們采取典型參數整定辦法，即以保證內環系統具有“快速跟隨性能特性”為條件來確定反饋控制器的參數，這樣就有：系統內環的閉環傳遞函數為：3雙閉環PID控制器設計基于雙閉環PID控制的一階倒立擺控制系統設計（一）內環控制器的設計

2、系統內環的動態跟隨性能指標

(1)理論分析

(2)仿真實驗仿真曲線如下圖所示,從曲線中可以很清楚地得知，其響應時間和超調量與理論分析值相符合。

3雙閉環PID控制器設計基于雙閉環PID控制的一階倒立擺控制系統設計（二）外環控制器的設計

1、系統外環模型的降階

(1)對內環等效閉環傳遞函數的近似處理

(2)對象模型的近似處理

近似條件為3雙閉環PID控制器設計基于雙閉環PID控制的一階倒立擺控制系統設計（二）外環控制器的設計

2控制器設計下圖為系統外環前向通道上傳遞函數的等效過程,我們可以將外環系統設計成典型Ⅱ型的結構形式.3雙閉環PID控制器設計基于雙閉環PID控制的一階倒立擺控制系統設計（二）外環控制器的設計

2控制器設計系統的閉環結構圖如下所示,調節器仍選擇PD形式,并采用單位反饋來構成外環反饋通道.3雙閉環PID控制器設計（二）外環控制器的設計

2控制器設計根據典型Ⅱ型系統設計方法,確定外環調節器的兩個參數為,這樣可得到完整的系統仿真結構如下圖所示:基于雙閉環PID控制的一階倒立擺控制系統設計3雙閉環PID控制器設計4仿真實驗1畫圖子程序綜合上述內容，可得到下圖所示的Simulink仿真系統結構圖。需要強調的是：其中的對象模型為精確模型的封裝子系統形式。畫圖子程序參見課本。基于雙閉環PID控制的一階倒立擺控制系統設計2仿真結果仿真實驗結果如下圖所示,從中可見,雙閉環PID控制方案是有效的.基于雙閉環PID控制的一階倒立擺控制系統設計4仿真實驗2仿真結果我們還可以改變倒立擺系統的部分參數來檢驗系統是否具有一定的魯棒性。例如，我們將倒立擺的擺桿質量改為1.1kg，此時的仿真結果如下圖所示。從仿真結果可見：控制系統仍能有效的控制其保持倒擺直立并使小車移動到指定位置。基于雙閉環PID控制的一階倒立擺控制系統設計4仿真實驗2仿真結果

為了進一步驗證控制系統的魯棒性能，并便于進行比較，我們不妨改變倒立擺的擺桿質量和長度多作幾組試驗,部分實驗結果如下所示。可見，所設計的雙閉環PID控制器在系統參數的一定變化范圍內能有效的工作，保持擺桿直立并使小車有效定位，控制系統具有一定的魯棒性。基于雙閉環PID控制的一階倒立擺控制系統設計4仿真實驗擺桿長度不變而擺桿質量變化時系統仿真結果

基于雙閉環PID控制的一階倒立擺控制系統設計4仿真實驗擺桿質量不變而擺桿長度變化時系統的仿真結果基于雙閉環PID控制的一階倒立擺控制系統設計4仿真實驗5結論本節從理論上證明了所設計的“一階直線倒立擺”雙閉環PID控制方案是可行的。本節的結果在實際應用時（實物仿真）還有如下問題：

(1)微分控制規律易受“噪聲”干擾，具體實現時應充分考慮信號的數據處理問題。

(2)如采用“模擬式旋轉電位器”進行擺角檢測，在實際應用中檢測精度不佳。

(3)實際應用中還需考慮初始狀態下的“起擺過程控制問題”。“一階直線倒立擺的控制問題”是一個非常典型而具有明確物理意義的“運動控制系統問題”，對其深入的分析與應用研究，有助于提高我們的分析問題與解決問題的能力。基于雙閉環PID控制的一階倒立擺控制系統設計第五章控制系統CAD控制系統根軌跡分析控制系統穩定性分析控制系統時域分析控制系統頻域分析控制系統設計方法現代控制理論CAD第15次控制工具箱——模型轉換5.ss2tf：系統狀態空間形式變傳遞函數形式6.ss2zp:狀態空間變零極點增益形式7.tf2ss:傳函形式變狀態空間形式8.tf2zp：傳函形式變零極點增益形式9.zp2ss:零極點增益形式為狀態空間形式10.zp2tf:零極點增益形式變傳函形式iu為指定變換所用的輸入量控制工具箱——系統特性1.ctrb,obsv：可控性和可觀性矩陣可求出狀態空間系統的可控性和可觀性矩陣可控性矩陣：可觀性矩陣：控制工具箱——模型實現2.ctrbf,obsvf:可控性和可觀性階梯形式3.ss2ss：相似變換ctrbf可將系統分解為可控/不可控兩部分,obsvf可將系統分為可觀/不可觀兩部分tol可指定誤差容限完成相似變換控制工具箱——方程求解1.care:代數Riccati（李卡提）方程求解2.Lyapunov（李亞普諾夫）方程求解Riccati（李卡提）方程Lyapunov（李亞普諾夫）方程特殊形式Lyapunov（李亞普諾夫）方程lyap2函數類似于lyap，但是運算速度大大加快。現代控制理論CAD極點配置例：系統狀態方程通過狀態反饋控制u=-Kx，配置閉環極點在p1=-2+j4,p2=-2-j4,p3=-10現代控制理論CAD%反饋控制配置閉環極點%開環系統狀態方程描述：A=[010;001;-1-5-6];B=[0;0;1];%期望閉環極點J=[-2+j*4-2-j*4-10];%求反饋增益矩陣KK=acker(A,B,J)現代控制理論CADACKERPoleplacementgainselectionusingAckermann'sformula.

K=ACKER(A,B,P)calculatesthefeedbackgainmatrixKsuchthatthesingleinputsystem.x=Ax+Bu

withafeedbacklawofu=-KxhasclosedlooppolesatthevaluesspecifiedinvectorP,i.e.,P=eig(A-B*K).

Note:ThisalgorithmusesAckermann'sformula.ThismethodisNOTnumericallyreliableandstartstobreakdownrapidlyforproblemsofordergreaterthan10,orforweaklycontrollablesystems.Awarningmessageisprintedifthenonzeroclosed-looppolesaregreaterthan10%fromthedesiredlocationsspecifiedinP.現代控制理論CAD%反饋控制配置閉環極點%開環系統狀態方程描述：A=[010;001;-1-5-6];B=[0;0;1];%期望閉環極點J=[-2+j*4-2-j*4-10];%求反饋增益矩陣KK=place(A,B,J)現代控制理論CADPLACEPoleplacementtechnique

K=PLACE(A,B,P)computesastate-feedbackmatrixKsuchthattheeigenvaluesofA-B*KarethosespecifiedinvectorP.Noeigenvalueshouldhaveamultiplicitygreaterthanthenumberofinputs.

[K,PREC,MESSAGE]=PLACE(A,B,P)returnsPREC,anestimateofhowcloselytheeigenvaluesofA-B*Kmatchthespecifiedloca